场论与数理方程Lesson02
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场论与数理方程Lesson02
第一类边界条件直接规定了所研究的物理量在边界上的数值第二类边界条件规定了所研究的物理量在边界外法线方向上方向导数的数值第三类边界条件规定了所研究的物理量及其外法向导数的线性组合在边界上的数值其中是时间的已知函数为常系数
(2) 如果在弦的单位长度上还有横向外力 F ( x, t )
作用，则上式应该改写为
第二类边界条件 规定了所研究的物理量在边界外法线方向上方向导数的数值
u n f ( x0 , y0 , z0 , t )
x0 , y0 , z0
第三类边界条件 规定了所研究的物理量及其外法向导数的线性组合在边界上的数值
(u Hun ) x , y
0 0 , z0
f ( x0 , y0 , z0 , t )
utt a uxx f ( x, t )
2
式中 f ( x, t )
F ( x, t )
称为力密度 ，为 t 时刻作用于
x
处单位质量上的横向外力
上式称为弦的受迫振动方程。
例2：柔软而均匀的弦一端固定，在它本身重力作用下，此弦 处于铅锤的平衡位置，试导出此弦微小横振动方程。 T ( x) 解：取 [ x, x x] 一段 u x 轴方向： 0 x T ( x) cos g (l x) x x u 轴方向： 2u T ( x) sin x 2 T ( x x) sin t T ( x x) 2 u g[l ( x x)] tan g (l x) tan x 2 t u x tan x u ( x x, t ) u ( x, t ) 2u g[l ( x x)] g (l x) x 2 x x t 2u u 得： 2 g (l x) t x x
(2) 如果在弦的单位长度上还有横向外力 F ( x, t )
作用，则上式应该改写为
第二类边界条件 规定了所研究的物理量在边界外法线方向上方向导数的数值
u n f ( x0 , y0 , z0 , t )
x0 , y0 , z0
第三类边界条件 规定了所研究的物理量及其外法向导数的线性组合在边界上的数值
(u Hun ) x , y
0 0 , z0
f ( x0 , y0 , z0 , t )
utt a uxx f ( x, t )
2
式中 f ( x, t )
F ( x, t )
称为力密度 ，为 t 时刻作用于
x
处单位质量上的横向外力
上式称为弦的受迫振动方程。
例2：柔软而均匀的弦一端固定，在它本身重力作用下，此弦 处于铅锤的平衡位置，试导出此弦微小横振动方程。 T ( x) 解：取 [ x, x x] 一段 u x 轴方向： 0 x T ( x) cos g (l x) x x u 轴方向： 2u T ( x) sin x 2 T ( x x) sin t T ( x x) 2 u g[l ( x x)] tan g (l x) tan x 2 t u x tan x u ( x x, t ) u ( x, t ) 2u g[l ( x x)] g (l x) x 2 x x t 2u u 得： 2 g (l x) t x x
数理方程第讲
18
因为(x),(x)是定义在[0,l]上的函数, 所以只
要选取 Cn 为(x)的傅立叶正弦级数展开式的
系数,
n
l
a
Dn为(x)的傅里叶正弦级数展开
式的系数, 就是
Cn
2 l
l(x)sin n
0
l
x d x,
Dn
2
n a
l
(x)sin
n
xdx
0
l
(2.12)
初始条件(2.3)就能满足. 以上式确定的 Cn,Dn 代入(2.11)式即得原定解问题的解.
19
例 1 设有一根长为 10 的弦, 两端固定, 初速
为零, 初位移为(x) x(10 - x) , 求弦作微小
1000 横向振动时的位移. 解 设位移函数为 u(x,t), 它是定解问题
2u ut|x20
a2 0,
2u x2 ,0 x u |x10 0,t
10,t 0,
0,
的解
u
1
第二章 分离变量法 §2.1 有界弦的自由振动
2
在高等数学中我们知道一个普通的函数f(x)经 常能够展开成级数. 例如, 幂级数的形式就是:
f(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+ 其中无穷多个函数v0(x)=1, v1(x)=x, v2(x)=x2, , 等等, 构成了级数展开的一个函数系. 而三角级数的形式就是
即X(x)0, 不符合非零解的要求, 因此l不能小
于零.
11
2º设l=0, 此时方程(2.5)的通解为
X(x)=Ax+B,
由条件(2.6)还是得A=B=0, 所以l也不能等于
零
场论第二章2-3
dydzi dzdx j dxdyk
A dS A n0 dS
S S
Pdydz Qdzdx Rdxdy
S
例1 已知矢量场r xi yj zk , 求由内向外穿过
由圆锥面x y z 及平面z H ( H 0) z 所围成的封闭曲面S的通量． S1 : z H
例3：在点电荷q所产生的电场中，求电位移
矢量D在任何一点处的散度div D.
解： 因为
D q q r r r , ( r xi y j zk , r r , r ) 2 3 4 r 4 r r
qx qy qz Dx , Dy , Dz 3 3 4 r 4 r 4 r 3
向负侧的流量;
当Q 0时表示向正侧穿过曲面S的流量等于 向负侧的流量.
特别地：若S为封闭曲面，则
A dS
S
当 0时表示流出多于流入，在S内有正源；
当 0时表示流出小于流入，在S内有负源；
当 0时表示流出等于流入，在S内有无源 不确定.
