高二数学空间角的计算PPT教学课件 (2)
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第7章 第7节 空间角(共16张PPT)
利用向量计算二面角大小的常用方法 (1)找法向量法：分二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐 (钝)二面角． (2)找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以 垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小．
师生 共研
(2018·全国卷Ⅰ)如图，四边形 ABCD 为正方形，E，F 分别为 AD，BC 的 中点，以 DF 为折痕把△DFC 折起，使点 C 到达点 P 的位置，且 PF⊥BF.
(1)证明：平面 PEF⊥平面 ABFD； (2)求 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值．
利用向量求线面角的方法 (1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量 的夹角(或其补角)． (2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐 角，取其余角就是斜线和平面所成的角．
[训练] 如图，长方体 ABCD -A1B1C1D1 中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8，点 E， F 分别在 A1B1，D1C1 上，A1E＝D1F＝4.过点 E，F 的平面 α 与此长方体的底面相交， 交线围成一个正方形．
(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)； (2)求直线 AF 与平面 α 所成角的正弦值．
解 (1)交线围成的正方形 EHGF 如图： (2)作 EM⊥AB，垂足为 M，则 AM＝A1E＝4，EM＝AA1＝8. 因为四边形 EHGF 为正方形，所以 EH＝EF＝BC＝10. 于是 MH＝ EH2－EM2＝6，所以 AH＝10.以 D 为坐标原点，D→A的方向为 x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 D -xyz， 则 A(10,0,0)，H(10,10,0)，E(10,4,8)，F(0,4,8)， F→E＝(10,0,0)，H→E＝(0，－6,8)．
用空间向量求空间角课件(共22张PPT)
向量的加法与数乘
向量的加法满足平行四边形法则或三 角形法则，即$vec{a} + vec{b} = vec{b} + vec{a}$。
数乘是指实数与向量的乘积，满足分 配律，即$k(vec{a} + vec{b}) = kvec{a} + kvec{b}$。
向量的数量积
向量的数量积定义为$vec{a} cdot vec{b} = left| vec{a} right| times left| vec{b} right| times cos theta$，其中$theta$为两 向量的夹角。
数量积满足交换律和分配律，即$vec{a} cdot vec{b} = vec{b} cdot vec{a}$和$(lambdavec{a}) cdot vec{b} = lambda(vec{a} cdot vec{b})$。
03 向量的向量积与混合积
向量的向量积
定义
两个向量a和b的向量积是一个向量，记作a×b，其模长为 |a×b|=|a||b|sinθ，其中θ为a与b之间的夹角。
适用范围
适用于直线与平面不垂直的情况。
利用向量的混合积求二面角
1 2 3
定义
二面角是指两个平面之间的夹角。
计算公式
cosθ=∣∣a×b×c∣∣∣∣a∣∣∣∣b∣∣∣∣c∣∣，其中a、 b和c分别是三个平面的法向量，θ是两个平面之 间的夹角。
适用范围
适用于两个平面不平行的情况。
06 案例分析
案例一：利用空间向量求线线角
定义
线线角是指两条直线之间的夹角。
计算公式
cosθ=∣∣a⋅b∣∣∣∣a∣∣∣∣b∣∣∣， 其中a和b是两条直线的方向向量，
空间角的计算课件
E1
(0,1, 4), F
uuuur
(2,
4,
0)
uuur
所uuu以ur AD1 (4，0，4), AC (4，4，0)
E1F (2，3，-4) r
设r 平u面uuuDr 1AC的法向量为n =(x，y，z)
nr n
• •
uAuDur1 0 AC 0
4x 4x
所以cos 60。= Duu1uAur •uCuuEr =
1
=1
D1A CE 2 t2 4t 5 2
所以t2 4t 3=0
所以t＝1（t=3舍），所以点E的位置是AB的中点.
思考2
如何用向量来求直线与平面所成角?
φ
A
φ
������ C
B
答：直线与平面所成角可以 转化为“直线的方向向量”与 “平面的法向量”的夹角求解.
→
1
所以sin
θ＝|nn·||MA→BB|＝32×2
＝ 14
14 42 .
