高斯随机过程
通信原理 第三章 随机过程 学习要点及习题解答
第三章 随机过程学习目标通过对本章的学习，应该掌握以下要点： 随机过程的基本概念随机过程的数字特征（均值、方差、相关函数）；平稳过程的定义、各态历经性、相关函数和功率谱密度；高斯过程的定义和性质、一维概率密度函数；随机过程通过线性系统、输出和输入的关系；窄带随机过程的表达式和统计特性；正弦波加窄带高斯过程的统计特性；高斯白噪声及其通过理想低通信道和理想带通滤波器。
3.1 内容概要3.1.1 随机过程的基本概念随机过程是一类随时间作随机变化的过程，具有不可预知性，不能用确切的时间函数来描述。
1.定义角度一：随机过程ξ(t )是随机试验的全体样本函数{ξ1 (t ), ξ2 (t ), …, ξn (t )}的集合。
角度二：随机过程ξ(t )是在时间进程中处于不同时刻的随机变量的集合。
这说明，在任一观察时刻t 1，ξ(t 1)是一个不含t 变化的随机变量。
可见，随机过程具有随机变量和时间函数的特点。
研究随机过程正是利用了它的这两个特点。
2.分布函数和概率密度函数 一维分布函数：ξ(t )在11111(,)[()]F x t P t x ξ=≤含义：随机过程ξ(t )在t 1时刻的取值ξ(t 1)小于或等于某一数值x 1的概率。
如果存在1111111),(),(x t x F t x f ∂∂=则称111(,)f x t 为ξ(t )的一维概率密度函数。
同理，任意给定12n t t t T ∈ ，，，，则ξ(t )的n 维分布函数为{}12121122(,,,;,,)(),(),,()n n n n n F x x x t t t P t x t x t x ξξξ=≤≤≤如果此能在n21n 21n 21n n n 21n 21n x )t x ()t x (∂∂∂∂= x x t t x x F t t x x f ，，，；，，，，，，；，，，则称其为ξ(t )的n 维概率密度函数。
显然，n 越大，对随机过程统计特性的描述就越充分。
随机过程知识点汇总
随机过程知识点汇总随机过程是指一组随机变量{X(t)}，其中t属于某个集合T，每个随机变量X(t)都与一个时刻t相关联。
２．随机过程的分类随机过程可以分为离散时间随机过程和连续时间随机过程。
离散时间随机过程是指在离散的时间点上取值的随机过程，例如随机游走。
连续时间随机过程是指在连续的时间区间上取值的随机过程，例如XXX运动。
３．随机过程的数字特征随机过程的数字特征包括均值函数和自相关函数。
均值函数E[X(t)]描述了随机过程在不同时刻的平均取值。
自相关函数R(t1,t2)描述了随机过程在不同时刻的相关程度。
４．平稳随机过程平稳随机过程是指其均值函数和自相关函数都不随时间变化而变化的随机过程。
弱平稳随机过程的自相关函数只与时间差有关，而不依赖于具体的时间点。
强平稳随机过程的概率分布在时间上是不变的。
５．高斯随机过程高斯随机过程是指其任意有限个随机变量的线性组合都服从正态分布的随机过程。
高斯随机过程的均值函数和自相关函数可以唯一确定该过程。
６．马尔可夫随机过程马尔可夫随机过程是指其在给定当前状态下，未来状态的条件概率分布只依赖于当前状态，而与过去状态无关的随机过程。
马尔可夫性质可以用转移概率矩阵描述，并且可以用马尔可夫链来建模。
７．泊松过程泊松过程是指在一个时间段内随机事件发生的次数服从泊松分布的随机过程。
泊松过程的重要性质是独立增量和平稳增量。
８．随机过程的应用随机过程在金融学、信号处理、通信工程、控制理论等领域有广泛的应用。
例如，布朗运动被广泛应用于金融学中的期权定价，马尔可夫链被应用于自然语言处理中的语言模型。
t)|^2]协方差函数BZs,t)E[(ZsmZs))(ZtmZt))]，其中Zs和Zt是Z在时刻s和t的取值。
复随机过程是由实部和虚部构成的随机过程，其均值和方差函数分别由实部和虚部的均值和方差函数计算得到。
协方差函数和相关函数也可以类似地计算得到。
复随机过程在通信系统中有广泛的应用，例如调制解调、信道编解码等。
高斯随机过程超参数
高斯随机过程超参数
