分部积分法 integration by parts
integration by part公式
integration by part公式
积分分部公式（IntegrationbyPartsFormula）是解决一些积分问题的基本方法之一，通常用于将包含乘积的函数积分转换为仅包含一个因子的函数积分。
该公式可以表示为：
∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx
其中，u(x)和v(x)是可积函数。
这个公式可以通过对左边的函数应用乘积法则并对右边的函数进行求导得到。
在应用积分分部公式时，通常需要选择合适的u(x)和v'(x)，以便通过多次应用公式来简化积分。
积分分部公式在求解许多积分问题时非常有用，尤其是当被积函数包含较为复杂的乘积形式时。
通过选择合适的u(x)和v'(x)，可以将被积函数转换为更易于积分的形式，从而简化求解过程。
- 1 -。
定积分的分部积分公式
1 2
1
0
f ( x)d( x2 )
1 2
x2
f
(
x)
1 0
1 2
1 x2df ( x)0源自1 2f(1)
11
2 0
x2
f
( x)dx
5
x2 sin t
f ( x) 1
dt , t
f
(1)
1 sin
1 t
t
dt
0,
f
( x)
sin x2 x2
2x
2sin x
x2
,
1
0
xf
( x)dx
1 2
f
12
1
1 x2
2
0
3 1.
12 2
2
例2 计算 4
xdx .
0 1 cos 2x
解 1 cos 2x 2cos2 x,
4
xdx
0 1 cos 2x
4
xdx
0 2cos2 x
4
0
xdtan x
2
1 2
x
tan
x
4
0
1 2
4
0
tan xdx
8
1 2
ln
sec
3、 1 xexdx ______________； 0 e
4、1 x ln xdx _____________；
5、
1
x arctan xdx ____________ .
0
二、计算下列定积分：
1、 e sin(ln x) dx ； 1
2、
e 1
ln x
dx ；
e
15
3、 J (m) x sin m xdx ，（m 为自然数） 0
§4-3__分部积分法
x
e sinx ( e cos x e d cos x )
x x
u dv
e x (sin x cos x ) e x sin xdx 注意循环形式
ex e x sin xdx (sin x cos x ) C 2
12
分部积分法
e kx sin(ax b)dx ,
例
arctan e x e x dx
令 u ex
解一:先换元再分部
arctan u 1 arctan e x du dx x e u u 1 arctan ud ( ) u 1 1 1 arctan u 2 du u u 1 u
23
1 1 u arctan u [ 2 ]du u u 1 u 1 1 arctan u ln u ln(1 u2 ) C u 2 1 x x e arctan e x ln(1 e 2 x ) C 2
11
x sin xdx . 例 求 e 应用分部积分法时,可不明显地写出如何选 取u、dv,而直接套用公式.(对较简单的情况) e x sin xdx sin xde x 解 u u dv e x sinx e x d(sin x )
e x sin x e x cos xdx e x sin x cos xde x
4
分部积分法
udv uv vdu
分部积分公式
恰当选取u和dv是一个关键, 选取u和dv的一般原则是: (1) v要易求;
(2)
vdu 比 udv 易求.
5
二、例 题
例 求 x cos xdx .
10-不定积分的分部积分法课件
()d uv x '⎰分部积分公式（Integration by Parts）分部积分公式（Integration by Parts）注例解21sin d 2x x x ⎰例解解uv '分部积分公式（Integration by Parts ）注注cos d (sin )d x x x x x x '=⎰⎰例解反三角，对数，幂函数，三角，指数d duv x uv u v x''=-⎰⎰分部积分公式（Integration by Parts）sin sin d x x x x =-⎰cos d (sin )d x x x x x '=⎰cos x x C ++．sin x =x ⎰例解d(sin )sin sin d x x x x x =-⎰2d x x x ⋅e ⎰2d(e )xx ⎰例解d d u v uv v u=-⎰⎰例解d d u v uv v u=-⎰⎰例解反三角，对数，幂函数，三角，指数d du v uv v u=-⎰⎰例d x x arccos 解21x-21x -21x -d d u v uv v u=-⎰⎰第一类换元法2211x x⋅+例解d d u v uv v u =-⎰⎰d xx x e sin ⎰e sin e cos e sin d x x xx x x x --⎰=例解反三角，对数，幂函数，三角，指数d d u v uv v u=-⎰⎰例解反三角，对数，幂函数，三角，指数d du v uv v u=-⎰⎰3sec tan sec d sec d x x x x x x=-+⎰⎰3sec d x x ⎰例解反三角，对数，幂函数，三角，指数d d u v uv v u =-⎰⎰5sec d x x ⎰sec tan 3sec d 3sec d x x x x x x =-+⎰⎰35323sec sec tan d x x x ⋅例xe x x xx 解分部积分换元法小结反三角，对数，幂函数，三角，指数。
换元积分法和分部积分法
对于含有根式的函数的 积分，原则上是设法去 掉根式。
有些含有根式的函数的 积分，直接令根式为新 变量 即可将问题转化为一般 的不含根式的函数的积 分。
补充例题11 计算
解:
1 6
dx . 3 x x
xx ,
1 2
3
xx ,
1 3
它们的指数部分的 分母的最小公倍数 为6 .
令 t x , t 0,
则 x t , d x 6 t d t, 故
6 5
t 3 1 1 dx 6 t3 dt d t 6 3 t 1 x x t 1
1 6 ( t t 1 )dt t 1
2
2 t 3 3 t 2 6 t 6 ln | t 1 | C 2 x 33 x 66 x 6 ln( 6 x 1) C .
