第6章 均匀平面波的反射和透射
电磁场与电磁波期末复习知识点归纳
哈密顿算子：矢量微分算子（ Hamilton、nabla、del ）
ex
x
ey
y
ez
z
★ 标量场的梯度
gradu u u xˆ u yˆ u zˆ ( xˆ yˆ zˆ)u x y z x y z
★ 矢量场的散度计算公式：
divA＝ • A Ax Ay Az x y z
1
2=∞ nˆ • D1 s
nˆ E1 0 nˆ B1 0
nˆ H1 Js
2、理想介质表面上 的边界条件
1=0
2=0
nˆ • (D1 D2) 0 nˆ (E1 E2 ) 0
nˆ B1 B2 0
nˆ H1 H2 0
第三章 静态电磁场及其边值问题的解
静电场中: E 0
圆柱坐标和球坐标的公式了解:
Bx By Bz
圆柱坐标系中的体积微元: dV=(d)(d)(dz)= d d dz
分析的问题具有圆柱对称性时可表示为：dV=2ddz
球坐标系中的体积微元: dV=(rsind)(rd)(dr)
分析的问题具有球对称性 时可表示为:
=r2sindrdd dV=4r2dr
★ 标量场的等值面方程 u x, y, z 常数C
程的解都是唯一的。这就是边值问题的唯一性定理
◇ 唯一性定理的意义：是间接求解边值问题的理论依据。
● 镜像法求解电位问题的理论依据是“唯一性定理”。
点电荷对无限大接地导体平面的镜像
z
r1
P
q h
r r2 介质
x
h
介质
q
点电荷对接地导体球面的镜像。
P
r
a
r2
o θ q
d
’d
第6章--2 斜入射a48页PPT
叠加
反射场
合成场
a)垂直极化和平行极化
Ei
Hi
① 1,1
Sˆ i i r
y
②
Er
Sˆ r
Hr
x
Ei
Er
Hr
Hi
① 1,1
Sˆ i i r
Sˆ r
y ②
x
z
z
(a) 垂直极化波
（b）平行极化波
图6.2-2 两种极化波对理想导体平面的斜入射
➢任意极化的平面波都可以分解成垂直极化波和平行极化波的合成；
kx4, kz3
2＝20.4m
k5
k kx2kz25＝ 2
sˆk kxˆ45 zˆ3xˆ5 4zˆ5 3
co ss ˆz ˆ3, arc 0 .6 t a 5.n 1 33
5
电磁场
第6章 平面电磁波的反射与折射
（b）∵ sˆH0 即 (x ˆ4z ˆ3)(x ˆAy ˆ26z ˆ4)0 55
∴ A=3
电磁场
第6章 平面电磁波的反射与折射
1. 重要概念
y 介质2 介质1
z
k E
∥
x 分界面
Ei 入射角i
E⊥ 入射面 入射方向
斜入射: 电磁波的入射方向与分界面的法线有一定夹角的 入射方式。
入射面：均匀平面波的传播方向与分界面法线所构成的平面。
电磁场
第6章 平面电磁波的反射与折射
反射角：反射波
的传播方向与分界
面法线的夹角。
分界面
x
入射面
入射角：入射波
的传播方向与分界 面法线的夹角。
r i O
折射角：透射波
的传播方向与分界 面法线的夹角。
第六章平面电磁波
1
2
1
二、导电媒质中平面电磁波的传播特性
1、不良导体主要参数（不能近似，计算复杂）
2、电介质主要参数（如聚四氟乙烯、聚苯乙烯、石英等）
表明：相移常数和波阻抗近似与理想电介质相同，衰减常数与 频率无关，正比于电导率。因此均匀平面电磁波在低损耗质中 的传播性，除了由微弱的损耗引起的振幅衰减外，与理想媒质 中的传播特性几乎相同。 3、良导体主要参数
表明：任一时刻电场能量密度和磁场能量密度相等，各为总电磁能量一半。 9、电磁能量平均值：
10、能量传播速度： 表明：均匀平面电磁波的能量传播速度等于相速。
z
P161 例6-1 略 补充例题：
• 6-2
P203作业2009.4.28
§6.2 导电媒质中的平面电磁波
一、导电媒质中平面电磁波的传播特性
方程的实际解：(由于无界媒质中不存在反射波)
由于：
二、均匀平面波的传播特性
可得：
振幅
时间相位
空间相位
初相
相位，代表场 的波动状态
上边两式表明：正弦均匀平面电磁波的电场和磁场在空间上互 相垂直，在时间上是同相的，它们的振幅之间有一定的比值，此比 值取决于煤质的介电常数和磁导率。
Ex
z Hy
图 6-3 理想介质中均匀平面电磁波的 上图表示 t = 0 时刻，电场及磁
4、坡印廷矢量的瞬时值
v
v
v
S(z,t) E(z,t) H (z,t)
evz
1 2
Em2
c
e2 az [cos
cos(2t
2
z
20
)]
5、复坡印廷矢量
v S
1 2
v E
v H*
均匀平面波的反射和透射matlab -回复
均匀平面波的反射和透射matlab -回复均匀平面波的反射和透射(matlab)引言：均匀平面波的反射和透射是电磁波传播中的基本现象之一。