高斯过程（Gaussian Processes）是概率论和数理统计中随机过程的一种，是多元高斯分布的扩展，被应用于机器学习、信号处理等领域。
在高斯过程中，超参数是指控制模型复杂性和行为的参数，这些参数在模型训练过程中需要进行优化。
高斯过程的超参数通常包括特征长度尺度（characteristic length-scale）和噪声水平（noise level）等。
特征长度
尺度用于控制高斯过程的平滑程度，而噪声水平则用于控制模型对数据的拟合程度。
在贝叶斯优化框架中，高斯过程的超参数可以通过最大化边缘似然函数（marginal likelihood function）来进行估计。
边缘似然函数是将超参数
与数据联系起来的关键，通过最大化该函数可以找到最优的超参数值，从而使得高斯过程模型能够最好地拟合给定的数据。
常用的核函数包括平方指数核（squared exponential kernel）和马顿核（Matern kernel）。
平方指数核的超参数包括特征长度尺度和噪声水平，而马顿核则还包括一个额外的超参数，用于控制核函数的形状。
总的来说，高斯过程的超参数对于模型的性能至关重要，需要通过优化算法进行仔细调整，以获得最佳的预测和泛化性能。
以上内容仅供参考，如需更专业的解释，建议咨询统计学或机器学习领域的专家，或查阅相关领域的专业书籍和文献。
通信原理第3章(樊昌信第七版)
3.3.3 高斯随机变量
定义：高斯过程在任一时刻上的取值是一个正态分布的 随机变量，也称高斯随机变量，其一维概率密度函数为
1
(x a)2
f (x)
2
exp
2 2
式中 a － 均值
2 － 方差
f (x) 1 2
曲线如右图：
o
a
x
7
性质
f (x)对称于直线 x = a，即
f a x f a x
1 1 xa
erf
2 2 2σ
式中
erf (x)
2
x 0
et
2
dt
－误差函数，可以查表求出其值。10
用互补误差函数erfc(x)表示正态分布函数：
式中
F
(x)
1
1 2
erfc
x
a
2
erfc(x) 1 erf (x) 2 et2dt
x
当x > 2时，
erfc(x) 1 ex2 x
11
用Q函数表示正态分布函数：
➢ Q函数定义： Q(x) 1 et2 /2dt
2 x
➢ Q函数和erfc函数的关系：
Q(x)
1 2
erfc
x 2
erfc(x) 2Q( 2 x)
➢ Q函数和分布函数F(x)的关系：
F ( x)
1
1 2
erfc
x
a
2
1
Q
x
a
➢ Q函数值也可以从查表得到。
f (x) 1 2
f (x)dx 1
a
1
f (x)dx f (x)dx
Байду номын сангаас
高斯随机过程
若统计独立，则必不相关；反 若不相关，则统计独 之，则不然，即：若不相关， 立。
则不一定统计独立。
若狭义平稳，则必广义平稳； 若广义平稳，则狭义 反之，则不然，即：若广义平 平稳。 稳，则不一定狭义平稳。
高斯分布函数的计算--查表法（附录B）
x
F (x) p( x)
1
2
R(t1,t2)= R(t1,t1+τ)= E［ξ(t1)ξ(t1+τ)］ = R(τ)
x1x2
f2 (x1,
x2 ;
)dx1dx2
R( )
仅是时间间隔τ=t2-t1的函数
平稳随机过程ξ(t)具有“平稳”的数字特征：它的均值为常数；自
相关函数只与时间间隔τ有关，R(t1,t1+τ)=R(τ)
(t,
t
) E[ (t)
1 2
E{cosw0
(t )] E[sin(w0t
cos[w0 (t2 t1) 2 ]}
) sin(w0 (t
)
)]
(2)
1 2
cosw0
0
1 2
cosw0
R( )
可见:ξ(t)的数学期望为常数，自相关函数只与时间间隔τ有关， 所以ξ(t)为广义平稳随机过程。
f (z)
1
2
蓝线下面积为为F(x)
Q(x)函数：
Q(x) 1 et2 / 2dt
2 x
红线下面积为Q函数
x
z
[例3.2-2]
Z(t)=X1cosw0t－X2sinw0t 是一随机过程。若X1、X2是彼此独立且具 有均值为0，方差为σ2的正态随机变量，求：