例2 在坐标原点处点电荷q产生电场，在此电场中
2 2 2
解： r dS r dS r dS
S
r dS
S1
S1
S2
S2
xdydz ydzdx zdxdy
S1 S1 S1
o
y
Hdxdy H H 2 H 3
1
x
通量为正，为负，为零时的物理意义 :
0 r dS S
S
q 2 4 R q dS 2 4 R
矢量场的散度的定义
场论二章pdf
l = { cosα , cosβ , cosγ }
0
∂u )= G max ( 0 当 l 与 G 方向一致时 , ∂l
r r r0 ∂u r r0 = G ⋅ l = G cos( G, l ) ∂l
( l 0 =1 )
这说明:
方向：u 变化率最大的方向 模 : u 的最大变化率之值
2.梯度 2.梯度
C
•
M
C
例1 例1
r r r r 设力场中的力为 F = − μ y i + μ x j + μ h k
其中 μ , h 均为常数 , 求其力线 ( 即矢量线 )
dx (1) dy (2) dz 解：力线的微分方程 = = −μ y μ x −μh
由(1) xdx + ydy = 0, 两边积分
x2 + y2 = λ 2 , λ为积分常数
此数量场所在的空间区域为 2 2 {( x , y , z ) x + y ≠ 0} z = C1 等值面方程为 arctan 2 2 x +y 或
z=C x + y
2 2
解
( x + y ≠ 0)
2
2
3.矢量场的矢量线 3.矢量场的矢量线
定义 定义
若矢量场中的曲线 l , 在它上面的每一点处曲线都和 r 场中对应于该点的矢量A相切, 则称曲线 l为矢量线
如: 地形图上的等高线 ,, 地面气象图上的等压线 如: 地形图上的等高线 地面气象图上的等压线
说明 说明
(2)若数量场为平面数量场其方程为u= u(x,y) ,, (2)若数量场为平面数量场其方程为u= u(x,y) 数量场中具有相同数值的点组成此数量场 数量场中具有相同数值的点组成此数量场 的等值线:u (x ,y)=c 的等值线:u (x ,y)=c
场论的相关数学理论word资料35页
场论的相关数学理论场论是研究某些物理量在空间中的分布状态及其运动形式的数学理论，它的内容是进一步深入研究电磁场及流体等的运动规律的基础，也是学习某些后继课程的基础，本章主要介绍场论中几个基本概念（梯度、散度、旋度）以及它们的应用。
§2.1 场1、场的概念设有一个区域（有限或无限）V，如果V内每一点M，都对应着某个物理量的一个确定的值，则称在区域V中确定了该物理量的一个场。
若该物理量是数量，则称此场为数量场；若是矢量，则称此场为矢量场。
例如温度场、密度场、电位场等为数量场，而力场、速度场等为矢量场。
此外，若物理量在场中各点处的对应值不随时间而变化，则称该场为稳定场；否则，称为不稳定场。
后面我们只讨论稳定场（当然，所得的结果也适合于不稳定场的每一瞬间情况）。
在数学上给定一个数量场就相当于给定了一个数性函数)(Muu=；同样，给定了一个矢量场就相当于给定了一个矢性函数A=A)(M，其中M表示区域V中的点。
当取顶了直角坐标系Oxyz以后，空间中的点M由它的三个坐标x、、y、所确定，因此，一个数量场可以用一个数性函数)(x、、y、zuu=（2.1.1）来表示。
同样，一个矢量场可用一个矢性函数A=A)(x、、y、（2.1.2）来表示。
从数学观点看，数量场的概念与点函数概念相比没有新的内容，向量场的概念与向量函数相比没有新的内容，但是为了强调场这个概念的起源与物理意义，我们仍用“场”的有关术语重述前面第 1 页第 2 页有关章节的内容，并赋予它新的含义。
2、数量场的等值面在数量场中，为了直观地研究数量u 在场中的分布状况，我们引入等值面的概念。
所谓等值面，是指由场中使函数u 取相同数值的点所组成的曲面。
例如电位场中的等值面，就是由电位相同的点所组成的等值面。
显然，数量场u 的等值面方程为C x 、、y、u ==)(（C 为常数）。
由隐函数存在定理知道，在函数u 为单值，且连续偏导数zy x u 、u 、u '''不全为零时，这种等值面一定存在。
第二章 场论
第二章 场论2.1 场1.场的概念：若对全空间或其中的某一区域V 中每一点M ，都有一个数量（或矢量）与之对应，则称在V 上给定了一个数量场（或向量场）。
２.数量场的等值面、等值线设空间中的一数量场(,,)u x y z ,从后我们总假定它单值，连续且具有一阶连续的偏导数。
那么空间中u 取值相同的点在空间中是如何分布的呢？这些点满足方程 (,,)u x y z C ≡，其中Ｃ常数。
若u 一阶偏导数不全为0（这也可作为默认的假设），由隐函数存在唯一性定理可知方程(,,)u x y z C ≡中(,)z f x y =，称这一曲面为数量场(,,)u x y z 的等值面，曲面上所有点均满足(,,)u x y z C ≡。
随着常数C 选取的变化，方程(,,)u x y z C ≡对应着不同的等值面，因为C 可取遍了u 值域中的每一个值，所以数量场(,,)u x y z 所在的空间将被这族等值面所充满，这些等值面彼此互不相交（若相交的话u 就不是单值函数了）。
若空间中数量场为平面数量场(,)u x y ，(,)u x y C ≡表示了一条平面曲线，称为数量场(,)u x y 的等值线，显然平面数量场(,)u x y 所在的平面区域被一族等势线充满，这些等值线彼此不相交。
3.矢量场的矢量线、矢量面、矢量管ˆˆˆ(,,)(,,)(,,)(,,)x y z A x y z A x y z i A x y z j A x y z k =++为空间的一矢量场，在空间中作这样的曲线，使得曲线的任一点M 处切线的放向数是()A M的三个分量，即曲线满足微分方程：x y zdx dy dzA A A ==则称这样的曲线为矢量场(,,)A x y z 的矢量线。
由微分方程理论（解的存在与唯一性定理）我们可知x y zdx dy dz A A A ==的解是矢量线族，这族矢量线不仅存在，并且也充满了矢量场所在的空间区域，而且互不相交。
数理方程课件2.2
n 1
ny 0 b
ny C0 Cn Dn cos 0 b n 1
一个无穷级数等于零，说明各项系数均为零。
因此：
C0 0, Cn Dn 0 (n 1, 2,).