通过研究波在边界上的反射和透射行为，我们可以更好地理解电磁波的传播规律和性质。
在本文中，我们将使用MATLAB编程来模拟均匀平面波的反射和透射现象，并详细介绍每一步的操作。
第一步：定义均匀平面波首先，我们需要定义一个均匀平面波的初始状态。
假设我们有一个平面波在z轴上传播，其电场分量Ez(x, y, t)可以由下述公式表示：Ez(x, y, t) = E0 * exp(j*(kx*x + ky*y - ωt))其中，E0表示电场强度的振幅，kx和ky分别表示波矢在x和y方向上的分量，ω表示角频率，t表示时间。
我们可以在MATLAB中定义这个函数，并设定合适的参数。
例如：MATLABE0 = 1; 设置电场强度的振幅kx = 2*pi; 设置波矢在x方向上的分量ky = 3*pi; 设置波矢在y方向上的分量omega = 10; 设置角频率t = 0; 设置初始时间定义均匀平面波函数Ez = (x, y) E0 * exp(1j * (kx*x + ky*y - omega*t));第二步：绘制均匀平面波的图像在前面的步骤中，我们定义了一个函数Ez(x, y)，用来描述均匀平面波在空间中的电场分布情况。
为了更直观地理解该函数的特性，我们可以使用MATLAB绘制二维图像。
MATLAB[X, Y] = meshgrid(-10:0.1:10); 定义绘制图像所需的坐标点Z = angle(Ez(X, Y)); 计算相位，并将其作为图像的颜色映射绘制二维图像figure;imagesc(X(1,:), Y(:,1), Z);xlabel('x');ylabel('y');colorbar;运行以上代码后，我们将得到一个二维图像，其中不同位置的颜色表示该位置上电场分量的相位。
第六章-平面波详解
E exEx ey Ey
两个分量可以表示成为
Ex
E e jkz jx xm
Ey
E e jkz jy ym
第六章 平面波
合成场矢量E可以写为
E ex Exme jkz jx ey Eyme jkz jy
瞬时值表达式分别为
Ex Exm cos(t kz x ) Ey Eym cos(t kz y ) E ex Exm cos(t kz x ) ey Eym cos(t kz y )
E2
1 4
E02e2az
第六章 平面波
平均磁能密度：
wav,m
1 4
H
2
1 4
E02
2
f
e2az
1 4
E02
e2
az
1 ( )2
总的平均能量密度：
wav
wav,e
wav,m
1 4
E02e2
z
1 4
E02e2
z
1 ( )2
1 4
E E
Ex2
E
2 y
Em
合成场矢量E与x轴正方向的夹角α为
arctan
Ey Ex
arctan
sin(t cos(t
x x
) )
(t
x
)
圆极化波有左旋和右旋之分，规定如下：
将大拇指指向电磁波的传播方向，其余四指指向电
第六章 平面波
场矢量E矢端的旋转方向，若符合右手螺旋关系，则 称之为右旋圆极化波；
谢处方《电磁场与电磁波》(第4版)章节习题-第6章 均匀平面波的反射与透射【圣才出品】
第6章 均匀平面波的反射与透射一、判断题电磁波垂直入射至两种媒质分界面时，反射系数与透射系数之间的关系为ρτ1＋＝。
（ ）ρτ【答案】√二、填空题电磁波从理想介质1垂直向理想介质2入射，介质1和2的本征阻抗分别为30Ω和70Ω，则分界面处的反射系数Γ和透射系数τ分别是_______，_______。
【答案】0.4；1.4三、简答题1．简述平面电磁波在媒质分界面处的反射现象和折射现象满足的斯耐尔（Snell ）定律；并具体说明什么条件下发生全反射现象，什么是临界角，给出临界角的计算公式。
答：（1）斯耐尔（Snell ）定律：①反射线和折射线都在入射面内；②反射角等于入射角，即；r i θθ=③折射角的正弦值与入射角的正弦值之比等于入射波所在的媒质的折射率与折射波所在媒质的折射率之比，即，式中sin sin ii n n ττθθ=n =（2）全反射现象：①理想导体全反射。
在电磁波入射到理想导体表面时，由理想导体表面切向电场为零的条件，反射系数为±1，称为理想导体全反射现象；②理想介质全反射。
当电磁波由光密介质入射到光疏介质时，由于，根据斯耐12n n >尔定律有。
当入射角增加到某一个角度时，折射角就可能等于。
因此，i τθθ>i θπ2c θ<τθπ2在时，就没有向介质2内传播的电磁波存在，即发生全反射现象。
c θθ>能使的入射角称为临界角，有：π2τθ=c θ21sin c n n θ==2．什么是电磁波在媒质分界面的全反射现象和全折射现象？什么是临界角和布儒斯特角？一个任意极化波由空气斜入射到一介质界面，以什么角度入射才能使反射波为线极化波？说明原因。