第三章通信原理 随机过程
体 x1t, x2 ，t,就,是xn 一t个
随机过程，记作 。
t
因此从这个角度得到随机过程的这种定义： 随机过程是所有样本函数的集合。
角度2：现在，我们在某一特定时刻如 时t1刻观察
各台接收机的噪声，可以发现在同一时刻，每个接 收机的输出噪声值是不同的，它在随机变化。
（1）随机过程的协方差函数:B(t1,t2) 描述了随机过程§(t)在任意两个时刻t1和t2，相对
均值的起伏量之间的相关程度。
B(t1, t2 ) E (t1) a(t1) (t2 ) a(t2 )
B(t1, t2 ) x1 a(t1 ) x2 a(t2 ) f2( x1, x2;t1, t2 )dx1dx2
f1x,t
F1x, t
x
F1x, t
x
f1 y, tdy
F1和x, t f即1x是, t 的函数，x 又是时间 的函数。t很显然，
一维分布函数及一维概率密度函数仅仅表示了随机过程 在任一瞬间的统计特性，它对随机过程的描述很不充分， 通常需要在足够多的时间上考察随机过程的多维分布。
测试结果表明，得到的 n张记录图形并不因为有 相同的条件而输出相同 的波形。恰恰相反，即 使n足够大，也找不到两 个完全相同的波形。这 就是说，通信机输出的 噪声电压随时间的变化 是不可预知的，因而它 是一个随机过程。
N部通信机的噪声输出记录
测试结果的每一个记录， 都是一个确定的时间函
数 ，xi 称t 之为样本函数
式中 是一个离散随机变量，且
P
、0
1 2
P 2， 试12求 和E 1。 R 0,1
12高斯过程(正态过程)
yi
dyi
n i 1
exp{
1 2
vivi }
exp{
1 2
vT
v}
于是
Y (ν)
exp{
1 2
vT v}
x = Ly + a,
(x)
=
L
=
1
C2
(y)
X (ν) exp{ jaT v}Y (Lν)
exp{
jaT v}exp{
1 2
(Lv)T
Lv}
exp{
jaT v}exp{
2
v T LT Lv}
本次作业
P189
– 第5, 7练习题。
谢谢大家
exp
1 2
y
T F -1 y
等价定义 — 重要
X1, X 2 , , X n 为联合正态分布的
充分必要条件
a1, a2 ,
n
, an ak X k k 1
正态分布
8、n维高斯随机矢量各阶矩
一阶矩 二阶矩
EE[[XXkk
]]
11 jj
nn((vv1,1,
vvk k
vnv)n ) akak
]T
,
aTv
=
[a1TaT2
]
v1 v2
=
a1T v1
+
aT2 v2
n (v) exp
jaT
v
-
1 2
vTPv
exp
ja1T v1
+
aT2 v2
-
1 2
(v1TP11v1
+
v
T 2
P22
v
2
)
(v1)(v2 )
第六讲 正态随机过程
2012-8-20
信息科学与工程学院
1
2 概率密度函数
f X ( x1 , x 2 , , x n ; t1 , t 2 , , t n ) (2 ) 1
n 2 1
K
2
( X m X )T K 1 ( X m X exp 2
)
上式中,mX是n维均值向量，K是n维协方差矩阵
x1 x 2 X xn
mX
m X ( t1 ) m X (t2 ) m X (tn )
2012-8-20
信息科学与工程学院
2
K 11 K K 21 K n1
K 12 K 22 K n2
则正态随机过程在n个不同时刻的取值不相关。 (2) 如果Xn(n＝1,2,…,)两两之间互不相关，则
0 K X ( t i , t j ) E [( X i m i )( X j m j )] 2 i
2012-8-20
i j i j
9
信息科学与工程学院
12 所以 K 0
K ij K X ( t i , t j ) E [( X i m i )( X j m j )] rij i
j
rij
K X (ti , t j )
i
j
2012-8-20
信息科学与工程学院
3
3 性质
正态随机过程的n维概率密度函数只取决于均值和 协方差和相关系数。
2
... ...