na na n b b Cn e Dn e Ay 得： D0 a cos b y Ay n 1
的值代入式(2.2.4)： X ( x) X ( x) 0
解得
X 0 C0 D0 x
n 0
Dn e
nx b
X n ( x) Cn e
nx b
(n 1,2, )
0
Y0 ( y) A0
0
X 0 C0 D0 x n Yn ( y ) An cos y (n 1, 2,) nx b nx X n ( x) Cn e b Dn e b (n 1,2, )
例：带电云与大地之间的静电场近似匀强静电场，其电场强度 E0 是 铅垂的．水平架设的输电线处在这个静电场中．输电线是导体圆 柱．柱面由于静电感应出现感应电荷，圆柱附近的静电场也就不再是 匀强的了．不过，离圆柱“无限远”处的静电场仍保持匀强，现研究 导体圆柱怎样改变了匀强静电场（即讨论导线附近的电场分布）．
得：
( 2 ) ( )
本征值问题：
'' 0, ( 2 ) ( )
1） 0
微分方程的通解是: ( ) Ae 不具周期性，所以舍去。 2） 0 微分方程的通解是: B=0时具周期性。 3） 0 微分方程的通解是:
故问题的一般解为：
u ( x, y ) X 0 ( x)Y0 ( y ) X n ( x)Yn ( y )
ny 0 b
ny C0 Cn Dn cos 0 b n 1
一个无穷级数等于零，说明各项系数均为零。
因此：
C0 0, Cn Dn 0 (n 1, 2,).
na na n b b Cn e Dn e Ay 得： D0 a cos b y Ay n 1
的值代入式(2.2.4)： X ( x) X ( x) 0
解得
X 0 C0 D0 x
n 0
Dn e
nx b
X n ( x) Cn e
nx b
(n 1,2, )
0
Y0 ( y) A0
0
X 0 C0 D0 x n Yn ( y ) An cos y (n 1, 2,) nx b nx X n ( x) Cn e b Dn e b (n 1,2, )
例：带电云与大地之间的静电场近似匀强静电场，其电场强度 E0 是 铅垂的．水平架设的输电线处在这个静电场中．输电线是导体圆 柱．柱面由于静电感应出现感应电荷，圆柱附近的静电场也就不再是 匀强的了．不过，离圆柱“无限远”处的静电场仍保持匀强，现研究 导体圆柱怎样改变了匀强静电场（即讨论导线附近的电场分布）．
得：
( 2 ) ( )
本征值问题：
'' 0, ( 2 ) ( )
1） 0
微分方程的通解是: ( ) Ae 不具周期性，所以舍去。 2） 0 微分方程的通解是: B=0时具周期性。 3） 0 微分方程的通解是:
故问题的一般解为：
u ( x, y ) X 0 ( x)Y0 ( y ) X n ( x)Yn ( y )
数理方程-第1章第2章-研究生ppt课件
张力为 F T(x,t),F T(x d x,t)与x轴夹角为 1 , 2 . 用 表
示单位长度弦的质量，则长为dx的一小段弦的质量为
d x。u t t 是弦的加速度，及单位长度弦上所受的外力
大小为F(x,t).
16
则根据牛顿第二定律，有
dxuttF T,x dxsin2F T,xsin1F (x,t)dx. F T,xdxcos2F T,xcos10.
uyyuxxA2uxB2uyC2uD2,
双曲型方程的第一标准形和第二标准形。
方程 标准形。
uyy A3uxB3uy C3uD3, 称为抛物型方程的
uxx A4uxB4uy C4uD4,
方程 u x x u y y A 5 u x B 5 u y C 5 u D 5 ,称为椭圆型方程的 标准形。
11
2
2i
变量方程（1）化为标准形 u u A u B u C u D ,
其中A,B,C,D都是 , 的已知函数。
13
第三节 经典方程的导出
一、方程的建立 1、弦振动方程（一维）； 2、热传导方程（一维）；
14
弦的振动方程的导出
（考察一根均匀柔软的细弦，平衡时沿ox轴绷紧） 考察一根长为l的细弦，给定弦的一个初始位移和初始 速度，弦作横振动，确定弦上各点的运动规律。
未知函数u的偏导数。
5
定义：偏微分方程中未知函数的最高阶偏导数的阶 数称为偏微分方程的阶。
定义：如果一个偏微分方程对于未知函数及其各阶 偏导数都是一次的，其系数仅依赖于自变量，就称 为线性偏微分方程。
二阶线性偏微分方程的一般形式：
i,n j1aijx i2 u xj i n1bi x ui cuf(x1, ,xn).
