高二数学空间角的计算PPT教学课件 (2)

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AF1 BD1 AF1 || BD1
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1 1 4
53
30 10
所以 B D与1 A所F 1成角的余弦值为
42 30
10
练习：在长方体 A B C D A 1B 1C 1D 1中，A B =5 ， A D 8,
AA1 4, M 为 B 1 C 1 上 的 一 点 , 且 B 1 M 2 ,点 N 在 线 段 A 1D 上 ，
B
CA l
D
coscosA B ,C DA BC D
A BC D
例三：如图3，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的
点B处。从A，B到直线l （库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为 a和 b,CD的长为c, AB的长为d。求库底与水坝所成二面角的余弦值。
解：如图，A a ， C B b ， C D c ， D A d .B
a
b
a， b
|
a
a， bb
|
结论：
|cosa,b|
例一：R tA B C 中 ， B C A 9 0 0 , 现 将 A B C 沿 着 平 面 A B C 的 法 向 量
平 移 到 A 1 B 1 C 1 位 置 ， 已 知 BCC AC C 1， 取 A 1B 1 、 A 1C 1 的 中 取 A 1 B 1 、 A 1 C 1 的 中 点 D 1 、 F 1 ， 求 B D 1 与 A F 1 所 成 的 角 的 余 弦 值 .
A1DAN. ( 1 ) 求 证 ： A 1 D A M .
简解：
z
A(0,0,0), A1(0,0,4), D(0,8,0), M(5,2,4)
A M (5,2,4),
A1
N
B1 M
A
D1
C1
Dy
A 1D (0 ,8 , 4 ),
B
C
AMA1D ＝ 0A1DAM. x
（ 2 ） 求 A D 与 平 面 A N M 所 成 的 角 .
所 以 B 1 C 1 与 面 A B 1 C 所 成 的 角 的 正 弦 值 为 3 3 。
三、面面角： 二面角的范围：[0,]
①方向向量法：
将二面角转化为二面角的两个面的方向向量 （在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的
夹角。如图，设二面角 l 的大小为，
其中 A B l ,A B ,C D l ,C D
二、线面角：
直线与平面所成角的范围： [0, ]
A
2
思考：
B
O
设 平 面 的 法 向 量 为 n， 则 n,BA与 的 关 系 ？
A
n
A
n， BA
2
B
源自文库
n， BA
B
2
n
结论：sin |cosn,A B |
例二：在长方体 A B C D A 1B 1C 1D 1中，A B =5 ， A D 8,
A B 1 ( 1 ， 0 ， 1 ) ， A C ( 1 ， 1 ， 0 )
C1
y
设 平 面 A B 1 C 的 法 向 量 为 n ( x ， y ， z ) A
D
则 n A B 1 0 ， n A C 0
B
C
得 所y以 =zxx=-zy1， 0故 0， n取 =(x1， =-11， ， -1)， cosn x， B 1C 1 01 1 303 3
总之，空间的角最终都可以转化为两相交直线所成的角。 因此我们可以考虑通过两个向量的夹角去求这些空间角。
一、线线角：
异面直线所成角的范围：
0,
2
思考：
C
D
C D ,A B 与 的 关 系 ？
A D1
B
D C ,A B 与 的 关 系 ？
设 直 线 C D 的 方 向 向 量 为 a ， A B 的 方 向 向 量 为 b
5
练习：正方体 A B C D A 1B 1C 1D 1的棱长为1.
求 B 1 C 1 与 面 A B 1 C 所 成 的 角 .z
设位 正正 交 方基 体底 棱， 长可 为得 1，以 A(A 0B ， 0， ， A 0)D ， ， BA 1(A 11 ， 为 0，1单 )， A 1
D1
C(1， 1，0)，C1(1，1，1)，则 B 1 C 1(0 ， 1 ， 0 )， B 1
空间两条异面直线所成的角可转化为两条相 交直线所成的锐角或直角。故我们研究线线角 时，就主要求[ 0 , ]范围内 的角；
2
斜线与平面所成的角是指斜线与它在面内 的射影所成锐角，再结合与面垂直、平行或在 面内这些特殊情况，线面角的范围也是 [ 0 , ] ；
2
两个平面所成的角是用二面角的平面角来 度量。它的范围是 [0, ] 。
B
化为向量问题 根据向量的加法法则有
C D
A BA C C D DB
A
d2A2B (A C C D D)2B
222
A C C D B D 2 ( A C C D A C D B C D D B )
AA1 4, M 为 B 1 C 1 上 的 一 点 , 且 B 1 M 2 ,点 N 在 线 段 A 1D 上 ，
A1DAN. ( 1 ) 求 证 ： A 1 D A M .
（ 2 ） 求 A D 与 平 面 A N M 所 成 的 角 . z
简解：
A1 N
由 (1)知 A1DAM ， 又 A1DAN B 1 M
空间向量的引入为代数方法处理立体 几何问题提供了一种重要的工具和方法， 解题时，可用定量的计算代替定性的分析， 从而避免了一些繁琐的推理论证。求空间 角与距离是立体几何的一类重要的问题， 也是高考的热点之一。我们主要研究怎么 样用向量的办法解决空间角的问题。
空间的角：
空间的角常见的有：线线角、线面角、面面角。
解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标 z
系 C,如xy图z 所示，设 则C：C1 1
A (1 ,0 ,0 ),B (0 ,1 ,0 ), F1(1 2,0,1),D1(1 2,1 2,1) A 1
所以：AF1 (12,0,1),
11 BD1 (2,2,1)
A
C1
F1
D1
C
B1 By
x
c o sA F 1 ,B D 1
AM ANA， 所 以 A1D平 面 AM N A
D1 C1
Dy
所 以 A1D 是 平 面 AM N的 法 向 量 。
A(0,0,0), A1(0,0,4), D(0,8,0), x
B
C
A D(0,8,0), A 1D (0 ,8 , 4 ),c o s A D ,A 1 D 2 5 5 A D 与 平 面 A N M 所 成 角 的 正 弦 值 是 2 5 所以~~~~