1
3
4
坐标法：直线所成角可以通过它们方向向量的夹角求得.
uuur uuur uuuur 解：不妨设正方体的棱长为4，以{DA,DC, DD1}
为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz
则各点的坐标为D(0，0，0),B(4，4，0)E
uuuur
uuuur
1
(4，3，4)
F1(0，1，4),可得DF1 (0,1, 4)，B1E1 (0, 1, 4)
角的余弦值。
向量法：直线所成角可以通过它们方向向量的夹角求得.
uuuur uuur
解：u设uurDD1uuuur4a，D1F
《空间角的计算》示范公开课教学课件【高中数学苏教版】
空间向量法求两个平面所成角(即二面角): 两个平面的法向量的夹角与两个平面所成角(即二面角)相等或互补，即即
运用空间向量坐标运算求二面角的基本步骤:(1)建立空间直角坐标系.(2)求两平面的法向量,.(3)设二面角为，则.
在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M和N分别是A1B1和BB1的中点，则直线AM和CN所成角的余弦值是 .
空间向量法求直线与平面所成角: 直线的方向向量与平面的法向量的夹角为锐角时，直线与平面所成角与这个夹角互余；直线的方向向量与平面的法向量的夹角为钝角时，直线与平面所成角与这个夹角的补角互余，即
运用空间向量坐标运算求直线与平面夹角的一般步骤:(1)建立空间直角坐标系.(2)求直线的方向向量.(3)求平面的法向量.(4)设线面角为，则.
空间向量ห้องสมุดไป่ตู้求异面直线所成角: 设空间两异面直线l1，l2 所成的角为θ，其方向向量分别为，则两条异面直线所成角θ就是它们的方向向量所成角或其补角，即
运用空间向量坐标运算求异面直线所成角的一般步骤：(1)建立恰当的空间直角坐标系；(2)求两异面直线的方向向量；(3)设异面直线所成角为，则；
运用空间向量坐标运算求空间里的角1.求异面直线所成角：(1)建立恰当的空间直角坐标系；(2)求两异面直线的方向向量；(3)设异面直线所成角为，则 .
2.求直线与平面夹角:(1)建立空间直角坐标系.(2)求直线的方向向量.(3)求平面的法向量.(4)设线面角为，则.
3.求二面角:(1)建立空间直角坐标系.(2)求两平面的法向量,.(3)设二面角为，则
如图，三棱锥P－ABC中，PC⊥平面ABC，PC＝3，∠ACB＝D，E分别为线段AB，BC上的点，且CD＝DE＝，CE＝2EB＝2.(1)证明:DE⊥平面PCD;(2)求二面角A－PD－C的余弦值.
运用空间向量坐标运算求二面角的基本步骤:(1)建立空间直角坐标系.(2)求两平面的法向量,.(3)设二面角为，则.
在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M和N分别是A1B1和BB1的中点，则直线AM和CN所成角的余弦值是 .
空间向量法求直线与平面所成角: 直线的方向向量与平面的法向量的夹角为锐角时，直线与平面所成角与这个夹角互余；直线的方向向量与平面的法向量的夹角为钝角时，直线与平面所成角与这个夹角的补角互余，即
运用空间向量坐标运算求直线与平面夹角的一般步骤:(1)建立空间直角坐标系.(2)求直线的方向向量.(3)求平面的法向量.(4)设线面角为，则.
空间向量ห้องสมุดไป่ตู้求异面直线所成角: 设空间两异面直线l1，l2 所成的角为θ，其方向向量分别为，则两条异面直线所成角θ就是它们的方向向量所成角或其补角，即
运用空间向量坐标运算求异面直线所成角的一般步骤：(1)建立恰当的空间直角坐标系；(2)求两异面直线的方向向量；(3)设异面直线所成角为，则；
运用空间向量坐标运算求空间里的角1.求异面直线所成角：(1)建立恰当的空间直角坐标系；(2)求两异面直线的方向向量；(3)设异面直线所成角为，则 .
2.求直线与平面夹角:(1)建立空间直角坐标系.(2)求直线的方向向量.(3)求平面的法向量.(4)设线面角为，则.
3.求二面角:(1)建立空间直角坐标系.(2)求两平面的法向量,.(3)设二面角为，则
如图，三棱锥P－ABC中，PC⊥平面ABC，PC＝3，∠ACB＝D，E分别为线段AB，BC上的点，且CD＝DE＝，CE＝2EB＝2.(1)证明:DE⊥平面PCD;(2)求二面角A－PD－C的余弦值.