示单位长度弦的质量，则长为dx的一小段弦的质量为
d x。u t t 是弦的加速度，及单位长度弦上所受的外力
大小为F(x,t).
16
则根据牛顿第二定律，有
dxuttF T,x dxsin2F T,xsin1F (x,t)dx. F T,xdxcos2F T,xcos10.
uyyuxxA2uxB2uyC2uD2,
双曲型方程的第一标准形和第二标准形。
方程 标准形。
uyy A3uxB3uy C3uD3, 称为抛物型方程的
uxx A4uxB4uy C4uD4,
方程 u x x u y y A 5 u x B 5 u y C 5 u D 5 ,称为椭圆型方程的 标准形。
11
2
2i
变量方程（1）化为标准形 u u A u B u C u D ,
其中A,B,C,D都是 , 的已知函数。
13
第三节 经典方程的导出
一、方程的建立 1、弦振动方程（一维）； 2、热传导方程（一维）；
14
弦的振动方程的导出
（考察一根均匀柔软的细弦，平衡时沿ox轴绷紧） 考察一根长为l的细弦，给定弦的一个初始位移和初始 速度，弦作横振动，确定弦上各点的运动规律。
未知函数u的偏导数。
5
定义：偏微分方程中未知函数的最高阶偏导数的阶 数称为偏微分方程的阶。
定义：如果一个偏微分方程对于未知函数及其各阶 偏导数都是一次的，其系数仅依赖于自变量，就称 为线性偏微分方程。
二阶线性偏微分方程的一般形式：
i,n j1aijx i2 u xj i n1bi x ui cuf(x1, ,xn).
场论与数理方程lesson05
u ( x, y, z, t ) 表示t时刻物体内任一点（x,y,z）处的浓度
y
B
C
G
F
在dt 时间内通过ABCD面流入的质量为
n
D
A
E H
dx
o
x
x + dx
图 9.2
z
u u dm x (k ) x dtdydz (k ) x dtdydz n x x 在dt 时间内通过FGHE面流入的质量为 u u dm x dx (k ) x dx dtdydz (k ) x dx dtdydz n x
弹性支持 自由冷却
热传导方程的定解问题：
例：有一长为 l 的均匀细杆，侧向与外界无热交换，杆内有强 度随时间连续变化的热源，设在同一截面上具有同一热源强度 及初始温度为 ( x)，且杆的一端保持零度，另一端绝热，试推 导定解问题。
u 2u a 2 2 f ( x, t ), x (0, l ), t 0 t x u (l , t ) u (0, t ) 0, t 0 x u ( x, 0) ( x), x [0, l ]
u k |x 0 dsdt H [u (0, t ) u1 (t )]dsdt n u k |x 0 H [u (0, t ) u1 (t )] x u H H |x 0 u (0, t ) u1 (t ) x k k
H 令 k
u u u1 (t ) x x 0
u 2u a2 2 t x
则得到一维扩散方程
一维热传导方程的边界条件：两边界条件
（1）两端温度为已知函数：
u |x0 (t ), u |xl (t )
y
B
C
G
F
在dt 时间内通过ABCD面流入的质量为
n
D
A
E H
dx
o
x
x + dx
图 9.2
z
u u dm x (k ) x dtdydz (k ) x dtdydz n x x 在dt 时间内通过FGHE面流入的质量为 u u dm x dx (k ) x dx dtdydz (k ) x dx dtdydz n x
弹性支持 自由冷却
热传导方程的定解问题：
例：有一长为 l 的均匀细杆，侧向与外界无热交换，杆内有强 度随时间连续变化的热源，设在同一截面上具有同一热源强度 及初始温度为 ( x)，且杆的一端保持零度，另一端绝热，试推 导定解问题。
u 2u a 2 2 f ( x, t ), x (0, l ), t 0 t x u (l , t ) u (0, t ) 0, t 0 x u ( x, 0) ( x), x [0, l ]
u k |x 0 dsdt H [u (0, t ) u1 (t )]dsdt n u k |x 0 H [u (0, t ) u1 (t )] x u H H |x 0 u (0, t ) u1 (t ) x k k
H 令 k
u u u1 (t ) x x 0
u 2u a2 2 t x
则得到一维扩散方程
一维热传导方程的边界条件：两边界条件
（1）两端温度为已知函数：
u |x0 (t ), u |xl (t )
场论第二章2-1
第二章
场论
第一节 场的概念
第一节 场的概念
1. 场的概念
如果在全部或部分空间里的每一点， 都对应着某个 物理量的一个确定的值， 就说在这空间里确定了该 物理量的一个场。
如果该物理量是数量，就称这个场为数量场； 若是矢量，就称这个场是矢量场。
例如温度场、 密度场、 电位场等为数量场； 而力场、 速度场等为矢量场。
或
z ( x y )2 .