2
0 2 n
2
则
K
1
1－ 2 0
... ...
高斯随机过程
高斯随机过程高斯随机过程（GaussianRandomProcess，GRP）是一种常见的随机过程，它由作为时间或空间的变量的永久的高斯噪声的函数组成。
高斯随机过程有着丰富的应用，如数据处理、图像处理、信号处理、机器学习等。
本文将介绍高斯随机过程的概念、定义、特性以及应用场景，并对计算和绘图进行详细讨论。
1. 什么是高斯随机过程高斯随机过程是一种随机模型，它由作为时间或空间变量的永久高斯噪声函数组成。
它是一个随机现象，它的像素点时间/空间和随机变量之间有着特定关系。
它可以用来描述复杂的现象，但又比普通的概率分布拥有更丰富的特性。
高斯随机过程具有两个主要特性：转移性（stationarity）和可预测性（predictability）。
(1)移性：高斯随机过程具有转移性，即无论何时何地，这个过程的随机期望值（Expectation Value）都是一个定值，也就是说，这个过程的随机情况在空间上是一致的，在时间上也是一致的。
(2)预测性：高斯随机过程可以通过观察其连续时间点的值，利用代数运算和概率论，对未来的结果进行预测。
2.斯随机过程的定义高斯随机过程由一个实数序列，每一个取值都是随机变量X的一个实例，称为一个随机函数（Random Function）X。
X的取值不仅受到时间的影响，而且还受到空间的影响，从而构成了一个随机过程。
设X是在某一范围[0,T]上的高斯随机过程，那么X可以定义为：X(t) =(t) (t [0,T])其中，ε(t)是具有零期望值和高斯分布的均匀随机变量，即： E [ε(t)] = 0E [(ε(t)-ε(t))] =(t,tγ(t,tX(t)与X(t之间的协方差函数，即X(t)与X(t之间的统计相关性。
3.斯随机过程的应用场景高斯随机过程拥有广泛的应用场景，可以用于模拟各种复杂的场景。
其中，最常见的应用场景有：(1)据处理：高斯随机过程可以用来处理原始的数据，用来实现数据增强，数据降维以及数据去噪等；(2)像处理：利用高斯随机过程可以进行图像分类，图像检索，目标检测，图像修复，图像降噪等；(3) 信号处理：高斯随机过程在信号处理中可以用于过滤噪声，多信号融合，模式识别，信号传输，信号分离，信号恢复，变换等；(4)器学习：高斯随机过程可以用于机器学习，如聚类，回归，分类，联想推理，强化学习，机器翻译等等。
03第三讲：高斯过程、窄带过程
为是白噪声
物理意义：表明该随机过程上任何两个随
2、自相关函数
机变量之间都是不相关的，只有当τ＝0时 例外
白噪声的功率谱密度(a)和自相关函数 (b)
3、限带白噪声
限带白噪声概念：白噪声被限制在（f1,f2）之内，即在该频率 区上功率谱密度Pn(ω)＝ n0/2，而在该区间之外Pn(ω)＝0，则
这样的白噪声被称为限带白噪声
常见的限带白噪声有两种： a.理想低通型白噪声 b.理想带通型白噪声
理想低通白噪声：
概念：就是白噪声经过理想低通滤波器。
H(ω)为滤波器的系统函数
限带白噪声的自相关函数为
由R(τ)可见，若以1/(2f0)
的时间间隔对理想低通型
白噪声n(t) 进行抽样，则
噪声的样值之间是不相关
的
理想白噪声和限带白噪声的相关函数与谱密度
已知：
求： 解：先求反函数
利用概率论中的边际分布知识，aξ的概率密度函数
结论：aξ服从瑞利分布。
瑞利分布的特点：最大值发生在aξ＝σξ处。
要想计算误码率，必须知道抽样判决前信号和噪声的pdf，而噪声的pdf则为 上式。 aξ概率分布的用途：在数据通信系统中用来求解误码率。如2ASK的非相干 接收，接收机结构如图2.6-4所示。
为了能够借助于数表(误差函数表，概率积分表) 来计算高斯分布 ,需要引入概率积分函数或者误 差函数(互补误差函数)
误差函数的定义： erf (x) 2 x ez2 dz
0
互补误差函数的定义： erfc (x) 1 erf (x)
2
ez2 dz
x