高中数学苏教版选修2-1课件： 3.2.3 空间的角的计算 课件2
一、பைடு நூலகம்要点。
一般来说，一节课的要点就是老师们在备课中准备的讲课大纲。许多老师在讲课正式开始之前会告诉大家，同学们对此要格外注意。例如在学习物
理课“力的三要素”这一节时，老师会先列出力的三要素——大小、方向、作用点。这就是一堂课的要点。把这三点认真听好了，这节课就基本掌握了。
二、听思路。
思路就是我们思考问题的步骤。例如老师在讲解一道数学题时，首先思考应该从什么地方下手，然后在思考用什么方法，通过什么样的过程来进行
解答。听课时关键应该弄清楚老师讲解问题的思路。
三、听问题。
对于自己预习中不懂的内容，上课时要重点把握。在听讲中要特别注意老师和课本中是怎么解释的。如果老师在讲课中一带而过，并没有详细解答， 大家要及时地把它们记下来，下课再向老师请教。
四、听方法。
在课堂上不仅要听老师讲课的结论而且要认真关注老师分析、解决问题的方法。比如上语文课学习汉字，一般都是遵循着“形”、“音”、“义”
空间角
【学习目标】
• 1.掌握各种空间角的定义，弄清它 们各自的取值范围.
• 2.掌握异面直线所成的角，二面角 的平面角，直线与平面所成的角的 联系和区别，体会求空间角中的转 化思想．
【小组展示】
问题
展示位置 前白板1 前白板1 后黑板2 后黑板3
展示小组 点评小组
4--B2
7--A2
3-A1
2--C2
变式：若本例条件不变，结论改为：设 E 是棱 DD1 上的点， 且D→E＝23D→D1，若E→O＝xA→B＋yA→D＋zA→A1，试求 x，y，z 的值．
探究二
(1)如图，四个棱长为 1 的正方体排成一个正四棱柱，AB 是
空间角的计算PPT课件
解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标 z
系 C,如xy图z 所示，设 则C：C1 1
C1
F1
D1
B1
A(1,0,0), B(0,1,0),
1
11
F1( 2 , 0,1), D1( 2 , 2 ,1)
A1
C
所以：AF1
(
1 2
,
0,1),
BD1
(1 2
,
1 2
,1)
A
By
cos AF1, BD1
AF1
6.正方体中ABCD-A1B1C1D1中E为A1D1的
中点, 则二面角E-BC-A的大小是__4__5_0___
第17页/共59页
7.正三棱柱 ABC A1B1C1中，D是AC的中点，当 AB1 BC1时，求二面角D BC1 C的余弦值。
8.已知正方体 ABCD A1B1C1D1的边长为2， O为AC和BD的交点，M为DD1 的中点
B
化为向量问题 根据向量的加法法则有
C D
AB AC CD DB
A
d
2
2
AB
( AC
CD
DB )2
2
2
2
AC CD BD 2( AC CD AC DB CD DB)
a2 c2 b2 2AC DB a2 c2 b2 2CA DB
于是，得 2CA DB a2 b2 c2 d 2
法向量的夹
角；
同进同出，
二面角等于
n1
l
法向量夹角 的补角。
n2
l
n1
cos cos n1, n2
cos cos n1, n2
第14页/共59页
1、已知 AB =(2,2,1),AC =(4,5,3),则平面
系 C,如xy图z 所示，设 则C：C1 1
C1
F1
D1
B1
A(1,0,0), B(0,1,0),
1
11
F1( 2 , 0,1), D1( 2 , 2 ,1)
A1
C
所以：AF1
(
1 2
,
0,1),
BD1
(1 2
,
1 2
,1)
A
By
cos AF1, BD1
AF1
6.正方体中ABCD-A1B1C1D1中E为A1D1的
中点, 则二面角E-BC-A的大小是__4__5_0___
第17页/共59页
7.正三棱柱 ABC A1B1C1中，D是AC的中点，当 AB1 BC1时，求二面角D BC1 C的余弦值。
8.已知正方体 ABCD A1B1C1D1的边长为2， O为AC和BD的交点，M为DD1 的中点
B
化为向量问题 根据向量的加法法则有
C D
AB AC CD DB
A
d
2
2
AB
( AC
CD
DB )2
2
2
2
AC CD BD 2( AC CD AC DB CD DB)
a2 c2 b2 2AC DB a2 c2 b2 2CA DB
于是，得 2CA DB a2 b2 c2 d 2
法向量的夹
角；
同进同出，
二面角等于
n1
l
法向量夹角 的补角。
n2
l
n1
cos cos n1, n2
cos cos n1, n2
第14页/共59页
1、已知 AB =(2,2,1),AC =(4,5,3),则平面
空间角及其计算ppt课件
半平面(α 和 β)叫作二面角的 面 .