答：（1）当电磁波由光密介质入射到光疏介质时，由于，根据斯耐尔定律有12n n >。
当入射角增加到某一个角度时，折射角就可能等于。
因此，在i τθθ>i θπ2C θ＜τθπ2时，就没有向介质2内传播的电磁波存在，即发生全反射现象。
电磁场与电磁波(第4版)第6章部分习题参考解答
G
G E(z)
G
=
eGx100e− j(β z+90D )
+
G ey
200e− jβ z
由 ∇ × E = − jωμ0H 得
G H
(z)
=
−
1 jωμ0
∇×
G E(z)
=
−
1 jωμ0
⎡ ⎢
G ex
⎢∂
⎢ ⎢
∂x
G ey ∂ ∂y
G ez ∂ ∂zຫໍສະໝຸດ ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥=
−
1 jωμ0
G (−ex
∂Ey ∂z
G (1) 电场 E = 0 的位置；(2) 聚苯乙烯中 Emax 和 Hmax 的比值。
解：(1)
令
z
'
=
z
−
0.82
，设电场振动方向为
G ex
，则在聚苯乙烯中的电场为
G E1 ( z
')
=
G Ei
(z
')
+
G Er
(z
')
=
G −ex
j2Eim
sin
β
z
'
G 故 E1(z ') = 0 的位置为 β z ' = −nπ, (n = 0,1, 2,")
G ex
G × Ei (x)
G = ez
1
− j2 πx
e3
12π
A/m
G
G
(2) 反射波电场 Er 和磁场 Hr 的复矢量分别为
G Er (x) =
G
j2 πx
−ey10e 3
G V/m ， Hr (x)
电磁场与电磁波-第六章-均匀平面波的反射和透射
(
z)
z 0
Er (z) (ex jey )Eme
jz
0
所以反射波是沿－z方向传播的左旋圆极化波
电磁场与电磁波
第6章 均匀平面波的反射与透射
16
（2）在z<0区域的总电场强度
E1(z,
Re
Re
t()ex RejeyE)ie(zj)zE(r(ezx)
(ex
je
y
)
j2 sin
1= 2= 0
则
1 j1 j 11
2 j2 j 22
1c 1
1 1
, 2c
2
2 2
2 1 , 22
2 1
2 1
讨论
x
介质1：
1, 1
Ei
ki
Hi
kr
Er Hr
介质2：
2, 2
Et
kt
Ht
y
z
z=0
当η2>η1时，Γ> 0，反射波电场与入射波电场同相
当η2<η1时，Γ< 0，反射波电场与入射波电场反相
ex
Eim
(e
j1z
e
) j1z
H1(z) Hi (z) Hr (z) ey
媒质2中的透射波：
E2
(z)
Et
(z)
ex
Eime
j2 z
Eim
1
(e j1z
e j1z )
H2(z)
Ht
(z)
ey
Eim 2
e
j2 z
电磁场与电磁波
第6章 均匀平面波的反射与透射
20
合成波的特点
E1(z) ex Eim (e j1z e ) j1z ex Eim (1 )e j1z (e j1z e j1z ) ex Eim (1 )e j1z j2 sin 1z
谢处方《电磁场与电磁波》(第4版)课后习题-第6章 均匀平面波的反射与透射【圣才出品】
第6章 均匀平面波的反射与透射（一）思考题6.1 试述反射系数和透射系数的定义，它们之间存在什么关系？答：（1）反射波电场振幅E rm与入射波电场振幅E im的比值为分界上的反射系数；透射波电场振幅E tm与入射波电场振幅E im的比值为分界面上的透射系数。
（2）反射系数Γ和透射系数τ之间的关系为：6.2 什么是驻波？它与行波有何区别？答：频率和振幅均相同，振动方向一致，传播方向相反的两列波叠加后形成的波叫驻波。
行波在介质中传播时，其波等相面随时间前移，而驻波的波形不向前推进。
6.3 均匀平面波垂直入射到两种理想媒质分界面时，在什么情况下，反射系数大于0？在什么情况下，反射系数小于0？答：均匀平面波垂直入射到两种理想媒质分界时，当时，反射系数Γ＞0；当时，反射系数Γ＜0。
6.4 均匀平面波向理想导体表面垂直入射时，理想导体外面的合成波具有什么特点？答：均匀平面波向理想导体表面入射时，理想导体外面的合成波具有特点如下：合成波电场和磁场的驻波在时间上有的相移，在空间上也错开了且在导体边界上，电场为零。
驻波的坡印廷矢量的平均值为零，不发生电磁能量的传输过程，仅在两个波节之间进行电场能量和磁场能量的交换。
6.5 均匀平面波垂直入射到两种理想媒质分界面时，在什么情况下，分界面上的合成波电场为最大值？在什么情况下，分界面上的合成波电场为最小值？答：当均匀平面波垂直入射到两种理想媒质分界面时，的位置时，分界面上的合成波电场为最大值。
