场论与数理方程第五章
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场论课件
x
f (r ) y f ( r ) z f (r ) , f (r ) y r z r f (r ) f (r ) f (r ) grad f (r ) j k i z P y z x r 1 f (r ) ( x i y j z k ) o r y 1 x f (r ) r f (r ) r 0 r
由于
div r div( x i y j z k ) 3 xyz xyz grad grad e e ( yz i xz j xy k )
所以 n (3 , 2 , 2) 3 2 2 方向余弦为 cos , cos , cos 17 17 17 u u u 而 yz 9, 6, 6 M M x y M z M
u 所以 n
M
u u u ( cos cos cos ) x y z
在任一点M(x, y, z)的散度为
证明： 由奥-高公式 A d S P d y d z Q d z d x Rdx d y
S S
P Q R ( )dv x y z
又由中值定理得
P Q R P Q R V ( ) dV x y z x y z M *
指向数量场 在点 M 处的法向量，
M
u(M) 增大的一方.
u C
矢量场 grad u 称为由数量场u产生的梯度场. 注：
运算公式
(2) (Cu) Cu
(4) (uv) uv vu
u vu uv (5) ( ) v v2
例3.
处矢径 r 的模 , 试证
数学分析ch14-5场论初步
曲面
f (x, y, z) c （常数）
称为 f 的等值面。若 f x , f y , f z 不同时为零，那么 n
等值面上的一个单位法向量，并且有
f grad f 及 grad f f n 。
n
n
fxi fy j fzk 为
fx2 fy2 fz2
这说明， f 在一点的梯度方向与它的等值面在这点的一个法线方 向相同，这个法线方向就是 f 的方向导数取到最大值 grad f 的方向， 于是，沿着与梯度方向相同的方向， f 的函数值增加最快。而沿着与 梯度方向相反的方向， f 的方向导数取到最小值 grad f ，于是，沿 着与梯度方向相反的方向，函数值减少最快。
如果 为一张封闭曲面，定向为外侧。那么 0说明从曲面内 的流出量大于流入量，此时在 内必有产生流体的源头（源）； 0 说明从曲面内的流出量小于流入量，此时在 内必有排泄流体的漏 洞（汇）。
要判断场中一点 M (x, y, z) 是否为源或汇，以及源的“强弱”或汇
的“大小”，可以作一张包含 M 的封闭曲面 （定向为外侧），考察
为场中的定向曲面，称曲面积分
a dS
为向量场 a 沿指定侧通过曲面的通量。
设 M 为这个场中任一点。称
P (M ) Q (M ) R (M )
x
y
z
为向量场 a 在 M 点的散度，记为 diva(M ) 。
定义 14.5.1 设
a(x, y, z) P(x, y, z)i Q(x, y, z) j R(x, y, z)k ,
其中 vx , vy , vz 具有连续偏导数。设 M 0 (x0 , y0 , z0 ) 是场中一点。如果在 M 0
点有旋涡，流体以角速度 旋转（这里 在旋涡的轴线上，且方向与
数学分析课件 场论初步
则是对于曲线 L 的弧长元素向量. 对后者说明如下: 设 t (cos ,cos ,cos ) 是曲线 L 在各点处的正向 单位切向量, 弧长元素向量即为 ds t ds .
把公式 (3) 改写成 rot A n d S A t ds .
当把它作为运算符号来看待时, 梯度可写作
grad u u .
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注 通常称为哈密顿 (Hamilton) 算符(或算子), 读 作 “Nabla”.
梯度有以下一些用 表示的基本性质:
1. 若 u, v 是数量函数, 则
( u v ) u v .
2. 若 u, v 是数量函数, 则
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z 2 2 2 3/ 2 z ( x y z )
0.
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因此引力场 F 在每一点处的散度都为零 ( 除原点没
有定义外 ).
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设 A( x , y , z ) P ( x , y , z ) i Q( x , y , z ) j R( x , y , z ) k
S L
(4)
对上式中的曲面积分应用中值定理, M S , 使得
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rot A n d S rot A n
S
M
S
L
A t ds .