二面角的平面角：在二面角的棱 AB 上任取一点 O，过 O
分别在二面角的两个面α，β 内作与棱垂直 的射线 OA，OB，我们把 ∠AOB 叫作
二面角 α-l-β 的平面角，用它来度量二面角
的大小．
二面角 θ 的取值范围为 θ∈ [0°，180°] .
平面角是直角的二面角叫作 直二面角
2×2×1×cos 60°＝3，所以 BD＝ 3，所以 B1D1＝ 3.
又 AB1 与 AD1 所成的角即为 AB1 与 BC1 所成的角 θ ，
所以
cos
θ＝AB221×＋AABD1×12－ABD11D21＝2×5＋25－×3
＝ 2
10 5.
答案:C
严格执行突发事件上报制度、校外活 动报批 制度等 相关规 章制度 。做到 及时发 现、制 止、汇 报并处 理各类 违纪行 为或突 发事件 。
因此，BC⊥PC，
在 Rt△PCB 中，PB＝ PC2＋BC2＝ 13，
在
Rt△PEB
中，sin∠PBE＝PPEB＝
39 13 .
所以直线
PB
与平面
ABCD
所成的角的正弦值为
39 13 .
严格执行突发事件上报制度、校外活 动报批 制度等 相关规 章制度 。做到 及时发 现、制 止、汇 报并处 理各类 违纪行 为或突 发事件 。
【变式探究】
1．(2017·新课标卷Ⅱ)已知直三棱柱 ABC-A1B1C1 中， ∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值为( )
C．120°
D．60°或 120°
解：∠FEG 为两异面直线 AD 与 BC 所成的角或其补角．
二面角的平面角：在二面角的棱 AB 上任取一点 O，过 O
分别在二面角的两个面α，β 内作与棱垂直 的射线 OA，OB，我们把 ∠AOB 叫作
二面角 α-l-β 的平面角，用它来度量二面角
的大小．
二面角 θ 的取值范围为 θ∈ [0°，180°] .
平面角是直角的二面角叫作 直二面角
2×2×1×cos 60°＝3，所以 BD＝ 3，所以 B1D1＝ 3.
又 AB1 与 AD1 所成的角即为 AB1 与 BC1 所成的角 θ ，
所以
cos
θ＝AB221×＋AABD1×12－ABD11D21＝2×5＋25－×3
＝ 2
10 5.
答案:C
严格执行突发事件上报制度、校外活 动报批 制度等 相关规 章制度 。做到 及时发 现、制 止、汇 报并处 理各类 违纪行 为或突 发事件 。
因此，BC⊥PC，
在 Rt△PCB 中，PB＝ PC2＋BC2＝ 13，
在
Rt△PEB
中，sin∠PBE＝PPEB＝
39 13 .
所以直线
PB
与平面
ABCD
所成的角的正弦值为
39 13 .
严格执行突发事件上报制度、校外活 动报批 制度等 相关规 章制度 。做到 及时发 现、制 止、汇 报并处 理各类 违纪行 为或突 发事件 。
【变式探究】
1．(2017·新课标卷Ⅱ)已知直三棱柱 ABC-A1B1C1 中， ∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值为( )
C．120°
D．60°或 120°
解：∠FEG 为两异面直线 AD 与 BC 所成的角或其补角．
空间角的计算(课件)高二数学(苏教版2019选择性必修第二册)
对异面直线所成角的几点强调：
（1）异面直线所成角的范围为（0°，90°］，其余弦值一定是非负数；
（2）异面直线所成的角的求解思路是通过异面直线的方向向量，转化为求方向
向量夹角余弦值的绝对值；
（3）异面直线所成的角也可通过几何法求解，求解思路是通过平移异面直线为
相交直线，转化为求两条相交直线所成的角.
