北师大版初二上一次函数讲义(供参考)

第四章：一次函数

◆4.1函数

1．函数的概念 一般地，在一个变化过程中有两个变量x 和y ，如果给定一个x 值，相应地就确定了一个y 值，那么我们称y 是x 的函数．其中x 是自变量，当自变量取一个值时，另一个变量就有唯一确定的值与它对应，这也是我们判断两个变量是否构成函数关系的依据．

辨误区 自变量与另一个变量的对应关系

若y 是x 的函数，当x 取不同的值时，y 的值不一定不同．如：y ＝x 2中，当x ＝2，或x ＝－2时，y 的值都是4.

【例1－1】 下列关于变量x ，y 的关系式：①x －3y ＝1；②y ＝|x |；③2x －y 2＝9.其中y 是x 的函数的是( )．

A ．①②③

B ．①②

C ．②③

D ．①②

【例1－2】 已知y ＝2x 2＋4，

(1)求x 取12和－12

时的函数值；(2)求y 取10时x 的值． .

谈重点 函数中变量的对应关系

当自变量取一个值时，另一个变量就会有唯一的值与之相对应；当另一个变量取某一数值，则自变量并不一定有唯一的值与之相对应，所以另一个变量与自变量并不是一一对应的关系．

2．函数关系式

用来表示函数关系的等式叫做函数关系式，也称为函数解析式或关系表达式．

谈重点 函数关系式中的学问

①函数关系式是等式．②函数关系式中指明了哪个是自变量，哪个是函数．通常等式右边的代数式中的变量是自变量，等式左边的一个字母表示函数．③函数的解析式在书写时有顺序性．例如，y ＝x ＋1是表示y 是x 的函数．若写成x ＝y －1就表示x 是y 的函数．也就是说：求y 与x 的函数关系式，必须是用只含变量x 的代数式表示y ，即得到的等式(解析式)左边只含一个变量y ，右边是含x 的代数式．

【例2】 已知等腰三角形的周长为36，腰长为x ，底边上的高为6，若把面积y 看做腰长x 的函数，试写出它们的函数关系式．

3．自变量的取值范围

(1)使函数有意义的自变量的全体取值叫做自变量的取值范围．

(2)自变量的取值范围的确定方法：首先，要考虑自变量的取值必须使解析式有意义．当解析式是整式时，自变量的取值范围是全体实数；当解析式是二次根式时，自变量的取值范围是使被开方数不小于0的实数；当解析式中含有零整数幂或负整数指数幂时，自变量的取值应使相应的底数不为0；其次，当函数解析式表示实际问题时，自变量的取值还必须使实际问题有意义．

【例3】 若等腰三角形的周长为50 cm ，底边长为x cm ，一腰长为y cm ，y 与x 的函数关系

式为y ＝12

(50－x )，则变量x 的取值范围是__________． 4．函数的表示方法

函数的表示方法一般有三种：列表法、图象法、解析法，以解析法应用较多．有的函数可以用三种方法中的任何一种来表示，而有的只能用其中的一种或两种来表示．

(1)列表法：列一张表，第一行表示自变量取的各个值，第二行表示相应的函数值，这种表示函数关系的方法称为列表法．

(2)图象法：通过建立平面直角坐标系，以自变量取的每一个值为横坐标，以相应的函数值为纵坐标，描出每一个点，由所有这些点组成的图形称为这个函数的图象，这种表示函数关系的方法称为图象法．

(3)解析法：用式子表示函数关系的方法称为解析法，这样的式子称为函数的解析式． 析规律 函数的三种表示方法

三种表示方法各有优缺点，应用时要视具体情况，选择适当的表示方法，或将三种方法结合使用．①列表法：优点是能明显地显现出自变量与对应的函数值，缺点是取值有限；②图象法：优点是形象、直观、清晰地呈现出函数的一些性质，缺点是求得的函数值是近似的；

③解析法：优点是简明扼要、规范准确，并且可以根据解析式列表、画图象，进而研究函数的性质；缺点是有些函数无法写出解析式，只能列出表格或画出图象来表示．

【例4】 你一定知道乌鸦喝水的故事吧！一个紧口瓶中盛有一些水，乌鸦想喝，但是嘴够不着瓶中的水，于是乌鸦衔来一些小石子放入瓶中，瓶中水面的高度随石子的增多而上升，乌鸦喝到了水．但是还没解渴，瓶中水面就下降到乌鸦够不着的高度，乌鸦只好再去衔些石子放入瓶中，水面又上升，乌鸦终于喝足了水，哇哇地飞走了．如果设衔入瓶中石子的体积为x ，瓶中水面的高度为y ，下面能大致表示上面故事情节的图象是( )．

5.怎样判定函数关系

(1)从关系式判定函数

由函数的定义知道，在某个变化过程中，有两个变量x 和y ，对于x 每一个确定的值，y 都有且只有一个值与之对应，当x 取不同的值时，y 的值可以相等也可以不相等，但如果一个x 的值对应着两个不同的y 值，那么y 一定不是x 的函数．根据这一点，我们可以判定一个关系式是否表示函数．

(2)从表格中判定函数 根据函数的定义知道，从表格中理解函数仍然是先看是否只有两个变量，再看对于变量x 每一个确定的值，y 是否都有唯一的值和它对应，也就是说x 若取相同的值，y 必须是相同的值．

(3)从图象上判定函数

根据函数的定义知道，每一个x 值只能对应唯一的一个y 值，因此要判断哪些图形表示的是函数，只要在所给的自变量的取值范围内任作一条垂直于x 轴的直线，若直线与所给图形只有一个交点，则说明这个图形表示的是函数，若交点不止一个，则一定不是函数．

【例5－1 A －1 1 2 3 －1 0 2 4 8 10

B 0 1 2 3 0 －2 2 3 4 6

C 2 2 2 2 2 －1 0 1 1 3

D －1 1 2 3 4 0 2 4 8 10

【例5－26.如何判断同一函数

学习了函数的概念，判断两个函数是否表示同一函数要看它们是不是满足以下三个条件：

(1)自变量的取值范围完全相同．

(2)函数值的取值范围完全相同．

(3)变形后，两个函数的解析式是一致的，即自变量和函数的对应关系完全相同．

如果两个函数满足以上三个条件，那么它们是同一函数．

解答这类问题的关键是正确理解上述的三个条件．

☆函数的自变量取值范围和解析式为函数的两个基本条件，判断两个函数是否相等的关键是看自变量取值范围和解析式.自变量取值范围和函数值分别相同的函数不一定是相等函数.

【例6-1】 下列函数中，与y ＝x 表示同一个函数的是( )．

A ．y ＝x 2

B ．y ＝|x |

C ．y ＝(x )2

D ．y ＝3x 3

【例6-2】下列各组函数中，哪些是同一函数：

①y x =与1y x =+；

②1,y x x =-为实数，与1,y x x =-为自然数；

③24y x =

-与22y x x =-+

④11y x =+与11u x =+； ⑤2y x x =2y x =； ⑥2||y x =与2,02,0

x x y x x ≥⎧=⎨-<⎩；

7．函数图象的实际应用