排列组合专题复习及经典例题详解

排列组合专题复习及经典例题详解

1. 学习目标

掌握排列、组合问题的解题策略

2.重点

（1）特殊元素优先安排的策略：

（2）合理分类与准确分步的策略；

（3）排列、组合混合问题先选后排的策略；

（4）正难则反、等价转化的策略；

（5）相邻问题捆绑处理的策略；

（6）不相邻问题插空处理的策略．

3.难点

综合运用解题策略解决问题．

4.学习过程:

(1)知识梳理

1．分类计数原理（加法原理）：完成一件事，有几类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法……在第n 类型办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有n m m m N +++=...21种不同的方法．

2．分步计数原理（乘法原理）：完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法……，做第n 步有n m 种不同的方法；那么完成这件事共有n m m m N ⨯⨯⨯=...21种不同的方法．

特别提醒：

分类计数原理与“分类”有关，要注意“类”与“类”之间所具有的独立性和并列性； 分步计数原理与“分步”有关，要注意“步”与“步”之间具有的相依性和连续性，应用这两个原理进行正确地分类、分步，做到不重复、不遗漏．

3．排列：从n 个不同元素中，任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列，n m <时叫做选排列，n m =时叫做全排列.

4．排列数：从n 个不同元素中，取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号m n P 表示.

5．排列数公式：）、（+∈≤-=

+---=N m n n m m n n m n n n n P m n ,)!

(!)1)...(2)(1( 排列数具有的性质：11-++=m n m n m n mP P P 特别提醒：

规定0!=1

6．组合：从n 个不同的元素中，任取m(m≤n)个不同元素，组成一组，叫做从n 个不同元素中取m 个不同元素的一个组合.

7．组合数：从n 个不同元素中取m(m≤n)个不同元素的所有组合的个数，叫做从n 个

不同元素中取出m 个不同元素的组合数，用符号m n C 表示.

8．组合数公式：)!(!!!)1)...(2)(1(m n m n m m n n n n P P C m m m n m n

-=+---== 组合数的两个性质：①m n n m n C C -= ；②11-++=m n

m n m n C C C 特别提醒：排列与组合的联系与区别.

联系：都是从n 个不同元素中取出m 个元素.

区别：前者是“排成一排”，后者是“并成一组”，前者有顺序关系，后者无顺序关系.

(2)典型例题

考点一:排列问题

例1.六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？

（1）甲不站两端；

（2）甲、乙必须相邻；

（3）甲、乙不相邻；

（4）甲、乙之间间隔两人；

（5）甲、乙站在两端；

（6）甲不站左端，乙不站右端.

【解析】：(1)方法一：要使甲不站在两端，可先让甲在中间4个位置上任选1个，有1

4P 种站法，然后其余5人在另外5个位置上作全排列有55P 种站法，根据分步乘法计数原理，共有站法：)(4805514种=P P

方法二：由于甲不站两端，这两个位置只能从其余5个人中选2个人站，有25P 种

站法，然后中间4人有44P 种站法，根据分步乘法计数原理，共有站法：（种）4804425=P P 方法三：若对甲没有限制条件共有66P 种站法，甲在两端共有552P 种站法，从总

数中减去这两种情况的排列数，即共有站法：)(480

25566种=-P P （2）方法一：先把甲、乙作为一个“整体”，看作一个人，和其余4人进行全排列有55P 种

站法，再把甲、乙进行全排列，有2

2P 种站法，根据分步乘法计数原理，共有)(2402255种=P P 方法二：先把甲、乙以外的4个人作全排列，有4

4P 种站法，再在5个空档中选出一个供甲、

乙放入，有15P 种方法，最后让甲、乙全排列，有22P 种方法，共有)(240221544种=P P P

（3）因为甲、乙不相邻，中间有隔档，可用“插空法”，第一步先让甲、乙以外的4个人站队，有44P 种站法；第二步再将甲、乙排在4人形成的5个空档（含两端）中，有25P 种站

法，故共有站法为（种）480

2544=P P 此外，也可用“间接法”，6个人全排列有66P 种站法，由（2）知甲、乙相邻有

2402255=P P 种站法，所以不相邻的站法有)(480240720225566种=-=-P P P .

（4）方法一：先将甲、乙以外的4个人作全排列，有44P 种，然后将甲、乙按条件插入站队，有223P 种，故共有（种）

）（14432244=⨯P P 站法. 方法二：先从甲、乙以外的4个人中任选2人排在甲、乙之间的两个位置上，有24P 种，然后把甲、乙及中间2人看作一个“大”元素与余下2人作全排列有33P 种方法，最后对甲、

乙进行排列，有2

2P 种方法，故共有（种）144223324=P P P 站法. （5）方法一：首先考虑特殊元素，甲、乙先站两端，有22P 种，再让其他4人在中间位置作全排列，有44P 种，根据分步乘法计数原理，共有（种）

484422=P P 站法. 方法二：首先考虑两端两个特殊位置，甲、乙去站有2

2P 种站法，然后考虑中间4个位置，由剩下的4人去站，有44P 种站法，由分步乘法计数原理共有（种）

484422=P P 站法. （6）方法一：甲在左端的站法有55P 种，乙在右端的站法有55P 种，甲在左端而且乙在右端的站法有44P 种，故甲不站左端、乙不站右端共有66P -255P +44P =504（种）站法.

方法二：以元素甲分类可分为两类：①甲站右端有55P 种站法，②甲在中间4个位置之一，而乙又不在右端有441414P P P 种，故共有55P +441414P P P =504（种）站法.

考点二:组合问题 例2. 男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1人.选派5人外出比赛.在下列情形中各有多少种选派方法？

（1）男运动员3名，女运动员2名；

（2）至少有1名女运动员；

（3）队长中至少有1人参加；

（4）既要有队长，又要有女运动员.

【解析】：（1）选法为（种）

1202436=C C .