典型例题
利用空间向量求直线和平面所成的角 例 2 如图，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，F 是 BC 的中点，点 E1 在 D1C1 上，且 D1E1＝14D1C1，试求直线 E1F 与平面 D1AC 所成角的正弦值．
【解析】 设正方体的棱长为1，以典{D→型A，例D→题C，D→D1}为单位正交基底，建立空间直
1
所以 cos〈A→1D，E→F〉＝
2 2×
2＝12， 2
所以A→1D与E→F的夹角为 60°， 即 A1D 与 EF 所成的角为 60°.
典型例题
(2) 在正方体ABCD－A1B1C1D1中， 因为AB⊥平面B1C1CB， 所以A→B是平面B1EB的法向量． 因为A→B＝(0,1,0)，A→1F＝－1，12，－1，
课堂练习
3．如图，在单位正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，M，
N 分别是 CD，CC1 的中点，则异面直线 A1M 与 DN 所成
角的大小是
()
A．π6
B．π4
C．π3
D．π2
【答案】D
课堂练习
【解析】以 D 为坐标原点，分别以 DA，DC，DD1 所在直线为 x 轴、
y 轴、z 轴建立空间直角坐标系 Dxyz(图略)，则 A1(1，0，1)，M0，12，0，
所以|D→F1|2＝|B→E1|2＝(4a)2＋b2＝17|a|2，
求空间角的常用方法PPT课件
故选B．
点评 这里将点O到面 ABC1D1 的距离转化为点 A1 到面 ABC1D1 的距离，比直接求O
到平面ABC1D1 的距离要简单得多 。
第17页/共27页
【例8】 如图1-15，CD，AB是两条异面直线，它们夹在两平行平面 和 间的 部分AB，CD在平面 内的射影分别是12cm和2cm，它们与平面 的交角之差 的绝对值是45o ，求AC与BD之间的距离．
2
2
第10页/共27页
2
PE
PD2 DE2
a2
3 2
a
7a 2
EF
FD2 ED2
a 2
2
3 2
a
2
a
PE 2 EF 2 PF 2
cos PEF 2PF·EF
7 2
2
a
a2
a 2
2
2 7 aa
＝
7 4
＋1－
1 4
＝
5
7
2
7
14
∴二面角P-AB-F的平面角的余弦值为 5 7 14
∵O为底面中心，
∴O为BD中点，从而FO为△DAB的中位线．
∴FO ∴MO
1 AB 2
D1F
D1M ∴四边形 D1FOM 为平行四边形． 故∠MOE(或其补角)即为异面直线 D1F 和OE所成的角．
在△MOE中，OM D1F 22 1 5 ME 2
OE EC2 OC2 1 ( 2)2 3
则
FG
＝(－1，1，＋1)，A1 E
＝(－1，0，－1)，
第12页/共27页
∴ FG A1E 1 0 1 0 FG A1E 选D．
点评 连B1G，B1F 运用平移法及勾股定理的逆定理当然也很简单，这里主要是强调 空间向量法的运用．
空间角的计算PPT课件(高中数学)
2.已知直线l是平面 的斜线,直线l的方向向量
为e , 平面 的法向量为 n ,设直线l和平面
的所成角为1 , e与
关系如何? l
n 的夹角为 2 ,
n
则 1,2
的
e
e
(1)若 e, n 的夹角
1
2
2.
(2)若 e, n的夹角
1
2
2
.
是钝角,则两直线的所成角
2
2 [0,2 ],则两直线的所成角
3.二面角 l 的两个半平面, 法向量分
3.已知两个相交平面, 法向量分别为 n1, n2,
求两平面所成的锐二面角的大小.
(1)n1 (1,1, 0), n2 (0, 1, 1) (2)n1 (1, 1,1), n2 (2,1,1)
1.在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形, AB∥CD,PA⊥面ABCD, PA=AD=DC=1,AB=2,M是 棱PB的中点. (1)求证:面PAD⊥面PCD;
(3)在直线PA上求一点M,使得EM⊥CBz . (4)求面PAD和面PBC所成二 P 面角的余弦值.
