场论与数理方程Lesson02

h
l A o x
B x x
F1
F2
A
B
u ( x x, t ) u ( x, t ) F1 F2 F k S 2 ( x) S1 ( x) x x k u s ( x) x x x
F ma
u 2u k S ( x) x x S ( x) 2 x x t
u T |x 0 ku x
u k x T u 0 x 0
，
k 令 T
u u 0 x x 0
常见的线性边界条件分为三类： 第一类边界条件 直接规定了所研究的物理量在边界上的数值
u ( x, y, z, t ) |x0 , y0 , z0 f ( x0 , y0 , z0 , t )
其中 f 是时间
t
的已知函数，H 为常系数．
3.定解问题的提法
泛定方程：波动方程 定解问题

泛定方程 定解条件

始值 边值
2 2u 2 u t 2 a x 2 , x (0, l ), t 0 如：u (0, t ) u (l , t ) 0, t 0(t 0) u u ( x, 0) ( x), |t 0 ( x), x [0, l ] t
例3：杆的纵振动（Hooker定律） 纵振动：振向与杆向一致 虎克定律：单位截面所受压力=杨氏弹性模量×相对伸长
杆横截面积 S，杆体长度 为 取一小段 AB，位移后 A A, B B 设位移函数为 u( x, t )
F1
s
F2
0
x
A
A x u( x, t )
x x
B
x
相对伸长=（现长-原长）/原长
设
k

a
2
2 2u 2 u 则 2 a t x 2
例4：圆锥形枢轴的纵振动方程 h 底面半径为 l ， 为圆锥的高 u ( x, t ) 左端受力 F1 S1 k x u ( x, t ) S1 ( x) k x
u ( x x, t ) 右端受力 F2 S2 k x u ( x x, t ) S 2 ( x) k x
(2) 如果在弦的单位长度上还有横向外力 F ( x, t )
作用，则上式应该改写为
utt a uxx f ( x, t )
2
式中 f ( x, t )
F ( x, t )

称为力密度 ，为 t 时刻作用于
x
处单位质量上的横向外力
上式称为弦的受迫振动方程。
例2：柔软而均匀的弦一端固定，在它本身重力作用下，此弦 处于铅锤的平衡位置，试导出此弦微小横振动方程。 T ( x) 解：取 [ x, x x] 一段 u x 轴方向： 0 x T ( x) cos g (l x) x x u 轴方向： 2u T ( x) sin x 2 T ( x x) sin t T ( x x) 2 u g[l ( x x)] tan g (l x) tan x 2 t u x tan x u ( x x, t ) u ( x, t ) 2u g[l ( x x)] g (l x) x 2 x x t 2u u 得： 2 g (l x) t x x
s
F2
x
A
x x
B
x
u ( x x, t ) u ( x, t ) AB 段所受合力：F1 F2 F S k x x
2u S k 2 dx x 2 u 2u 又由 F ma S k 2 dx x S 2 x t 2u 2u 2 2 x k t
2.边界条件：弦振动问题 （1）两端固定： u (0, t ) u |x 0 0 u (l , t ) u | x l 0 （2）两端各依给定规律运动： u (0, t ) (t ) u (l , t ) (t )
（3）左端固定，右端自由 自由（在振动过程中，该端始终未受到位移方向的外力） u sin T tan T T x u u T sin |x l 0 T | x l 0 | x l 0 x x （4）弹性支承端：
B x x u( x x, t )
x x u ( x x, t ) ( x u ( x, t )) x x u ( x x, t ) u ( x, t ) u x x
u ( x x, t ) F1 F2 右端受力 S k x 0 u ( x, t ) F1 左端受力 S k x
第二类边界条件 规定了所研究的物理量在边界外法线方向上方向导数的数值
u n f ( x0 , y0 , z0 , t )
x0 , y0 , z0
Baidu Nhomakorabea
第三类边界条件 规定了所研究的物理量及其外法向导数的线性组合在边界上的数值
(u Hun ) x , y
0 0 , z0
f ( x0 , y0 , z0 , t )
2 2 x u x 2u k 1 1 2 x h x h t
相关概念：
1.初始条件：描述物理现象初始时刻的状态，若有对 t 的 n 阶 偏导数，则应给出n 个初始条件。
u |t 0 u ( x, 0) ( x) 波动方程：两个初始条件 u t |t 0 ( x)