的位置时，分界面上的合成波电场为最小值。
6.6 一个右旋圆极化波垂直入射到两种媒质分界面上，其反射波是什么极化波？答：右旋圆极化。
6.7 试述驻波比的定义，它与反射系数之间有什么关系？答：驻波比的定义是合成波的电场强度的最大值与最小值之比，即6.8 什么是波阻抗？在什么情况下波阻抗等于媒质的本征阻抗？答：在空间任意点，均匀平面波的电场与磁场强度的模值之比称为自由空间的波阻抗，在均匀无耗各向同性的无界媒质中，均匀平面波的电场与磁场的模值之比称为媒质中的阻波抗。
第六章均匀平面波的反射与透射
t 4 t 0
t 2
y t 2
x
t 4 2
t 0
y
t 3
t
4
x
4
3 4
t 7 4
t 3 2
t 4 t 0
t 2
1. 对于确定的时间 t ，总场在空间成正余弦分布，在 kx nπ 处，电场恒定为零，而磁场
jk1x
ez
Emi
1
1 e jk1x
2
j cos k1x
E2 Et ey Emi e jk2x
H2
=
Ht
ez
Emi
1
e jk2x
S
E1 max
1
E1 min 1
总场是行驻波
S 1 S 1
1
电子工业出版社
第六章 均匀平面波的反射与透射
电磁波的传播与分布问题除了与基本方程 有关外，还与边界条件密切相关
6.1 均匀平面波对分界面的垂直入射
6.1.1 均匀平面波对理想导体分界面的垂直入射
y
Ei ey Emi e jkx
Ei
ki
Hi
Hi
ez
Emi
e jkx
x
O
假设电场方向不变，而磁场方向反向
幅度为最大值；在 kx nπ π 处，磁场恒定为零，而电场幅度为最大值，电场和磁场的 2
零点以及最大值点相差 。 4
2．对于固定的空间位置，电场和磁场随时间是震荡变化的，但相位相差 π 。 2
3．总场的平均坡印廷矢量为
Sav
1 2
电磁场与电磁波_章六习题答案
显然 。
解：⑴ ， ， ，
入射波电场的复数表示式和瞬时值表示式分别为
入射波磁场的复数表示式和瞬时值表示式分别为
⑵反射波电场的复数表示式和瞬时值表示式分别为
反射波磁场的复数表示式和瞬时值表示式分别为
⑶空气中合成波电场的复数表示式和瞬时值表示式分别为
空气中合成波磁场的复数表示式和瞬时值表示式分别为
⑷由 ，且离导体最近，得到 ，即z＝－3/2m
⑴反射系数、透射系数、驻波比。
⑵入射波、反射波和透射波的电场和磁场、
⑶入射波、反射波和透射波的平均功率密度。
解：设入射波为 方向上的线极化波，沿 方向传播。
1波阻抗为
，
反射系数、透射系数和驻波比分别为
， ，
2入射波、反射波和透射波的电场和磁场：
， ，
，
∴ ，
，
，
3入射功率、反射功率和透射波的平均功率密度为
第6章平面电磁波
点评：
1、6-8题坡印廷矢量单位， ，这里原答案有误！
2、6-13题第四问应为右旋圆极化波。
3、6-19题第三问和第四问，原答案错误。这里在介质一中，z<0。
4、矢量书写一定引起重视，和标量书写要分清，结果若是确切的数值则单位一定要标清楚。
5、马上期末考试,那些对参考答案借鉴过多的同学务必抓紧时间把每道题目弄懂！本章是考试重点，大家务必弄懂每道题。
第6章--3 全反射 全折射 (1)分析
电磁场
第6章 平面电磁波的反射与折射
2. 对全反射的进一步讨论 θ i <θc 时，不产生全反射。
2
1 c
θ i =θc 时，
sint
1 2
sin c
1
t 90o
R// R 0
透射波沿分界面方向传播，没有沿z 方向传播的功率，并且反
电磁场
例6.3-2
第6章 平面电磁波的反射与折射
1 0,2 2.250, 1 2 0
布儒斯特角θb ：使平行极化波的反射系数等于0 的角。
电磁场
第6章 平面电磁波的反射与折射
➢ 反射系数为零，发生全折射现象，对应的入射角称为布儒斯特角：
B sin1
2 时， 1 2
➢全折射现象只有在平行极化波的斜入射时才会发生；
电磁场
二、全反射与临界角
第6章 平面电磁波的反射与折射
问题：电磁波在理想导体表面会产生全反射，在理想介质表面也 会产生全反射吗？
概念：反射系数的模等于 1 的电磁现象称为全反射。
条件：（非磁性媒质，即 1 2 0 ）
电磁场
第6章 平面电磁波的反射与折射
1.全反射的条件
由折射定律可知：
sint 11 sini 22
E E e R E e jk1( xsin1z cos1)
jk1 ( xsin1 z cos1 )
1
i0
i0
E (e e e ) jk1(xsin1z cos1) i0
j 2 jk1 ( xsin1 z cos1 )
2Ei0 cos(k1z cos1 )e j(k1xsin1 )