(5)求二面角A-PB-C的余弦值.
D
A
x
E C
y
B
3.已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱 形，且∠BCD=∠BCC1=∠DCC1=600.
(1)求证:CC1⊥BD;
(2)当 CD 的值是多少时,
空间角的计算
复习:
1.已知空间两异面直线l1,l2的方向向量分别为e1, e2,
设l1与l2的所成角为 , e1,e2的夹角为 , 则 ,
关系如何?
l1
e1
e2
e2
《空间的角的计算》示范课教学PPT课件【高中数学人教】
学生活动
问题1 二面角的大小是如何度量的？
问题2 二面角的平面角θ是如何定义的？你能在图示中作出二面角的平 面角吗？
问题3 什么叫平面的法向量？你能在图示中作出平面α，β的法向量吗？
学生活动
问题4 观察图示，请研究二面角的平面角θ与这两个平面的法向量的夹 角的关系．
（图1）
（图2）
探索新知
在定义了平面的法向量之后，我们就可以用平面的法向量来求两个平面 所成的角．由于平面的法向量垂直于平面，这样，两个平面所成的二面 角就可以转化为这两个平面的法向量所成的角．
空间的角的计算
第二课时
问题情境
上节课我们学习用直线的方向向量和平面的法向量计算两条异面直线所 成的角、直线与平面所成的角．两条异面直线所成的角可以转化为求两 条异面直线的方向向量的夹角；斜线与平面所成的角可以转化为直线的 方向向量与平面的法向量（平面的“方向”）的夹角，那么类比可知二 面角的平面角是否也可以转化为两个平面的“方向”即两个平面的法向 量的夹角呢？
课堂小结
（1）求二面角的两种方法：
1．利用平面角的定义，在两个面内先求出与棱垂直的两条直线对应的方 向向量，然后求出这两个方向向量的夹角．
2．转化为求这两个面的法向量的夹角，它与二面角的大小相等或互补．
课堂小结
（2） 二面角的平面角与法向量夹角的关系：
两个平面的法向量“方向相反”，则二面角的平面角与法向量夹角相等； 若两个平面的法向量“方向相同”，则二面角的平面角与法向量夹角互 补．
（图1）
（图2）
Hale Waihona Puke 总结：二面角的取值范围是[0，π]，所以二面角的平面角θ与这两个平面
的法向量的夹角φ相等或互补．图1中，θ＝φ；图2中，θ＝180°－φ．
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所 以 B 1 C 1 与 面 A B 1 C 所 成 的 角 的 正 弦 值 为 3 3 。
三、面面角： 二面角的范围：[0,]
①方向向量法：
将二面角转化为二面角的两个面的方向向量 （在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的
夹角。如图，设二面角 l 的大小为，
其中 A B l ,A B ,C D l ,C D
空间向量的引入为代数方法处理立体 几何问题提供了一种重要的工具和方法， 解题时，可用定量的计算代替定性的分析， 从而避免了一些繁琐的推理论证。求空间 角与距离是立体几何的一类重要的问题， 也是高考的热点之一。我们主要研究怎么 样用向量的办法解决空间角的问题。
空间的角：
空间的角常见的有：线线角、线面角、面面角。
总之，空间的角最终都可以转化为两相交直线所成的角。 因此我们可以考虑通过两个向量的夹角去求这些空间角。
一、线线角：
异面直线所成角的范围：
0,
2
思考：
C
D
C D ,A B 与 的 关 系 ？
A D1
B
D C ,A B 与 的 关 系 ？
设 直 线 C D 的 方 向 向 量 为 a ， A B 的 方 向 向 量 为 b
A B 1 ( 1 ， 0 ， 1 ) ， A C ( 1 ， 1 ， 0 )
C1
y
设 平 面 A B 1 C 的 法 向 量 为 n ( x ， y ， z ) A
D
则 n A B 1 0 ， n A C 0
B
C
得 所y以 =zxx=-zy1， 0故 0， n取 =(x1， =-11， ， -1)， cosn x， B 1C 1 01 1 303 3
解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标 z
系 C,如xy图z 所示，设 则C：C1 1
A (1 ,0 ,0 ),B (0 ,1 ,0 ), F1(1 2,0,1),D1(1 2,1 2,1) A 1
所以：AF1 (12,0,1),
11 BD1 (2,2,1)
A
C1
F1
D1
C
B1 By
x
c o sA F 1 ,B D 1
B
CA l
D
coscosA B ,C DA BC D
A BC D
例三：如图3，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的
点B处。从A，B到直线l （库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为 a和 b,CD的长为c, AB的长为d。求库底与水坝所成二面角的余弦值。
解：如图，A a ， C B b ， C D c ， D A d .B
AM ANA， 所 以 A1D平 面 AM N A
D1 C1
Dy
所 以 A1D 是 平 面 AM N的 法 向 量 。
A(0,0,0), A1(0,0,4), D(0,8,0), x
B
C
A D(0,8,0), A 1D (0 ,8 , 4 ),c o s A D ,A 1 D 2 5 5 A D 与 平 面 A N M 所 成 角 的 正 弦 值 是 2 5 所以~~~~
A1DAN. ( 1 ) 求 证 ： A 1 D A M .