第二类换元法常见类型:
(1)
(2)
f ( x , n ax b ) dx , 令
a x b n ( x , c x d ) dx ,
f
令 或
第 三 节 讲
(3) (4) (5)
f ( x , a 2 x 2 ) dx , 令 f ( x , a 2 x 2 ) dx , 令 f ( x , x 2 a 2 ) dx , 令
求
f (tan x)sec 2 xdx
补充例题4
1 解: 原式 = 1 2 ln x 2 1 2 ln x
自主学习课本P141例4.2.6、例4.2.7、例4.2.8
例4.2.9 求
tan xdx 和 cot xdx
．
解: cot xdx cos x dx 1 d sin x = ln sinx + C sin x sin x
分部积分法顺序口诀
不便于进行换元的组合分成两部份进行积分，其原理是函数四则运算的求导法则的逆用。
根据组成积分函数的基本函数将积分顺序整理为口诀：“反对幂三指”。
分别代指五类基本函数：反三角函数、对数函数、幂函数、三角函数、指数函数的积分次序。
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基本信息中文名称分布积分法外文名称Integration by parts目录1定义2应用折叠编辑本段定义不便于进行换元的组合分成两部份进行积分部积分法分部积分法分，其原理是函数四则运算的求导法则的逆用。
根据组成积分函数的基本函数将积分顺序整理为口诀：“反对幂三指”。
分别代指五类基本函数：反三角函数、对数函数、幂函数、三角函数、指数函数的积分次序。
折叠编辑本段应用在不定积分上的应用具体操作如：根据“反对幂三指”先后顺序，前者为u，后者为v（例：被积函数由幂函数和三角函数组分部积分法分部积分法成则按口诀先积三角函数（即：按公式∫udv = uv - ∫vdu + c把幂函数看成U，三角函数看成V，））。
原公式：(uv)'=u'v+uv'求导公式：d(uv)/dx = (du/dx)v + u(dv/dx) 写成全微分形式就成为：d(uv) = vdu + udv移项后，成为：udv = d(uv) -vdu两边积分得到：∫udv = uv - ∫vdu例：∫xcosxdx = xsinx - ∫sinxdx从这个例子中，就可以体会出分部积分法的应用。
在定积分上的应用与不定积分的分部积分法一样，可得∫b/a u(x)v'（x）dx=[∫u(x)v'（x）dx]b/a=[u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx]b/a=[u(x)-v(x)]b/a- ∫b/a v(x)u'(x)dx简记作∫b/a uv'dx=[uv]b/a-∫b/a u'vdx 或∫b/a udv=[uv]b/a-∫b/a vdu例如∫1/0arcsin xdx=[xarcsinx]1/0-∫1/0 xdarcsinx从这个例子中就可以看到在定积分上是如何应用的。
D5-3分部积分法
第三节第三节 分部积分法分部积分法第五章d d u v uv v u=−∫∫问题d ?xxe x =∫解决思路利用两个函数乘积的求导法则.设函数u =和具有连续导数,(),v u v u uv ′+′=′(),v u uv v u ′−′=′d d ,uv x uv u v x ′′=−∫∫d d .u v uv v u =−∫∫分部积分(integration by parts)公式例1 求积分cos d .x x x ∫解（一）令,cos x u =()21d d d 2x x x v==cos d x x x ∫22cos sin d 22x xx x x =+∫显然，选择不当，积分更难进行.v u ′,解（二）令,x u =cos d dsin d x x x v==cos d x x x ∫dsin x x =∫sin sin d x x x x =−∫.cos sin C x x x ++=例2 求积分2d .xx e x ∫解,2x u =d d d ,x xe x e v ==2d xx e x ∫22d xxx e xe x =−∫.)(22C e xe e x xx x +−−=（再次使用分部积分法）,x u =d d xe x v=总结 若被积函数是幂函数和正(余)弦函数或幂函数和指数函数的乘积, 就考虑设幂函数为 , 使其降幂一次(假定幂指数是正整数)u例3 求积分arctan d .x x x ∫解令,arctan x u =2d d d 2x x x v⎛⎞==⎜⎟⎝⎠arctan d x x x ∫22arctan d(arctan )22x xx x =−∫2221arctan d 221x x x x x =−⋅+∫2211arctan (1)d 221xx x x=−⋅−+∫.)arctan (21arctan 22C x x x x+−−=例4 求积分3ln d .x x x ∫解,ln x u =43d d d ,4x x x v ⎛⎞==⎜⎟⎝⎠3ln d x x x ∫4311ln d 44x x x x=−∫.161ln 4144C x x x +−=总结若被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函数或反三角函数为 .u例5 求积分sin(ln )d .x x ∫解sin(ln )d x x ∫sin(ln )d[sin(ln )]x x x x =−∫1sin(ln )cos(ln )d x x x x xx =−⋅∫sin(ln )cos(ln )d[cos(ln )]x x x x x x =−+∫[sin(ln )cos(ln )]sin(ln )d x x x x x=−−∫sin(ln )d x x ∴∫[sin(ln )cos(ln )].2xx x C =−+例6 求积分sin d .xex x ∫解sin d xe x x ∫()sin d xx e =∫sin d(sin )xxe x e x =−∫sin cos d xxe x e x x =−∫()sin cos d xxe x x e=−∫sin (cos dcos )xxxe x e x e x =−−∫(sin cos )sin d xxe x x e x x=−−∫sin d xe x x ∴∫.)cos (sin 2C x x ex+−=注意循环形式例7 求积分2arctan d .1x xx x+∫解(),1122xx x+=′+∵2arctan d 1x xx x∴+∫()2arctan d1x x=+∫221arctan 1d(arctan )x x x x =+−+∫22211arctan 1d 1x x x x x=+−+⋅+∫22211arctan d 1x x x x=+−+∫令tx tan =21d 1x x+∫221sec d 1tan t t t=+∫sec d t t=∫C t t ++=)tan ln(sec Cx x +++=)1ln(22arctan d 1x xxx∴+∫x x arctan 12+=.)1ln(2C x x +++−例8 已知(xf 的一个原函数是x e −, 求xf x ′∫. 解()d xf x x ′∫[]d ()x f x =∫()()d ,xf x f x x =−∫2()d ,x f x x eC −∴=+∫()()d (),f x x f x ′=∫∵两边同时对 求导, 得x ,2)(2x xe x f −−=()d xf x x ′∴=∫()()d xf x f x x−∫222x e x −−=.2C e x +−−。
高数-分部积分法
x (1 x2 )2
arctan
xdx
.
解: 令 t arctan x , 则
原式 =
tan t sec4 t
td
(tan
t
)
tan t sec4 t
t
sec2
tdt
1 2
t
sin
2tdt
1 4
td
cos
2t
1 4
t
cos
2t
1 4
cos
2tdt
1 t cos 2t 1 sin 2t C
14
例. 求 sec3 xdx
15
例11. 求
解: 令 x t , 则 x t2 , dx 2t d t
原式 2 t e t d t 令 u t , v et 2(t et et ) C 2e x ( x 1) C
16
例9. 求
解:
令
u
(x2
1 a2
)n
,
v
1,
则
u
2nx (x2 a2 )n1
I
1 d earctan x
1 x2
I
earctan x
(1
x
2
)
3 2
dx
1 1
x2
earctan x
x earctan x
(1 x2 )32
dx
1 earctan x 1 x2
x dearctan x 1 x2
1 earctan x (1 x) I
1 x2
I 1 x earctan x C 2 1 x2
34
35
x
d
x
23
内容小结
高等数学第四章不定积分第三节 分部积分法
复原法在求不定积分时有着广泛的应用。
2020/2/13
10
例7 求积分 sec3 xdx.