电磁波第六章均匀平面波的反射与透射
(3) 媒质1为空气，媒质2为良导体：将产生趋肤效应
良导体→ 2c (1 j)
f (1 j) 1
j (1 j) f
，2c , ， ；
反射大、透射小 ：电磁波很难进入良导体内部
(4) 两理想介质的分界面，即1= 2= 0，则得到实数值的
2 1 , 22
2 1
2 1
1c 1c
Em1
Em 2
Em1
22c 2c 1c
Em1
反射系数 透射系数
Em1 2c 1c Em1 2c 1c
Em 2 Em1
22c 2c 1c
7
电磁场与电磁波 第六章__均匀平面波的反射与透射
反射系数Γ：反射波电场的振幅与入射波电场振幅之比
透射系数τ：透射波电场的振幅与入射波电场振幅之比 ~ 的关系：1
入射面 Ei
Ei //
Er // 反射波
入射波 Ei^
ki i
Er
r
kr Er^
x
分界面
Et //
t
y
Et
Et^ z
透射波 kt
均匀平面波对理想介质分界面的斜入射
θ : 入射角, θ′ : 反射角, θ′′: 折射角
i ， r ， t
入射面：入射波矢量与分 界面法线所在的平面 26
H最大，E 最小
E
E
E1
E2
E1 E2
5 1 4
1
3 1 4
1 2
1 4
o
Γ > 0 时合成波电场振幅
z
5 1 4
1
3 1 4
1 2
1 4
o
z
Γ <0 时合成波电场振幅
电磁场与电磁波第6章习题答案
第6章习题答案6-1 在1=r μ、4=r ε、0=σ的媒质中，有一个均匀平面波，电场强度是)3sin(),(πω+-=kz t E t z E m若已知MHz 150=f ，波在任意点的平均功率流密度为2μw/m 265.0，试求：（1）该电磁波的波数?=k 相速?=p v 波长?=λ波阻抗?=η （2）0=t ，0=z 的电场?)0,0(=E（3）时间经过μs 1.0之后电场)0,0(E 值在什么地方？（4）时间在0=t 时刻之前μs 1.0，电场)0,0(E 值在什么地方？ 解：（1）)rad/m (22πεπμεω===r cfk )m/s (105.1/8⨯==r p c v ε)m (12==kπλ )Ω(60120πεμπη=rr＝（2）∵ 6200210265.02121-⨯===m rm av E E S εεμη∴ (V/m)1000.12-⨯=m E)V/m (1066.83sin)0,0(3-⨯==πm E E（3） 往右移m 15=∆=∆t v z p（4） 在O 点左边m 15处6-8微波炉利用磁控管输出的2.45GHz 频率的微波加热食品，在该频率上，牛排的等效复介电常数)j 3.01(40~-=rε。
求： （1）微波传入牛排的穿透深度δ，在牛排内8mm 处的微波场强是表面处的百分之几？（2）微波炉中盛牛排的盘子是发泡聚苯乙烯制成的，其等效复介电常数=r ε~ )103.0j 1(03.14-⨯-。
说明为何用微波加热时，牛排被烧熟而盘子并没有被毁。
解：（1）20.8mm m 0208.011211212==⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛+==-ωεσμεωαδ%688.20/8/0===--e e E E z δ（2）发泡聚苯乙烯的穿透深度(m)1028.103.1103.01045.22103212213498⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛===-πμεωεσωμεσαδ可见其穿透深度很大，意味着微波在其中传播的热损耗极小，所以不会被烧毁。
电磁场与电磁波期末复习考试要点
第一章矢量分析①A A Ae =②cos A B A Bθ⋅=⋅③A 在B 上的分量B AB A B A COS BA θ⋅==④e xyz x y z xyzA B e e A A AB B B⨯=⑤A B A B⨯=-⨯ ,()A B C A B A C⨯+=⨯+⨯ ,()()()A B C B C A C A B ⋅⨯=⋅⨯=⋅⨯(标量三重积)，()()()A B C B A C C A B ⨯⨯=⋅-⋅⑥ 标量函数的梯度xy z u u u ux y ze e e ∂∂∂∇=++∂∂∂⑦ 求矢量的散度=y x z A xyzA A A ∂∂∂∇⋅++∂∂∂散度定理：矢量场的散度在体积V 上的体积分等于在矢量场在限定该体积的闭合曲面S 上的面积分，即VSFdV F d S ∇⋅=⋅⎰⎰，散度定理是矢量场中的体积分与闭合曲面积分之间的一个变换关系。
⑧ 给定一矢量函数和两个点，求沿某一曲线积分E dl ⋅⎰，x y CCE dl E dx E dy ⋅=+⎰⎰积分与路径无关就是保守场。