3. 矢量场的矢量线
所谓矢量线，乃是这样的曲线，在它上面每一 点处，曲线都和对应于该点的矢量相切。
例如静电场的电力线，磁场中的磁力线，流
速场中的流线等，都是矢量线的例子。 说明 矢量线可以直观的表示矢量在矢量场中 的分布状况。
已知矢量场A A( x, y, z )，求矢量线方程
u c1
u c3 u c2
例1 求数量场 x y 2 z 通过点 M 1, 0, 1 的等值面方
程.
解： 点 M 的坐标是 x0 1，y0 0，z0 =1， 则该点的数量场
值 x0 y0 z0 =0 .
2
其等值面方程为
( x y )2 z 0 .
图 1-1 矢量场的矢量线
. M
2 2 2 例2 求矢量场A xy i x y j zy k的矢量线方程.
解： 矢量线应满足的微分方程为
dx dy dz 2 2 2 xy x y y z
dy dx xy 2 x 2 y 从而有 dx dz 2 2 xy y z
此外，若场中之物理量在各点处的对应值都随 时间而变化，则称该场为稳定场；否则，称为不稳 定场。后面我们只讨论稳定场（当然，所得的结果 也适合于不稳定场的每一瞬间情况） 。
场论
第一节 场的概念
第一节 场的概念
1. 场的概念
如果在全部或部分空间里的每一点， 都对应着某个 物理量的一个确定的值， 就说在这空间里确定了该 物理量的一个场。
如果该物理量是数量，就称这个场为数量场； 若是矢量，就称这个场是矢量场。
例如温度场、 密度场、 电位场等为数量场； 而力场、 速度场等为矢量场。
或
z ( x y )2 .
3. 矢量场的矢量线
所谓矢量线，乃是这样的曲线，在它上面每一 点处，曲线都和对应于该点的矢量相切。
例如静电场的电力线，磁场中的磁力线，流
速场中的流线等，都是矢量线的例子。 说明 矢量线可以直观的表示矢量在矢量场中 的分布状况。
已知矢量场A A( x, y, z )，求矢量线方程
u c1
u c3 u c2
例1 求数量场 x y 2 z 通过点 M 1, 0, 1 的等值面方
程.
解： 点 M 的坐标是 x0 1，y0 0，z0 =1， 则该点的数量场
值 x0 y0 z0 =0 .
2
其等值面方程为
( x y )2 z 0 .
图 1-1 矢量场的矢量线
. M
2 2 2 例2 求矢量场A xy i x y j zy k的矢量线方程.
解： 矢量线应满足的微分方程为
dx dy dz 2 2 2 xy x y y z
dy dx xy 2 x 2 y 从而有 dx dz 2 2 xy y z
此外，若场中之物理量在各点处的对应值都随 时间而变化，则称该场为稳定场；否则，称为不稳 定场。后面我们只讨论稳定场（当然，所得的结果 也适合于不稳定场的每一瞬间情况） 。
场论第二章2-4
证明矢量场 A u grad u 是无旋场. 例 6：
证明： rot A rot u grad u
u rot grad u grad u grad u
u 00
0
图 1-3 法线方向的取法
5. rot ( grad u) 0
6. div (rot A) 0
求矢量场 A xy 2 z 2 i z 2 sin yj x 2e y k 的旋度。 例 3：
解：
i j y Q k i j y z 2 sin y k z x 2e y rot A x P z x R xy 2 z 2
则环量可表示为
蜒
l
v v A dl
Pdx Qdy Rdz.
l
例1 设有矢量场 A y i x j ， l 为场中的星形线
x R cos 3 , y R sin3
求此矢量场沿 l 正向的环量 .
解：
2 0
蜒
l
v v A dl
5.旋度rot A矢量的模是最大环量面密度.
旋度运算的基本公式：
1. rot (cA) c rot A （c为常数） 2. rot ( A B) rot A rot B 3. rot (uA) u rot A grad u A （u为数性函数） 4. div ( A B) B rot A A rot B
其上的条件下，沿着自身缩向 M 点时， 的极限 S
存在， 则称此极限为矢量场 A( M )在点 M 处沿方向 n 的环量面密度，记作： n
n
M
l
S
即
n lim lim S M S S M
第二章 场论
S Ω
r 推论2： 推论 ： 则 若在封闭曲面 S 内处处有 div A = 0， r r ∫∫ A⋅ d S = 0
S
r r 推论3： 推论 ： 或 若在矢量场 A内某些点上有 div A ≠ 0，
这些点的任一封闭曲面的通量都相等.
r r 而在其他点上 div A = 0， 则穿出包围 div A不存在，
例2. 求矢量场 r r r r A = (3x2 − 2yz) i + ( y3 − yz2 ) j + (xyz − 3xz2 ) k 所产生的散度场 , 并求此散度场通过点 M (2,-1,1) 的梯度。
r ∂P ∂Q ∂R 2 2 解: div A = = 6x + 3y − z + xy − 6xz + + ∂x ∂ y ∂z r 令 u = div A v ∂u v ∂u v ∂u grad u = i +j +k ∂x ∂y ∂z v v v = (6 + y − 6z)i + (6y + x) j + (−2z − 6x)k v v v grad u M = −i − 4 j −14k
r r r r 例1. 设由矢径 r = xi + y j + z k
z
H
构成的矢量场中， 有一由圆锥面
x2 + y2 = z2 及平面 z = H (H > 0) r 所围成的封闭曲面S, 试求 r从S内
r r
o x
y
穿出S的通量. 解: 由奥-高公式 r r Φ = ∫∫ r ⋅ d S
S
= ∫∫ x d y d z + y d x d z + z d x d y
r 推论2： 推论 ： 则 若在封闭曲面 S 内处处有 div A = 0， r r ∫∫ A⋅ d S = 0
S
r r 推论3： 推论 ： 或 若在矢量场 A内某些点上有 div A ≠ 0，
这些点的任一封闭曲面的通量都相等.