解 sec3 xdx secxd tan x
secx tan x secx tan2 xdx
secx tan x secx(sec2 x 1)dx secx tan x sec3 xdx secxdx secx tan x sec3 xdx ln secx tan x sec3 xdx 1 (secx tan x ln secx tan x ) C
?
分部积分公式
2020/2/13
2
二 分部积分法 (Integration by Parts)
下面利用两个函数乘积的求导法则，得 出求积分的基本方法——分部积分法.
设函数u u( x)和v v( x)具有连续导数,
uv uv uv, 移项 uv uv uv,
2
2020/2/13
11
例8
求积分
In
1 (a2 x2 )n dx, n N
解 用分部积分法，当 n 1时，有
1
In1 (a 2 x x 2 )n1 dx
x2
(a 2 x 2 )n1 2(n 1) (a 2 x2 )n dx
x
1
a2
(a2 x2 )n1 2(n 1) [(a2 x2 )n1 (a2 x2 )n ]dx
2
dx
x2 2
arctan
x
1
1
x2
1
(1
)dx arctan x ( x arctan x) C.
3.3 不定积分的分部积分法
∫ u ( x )v ′( x ) dx =u ( x )v ( x ) − ∫ u ′( x )v ( x ) dx
如果右端的积分 求得所需积分。 求得所需积分。 下面来推导这个公式。 下面来推导这个公式。
x cos x = x(sin x)′ = ( x sin x)′ − sin x
故两端积分得： 故两端积分得： 难求
= − x n e − x + ∫ e − x dx n = − x n e − x + n ∫ x n −1e − x dx
∴ I n = − x n e − x + nI n −1.
由此求得地推公式： 由此求得地推公式：
课堂练习题
1 n −1 In = − cos x ⋅ sinn−1 x + In−2 . n n
=
1 2 x + C. ( x + 1) arctan x − 1 2 2
例7 求积分 I = e sin xdx.
x
∫
例8 求积分 解
x
I = ∫ sec3 xdx.
解
I = ∫ sin xdex = ex sin x − ∫ exdsinx
I = ∫ sec xdtan x = sec x tan x − ∫ tan xdsec x
∫ uv ′d x = ∫ ( uv )′d x − ∫ u ′v d x ,
∫ uv ′d x = uv − ∫ u ′v d x ,
∫ udv = uv − ∫ vdu .
注：当被积函数是两类不同的基本初等函数的乘积 时，常需利用分部积分公式进行积分。 常需利用分部积分公式进行积分。
即
此公式称为分部积分公式 此公式称为分部积分公式.
高等数学专业名词中英文对照(全面)
微积分英文词汇,高数名词中英文对照,高等数学术语英语翻译一览关键词：微积分英文,高等数学英文翻译,高数英语词汇来源：上海外教网 | 发布日期：2008-05-16 17:12V、X、Z:Value of function ：函数值Variable ：变数Vector ：向量Velocity ：速度Vertical asymptote ：垂直渐近线Volume ：体积X-axis ：x轴x-coordinate ：x坐标x-intercept ：x截距Zero vector ：函数的零点Zeros of a polynomial ：多项式的零点T:Tangent function ：正切函数Tangent line ：切线Tangent plane ：切平面Tangent vector ：切向量Total differential ：全微分Trigonometric function ：三角函数Trigonometric integrals ：三角积分Trigonometric substitutions ：三角代换法Tripe integrals ：三重积分S:Saddle point ：鞍点Scalar ：纯量Secant line ：割线Second derivative ：二阶导数Second Derivative Test ：二阶导数试验法Second partial derivative ：二阶偏导数Sector ：扇形Sequence ：数列Series ：级数Set ：集合Shell method ：剥壳法Sine function ：正弦函数Singularity ：奇点Slant asymptote ：斜渐近线Slope ：斜率Slope-intercept equation of a line ：直线的斜截式Smooth curve ：平滑曲线Smooth surface ：平滑曲面Solid of revolution ：旋转体Space ：空间Speed ：速率Spherical coordinates ：球面坐标Squeeze Theorem ：夹挤定理Step function ：阶梯函数Strictly decreasing ：严格递减Strictly increasing ：严格递增Sum ：和Surface ：曲面Surface integral ：面积分Surface of revolution ：旋转曲面Symmetry ：对称R:Radius of convergence ：收敛半径Range of a function ：函数的值域Rate of change ：变化率Rational function ：有理函数Rationalizing substitution ：有理代换法Rational number ：有理数Real number ：实数Rectangular coordinates ：直角坐标Rectangular coordinate system ：直角坐标系Relative maximum and minimum ：相对极大值与极小值Revenue function ：收入函数Revolution , solid of ：旋转体Revolution , surface of ：旋转曲面Riemann Sum ：黎曼和Riemannian geometry ：黎曼几何Right-hand derivative ：右导数Right-hand limit ：右极限Root ：根P、Q:Parabola ：拋物线Parabolic cylinder ：抛物柱面Paraboloid ：抛物面Parallelepiped ：平行六面体Parallel lines ：并行线Parameter ：参数Partial derivative ：偏导数Partial differential equation ：偏微分方程Partial fractions ：部分分式Partial integration ：部分积分Partiton ：分割Period ：周期Periodic function ：周期函数Perpendicular lines ：垂直线Piecewise defined function ：分段定义函数Plane ：平面Point of inflection ：反曲点Polar axis ：极轴Polar coordinate ：极坐标Polar equation ：极方程式Pole ：极点Polynomial ：多项式Positive angle ：正角Point-slope form ：点斜式Power function ：幂函数Product ：积Quadrant ：象限Quotient Law of limit ：极限的商定律Quotient Rule ：商定律M、N、O:Maximum and minimum values ：极大与极小值Mean Value Theorem ：均值定理Multiple integrals ：重积分Multiplier ：乘子Natural exponential function ：自然指数函数Natural logarithm function ：自然对数函数Natural number ：自然数Normal line ：法线Normal vector ：法向量Number ：数Octant ：卦限Odd function ：奇函数One-sided limit ：单边极限Open interval ：开区间Optimization problems ：最佳化问题Order ：阶Ordinary differential equation ：常微分方程Origin ：原点Orthogonal ：正交的L:Laplace transform ：Leplace 变换Law of Cosines ：余弦定理Least upper bound ：最小上界Left-hand derivative ：左导数Left-hand limit ：左极限Lemniscate ：双钮线Length ：长度Level curve ：等高线L'Hospital's rule ：洛必达法则Limacon ：蚶线Limit ：极限Linear approximation：线性近似Linear equation ：线性方程式Linear function ：线性函数Linearity ：线性Linearization ：线性化Line in the plane ：平面上之直线Line in space ：空间之直线Lobachevski geometry ：罗巴切夫斯基几何Local extremum ：局部极值Local maximum and minimum ：局部极大值与极小值Logarithm ：对数Logarithmic function ：对数函数I:Implicit differentiation ：隐求导法Implicit function ：隐函数Improper integral ：瑕积分Increasing/Decreasing Test ：递增或递减试验法Increment ：增量Increasing Function ：增函数Indefinite integral ：不定积分Independent variable ：自变数Indeterminate from ：不定型Inequality ：不等式Infinite point ：无穷极限Infinite series ：无穷级数Inflection point ：反曲点Instantaneous velocity ：瞬时速度Integer ：整数Integral ：积分Integrand ：被积分式Integration ：积分Integration by part ：分部积分法Intercepts ：截距Intermediate value of Theorem ：中间值定理Interval ：区间Inverse