⑨ 如何判断一个矢量是否可以由一个标量函数的梯度表示或者由一个矢量函数的旋度表示？如果0A ∇⋅= 0A ∇⨯=，则既可以由一个标量函数的梯度表示，也可以由一个矢量函数的旋度表示；如果0A ∇⋅≠，则该矢量可以由一个标量函数的梯度表示；如果0A ∇⨯≠，则该矢量可以由一个矢量函数的旋度表示。
矢量的源分布为A ∇⋅ A ∇⨯.⑩ 证明()0u ∇⨯∇=和()0A ∇⋅∇⨯=证明：解 （1）对于任意闭合曲线C 为边界的任意曲面S ，由斯托克斯定理有()d d dSCCuu u l l ∂∇⨯∇=∇==∂⎰⎰⎰S l 由于曲面S 是任意的，故有()0u ∇⨯∇=（2）对于任意闭合曲面S 为边界的体积τ，由散度定理有12()d ()d ()d ()d SS S ττ∇∇⨯=∇⨯=∇⨯+∇⨯⎰⎰⎰⎰A A S A S A S 其中1S 和2S 如题1.27图所示。
波的反射和折射
反
E− Ⅰ
H−
z
σ1 = 0
σ2 = ∞
& 5、由边值条件： E 1 t = E 2 t | z = 0 = 0 、由边值条件： &
则：1+R=0 → R=-1
& 6、故： E1 、
7、时域： 、时域：
& = ex Eio ( e − jk1z − e jk1z )
2j 2j
& = ex 2Eio sin k1ze
−j
π
2
π E1 = ex 2 2 Eio sin k1 z cos ω t − = ex 2 2 Eio sin k1 z sin ω t 2 & & & & & & = 1 e × E 则： 1 = H i + H r = 1 ( e z × E i − e z × E r ) & H 8、∵ H 、 η1 η k & & 2 Eio 2 E io − jk1z & 即： = e cos k1 z H1 e + e jk1 z 2 = e y y
入射面 k 本章只讨论此种情况 前沿学科探讨的问题
入射面：入射射线与分界面法线构成的平面。 入射面：入射射线与分界面法线构成的平面。 特点：入射面⊥ 特点：入射面⊥分界面
表示入射； 表示反射 表示反射； 表示透(折 射 设：i 表示入射；r表示反射；t 表示透 折)射； 垂直入射 θ =0：垂直入射 入射角： 入射角：入射射线与分界面法线夹角 i 斜入射 θi ≠0：斜入射 电磁波垂直入射时，电场和磁场总是平行分界面的。 电磁波垂直入射时，电场和磁场总是平行分界面的。 斜入射时，电场或磁场可能与分界面不平行。 斜入射时，电场或磁场可能与分界面不平行。 线极化 平行极化： 平行极化：Ei 的方向与入射面平行 圆极化 入射方式 垂直极化: 垂直极化: Ei 的方向与入射面垂直 椭圆极化
9.4垂直入射均匀平面电磁波的反射与透射
9.4 垂直入射平面电磁波的反射与透射1. 垂直入射平面电磁波反射和透射的一般规律前面介绍了均匀平面电磁波在单一媒质中传播的一般规律。
在多种媒质中，电磁波传播的情况更加复杂。
在两种媒质分界面处，存在反射和透射现象。
这里只介绍均匀平面电磁波垂直入射媒质分界面的情况。
设0x =是二种媒质的分界面，左侧为第一种媒质，右侧为第二种媒质。
均匀平面电磁波在第一种媒质中沿x 方向传播，到达分界面后，形成透射波和反射波。
对分界面来说，入射波透过分界面形成透射波，透射波在第二种媒质中继续沿x 方向传播；入射波遇到分界面反射回来形成反射波，则在第一种媒质中沿x -方向传播。
假设入射波电场强度只有y 分量，表示为()11e x yx E +-Γ+=E e 则根据均匀平面电磁波中电场和磁场强度关系，可写出入射波磁场强度()111C1e e x x z z E x H Z ++-Γ-Γ+==H e e 将透射波表示为()22t t e x y x E -Γ=E e ()22t tC2e x z E x Z -Γ=H e 将反射波表示为()11e x yx E Γ--=E e ()11C1e x z E x Z -Γ-=-H e 在第一种媒质中，电磁场()()()11111e e x x y yx x x E E +-ΓΓ-+-=+=+E E E e e ()()()11111C1C1e e x x z z E E x x x Z Z ++--ΓΓ-=+=-H H H e e 在第二种媒质中，电磁场()()22t t 2e x y x x E -Γ==E E e ()()22t t2C2e x z E x x Z -Γ==H H e 在均匀平面电磁波垂直入射情况下，相对于分界面电场和磁场都只有切向分量。