在 S 上任取一点 M 0 . 令 S 收缩到 M 0 ( 记作 S M 0 ), 则同时有 M M 0 , 对上式取极限, 得到 1 rot A n lim A t ds . L S M 0 S M0
数理方程（ＰＤＦ）
un( x, t )
=
( An
cos
naπt
l
+
Bn
sin
naπt
l
)
sin
nπx
l
=
Nn
sin(ωnt
+
Sn )sin
nπx
l
其中
Nn
=
( An2
+
Bn2
)
1 2
,
Sn
=
arctg
An Bn
,
ωn
=
nπ a l
特点
最大振幅
初位相
频率
⑴ 弦上各点的频率 ωn 和初位相 Sn 都相同，因而没 有波形的传播现象。
+
Sn )sin
nπx
l
u其有⑴ 特(x中弦点,t 上)N是各n最由=点大无(u振的A穷(幅nx2频多,+t率)个B=nω2振∑)n12 幅,∞n=S和、1n初u初频=n位(位率a相xr,、相ctSt)gn初BAnn位, 相ω都频n各率相=不同nπ相l，a 同因的而驻没
波波⑵叠形弦加的上而传各成播点。现振象幅。| N
⑵ 弦上各点振幅
|
Nn
sin
nπx
l
|
，因点而异 节点
在
x
=
0
,
l n
,
2l n
,...
(n−1)l n
,l
处，振幅永远为0
腹点
在
x
=
l 2n
,
3l 2n
,...
(2
n−1)l 2n
处，振幅最大,为
Nn
un( x, t )
=
场论的相关数学理论word资料35页
场论的相关数学理论场论是研究某些物理量在空间中的分布状态及其运动形式的数学理论，它的内容是进一步深入研究电磁场及流体等的运动规律的基础，也是学习某些后继课程的基础，本章主要介绍场论中几个基本概念（梯度、散度、旋度）以及它们的应用。
§2.1 场1、场的概念设有一个区域（有限或无限）V，如果V内每一点M，都对应着某个物理量的一个确定的值，则称在区域V中确定了该物理量的一个场。
若该物理量是数量，则称此场为数量场；若是矢量，则称此场为矢量场。
例如温度场、密度场、电位场等为数量场，而力场、速度场等为矢量场。
此外，若物理量在场中各点处的对应值不随时间而变化，则称该场为稳定场；否则，称为不稳定场。
后面我们只讨论稳定场（当然，所得的结果也适合于不稳定场的每一瞬间情况）。
在数学上给定一个数量场就相当于给定了一个数性函数)(Muu=；同样，给定了一个矢量场就相当于给定了一个矢性函数A=A)(M，其中M表示区域V中的点。
当取顶了直角坐标系Oxyz以后，空间中的点M由它的三个坐标x、、y、所确定，因此，一个数量场可以用一个数性函数)(x、、y、zuu=（2.1.1）来表示。
同样，一个矢量场可用一个矢性函数A=A)(x、、y、（2.1.2）来表示。
从数学观点看，数量场的概念与点函数概念相比没有新的内容，向量场的概念与向量函数相比没有新的内容，但是为了强调场这个概念的起源与物理意义，我们仍用“场”的有关术语重述前面第 1 页第 2 页有关章节的内容，并赋予它新的含义。
2、数量场的等值面在数量场中，为了直观地研究数量u 在场中的分布状况，我们引入等值面的概念。
所谓等值面，是指由场中使函数u 取相同数值的点所组成的曲面。
例如电位场中的等值面，就是由电位相同的点所组成的等值面。
显然，数量场u 的等值面方程为C x 、、y、u ==)(（C 为常数）。
由隐函数存在定理知道，在函数u 为单值，且连续偏导数zy x u 、u 、u '''不全为零时，这种等值面一定存在。
数学物理方法课件：场论的基本概念
s
s
Pdydz
Qdzdx
Rdxdy
V
( P x
Q y
R z
)dxdydz
因此，散度的微分形式为
divA(M ) P Q R x y z
矢量场的散度：例
例1. 设a 3i 20 j 15k, 对下列数量场分别求出
grad及div a ,其中
x2 y2 z2
1. 2
解：grad i j k
求解任意点M(x, y, z)的梯度。
方向导数、梯度的数理含义
数学含义： 数量场中每一点M处的梯度，必垂直于过该点的场 函数的等值面u(x, y, z)=c（常数）, 并指向函数增大 的方向。
例如：梯度在热传导中的物理解释 热量从温度值较大的等温面流向值小的等温面。 例如：物体在光滑曲面滑落 其经过路径各点的方向上，重力势场具有最大的方 向导数。
数量场的梯度
数量场的记法 u(x, y, z)表示点M(x, y, z)坐标的单值函数，记为u(M). 要求，u存在连续的一阶偏导数。 方向导数 u(x, y, z)在场中的点M(x, y, z)处沿某一方向的变化率
u
u(P) u(M )
lim
l M PM | MP |
l表示从点M出发指向点P的射线方向。
场的概念
场 如果在全空间或部分空间中的每一点，都对应 着某个物理量的一个确定的值，就称这空间里确定 了该物理量的场。
场的实例 温度场、密度场、电势场； 重力场、流场、加速度场；
场的分类：数量场和矢量场 物理量是否具有方向性； 场的分类：稳定场和不稳定场 物理量是否随时间改变；如：定常流，非定常流。
矢量场的散度和旋度
矢量场的记法：
A(x, y, z)表示点M(x, y, z)坐标的矢量函数，记为A(M) A(M)＝{P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)} 其中，P, Q, R称为矢量场A(M)的坐标。