function ：反函数Inverse trigonometric function ：反三角函数Iterated integral ：逐次积分H:Higher mathematics 高等数学/高数E、F、G、H:Ellipse ：椭圆Ellipsoid ：椭圆体Epicycloid ：外摆线Equation ：方程式Even function ：偶函数Expected Valued ：期望值Exponential Function ：指数函数Exponents , laws of ：指数率Extreme value ：极值Extreme Value Theorem ：极值定理Factorial ：阶乘First Derivative Test ：一阶导数试验法First octant ：第一卦限Focus ：焦点Fractions ：分式Function ：函数Fundamental Theorem of Calculus ：微积分基本定理Geometric series ：几何级数Gradient ：梯度Graph ：图形Green Formula ：格林公式Half-angle formulas ：半角公式Harmonic series ：调和级数Helix ：螺旋线Higher Derivative ：高阶导数Horizontal asymptote ：水平渐近线Horizontal line ：水平线Hyperbola ：双曲线Hyper boloid ：双曲面D:Decreasing function ：递减函数Decreasing sequence ：递减数列Definite integral ：定积分Degree of a polynomial ：多项式之次数Density ：密度Derivative ：导数of a composite function ：复合函数之导数of a constant function ：常数函数之导数directional ：方向导数domain of ：导数之定义域of exponential function ：指数函数之导数higher ：高阶导数partial ：偏导数of a power function ：幂函数之导数of a power series ：羃级数之导数of a product ：积之导数of a quotient ：商之导数as a rate of change ：导数当作变率right-hand ：右导数second ：二阶导数as the slope of a tangent ：导数看成切线之斜率Determinant ：行列式Differentiable function ：可导函数Differential ：微分Differential equation ：微分方程partial ：偏微分方程Differentiation ：求导法implicit ：隐求导法partial ：偏微分法term by term ：逐项求导法Directional derivatives ：方向导数Discontinuity ：不连续性Disk method ：圆盘法Distance ：距离Divergence ：发散Domain ：定义域Dot product ：点积Double integral ：二重积分change of variable in ：二重积分之变数变换in polar coordinates ：极坐标二重积分C:Calculus ：微积分differential ：微分学integral ：积分学Cartesian coordinates ：笛卡儿坐标一般指直角坐标Cartesian coordinates system ：笛卡儿坐标系Cauch’s Mean Value Theor em ：柯西均值定理Chain Rule ：连锁律Change of variables ：变数变换Circle ：圆Circular cylinder ：圆柱Closed interval ：封闭区间Coefficient ：系数Composition of function ：函数之合成Compound interest ：复利Concavity ：凹性Conchoid ：蚌线Cone ：圆锥Constant function ：常数函数Constant of integration ：积分常数Continuity ：连续性at a point ：在一点处之连续性of a function ：函数之连续性on an interval ：在区间之连续性from the left ：左连续from the right ：右连续Continuous function ：连续函数Convergence ：收敛interval of ：收敛区间radius of ：收敛半径Convergent sequence ：收敛数列series ：收敛级数Coordinate：s：坐标Cartesian ：笛卡儿坐标cylindrical ：柱面坐标polar ：极坐标rectangular ：直角坐标spherical ：球面坐标Coordinate axes ：坐标轴Coordinate planes ：坐标平面Cosine function ：余弦函数Critical point ：临界点Cubic function ：三次函数Curve ：曲线Cylinder：圆柱Cylindrical Coordinates ：圆柱坐标A、B:Absolute convergence ：绝对收敛Absolute extreme values ：绝对极值Absolute maximum and minimum ：绝对极大与极小Absolute value ：绝对值Absolute value function ：绝对值函数Acceleration ：加速度Antiderivative ：反导数Approximate integration ：近似积分Approximation ：逼近法by differentials ：用微分逼近linear ：线性逼近法by Simpson’s Rule ：Simpson法则逼近法by the Trapezoidal Rule ：梯形法则逼近法Arbitrary constant ：任意常数Arc length ：弧长Area ：面积under a curve ：曲线下方之面积between curves ：曲线间之面积in polar coordinates ：极坐标表示之面积of a sector of a circle ：扇形之面积of a surface of a revolution ：旋转曲面之面积Asymptote ：渐近线horizontal ：水平渐近线slant ：斜渐近线vertical ：垂直渐近线Average speed ：平均速率Average velocity ：平均速度Axes, coordinate ：坐标轴Axes of ellipse ：椭圆之轴Binomial series ：二项级数微积分词汇第一章函数与极限Chapter1 Function and Limit集合 set元素 element子集 subset空集 empty set并集 union交集 intersection差集 difference of set基本集 basic set补集 complement set直积 direct product笛卡儿积 Cartesian product开区间 open interval闭区间 closed interval半开区间 half open interval有限区间 finite interval区间的长度 length of an interval无限区间 infinite interval领域 neighborhood领域的中心 centre of a neighborhood 领域的半径 radius of a neighborhood 左领域 left neighborhood右领域 right neighborhood映射 mappingX到Y的映射 mapping of X ontoY满射 surjection单射 injection一一映射 one-to-one mapping双射 bijection算子 operator变化 transformation函数 function逆映射 inverse mapping复合映射 composite mapping自变量 independent variable因变量 dependent variable定义域 domain函数值 value of function函数关系 function relation值域 range自然定义域 natural domain单值函数 single valued function多值函数 multiple valued function单值分支 one-valued branch函数图形 graph of a function绝对值函数 absolute value符号函数 sigh function整数部分 integral part阶梯曲线 step curve当且仅当 if and only if(iff)分段函数 piecewise function上界 upper bound下界 lower bound有界 boundedness无界 unbounded函数的单调性 monotonicity of a function单调增加的 increasing单调减少的 decreasing单调函数 monotone function函数的奇偶性 parity(odevity) of a function 对称 symmetry偶函数 even function奇函数 odd function函数的周期性 periodicity of a function周期 period反函数 inverse function直接函数 direct function复合函数 composite function中间变量 intermediate variable函数的运算 operation of function基本初等函数 basic elementary function初等函数 elementary function幂函数 power function指数函数 exponential function对数函数 logarithmic function三角函数 trigonometric function反三角函数 inverse trigonometric function 常数函数 constant function双曲函数 hyperbolic function双曲正弦 hyperbolic sine双曲余弦 hyperbolic cosine双曲正切 hyperbolic tangent反双曲正弦 