根据分界面衔接条件，当0x =时，有()120(0)=E E()120(0)=H H将电场和磁场表达式代入式 列出二个方程t t 211C C C E E E E E E Z Z Z -+-+⎧-=⎪⎨+=⎪⎩ 解此方程组得反射波和透射波分别与入射波的关系2121()()C C C C Z Z E E Z Z -+-=+ ， 21121()()C C C C C Z Z H E Z Z Z -+-=-+ t 2122()C C C Z E E Z Z +=+ , t 122()C C H E Z Z +=+ 引入反射系数和透射系数21W 21()()C C C C Z Z R Z Z -=+，2W 122()C C C Z T Z Z =+ 则 W E R E -+= ,W 1C R H E Z -+=- t W E T E += ,t W 2C T H E Z += 反射系数W R 和透射系数W T 的关系W W 1T R -=电磁波传播参数C Z ==j Γ===α=β=j Γ=α+β2. 理想导体表面的反射理想导体就是电导率为无限大的导体。
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1 , 1 , 1 0
Er
Ei
媒质1
2 r 2 120π 2 0 60π Ω 2 r2 2
透射系数
2 , 2 , 2 0
Et
媒质2
22 2 60π 0.667 1 2 120π 60π
2 2 （4） 1.12 1 2
故
j 2 z E2 ( z ) ex Etm e ex Eim e j 2 z
ex 1.12 2.4e j10.54 z ex 2.68e j10.54 z
E2 ( z, t ) ex 2.68cos(5 108 t 10.54 z )
电磁场理论
第6章 均匀平面波的反射与透射
57
例 6.3.1 一圆极化波以入射角θi＝π/ 3 从媒质1（参数为μ=
μ0、ε＝4ε0 ）斜入射至空气。试求临界角，并指出此时反射波
是什么极化？ 解：临界角为
0 2 c arcsin arcsin 4 0 1 π 6
kr H r Hi ki
y
Hale Waihona Puke Ht ktz
电磁场理论
第6章 均匀平面波的反射与透射
24
相位常数
故
3π 109 2 2 2 0 0 r 2 2 20π rad/m 8 3 10 E2 ex E2m cos(t 2 z ) ex Eim cos(t 2 z ) ex 0.667 10 cos(3π 109 t 20πz ) ex 6.67 cos(3π 109 t 20πz ) V/m
r2=10、
μr2 = 4、σ2= 0 。角频率ω＝5×108 rad /s 的均匀平面波
从媒质1垂直入射到分界面上，设入射波是沿 x 轴方向的线极化波， 在t＝0、z＝0 时，入射波电场的振幅为2.4 V/m 。求： (1) β1和β2 ； (2) 反射系数Г1 和Г2 ； (3) 1区的电场 E1 ( z, t ) ； (4) 2区的电场 E2 ( z, t ) 。 解:（1） 1 11 0 0
22
电磁能流密度 媒质1中沿 z 方向传播的平均功率密度 * 1 1 2 Siav Re Ei H i ez Eim 2 2
1
* 1 1 2 S rav Re Er H r ez 2 Eim 2 21 2 * 1 E im 2 S1av Re E H e (1 ) 1 1 z 2 2
2
2 4 0 r2 0 75.9π Ω 2 r2 10
2 1 75.9 60 0.117 2 1 60 75.9
（3） 1区的电场
E1 ( z ) Ei ( z ) Er ( z ) ex Eim (e j1z e j1z ) ex Eim [(1 )e j1z j2 sin( 1 z )] ex 2.4[1.117e j3.33 z j0.234sin(3.33 z )]
0
(3) 理想导体表面电流密度为
J S e z H1
z 0
200 jπ / 2 400 ex e ey ex j0.53 ey 1.06
0
0
电磁场理论
第6章 均匀平面波的反射与透射
21
例6.1.2
在自由空间，一均匀平面波垂直入射到半无限大的
电磁场理论
第6章 均匀平面波的反射与透射
65
例6.4.1 当垂直极化的平面波以角度i 由空气向无限大的理想 导电平面投射时，若入射波电场振幅为Eim ，试求理想导电平面 上的表面电流密度及空气中的能流密度的平均值。 解 令理想导电平面为 z = 0 平 面，如图所示。那么，表面电流 J S 为
Hi Ei Er
时的临界角θc ；（2）若入射角θi = θb ，则波全部透射
入空气。上述三种介质的θi =？ 解： 介质 水 玻璃 聚苯乙烯 临界角 c arcsin( 2 / 1 ) 布儒斯特角