简解：
z
A(0,0,0), A1(0,0,4), D(0,8,0), M(5,2,4)
A M (5,2,4),
A1
N
B1 M
A
D1
C1
Dy
A 1D (0 ,8 , 4 ),
B
C
AMA1D ＝ 0A1DAM. x
（ 2 ） 求 A D 与 平 面 A N M 所 成 的 角 .
a
b
a， b
|
a
a， bb
|
结论：
|cosa,b|
例一：R tA B C 中 ， B C A 9 0 0 , 现 将 A B C 沿 着 平 面 A B C 的 法 向 量
平 移 到 A 1 B 1 C 1 位 置 ， 已 知 BCC AC C 1， 取 A 1B 1 、 A 1C 1 的 中 取 A 1 B 1 、 A 1 C 1 的 中 点 D 1 、 F 1 ， 求 B D 1 与 A F 1 所 成 的 角 的 余 弦 值 .
AA1 4, M 为 B 1 C 1 上 的 一 点 , 且 B 1 M 2 ,点 N 在 线 段 A 1D 上 ，
A1DAN. ( 1 ) 求 证 ： A 1 D A M .
（ 2 ） 求 A D 与 平 面 A N M 所 成 的 角 . z
简解：
A1 N
由 (1)知 A1DAM ， 又 A1DAN B 1 M
空间两条异面直线所成的角可转化为两条相 交直线所成的锐角或直角。故我们研究线线角 时，就主要求[ 0 , ]范围内 的角；
2
斜线与平面所成的角是指斜线与它在面内 的射影所成锐角，再结合与面垂直、平行或在 面内这些特殊情况，线面角的范围也是 [ 0 , ] ；
2
两个平面所成的角是用二面角的平面角来 度量。它的范围是 [0, ] 。
二、线面角：
直线与平面所成角的范围： [0, ]
A
2
思考：
B
O
设 平 面 的 法 向 量 为 n， 则 n,BA与 的 关 系 ？
A
n
A
n， BA
2
B
n， BA
B
2
n
结论：sin |cosn,A B |
例二：在长方体 A B C D A 1B 1C 1D 1中，A B =5 ， A D 8,
5
练习：正方体 A B C D A 1B 1C 1D 1的棱长为1.
求 B 1 C 1 与 面 A B 1 C 所 成 的 角 .z
设位 正正 交 方基 体底 棱， 长可 为得 1，以 A(A 0B ， 0， ， A 0)D ， ， BA 1(A 11 ， 为 0，1单 )， A 1
D1
C(1， 1，0)，C1(1，1，1)，则 B 1 C 1(0 ， 1 ， 0 )， B 1
|
AF1 BD1 AF1 || BD1
|
1 1 4
53
30 10
所以 B D与1 A所F 1成角的余弦值为
42 30
10
练习：在长方体 A B C D A 1B 1C 1D 1中，A B =5 ， A D 8,
AA1 4, M 为 B 1 C 1 上 的 一 点 , 且 B 1 M 2 ,点 N 在 线 段 A 1D 上 ，
B
化为向量问题 根据向量的加法法则有
C D
A BA C C D DB
A
d2A2B (A C C D D)2B
222
A C C D B D 2 ( A C C D A C D B C D D B )