r r 而在其他点上 div A = 0， 则穿出包围 div A不存在，
例2. 求矢量场 r r r r A = (3x2 − 2yz) i + ( y3 − yz2 ) j + (xyz − 3xz2 ) k 所产生的散度场 , 并求此散度场通过点 M (2,-1,1) 的梯度。
r ∂P ∂Q ∂R 2 2 解: div A = = 6x + 3y − z + xy − 6xz + + ∂x ∂ y ∂z r 令 u = div A v ∂u v ∂u v ∂u grad u = i +j +k ∂x ∂y ∂z v v v = (6 + y − 6z)i + (6y + x) j + (−2z − 6x)k v v v grad u M = −i − 4 j −14k
r r r r 例1. 设由矢径 r = xi + y j + z k
z
H
构成的矢量场中， 有一由圆锥面
x2 + y2 = z2 及平面 z = H (H > 0) r 所围成的封闭曲面S, 试求 r从S内
r r
o x
y
穿出S的通量. 解: 由奥-高公式 r r Φ = ∫∫ r ⋅ d S
S
= ∫∫ x d y d z + y d x d z + z d x d y
2211概率论与数理统计场论2
i
+
∂P ∂z
−
∂R ∂x
j
+
∂Q ∂x
−
∂P ∂y
k .
为便于记忆起见, 可用行列式形式来表示旋度:
数学分析 第二十二章 曲面积分
高等教育出版社
§4 场论初步 场的概念 梯度场
散度场
旋度场
管量场与有势场
i jk
rot A = ∂ ∂ ∂ . ∂x ∂y ∂z
t
ds
.
( ) ∫ ∆S M0 S → M0
L
(5)
这个等式也可以看作是旋度的另一种定义形式.
数学分析 第二十二章 曲面积分
高等教育出版社
§4 场论初步 场的概念 梯度场
散度场
旋度场
管量场与有势场
为了由 (5) 式直观描述旋度的物理意义, 不妨将其中
的曲面块 S 改换为平面
rot A( M0 ) n0
积分与路线无关, 且存在某函数 u( x, y, z), 使得
du = P dx + Q dy + Rdz,
即 grad u = (P,Q, R). 通常称 u 为势函数. 因此若某向量场 A 的旋度为零, 则必存在某个势函数 u, 使得 grad u = A. 这也是一
数学分析 第二十二章 曲面积分
点 M0 处按右手法则绕 n 的环流密度.
( ) 另一方面, (6) 式左边的
rot
A
⋅
n
是 rot A(M0 )
M0
在 n(M0 )上的投影. 由此可见, 当所取的 n(M0 ) 与
rot A(M0 ) 同向时, 该投影为最大.
场论第二章2-5..
Pdx Qdy Rdz
下面证明这个u(x,y,z)满足 A gradu,只要证明 P ux , Q uy , R uz
u u( x x, y, z ) u( x , y, z )
( x x , y , z )
( x0 , y0 , z0 ) ( x , y ,z )
若 A( M )为有势场, 则存在势函数v, 它满足
A gradv
对于任意常数C， grad(v C ) gradv A 所以v+C也是有势场 A( M )的势函数, 因此有势场 A( M ) 的势函数有无穷多个.
又若v1和v2均为 A( M )的势函数，则有
gradv1 gradv2 或
第五节 几种重要的矢量场
1、有势场 2、管形场 3、调和场
一、有势场
1、有势场的定义 2、有势场的判定 3、势函数的求法
三维空间里单连域与复连域的概念
（1）如果在一个空间区域G内的任何一条 简单闭曲线l,都可以作出一个以l为边界且全 部位于区域G内的曲面S, 则称此区域G为线单 连域;否则称为线复连域. 例如空心球体是线单 连域,而环面体则是线复连域.(见下图)
1.有势场的定义
设有矢量场 A( M ),若存在单值函数 u( M ) 满足
A gradu
则称此矢量场为有势场； 令 v u , 并称v为这个 场的势函数.
矢量 A与势函数v之间的关系是： A gr数有无穷多个,它们之间 只相差一个常数.