inverse hyperbolic sine反双曲余弦 inverse hyperbolic cosine反双曲正切 inverse hyperbolic tangent极限 limit数列 sequence of number收敛 convergence收敛于 a converge to a发散 divergent极限的唯一性 uniqueness of limits收敛数列的有界性 boundedness of a convergent sequence子列 subsequence函数的极限 limits of functions函数当x趋于x0时的极限 limit of functions as x approaches x0左极限 left limit右极限 right limit单侧极限 one-sided limits水平渐近线 horizontal asymptote无穷小 infinitesimal无穷大 infinity铅直渐近线 vertical asymptote夹逼准则 squeeze rule单调数列 monotonic sequence高阶无穷小 infinitesimal of higher order低阶无穷小 infinitesimal of lower order同阶无穷小 infinitesimal of the same order作者：新少年特工 2007-10-8 18:37 回复此发言--------------------------------------------------------------------------------2 高等数学-翻译等阶无穷小 equivalent infinitesimal函数的连续性 continuity of a function增量 increment函数在x0连续 the function is continuous at x0左连续 left continuous右连续 right continuous区间上的连续函数 continuous function函数在该区间上连续 function is continuous on an interval不连续点 discontinuity point第一类间断点 discontinuity point of the first kind第二类间断点 discontinuity point of the second kind初等函数的连续性 continuity of the elementary functions定义区间 defined interval最大值 global maximum value (absolute maximum)最小值 global minimum value (absolute minimum)零点定理 the zero point theorem介值定理 intermediate value theorem第二章导数与微分Chapter2 Derivative and Differential速度 velocity匀速运动 uniform motion平均速度 average velocity瞬时速度 instantaneous velocity圆的切线 tangent line of a circle切线 tangent line切线的斜率 slope of the tangent line位置函数 position function导数 derivative可导 derivable函数的变化率问题 problem of the change rate of a function导函数 derived function左导数 left-hand derivative右导数 right-hand derivative单侧导数 one-sided derivatives在闭区间【a,b】上可导 is derivable on the closed interval [a,b] 切线方程 tangent equation角速度 angular velocity成本函数 cost function边际成本 marginal cost链式法则 chain rule隐函数 implicit function显函数 explicit function二阶函数 second derivative三阶导数 third derivative高阶导数 nth derivative莱布尼茨公式 Leibniz formula对数求导法 log- derivative参数方程 parametric equation相关变化率 correlative change rata微分 differential可微的 differentiable函数的微分 differential of function自变量的微分 differential of independent variable微商 differential quotient间接测量误差 indirect measurement error绝对误差 absolute error相对误差 relative error第三章微分中值定理与导数的应用Chapter3 MeanValue Theorem of Differentials and the Application of Derivatives罗马定理Rolle’s theorem费马引理Fermat’s lemma拉格朗日中值定理Lagrange’s mean value theorem驻点 stationary point稳定点 stable point临界点 critical point辅助函数 auxiliary function拉格朗日中值公式Lagrange’s mean value formula柯西中值定理Cauchy’s mean value theorem洛必达法则L’Hospital’s Rule0/0型不定式 indeterminate form of type 0/0不定式 indeterminate form泰勒中值定理Taylor’s mean value theorem泰勒公式 Taylor formula余项 remainder term拉格朗日余项 Lagrange remainder term麦克劳林公式Maclaurin’s formula佩亚诺公式 Peano remainder term凹凸性 concavity凹向上的 concave upward, cancave up凹向下的，向上凸的concave downward’ concave down拐点 inflection point函数的极值 extremum of function极大值 local(relative) maximum最大值 global(absolute) mximum极小值 local(relative) minimum最小值 global(absolute) minimum目标函数 objective function曲率 curvature弧微分 arc differential平均曲率 average curvature曲率园 circle of curvature曲率中心 center of curvature曲率半径 radius of curvature渐屈线 evolute渐伸线 involute根的隔离 isolation of root隔离区间 isolation interval切线法 tangent line method第四章不定积分Chapter4 Indefinite Integrals原函数 primitive function(antiderivative)积分号 sign of integration被积函数 integrand积分变量 integral variable积分曲线 integral curve积分表 table of integrals换元积分法 integration by substitution分部积分法 integration by parts分部积分公式 formula of integration by parts有理函数 rational function真分式 proper fraction假分式 improper fraction第五章定积分Chapter5 Definite Integrals曲边梯形 trapezoid with曲边 curve edge窄矩形 narrow rectangle曲边梯形的面积 area of trapezoid with curved edge积分下限 lower limit of integral积分上限 upper limit of integral积分区间 integral interval分割 partition积分和 integral sum可积 integrable矩形法 rectangle method积分中值定理 mean value theorem of integrals函数在区间上的平均值 average value of a function on an integvals 牛顿－莱布尼茨公式 Newton-Leibniz formula微积分基本公式 fundamental formula of calculus换元公式 formula for integration by substitution递推公式 recurrence formula反常积分 improper integral反常积分发散 the improper integral is divergent反常积分收敛 the improper integral is convergent无穷限的反常积分 improper integral on an infinite interval无界函数的反常积分 improper integral of unbounded functions绝对收敛 absolutely convergent第六章定积分的应用Chapter6 Applications of the Definite Integrals元素法 the element method面积元素 element of area平面图形的面积 area of a luane figure直角坐标又称“笛卡儿坐标(Cartesian coordinates)”极坐标 polar coordinates抛物线 parabola椭圆 ellipse旋转体的面积 volume of a solid of rotation旋转椭球体 ellipsoid of revolution, ellipsoid of rotation 曲线的弧长 arc length of acurve可求长的 rectifiable光滑 smooth功 work水压力 water pressure引力 