高斯随机过程

1 …
B B 1 21
b12 … … …
b1n … 1
… b2n
Bn1 bn2 …
|B|jk 为行列式|B|中元素bjk 的代数余因子，bjk 为归一化协 方差函数，且
2.3.2重要性质
（1） 由式(2.3 - 1)可以看出, 高斯过程的n维分布完全由n 个随机变量的数学期望、 方差和两两之间的归一化协方差函 数所决定。因此，对于高斯过程，只要研究它的数字特征就 可以了。 （2） 如果高斯过程是广义平稳的，则它的均值与时间无 关，协方差函数只与时间间隔有关，而与时间起点无关，由 性质（1）知，它的n维分布与时间起点无关。 所以，广义平 稳的高斯过程也是狭义平稳的。 （3） 如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的， 即对 所有j≠k有bjk=0，这时式（2.3 - 1）变为
密度函数的积分，即
F ( x ) p( x )
x

1 ( z a )2 exp[ ]dz 2 2 2
这个积分无法用闭合形式计算，我们要设法把这个积分 式和可以在数学手册上查出积分值的特殊函数联系起来，一
般常用以下几种特殊函数：
（1） 误差函数和互补误差函数。 误差函数的定义式为
1
fn(x1, x2, …, xn; t1, t2, …, tn)=
( 2 )
n
n
2
j
j 1
j
n
exp[
j 1
n
( x j a j )2 2 2 j
]
(2.3 - 2)

j 1
1 2
exp[
( x j a j )2 2
2 j
=f(x1, t1)· 2, t2)…f(xn, tn) f(x 也就是说，如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的， 那么它们也是统计独立的以后分析问题时，会经常用到高斯过 程中的一维分布。例如，高斯过程在任一时刻上的样值是一个 一维高斯随机变量，其一维概率密度函数可表示为
例子。
1 f ( x )dx f ( x )dx a 2

且有


1 2
f (x)
O
a
x
图2-3 正态分布的概率
3） a表示分布中心，σ表示集中程度，f(x)图形将随着σ 的减小而变高和变窄。当a=0，σ=1时，称f(x)为标准正态分布 的密度函数。 当我们需要求高斯随机变量ξ小于或等于任意取值x的概 率P(ξ≤x)时，还要用到正态分布函数。正态分布函数是概率
2.3高斯随机过程
2.3.1定义
若随机过程ξ(t)的任意n维（n=1, 2, …）分布都是正态分布， 则称它为高斯随机过程或正态过程。 其n维正态概率密度函 数表示如下： 1 fn(x1,x2,…,xn; t1,t2,…,tn) 1 1 2 ( 2 ) 1 2 ... n B 2
x j a k xk a k 1 n n . exp[ B jk ( )( )] 2 B j 1 k 1 j k 式中, ak=E［ξ(tk)］，σ2k=E［ξ(tk)-ak］2，|B|为归一化协 方差矩阵的行列式，即


x
它是自变量的递减函数，erfc(0)=1，erfc(∞)=0，且erfc(-
x)=2-erfc(x)。当x1时（实际应用中只要x＞2)即可近似有
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erfc ( x )
1
x
e
x2
（2） 概率积分函数和Q函数。 概率积分函数定义为 1 t 2 / 2 Φ(x)= (2.3 - 10) x e dt, x 0 2 这是另一个在数学手册上有数值和曲线的特殊函数， 有Φ(∞)=1。 Q函数是一种经常用于表示高斯尾部曲线下的面积的 函数，其定义为 1 t 2 / 2 Q( x ) 1 ( x) x e dt, x 0 2 比较式（2.3 - 8）与式（2.3 - 10）和式（2.3 -] 11）， 可得
1 x Q( x ) erfc( ) 2 2 erfc ( x ) 2Q ( 2 x ) 2[1 ( 2 x )]
现在让我们把以上特殊函数与式（2.3 - 6）进行联系， 以 表示正态分布函数F(x)。
若对式（2.3 - 6）进行变量代换，令新积分变量t=(z-a)/σ， 就有dz=σdt，再与式（2.3 - 10）联系，则有
erf ( x )
2


x
0
e dt
t 2
它 是 自 变 量 的 递 增 函 数 ， erf(0)=0 ， erf(∞)=1 ， 且 erf(-x)=-erf(x)。我们称1-erf(x)为互补误差函数，记为erfc(x), 即 2 t 2 e dt erfc(x)=1-erf(x)=
用误差函数或互补误差函数表示F(x)的好处是，它简明 的特性有助于今后分析通信系统的抗噪声性能。
2.3.3高斯白噪声
信号在信道中传输时， 常会遇到这样一类噪声， 它的功 率谱密度均匀分布在整个频率范围内，即 Pξ(ω)=
n0 2
(2.3 - 17)
这种噪声被称为白噪声，它是一个理想的宽带随机过程。 式中n0为一常数，单位是瓦/赫。显然，白噪声的自相关函数 可借助于下式求得，即 R(τ)=
n0 ( ) 2
这说明，白噪声只有在τ=0时才相关，而它在任意两个 时刻上的随机变量都是互不相关的。图 2 - 4 画出了白噪声
的功率谱和自相关函数的图形。
如果白噪声又是高斯分布的， 我们就称之为高斯白噪 声。 由式（2.3 - 18）可以看出，高斯白噪声在任意两个不 同时刻上的取值之间，不仅是互不相关的，而且还是统计独 立的。应当指出，我们所定义的这种理想化的白噪声在实际 中是不存在的。但是，如果噪声的功率谱均匀分布的频率范 围远远大于通信系统的工作频带，我们就可以把它视为白噪 声。第 3章将要讨论的热噪声和散弹噪声就是近似白噪声的

f ( x)
1 ( x a )2 exp( ) 2 2 2
式中，a为高斯随机变量的数学期望，σ2为方差。f(x)
曲线如图 2 - 3所示。
由式（2.3 - 3）和图2 - 3可知f(x)具有如下特性： (1) f(x)对称于x=a这条直线。 (2)




f ( x)dx 1
xa F(x)=
(2.3 - 15)
若对式（2.3 - 6）进行变量代换， 令新积分变量t=(z-a)/
2σ，就有dz=
σdt，再利用式（2.3 - 5），则不难得到 2
1 1 xa erf ( ), 当x a时 2 2 2
F(X)=
1 xa 1 erf ( ), 当x a时 2 2