3.势函数的求法
在场中选定一点 M0 ( x0 , y0 , z0 ), 用公式
u( x, y, z )
( x , y ,z ) ( x0 , y0 , z0 )
运城学院参考资料数理方程第二章
sin
2a
l
t
v2(t) p2V2 ( p) pv2 (0) v2 (0) p2Vn ( p)
2a
l
p2
22 a2
l2
2
sin 2a
l
t
2a
p2V2 ( p)
4a2
l2
2
V2
(
p)
p2
l
4a2 2
l2
2a
V2 ( p)
p2
l
4a 2 2
p2
1
4a 2 2
l2
l2
l 2a
2a
v2 (t) 2a sin l t sin l t
X (0) 0,
X (l) 0
2 0
X 2 X 0 X (0) A B 0
X Aex Bex X (l) Ael Bel
0 2 0
AB0
X 0
X 0
X Ax B X B0
X 2 X 0
X Asin x B cosx
X (0) A 0
n
Xn
n2
n0
u(1, ) An (1) cos n Bn (1) sin n 0 n0
B2
1
B2
4
2
B2
1 2
2
An (1) Bn (1) 0 An (0) Bn (0)
C0 D0 ln
Cn n Dn n An 0
Bn 0 n 2
C B2
4
C2
12C 2 4C 2 D2 2
X (x) Ae x Be x
0 xl X (l) 0
X (0) A B 0 X (l) Ael Bel 0
第2讲-场论复习
场的分布关于轴 呈旋转圆柱对称
圆柱坐标与直角坐标的转换
x ρ ⋅cos (φ) y ρ ⋅ sin (φ)
ρ
x2 + y 2
φ
atan
⎛⎜⎝
y x
⎞⎟⎠
zz
ρ ≥0
12
2
两个正交极坐标系
何时应采用球坐标系？
球
场的分布呈旋转圆球对称
坐
标
系
单位向量－正交基
坐标系转换
x r⋅ sin (θ )⋅ cos (φ)
48
8
旋度的说明
在矢量场中，若∇×A=J≠ 0，称之为旋度场(或涡 旋场)，J 称为旋度源(或涡旋源)；若矢量场处处 ∇×A=0，称之为无旋场。
矢量的旋度仍为矢量，为微分量，其是空间坐标点 的函数；旋度的大小是该点环量密度的最大值；旋 度的方向是该点最大环量密度的方向；
旋旋度度——矢矢量量场场中中矢矢量量性性质质的的导导数数
y r⋅ sin (θ ⋅ sin (φ))
z r⋅ cos (θ )
r
x2 + y 2 + z2
r≥ 0
θ
acos
⎛ ⎜
⎝
z
⎞
x2
+
y2
+
z2
⎟ ⎠
0 ≤ θ ≤ 180
φ
atan
⎛⎜⎝
y x
⎞⎟⎠
15
平行平面场
如果在一族平行平面上，场 F 的分布都相同，即
F = f(x,y)，称这个场为平行 平面场。
散度是微分量，代表矢量场各点处的通 量源的分布特性。
散散度度——矢矢量量场场中中标标量量性性质质的的导导数数
圆柱坐标与直角坐标的转换
x ρ ⋅cos (φ) y ρ ⋅ sin (φ)
ρ
x2 + y 2
φ
atan
⎛⎜⎝
y x
⎞⎟⎠
zz
ρ ≥0
12
2
两个正交极坐标系
何时应采用球坐标系？
球
场的分布呈旋转圆球对称
坐
标
系
单位向量－正交基
坐标系转换
x r⋅ sin (θ )⋅ cos (φ)
48
8
旋度的说明
在矢量场中，若∇×A=J≠ 0，称之为旋度场(或涡 旋场)，J 称为旋度源(或涡旋源)；若矢量场处处 ∇×A=0，称之为无旋场。
矢量的旋度仍为矢量，为微分量，其是空间坐标点 的函数；旋度的大小是该点环量密度的最大值；旋 度的方向是该点最大环量密度的方向；
旋旋度度——矢矢量量场场中中矢矢量量性性质质的的导导数数
y r⋅ sin (θ ⋅ sin (φ))
z r⋅ cos (θ )
r
x2 + y 2 + z2
r≥ 0
θ
acos
⎛ ⎜
⎝
z
⎞
x2
+
y2
+
z2
⎟ ⎠
0 ≤ θ ≤ 180
φ
atan
⎛⎜⎝
y x
⎞⎟⎠
15
平行平面场
如果在一族平行平面上，场 F 的分布都相同，即
F = f(x,y)，称这个场为平行 平面场。
散度是微分量，代表矢量场各点处的通 量源的分布特性。
散散度度——矢矢量量场场中中标标量量性性质质的的导导数数
第02章场论
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1. 环量密度
二、旋度
过点P作一微小曲面∆ 它的边界曲线记为∆ 过点P作一微小曲面∆S,它的边界曲线记为∆L,面的法线方向与曲线绕向成 右手螺旋法则。 右手螺旋法则。当∆S→点P时,存在极限
dΓ dS
=
∆S → P
lim
1 ∆S
∫Α
∆L
⋅ dl
环量密度
取不同的路径，其环量密度不同。 取不同的路径，其环量密度不同。 2. 旋度 旋度是一个矢量，模值等于环量密度的最大值；方向为最大环量密度的方向。 旋度是一个矢量，模值等于环量密度的最大值；方向为最大环量密度的方向。
02.3 矢量场的通量与散度
一、通量
矢量 E 沿有向曲面S 的面积分
Φ = ∫ E ⋅ dS
S
若S 为闭合曲面 φ =
∫ E ⋅ ds
s
，可以根
据净通量的大小判断闭合面中源的性质: 据净通量的大小判断闭合面中源的性质:
图0.3.1 矢量场的通量
无源) Φ = 0 (无源)
有负源) Φ < 0 (有负源)
rot A = ∇× A
i
在直角坐标系下
旋度(curl) 旋度(curl)
j
∂ ∂y
k
∂ ∂z
∇× A =
∂ ∂x
Ax
Ay
Az
三、旋度的物理意义