场论与数理方程lesson11
消失。因此，局部范围内的初始扰动，具有长期的后效 现象。且 t 逐渐上升，扰动逐渐减小，愈来愈弱，称为 波的弥漫。
t
0
t0
y
m0 d
x
2.三维情形（仿照二维）：
( x0 , y0 , z0 , t0 ) 的依赖区域：
( x x0 )2 ( y y0 )2 ( z z0 )2 a2t02
高维波动方程
一、定义 三维波动方程：
2u 2u 2u 2u a2 2 2 2 t 2 y z x
二维波动方程： 2 2u 2u u a2 2 2 t 2 y x
膜振动（自由）
2u 2u 2u a 2 2 2 f ( x, t ) 2 t x y
( x0 , y0 , z0 ) 距离为 r ，只有(r at0 ) t0
r 时，受到扰动影 a
响，过后恢复常态。
考察：某有界区域 中扰动的传播。任意一点m 处，
经时间 t 后，影响区域为以m 为中心，at 为半径的球
面上。所有这些球面的外包络面称为传播波的前阵面。
惠更斯原理：
( x0 , y0 , z0 , 0) 的影响区域 t t0 时为：
( x x0 )2 ( y y0 )2 ( z z0 )2 a2t02
为一个以( x0 , y0 , z0 )为中心，半径为 at 的球面，随着
t 增加，扰动面以 a 在扩大。对一点( x1 , y1 , z1 ) ，若与
2 2 2 2
t
( x0 , y0 , t0 )
(t t0 )
二维波动方程特征解
( x0 , y0 ,0) 的影响区域为：
数理方程第五章(3)
根据问题的要求, 解 根据问题的要求 , 即可归结为求下列方程 的定解问题: 的定解问题:
2 u 1 u 1 2 u u , 0≤r <1 = a2 2 + + 2 2 r r r θ t r
u 无关, = 0, 可以化简为问题 由于 u 和 θ 无关, θ
2 u 1 u u = a2 2 + , 0 ≤ r < 1, t > 0, r r t r
a 2β 2 t
.
(2) 为零阶非标准的贝塞尔方程,它的通解为: 为零阶非标准的贝塞尔方程,它的通解为:
F ( r ) = C1J 0 ( β r ) + C 2Y0 ( β r )
由 u(r, t) 的有界性 可以知道 C 2 = 0. 再由条件 的有界性,
u r =1 = 0, 知:J0 ( β ) = 0, 即 β 是 J 0 ( x ) 的零点. 的零点.
αi 2 αi
2
t J 1 ( t ) dt
t 2J 2 ( t ) d
3 = α i J1
(α i ) 2α i
J 2 (α i )
=0
∵ J 0 (α i ) + J 2 (α i ) =
21
αi
J1 (α i ) ,
∴
∫0
αi 3
t J 0 ( t ) dt = α i3 J1 ( α i ) 2α i 2 J 2 (α i )
(
)
关于贝塞尔函数零点的结论: 关于贝塞尔函数零点的结论: 有无穷多个单重实零点, J n ( x ) 有无穷多个单重实零点, 这些零点在 x 轴上关于原点对称分布, 轴上关于原点对称分布, 因而 J n ( x ) 有无穷多个 正的零点; 正的零点;
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3.椭圆型偏微分方程
椭圆型偏微分方程的判别式 一组共轭复变函数族．其特征方程的解为 ，所以特征曲线是
(7) 若令
8)
作自变量变换，则偏微分方程变为
(9) 上式称为椭圆型偏微分方程的标准形式．
线性偏微分方程解的特征
含有两个自变量的线性偏微分方程的一般形式也可以写成下 面的形式： 其中 L 是二阶线性偏微分算符，G是x,y的函数． 线性偏微分算符有以下两个基本特征：
（4）
或者进一步作变换
于是有
所以
又可以进一步将方程(1)化为
这种类型的方程称为双曲型方程．我们前面建立的波动方 程就属于此类型． 2．当判别式 时：这时方程
(10.2.10)一定有重根
因而只能求得一个解，例如，
，特征线为
一条实特征线．作变换
就可以使
，故可推出
这样就可以任意选取另一个变换，
只要它和
写方便，通常记
(2)方程的阶 偏微分方程中未知函数偏导数的最高阶数称为方
程的阶．
(3)方程的次数 偏微分方程中最高阶偏导数的幂次数称为偏微
分方程的次数．
(4)线性方程 一个偏微分方程对未知函数和未知函数的所
有（组合）偏导数的幂次数都是一次的，就称为线性方程， 高于一次以上的方程称为非线性方程．
(5)准线性方程 一个偏微分方程，如果仅对方程中所有最
(4) 上式称为双曲型偏微分方程的第二种形式．
注：上式中的“*”号不代表共轭，仅说明是另外的函数。如
与
是两个不同的函数。
2．抛物型偏微分方程
因为抛物型偏微分方程的判别式 线是一族实函数曲线． 其特征方程的解为
，所以特分方程变为
(6)
上式称为抛物型偏微分方程的标准形式．
加原理，即若
是方程
（其中 L 是二阶线性偏微分算符）的解.如果级数
收敛，且二阶偏导数存在（其中
为任意常数），则 的解（当然要假定这个方
一定是方程 程右端的级数是收敛的）．
程的通解含有n个任意函数．
数学物理方程的分类
我们在解析几何中知道对于二次实曲线
其中 则当
为常数，且设 时，上述二次曲线分别为双
曲线、抛物线和椭圆．受此启发，下面我们来对二阶线性偏
微分方程进行分类.