gravitation变力 variable force第七章空间解析几何与向量代数Chapter7 Space Analytic Geometry and Vector Algebra向量 vector自由向量 free vector单位向量 unit vector零向量 zero vector相等 equal平行 parallel向量的线性运算 linear poeration of vector三角法则 triangle rule平行四边形法则 parallelogram rule交换律 commutative law结合律 associative law负向量 negative vector差 difference分配律 distributive law空间直角坐标系 space rectangular coordinates坐标面 coordinate plane卦限 octant向量的模 modulus of vector向量a与b的夹角 angle between vector a and b方向余弦 direction cosine方向角 direction angle向量在轴上的投影 projection of a vector onto an axis数量积，外积，叉积 scalar product,dot product,inner product 曲面方程 equation for a surface球面 sphere旋转曲面 surface of revolution母线 generating line轴 axis圆锥面 cone顶点 vertex旋转单叶双曲面 revolution hyperboloids of one sheet旋转双叶双曲面 revolution hyperboloids of two sheets柱面 cylindrical surface ,cylinder圆柱面 cylindrical surface准线 directrix抛物柱面 parabolic cylinder二次曲面 quadric surface椭圆锥面 dlliptic cone椭球面 ellipsoid单叶双曲面 hyperboloid of one sheet双叶双曲面 hyperboloid of two sheets旋转椭球面 ellipsoid of revolution椭圆抛物面 elliptic paraboloid旋转抛物面 paraboloid of revolution双曲抛物面 hyperbolic paraboloid马鞍面 saddle surface椭圆柱面 elliptic cylinder双曲柱面 hyperbolic cylinder抛物柱面 parabolic cylinder空间曲线 space curve空间曲线的一般方程 general form equations of a space curve 空间曲线的参数方程 parametric equations of a space curve 螺转线 spiral螺矩 pitch投影柱面 projecting cylinder投影 projection平面的点法式方程 pointnorm form eqyation of a plane法向量 normal vector平面的一般方程 general form equation of a plane两平面的夹角 angle between two planes点到平面的距离 distance from a point to a plane空间直线的一般方程 general equation of a line in space方向向量 direction vector直线的点向式方程 pointdirection form equations of a line 方向数 direction number直线的参数方程 parametric equations of a line两直线的夹角 angle between two lines垂直 perpendicular直线与平面的夹角 angle between a line and a planes平面束 pencil of planes平面束的方程 equation of a pencil of planes行列式 determinant系数行列式 coefficient determinant第八章多元函数微分法及其应用Chapter8 Differentiation of Functions of Several Variables and Its Application一元函数 function of one variable多元函数 function of several variables内点 interior point外点 exterior point边界点 frontier point,boundary point聚点 point of accumulation开集 openset闭集 closed set连通集 connected set开区域 open region闭区域 closed region有界集 bounded set无界集 unbounded setn维空间 n-dimentional space二重极限 double limit多元函数的连续性 continuity of function of seveal连续函数 continuous function不连续点 discontinuity point一致连续 uniformly continuous偏导数 partial derivative对自变量x的偏导数 partial derivative with respect to independent variable x高阶偏导数 partial derivative of higher order二阶偏导数 second order partial derivative混合偏导数 hybrid partial derivative全微分 total differential偏增量 oartial increment偏微分 partial differential全增量 total increment可微分 differentiable必要条件 necessary condition充分条件 sufficient condition叠加原理 superpostition principle全导数 total derivative中间变量 intermediate variable隐函数存在定理 theorem of the existence of implicit function曲线的切向量 tangent vector of a curve法平面 normal plane向量方程 vector equation向量值函数 vector-valued function切平面 tangent plane法线 normal line方向导数 directional derivative梯度 gradient数量场 scalar field梯度场 gradient field向量场 vector field势场 potential field引力场 gravitational field引力势 gravitational potential曲面在一点的切平面 tangent plane to a surface at a point曲线在一点的法线 normal line to a surface at a point无条件极值 unconditional extreme values条件极值 conditional extreme values拉格朗日乘数法 Lagrange multiplier method拉格朗日乘子 Lagrange multiplier经验公式 empirical formula最小二乘法 method of least squares均方误差 mean square error第九章重积分Chapter9 Multiple Integrals二重积分 double integral可加性 additivity累次积分 iterated integral体积元素 volume element三重积分 triple integral直角坐标系中的体积元素 volume element in rectangular coordinate system 柱面坐标 cylindrical coordinates柱面坐标系中的体积元素 volume element in cylindrical coordinate system 球面坐标 spherical coordinates球面坐标系中的体积元素 volume element in spherical coordinate system 反常二重积分 improper double integral曲面的面积 area of a surface质心 centre of mass静矩 static moment密度 density形心 centroid转动惯量 moment of inertia参变量 parametric variable第十章曲线积分与曲面积分Chapter10 Line(Curve)Integrals and Surface Integrals对弧长的曲线积分 line integrals with respect to arc hength第一类曲线积分 line integrals of the first type对坐标的曲线积分 line integrals with respect to x,y,and z第二类曲线积分 line integrals of the second type有向曲线弧 directed arc单连通区域 simple connected region复连通区域 complex connected region格林公式 Green formula第一类曲面积分 surface integrals of the first type对面的曲面积分 surface integrals with respect to area有向曲面 directed surface对坐标的曲面积分 surface integrals with respect to coordinate elements 第二类曲面积分 surface integrals of the second type有向曲面元 element of directed surface高斯公式 gauss formula拉普拉斯算子 Laplace operator格林第一公式Green’s first formula通量 flux散度 divergence斯托克斯公式 Stokes formula环流量 