简要介绍数学发展及起源

数学是历史最悠久的人类知识领域之一，从远古屈指计数到现代高速电子计算机的发明；从量地测天到抽象严密的公理化体系，在五千余年的数学历史长河中，重大数学思想的诞生与发展，确实构成了科学史上最富有理性魅力的题材。

与其他知识部门相比，数学是一门历史性或者说累积性很强的科学，重大的数学理论总是在继承和发展原有理论的基础上建立起来的，它们不仅不会推翻原有的理论，而且总是包容原有的理论，如数的理论的演进就表现出很强的累积性，数学就如同一座大厦，期待着我们在这座大厦上添砖加瓦。

我们也可以把现代数学比喻成一棵茂密的大树，它包含着并且正在生长出越来越多的分支，按美国的《数学评论》（mathematical reviews）杂志的分类，当今数学约包含了约60个二级学科，400多个三级学科，更细的分科已难以统计，面对着如此庞大的知识系统，职业数学家越来越被限制于一、两个专门领域，庞加莱（H.Pointcare 1854-1912）曾经被称为“最后一位数学通才”，虽然比他稍晚的希尔伯特（D.Hilbert 1862-1943）也跨越过众多的领域，但这样的数学家毕竟越来越难得了，而正是希尔伯特曾在著名的巴黎演讲中指出：“数学科学是一个不可分割的整体，它的生命力正是在于各个部门之间的联系”，并提醒人们警惕数学“被分割成许多孤立的分支”的危险。

数学的发展绝不是一帆风顺的，更多的情况下是充满犹豫、徘徊，要经历艰难曲折，甚至会面临危机，如无理量的发现，微积分和非欧几何的创立，乃至费马定理的证明……

数学是以抽象的形式，追求高度精确、可靠的知识。抽象并非数学独有的特性，但数学的抽象却是最为典型的，数学的抽象在数与形等原始概念的形成中已体现出来，人类在蒙昧时代就已具有识别事物多寡的能力，从这种原始的“数觉”到抽象的“数”概念的形成，是一个缓慢的、渐进的过程，原始人在狩猎采集活动中首先注意到一只羊与许多羊，一头狼与整群狼的比较，就逐渐看到一只羊、一头狼、一条鱼、一棵树……之间存在着某种共通的东西，即他们的单位性，同样，人们会注意到其他特定的物群，例如成双的事物，相互间也可以构成一一对应，这种为一定物群所共有的抽象行质，就是数。数概念的形成可能与火的使用一样古老，大约是在三十万年以前，它对于人类文明的意义，也绝不亚于火的使用。

什么是数学，数学本身是一个历史的概念，数学的内涵随着时代的变化而变化，给数学下一个一劳永逸的定义是不可能的。我们在这里就从历史的角度来谈谈“什么是数学”这个问题。

公元前六世纪前，数学主要是关于“数”的研究。这一时期在古埃及、巴比伦、印度与中国等地区发展起来的数学，主要是计数，初等算术与算法，几何学则可以看做是应用算术。

从公元前6世纪开始，希腊数学的兴起，突出了对“形”的研究。数学于是成为关于数与形的研究。从那时起直到17世纪，数学的对象没有本质的变化。

希腊人主要对几何感兴趣，他们也研究数，但却与他们的埃及、巴比伦前辈相反，将数放在几何形式下去考察，尽管如此，公元前4

世纪的希腊哲学家亚里斯多德仍将数学定义为“数学是量的科学”，其中“量”的涵义是模糊的，不能单纯理解为“数量”，亚里斯多德的定义影响绵长，直到16世纪英国哲学家培根（F.Bacon 1561-1626）将数学分为“纯粹数学”（pure mathematics）与“混合数学”（mixed mathematics）.这里“混合数学”相当于应用数学，而培根所谓的“纯粹数学”则定义为“处理完全与物质和自然哲学公理相脱离的量的科学”。

在17世纪像笛卡尔（R.Deacartes 1596-1650）这样的数学家与哲学家对数学的看法有微妙的变化，笛卡尔认为：

“凡是以研究顺序（order）和度量(measure)为目的的科学都与数学有关”。

恰恰是在笛卡尔的时代，数学发生了重大的转折。整个17、18世纪，数学家们关注的焦点是运动与变化。牛顿与莱布尼茨制定的微积分本质上是运动与变化的科学，它使科学家们能够从数学上研究行星运动、机械的运动、流体运动、动植物生长……等等，因此，在牛顿与莱布尼茨以后，数学称为研究数、形以及运动与变化的学问。

当然运动与变化的数学描述仍然离不开数与形。因此，在19世纪恩格斯还是这样来论述数学的本质：“纯数学的对象是现实世界的空间形式与数量关系”。根据恩格斯的论述，数学可以定义为“数学是研究现实世界的空间形式与数量关系的科学”。

然而在恩格斯的时代，数学又开始发生本质的变化。19世纪的数学家对数学本身的兴趣空前增长。也就是说，除了现实世界的材料，

他们更多的关注数学内部的需要，抽象代数、非欧几何以及严格化的分析都是这类内部需要的产物。因此，从19世纪特别是后期开始，数学成为研究数与形，运动与变化，以及研究数学自身的学问。这种以数学自身为目的的倾向，按照罗素的见解，是19世纪数学的主要功绩，这促使人们对数学的本质进行新的思考。在19世纪晚期，集合论的创始人康托尔（G.Cantor 1845-1918）曾经提出：“数学是绝对自由发展的学科，它只服从明显的思维，就是说它的概念必须摆脱自相矛盾，并且必须通过定义而确定地、有秩序地与先前已经建立和存在的概念相联系。”

20世纪50年代，前苏联一批有影响的数学家试图修正前面提到的恩格斯的定义来概括现代数学发展的特征：

“现代数学就是各种量之间的可能的，一般说是各种变化着的量的关系和相互联系的数学”。

这一定义不再区分“数”与“形”，可以说又回到了亚里斯多德对数学的最早定义中所使用过的“量”，但这个量却被赋予了丰富的现代涵义，它不仅包括现实世界的各种空间形式与数量关系，而且包括了一切可能的空间形式与数量关系（如几何学中的髙维空间、无穷维空间；代数学中的群、域；分析中的泛函、算子，……）。

从20世纪80年代开始，又出现了对数学的定义做符合时代的修正的新尝试，主要是一批美国学者，将数学简单的定义为关于“模式”的科学：

“【数学】这个领域已被称为模式的科学（science of pattern）,