下面主要以含两个自变量的二阶线性偏微分方程为例，进行 理论分析．而对于更多个自变量的情形尽管要复杂一些，但讨 论的基本方法是一样的． 两个自变量(x, y)的二阶线性偏微分方程所具有的普遍形式为
高阶偏导数是线性的，则称方程为准线性方程．
(6)自由项 在偏微分方程中，不含有未知函数及其偏导数的
项称为自由项．
例如 ： 方程的通解和特解概念
二阶线性非齐次偏微分方程 的通解为
其中
是两个独立的任意函数．因为方程为 指定为
二阶的，所以是两个任意的函数．若给函数 特殊的
，则得到的解
称为方程的特解．
n阶常微分方程的通解含有n个任意常数，而n阶偏微分方
二阶线性偏微分方程的分类
本章将介绍二阶线性偏微分方程的基本概念、分类方
法和偏微分方程的标准化. 特别对于常系数的二阶线性偏
微分方程的化简方法也进行了详细讨论，这对后面的偏微
分方程求解是十分有用的.
基本概念
(1) 偏微分方程 含有未知多元函数及其偏导数的方程，如
其中
是未知多元函数，而
是未知变量；
为
的偏导数. 有时为了书
所以
方程（1)又可以进一步化为
这种类型的方程称为椭圆型方程．拉普拉斯(Laplace)方程、
泊松(Poisson)方程和Helmholtz 方程都属于这种类型． 综上所述，要判断二阶线性偏微分方程属于何种类型，只
需讨论判别式 即可.
二阶线性偏微分方程标准化
对于二阶线性偏微分方程
(1) 若判别式为 线性偏微分方程分为三类： ，则二阶
时，方程称为双曲型;
时，方程称为抛物型; 时，方程称为椭圆型;
1.双曲型偏微分方程
因为双曲型方程对应的判别式
所以特征曲线是两族不同的实函数曲线，
设特征方程的解为
令
(2)
进行自变量变换，则原偏微分方程变为下列形式
(3) 上式称为双曲型偏微分方程的第一种标准形式，再作变量 代换，令
或
则偏微分方程又变为
（1） 其中 为 的已知函数．
定理1 如果
是方程 (2)
的一般积分，则
是方程
(3)
的一个特解．
在具体求解方程(2)时，需要分三种情况讨论判别式
1. 当判别式 以求得两个实函数解
时，从方程(2)可
也就是说，偏微分方程(1)有两条实的特征线．于是，令
即可使得
．同时，可以断定
．所以，方程(1) 即为
其中
均为常数．进一步有如下结论：
1.齐次的线性偏微分方程的解有以下特性：
(1).当 (2)若 也是方程的解； 2.非齐次的线性偏微分方程的解具有如下特性： 为方程的解时，则 为方程的解，则 也为方程的解；
(1)若
为非齐次方程的特解， 为非齐次方程的通解；
为齐次方程的通解，则
(2) 若
则
3．线性偏微分方程的叠加原理 需要指出:线性偏微分方程具有一个非常重要的特性，称为叠
彼此独立，即雅可俾式
即可．这样，方程(1)就化为
此类方程称为抛物型方程．热传导（扩散）方程就属于 这种类型．
3. 当判别式
时：这时，可以重复上
和
面的讨论，只不过得到的
是一
对共轭的复函数，或者说，偏微分方程(1)的两条特征线是
一对共轭复函数族．于是
是一对共轭的复变量．进一步引进两个新的实变量
于是