circulation旋度 rotation,curl第十一章无穷级数Chapter11 Infinite Series一般项 general term部分和 partial sum余项 remainder term等比级数 geometric series几何级数 geometric series公比 common ratio调和级数 harmonic series柯西收敛准则Cauchy convergence criteria, Cauchy criteria for convergence正项级数 series of positive terms达朗贝尔判别法D’Alembert test柯西判别法 Cauchy test交错级数 alternating series绝对收敛 absolutely convergent条件收敛 conditionally convergent柯西乘积 Cauchy product函数项级数 series of functions发散点 point of divergence收敛点 point of convergence收敛域 convergence domain和函数 sum function幂级数 power series幂级数的系数 coeffcients of power series阿贝尔定理 Abel Theorem收敛半径 radius of convergence收敛区间 interval of convergence泰勒级数 Taylor series麦克劳林级数 Maclaurin series二项展开式 binomial expansion近似计算 approximate calculation舍入误差 round-off error,rounding error欧拉公式Euler’s formula魏尔斯特拉丝判别法 Weierstrass test三角级数 trigonometric series振幅 amplitude角频率 angular frequency初相 initial phase矩形波 square wave谐波分析 harmonic analysis直流分量 direct component基波 fundamental wave二次谐波 second harmonic三角函数系 trigonometric function system傅立叶系数 Fourier coefficient傅立叶级数 Forrier series周期延拓 periodic prolongation正弦级数 sine series余弦级数 cosine series奇延拓 odd prolongation偶延拓 even prolongation傅立叶级数的复数形式 complex form of Fourier series第十二章微分方程Chapter12 Differential Equation解微分方程 solve a dirrerential equation常微分方程 ordinary differential equation偏微分方程 partial differential equation,PDE微分方程的阶 order of a differential equation微分方程的解 solution of a differential equation微分方程的通解 general solution of a differential equation初始条件 initial condition微分方程的特解 particular solution of a differential equation初值问题 initial value problem微分方程的积分曲线 integral curve of a differential equation可分离变量的微分方程 variable separable differential equation隐式解 implicit solution隐式通解 inplicit general solution衰变系数 decay coefficient衰变 decay齐次方程 homogeneous equation一阶线性方程 linear differential equation of first order非齐次 non-homogeneous齐次线性方程 homogeneous linear equation非齐次线性方程 non-homogeneous linear equation常数变易法 method of variation of constant暂态电流 transient stata current稳态电流 steady state current伯努利方程 Bernoulli equation全微分方程 total differential equation积分因子 integrating factor高阶微分方程 differential equation of higher order悬链线 catenary高阶线性微分方程 linera differential equation of higher order自由振动的微分方程 differential equation of free vibration强迫振动的微分方程 differential equation of forced oscillation串联电路的振荡方程 oscillation equation of series circuit二阶线性微分方程 second order linera differential equation线性相关 linearly dependence线性无关 linearly independce二阶常系数齐次线性微分方程 second order homogeneour linear differential equation with constant coefficient二阶变系数齐次线性微分方程 second order homogeneous linear differential equation with variable coefficient特征方程 characteristic equation无阻尼自由振动的微分方程 differential equation of free vibration with zero damping固有频率 natural frequency简谐振动 simple harmonic oscillation,simple harmonic vibration微分算子 differential operator待定系数法 method of undetermined coefficient共振现象 resonance phenomenon欧拉方程 Euler equation幂级数解法 power series solution数值解法 numerial solution勒让德方程 Legendre equation微分方程组 system of differential equations常系数线性微分方程组system of linera differential equations with constant coefficientV、X、Z:Value of function ：函数值Variable ：变数Vector ：向量Velocity ：速度Vertical asymptote ：垂直渐近线Volume ：体积X-axis ：x轴x-coordinate ：x坐标x-intercept ：x截距Zero vector ：函数的零点Zeros of a polynomial ：多项式的零点T:Tangent function ：正切函数Tangent line ：切线Tangent plane ：切平面Tangent vector ：切向量Total differential ：全微分Trigonometric function ：三角函数Trigonometric integrals ：三角积分Trigonometric substitutions ：三角代换法Tripe integrals ：三重积分S:Saddle point ：鞍点Scalar ：纯量Secant line ：割线Second derivative ：二阶导数Second Derivative Test ：二阶导数试验法Second partial derivative ：二阶偏导数Sector ：扇形Sequence ：数列Series ：级数Set ：集合Shell method ：剥壳法Sine function ：正弦函数Singularity ：奇点Slant asymptote ：斜渐近线Slope ：斜率Slope-intercept equation of a line ：直线的斜截式Smooth curve ：平滑曲线Smooth surface ：平滑曲面Solid of revolution ：旋转体Space ：空间Speed ：速率Spherical coordinates ：球面坐标Squeeze Theorem ：夹挤定理Step function ：阶梯函数Strictly decreasing ：严格递减Strictly increasing ：严格递增Sum ：和Surface ：曲面Surface integral ：面积分Surface of revolution ：旋转曲面Symmetry ：对称R:Radius of convergence ：收敛半径Range of a function ：函数的值域Rate of change ：变化率Rational function ：有理函数Rationalizing substitution ：有理代换法Rational number ：有理数Real number ：实数Rectangular coordinates ：直角坐标Rectangular coordinate system ：直角坐标系Relative maximum and minimum ：相对极大值与极小值Revenue function ：收入函数Revolution , solid of ：旋转体Revolution , surface of ：旋转曲面Riemann Sum ：黎曼和Riemannian geometry ：黎曼几何Right-hand derivative ：右导数Right-hand limit ：右极限Root ：根P、Q:Parabola ：拋物线Parabolic cylinder ：抛物柱面Paraboloid ：抛物面Parallelepiped ：平行六面体Parallel lines ：并行线Parameter ：参数Partial derivative ：偏导数Partial differential equation ：偏微分方程Partial fractions ：部分分式Partial integration ：部分积分Partiton ：分割Period ：周期Periodic function ：周期函数Perpendicular lines ：垂直线Piecewise defined function ：分段定义函数Plane ：平面Point of inflection ：反曲点Polar axis ：极轴Polar coordinate ：极坐标Polar equation ：极方程式Pole ：极点Polynomial ：多项式Positive angle ：正角Point-slope form ：点斜式Power function ：幂函数Product ：积Quadrant ：象限Quotient Law of limit ：极限的商定律Quotient Rule ：商定律M、N、O:Maximum and minimum values ：极大与极小值Mean Value Theorem ：均值定理Multiple integrals ：重积分Multiplier ：乘子Natural exponential function ：自然指数函数Natural logarithm function ：自然对数函数Natural number ：自然数Normal line ：法线Normal vector ：法向量Number ：数Octant ：卦限Odd function ：奇函数One-sided limit ：单边极限Open interval ：开区间Optimization problems ：最佳化问题Order ：阶Ordinary differential equation ：常微分方程Origin ：原点Orthogonal ：正交的L:Laplace transform ：Leplace 变换Law of Cosines ：余弦定理Least upper bound ：最小上界Left-hand derivative ：左导数Left-hand limit ：左极限Lemniscate ：双钮线Length ：长度Level curve ：等高线L'Hospital's rule ：洛必达法则Limacon ：蚶线Limit ：极限Linear approximation：线性近似Linear equation ：线性方程式Linear function ：线性函数Linearity ：线性Linearization ：线性化Line in the plane ：平面上之直线Line in space ：空间之直线Lobachevski geometry ：罗巴切夫斯基几何Local extremum ：局部极值Local maximum and minimum ：局部极大值与极小值Logarithm ：对数Logarithmic function ：对数函数I:Implicit differentiation ：隐求导法Implicit function ：隐函数Improper integral ：瑕积分Increasing/Decreasing Test ：递增或递减试验法Increment ：增量Increasing Function ：增函数Indefinite integral ：不定积分Independent variable ：自变数Indeterminate from ：不定型Inequality ：不等式Infinite point ：无穷极限Infinite series ：无穷级数Inflection point ：反曲点Instantaneous velocity ：瞬时速度Integer ：整数Integral ：积分Integrand ：被积分式Integration ：积分Integration by part ：分部积分法Intercepts ：截距Intermediate value of Theorem ：中间值定理Interval ：区间Inverse function ：反函数Inverse trigonometric function ：反三角函数Iterated integral ：逐次积分H:Higher mathematics 高等数学/高数E、F、G、H:Ellipse ：椭圆Ellipsoid ：椭圆体Epicycloid ：外摆线Equation ：方程式Even function ：偶函数Expected Valued ：期望值Exponential Function ：指数函数Exponents , laws of ：指数率Extreme value ：极值Extreme Value Theorem ：极值定理Factorial ：阶乘First Derivative Test ：一阶导数试验法First octant ：第一卦限Focus ：焦点Fractions ：分式Function ：函数Fundamental Theorem of Calculus ：微积分基本定理Geometric series ：几何级数Gradient ：梯度Graph ：图形Green Formula ：格林公式Half-angle formulas ：半角公式Harmonic series ：调和级数Helix ：螺旋线Higher Derivative ：高阶导数Horizontal asymptote ：水平渐近线。
分部积分法-PPT精选
(四)
三、分部积分法 (IntegrationbyParts)
如 何 求 xcosxdx？
设u, v都是x的可微函数, 由微分的运算法则知
d (uv) udv vdu udv d (uv) vdu
udv uv vdu
这 就 是 分 部 积 分 例5. 求积分 exsinxd.x
解 exsinxdxsinxdxe exsixn exd(sx i)n exsixn exco xsd ex xsixn co xsd x e e x sx i n ( e x cx o e s x d cx o ) s
1 cos x 2 C 1 sec2 x C
2
2
注: 2.虽然一切连续函数的原函数都是存在的,
但并不是等价于任何一个连续函数的原函 数都可以用初等函数表示出来.
如 :
ex2dx, sinx2dx, sin xxdx, ld nxx …
注: 上面列举的方法为一般常用的 换元法， 并未包括所有的换元 法,需具体问题具体分析.
e x (sx ic n x o ) s e xsx in d 注意x 循环形式 exsinxdxe2x(sixncoxs)C.
总结：
对于类似于例5的题目，需要进行两次分部 积分才能完成，所以第二次分部积分时需 要与第一次分部积分对应起来，即第二次 设u的函数应是第一次设u的同类函数，否 则，积分不了。
例3 求积分 xarctxadn.x
解 令 uarctxa, nxdxdx2 dv
xarctxadn xx22arcxt a2n x22d(arcx)tan x 22arcxtax 22 n 1 1x2dx
2019年分部积分法课件.ppt
…
注: 上面列举的方法为一般常用的 换元法， 并未包括所有的换元 法,需具体问题具体分析.
dx
d cos x cos3 x
1 cos x 2 C 1 sec2 x C
2
2
注: 2. 虽然一切连续函数的原函数都是存在的,
但并不是等价于任何一个连续函数的原函 数都可以用初等函数表示出来.
如:
ex2 dx,
sin x2dx,
sin x
x
dx,
dx ln x
2
x cos xdx
x2 cos x 2
x2 2
sin
xdx
显然，u,v 选择不当，积分无法进行.
解（二） 令 u x, cos xdx d sin x dv
x cos xdx xd sin x x sin x sin xdx
x sin x cos x C.
一方面是函数的类型 , 另一方面是函数的具体特点. 二 、选择适宜的简捷的积分方法.
注: 1. 采用不同的积分方法, 求出的原函数可能
形式上不一样, 但实质上仅相差一个常数.
如:
(1)
tan
x
sec2
xdx
tan
xd
tan
x
1 2
tan 2
x
C
(2)
tan
x
sec2
xdx
sin x cos3 x
例2 求积分 x2e xdx.
解 u x2 , e xdx de x dv,
x2e xdx x2e x 2 xe xdx
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微积分中的一类积分办法：对于那些由两个不同函数组成的被积函数，不便于进行换元的组合分成两部份进行积分，其原理是函数四则运算的求导法则的逆用。根据组成积分函数的基本函数将积分顺序整理为口诀：“反对幂三指”。分别代指五类基本函数：反三角函数、对数函数、幂函数、三角函数、指数函数的积分次序。
具体操作如：根据“反对幂三指”先后顺序，前者为u，后者为v（例：被积函数由幂函数和三角函数组成则按口诀先积三角函数（即：按公式∫udv = uv -∫vdu + c把幂函数看成U，三角函数看成V，））。原公式：(uv)'=u'v+uv'求导公式：d(uv)/dx = (du/dx)v + u(dv/dx)写成全微分形式就成为：d(uv) = vdu + udv
移项后，成为：udv = d(uv) -vdu
两边积分得到：∫udv = uv -∫vdu
#39;(x)dx=v(x)u(x)-∫v'(x)u(x)dx
例：∫xcosxdx = xsinx -∫sinxdx从这个例子中，就可以体会出分部积分法的应用。
例如∫1/0arcsin xdx=[xarcsinx]1/0-∫1/0 xdarcsinx从这个例子中就可以看到在定积分上是如何应用的。
斐波拉契数列
斐波拉契数列（又译作“斐波那契数列”或“斐波那切数列”）是一个非常美丽、和谐的数列，它的形状可以用排成螺旋状的一系列正方形来说明（如右词条图），起始的正方形(图中用灰色表示)的边长为1，在它左边的那个正方形的边长也是1，在这两个正方形的上方再放一个正方形，其边长为2，以后顺次加上边长为3、5、8、13、21……等等的正方形。这些数字每一个都等于前面两个数之和，它们正好构成了斐波那契数列。
定积分内
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与不定积分的分部积分法一样，可得∫b/a u(x)v'（x）dx=[∫u(x)v'（x）dx]b/a
=[u(x)v(x) -∫v(x)u'(x)dx]b/a
=[u(x)v(x)]b/a-∫b/a v(x)u'(x)dx
简记作∫b/a uv'dx=[uv]b/a-∫b/a u'vdx或∫b/a udv=[uv]b/a-∫b/a vdu