• 矢量的旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数。 矢量的旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数。 • 点P的旋度的大小是该点环量密度的最大值。 的旋度的大小是该点环量密度的最大值。 的旋度的大小是该点环量密度的最大值 • 点P的旋度的方向是该点最大环量密度的方向。即∆S的单位法向量的方向。 的旋度的方向是该点最大环量密度的方向。 的单位法向量的方向。 的旋度的方向是该点最大环量密度的方向 • 在矢量场中，若∇×A=J≠0,称之为旋度场(或涡旋场)，J 称为旋度源(或涡旋源)； 称之为旋度场(或涡旋场) 称为旋度源 或涡旋源) 旋度源( 在矢量场中， 称之为旋度场 • 若矢量场处处∇×A=0，称之为无旋场。 旋场。 ，称之为无旋场
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s
F2
x
A
x x
B
x
u ( x x, t ) u ( x, t ) AB 段所受合力：F1 F2 F S k x x
2u S k 2 dx x 2 u 2u 又由 F ma S k 2 dx x S 2 x t 2u 2u 2 2 x k t
(2) 如果在弦的单位长度上还有横向外力 F ( x, t )
作用，则上式应该改写为
utt a uxx f ( x, t )
2
式中 f ( x, t )
F ( x, t )
称为力密度 ，为 t 时刻作用于
x
处单位质量上的横向外力
上式称为弦的受迫振动方程。
例2：柔软而均匀的弦一端固定，在它本身重力作用下，此弦 处于铅锤的平衡位置，试导出此弦微小横振动方程。 T ( x) 解：取 [ x, x x] 一段 u x 轴方向： 0 x T ( x) cos g (l x) x x u 轴方向： 2u T ( x) sin x 2 T ( x x) sin t T ( x x) 2 u g[l ( x x)] tan g (l x) tan x 2 t u x tan x u ( x x, t ) u ( x, t ) 2u g[l ( x x)] g (l x) x 2 x x t 2u u 得： 2 g (l x) t x x
其中 f 是时间
t
的已知函数，H 为常系数．
3.定解问题的提法
泛定方程：波动方程 定解问题
泛定方程 定解条件
始值 边值
2 2u 2 u t 2 a x 2 , x (0, l ), t 0 如：u (0, t ) u (l , t ) 0, t 0(t 0) u u ( x, 0) ( x), |t 0 ( x), x [0, l ] t
例3：杆的纵振动（Hooker定律） 纵振动：振向与杆向一致 虎克定律：单位截面所受压力=杨氏弹性模量×相对伸长
杆横截面积 S，杆体长度 为 取一小段 AB，位移后 A A, B B 设位移函数为 u( x, t )
F1
s
F2
0
x
A
A x u( x, t )
x x
B
x
相对伸长=（现长-原长）/原长
B x x u( x x, t )
x x u ( x x, t ) ( x u ( x, t )) x x u ( x x, t ) u ( x, t ) u x x
u ( x x, t ) F1 F2 右端受力 S k x 0 u ( x, t ) F1 左端受力 S k x
设
k
a
2
2 2u 2 u 则 2 a t x 2
例4：圆锥形枢轴的纵振动方程 h 底面半径为 l ， 为圆锥的高 u ( x, t ) 左端受力 F1 S1 k x u ( x, t ) S1 ( x) k x
u ( x x, t ) 右端受力 F2 S2 k x u ( x x, t ) S 2 ( x) k x
2.边界条件：弦振动问题 （1）两端固定： u (0, t ) u |x 0 0 u (l , t ) u | x l 0 （2）两端各依给定规律运动： u (0, t ) (t ) u (l , t ) (t )
（3）左端固定，右端自由 自由（在振动过程中，该端始终未受到位移方向的外力） u sin T tan T T x u u T sin |x l 0 T | x l 0 | x l 0 x x （4）弹性支承端：
u T |x 0 ku x
u k x T u 0 x 0
，
k 令 T
u u 0 x x 0
常见的线性边界条件分为三类： 第一类边界条件 直接规定了所研究的物理量在边界上的数值
u ( x, y, z, t ) |x0 , y0 , z0 f ( x0 , y0 , z0 , t )
h
l A o x
B xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ x
F1
F2
A
B
u ( x x, t ) u ( x, t ) F1 F2 F k S 2 ( x) S1 ( x) x x k u s ( x) x x x
F ma
u 2u k S ( x) x x S ( x) 2 x x t
第二类边界条件 规定了所研究的物理量在边界外法线方向上方向导数的数值
u n f ( x0 , y0 , z0 , t )
x0 , y0 , z0
第三类边界条件 规定了所研究的物理量及其外法向导数的线性组合在边界上的数值
(u Hun ) x , y
0 0 , z0
f ( x0 , y0 , z0 , t )
2 2 x u x 2u k 1 1 2 x h x h t
相关概念：
1.初始条件：描述物理现象初始时刻的状态，若有对 t 的 n 阶 偏导数，则应给出n 个初始条件。
u |t 0 u ( x, 0) ( x) 波动方程：两个初始条件 u t |t 0 ( x)