b arc tan( 2 / 1 )
6.34 18.43
32
6.38 19.47 38.68
1
2 1
2 2
式中 1 0 , 2
又因为2区的波长 2
0 0 6 r r
r 0 r
1 2 0 3
r 1 r 9
r r 18
r r 36
2
电磁场理论
第6章 均匀平面波的反射与透射
故
imax arcsin( n n )
2 1 2 2
n2
i
t 1 1
n1
r1
电磁场理论
第6章 均匀平面波的反射与透射
61
例6.3.3 一平面波从介质1 斜入射到介质与空气的分界面，试 计算：（1）当介质1分别为水εr ＝81、玻璃εr ＝9 和聚苯乙烯ε
r ＝1.56
1 1 j z H r ( z ) (ez Er ) (ex 200e ey 100e j z e jπ / 2 )
0
0
电磁场理论
第6章 均匀平面波的反射与透射
14
在区域 z < 0 的合成波电场和磁场分别为
jπ / 2 E1 Ei Er ex j200e sin( z ) ey j400sin( z ) 1 H1 H i H r [ex 400 cos( z ) ey 200e jπ / 2 cos( z )]
电磁场理论
23 第6章 均匀平面波的反射与透射 例6.1.3 入射波电场 Ei ex 100 cos(3π109 t 10πz ) V/m ，从空
气（z < 0）中正入射到 z = 0 的平面边界面上。在z > 0区域中，
μr=1 、εr = 4 。求区域 z > 0的电场和磁场 。
电磁场理论
第6章 均匀平面波的反射与透射
27
或
j3.33 z E1 ( z ) Ei ( z ) Er ( z ) ex 2.4e ex 0.281e j3.33 z jt E1 ( z, t ) Re E ( z )e 1 8 ex 2.4 cos(5 10 t 3.33z ) ex 0.281cos(5 108 t 3.33z )
J S en H e z H
00
i r
0
Hr
x
z= 0
已知磁场的 x 分量为
z
Eim H x ex 2 cos i cos( k1 z cos i )e jk1 x sin i
求得
2 E im J S ey cos i e jk1 x sin i
1
0
电磁场理论
第6章 均匀平面波的反射与透射
66
能流密度的平均值 * * * 1 1 Sav Re( E H ) Re[ E y ( H x H z )] 2 2 已知垂直极化平面波的各分量分别为
E y e y j2 Eim sin( k1 z cos i )e jk1 x sin i Eim H x ex 2 cos i cos( k1 z cos i )e jk1 x sin i
1
入射波平均功率 密度减去反射波 平均功率密度
媒质2中的平均功率密度
2 * 1 Eim 2 S 2av Re E H e 2 z 2 2 2 2 1 2 2 1 (1 )(1 ) 由 2
S1av S 2av
可见入射角θi＝π/ 3大于临界角θc＝π/ 6 ，此时发生全反射。 入射的圆极化波可以分解成平行极化与垂直极化的两个线极 化波，虽然两个线极化波的反射系数的大小此时都为1，但它们的 相位差不等于±π/ 2，因此反射波是椭圆极化波。
电磁场理论
第6章 均匀平面波的反射与透射
58
例6.3.2 下图为光纤的剖面示意图，如果要求光波从空气进入 光纤芯线后，在芯线和包层的分界面上发生全反射，从一端传至 另一端，确定入射角的最大值。 解：在芯线和包层的分界面上发生全反射的条件为
无耗介质平面上，已知自由空间中，合成波的驻波比为3，介质内 传输波的波长是自由空间波长的1/6，且分界面上为驻波电场的最 小点。求介质的相对磁导率和相对介电常数。
1 解：因为驻波比 S 3 2 1 1 由于界面上是驻波电场的最小点，故 2 而反射系数 2 1
j z jπ/2 Ei ex 100e e ey 200e j z
则
1 1 j z H i ( z ) ez Ei (ex 200e e y 100e j z e jπ/2 )
0
0
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第6章 均匀平面波的反射与透射
1 c arcsin 2 / 1 arcsin(n2 / n1 )
由于 1
sin 1 sin c n2 / n1
n2 cos t sin c n1
r2
2
t
sin 1 sin( t ) cos t 2
2 2 2 2 sin n sin n 1 cos n 1 ( n / n ) n n 所以 i 1 t 1 t 1 2 1 1 2