概率积分函数：F (x) 1 x exp[ (z a)2 ]dz ((x a))
窄带实平稳高斯随机过程
29 窄带实平稳高斯随机过程概述窄带实平稳随机过程的一维包络分布和一维相位分布窄带实平稳随机过程，它的同相分量和正交分量 一个时刻同相分量和正交分量是联合高斯的： 一个时刻包络和相位分量的联合概率密度：一个时刻包络和相位是相互统计独立的随机变量： 窄带实平稳随机过程的二维（两个时刻）包络和相位分布两个时刻信号的表达式：两个时刻同相分量和正交分量是联合高斯的： 两个时刻同相分量和正交分量的协方差矩阵：两个时刻同相分量和正交分量的联合概率密度函数： 两个时刻包络和相位的联合概率密度函数： 两个时刻包络的联合边缘分布：两个相距无穷远时刻的包络联合边缘分布： 一个时刻包络的边缘分布： 两个时刻相位的联合边缘分布：两个时刻相位和两个时刻包络的分布不是统计独立的：29.1 窄带实平稳随机过程的一维包络分布和一维相位分布 29.1.1 窄带实平稳随机过程，它的同相分量和正交分量tf t t f t t x t f t t f t t x c c s cc c πξπξπξπξ2cos )(ˆ2sin )()(2sin )(ˆ2cos )()(−=+=以及t f s t x t f t x t tf t x t f t x t cs c c c s c c ππξππξ2cos )(2sin )()(ˆ2sin )(2cos )()(−=+=因为窄带实平稳高斯随机过程的Hilbert 变换是一个高斯随机过程，它的同相分量与正交分量是它和它的Hilbert 变换的线性变换，同相分量和正交分量也是高斯过程。
上述高斯随机过程是联合高斯的。
29.1.2 一个时刻同相分量和正交分量是联合高斯的：同相分量和正交分量的一维相关矩阵，)(),(t x t x s c 的相关矩阵，⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=)0(00)0(ξξξξR R R 同相分量和正交分量的联合概率密度是，⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+−=⋅=22222exp 21)()(),(ξξσσπy x y f x f y x f s c s c x x x x 29.1.3 一个时刻包络和相位分量的联合概率密度：同相分量、正交分量与包洛和相位分量的关系是，)(sin )()()(cos )()(t t V t x t t V t x s c φφ⋅=⋅=以及，)()(tan)())(())(()(122t x t x t t x t x t V c s s c −=+=φ同相分量、正交分量到包洛和相位分量的变换行列式是，)()(cos )()(sin )()(sin )(cos ),(),(t V t t V t t V t t V x x s c =⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=∂∂φφφφφ 一个时刻包洛和相位分量的联合概率密度是πφσσσσπφφξξξξφ21)(2exp 1)(2exp 21),(),(222222＝f r r r f r r y x f r r f V x x V s c ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧−=⎪⎭⎪⎫⎪⎩⎪⎨⎧−=⋅= 29.1.4 一个时刻包络和相位是相互统计独立的随机变量：)()(),(φφφφf r f r f V V ⋅=一维包洛分量的数字特征是：{}{}{}2222/12222ξξξσπσσπ⋅⎟⎠⎞⎜⎝⎛−==⎟⎠⎞⎜⎝⎛=V D V E V E29.2 窄带实平稳随机过程的二维包络和相位分布 29.2.1 两个时刻信号的表达式：两个时刻信号的同相分量和正交分量表达式11111111112cos )(2sin )()(ˆ2sin )(2cos )()(t f s t x t f t x t t f t x t f t x t c s c c c s c c ππξππξ−=+=22222222222cos )(2sin )()(ˆ2sin )(2cos )()(t f s t x t f t x t t f t x t f t x t c s c c c s c c ππξππξ−=+=两个时刻信号的包络和相位表达式)](2cos[)()(1111t t f t V t c φπξ+= )](2cos[)()(2222t t f t V t c φπξ+=两个时刻同相分量和正交分量是联合高斯的：由于ξ(t)是高斯分布的随机过程，而x c (t 1),x c (t 2),x s (t 1),x s (t 2)都是由ξ(t)经过线性变换得到的，它们是联合高斯分布的随机变量。
高斯随机过程
高斯随机过程高斯分布•中心极限定理证明：在满足一定条件下，大量随机变量和的极限分布是高斯分布。
•特殊地位：无线电技术理论中最重要的概率分布。
•噪声理论、信号检测理论、信息理论•高斯过程-统计特性最简单{}{}ik X i k X X i k X Xk i X k i X ik X i k X X X k i X k i X ik n n ikn n ik C m t t R m t t R m t t R t t C C m t t R m m t t R t t C C C C C C =−−=−+−+=′−++=++=′−−=−==′=′=××2222)()]()[(),(),()(),(),(..,.........εεεεεεv v Q Xi X i X X m t m t m m ==+=′)()(εQ ),...,;,...,(),...,;,...,(1111n n X n n X t t x x f t t x x f =++∴εε所以，高斯随机过程的宽平稳↔等价严平稳。
C C v v =′XX M M =′∴如果高斯过程X(t)在n 个不同时刻的状态两两互不相关，即则这些状态之间也是互相独立的。
n t t ,...,1)(),...,(1n t X t X )(,0)])()()([(),(k i m t X m t X E t t C C k k i i k i X ik ≠=−−==0=ik C ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=)(0...0:...:::...)(00...0)(22212n t t t C σσσv 2、互不相关↔互相独立证明：由于则:t B t A t X 00sin cos)(ωω+=0][][==B E A E 222][][σ==B E A E 0ω1.已知随机过程其中A 与B 是相互独立的高斯变量，且, ,为常数。
求此过程的一、二维概率密度。
随机过程第26-27讲 第六章 高斯(Gauss)过程
第六章 高斯（Gauss ）过程（六）维纳过程（布朗运动）1． 维纳过程的定义设质点每经过t ∆时间，随机地以概率2/1=p 向右移动0>∆x 距离，以概率2/1=q 向左移动0>∆x 距离，且每次移动是相互独立的。
记：−=次质点向左移动第次质点向右移动第i i X i ,1,1若)(t X 表示在t 时刻质点所处的位置，则有：)()(][21tt XX X x t X ∆+++∆=L显然有：1}{}{,0}{2===i i i X E X D X E故有：∆∆==t t t t X D t X E 2)()}({,0)}({假设t c x ∆=∆，其中c 为常数，它由物理意义确定。
0>令∆0→t ，即研究连续的游动，则有：0)}({=t X Et c t t t c t t x t X D t t t 220200lim )(lim )}({lim = ∆∆=∆∆=→∆→∆→∆ 另一方面，任取两个时刻210t t <<，令：∆= ∆=t t n t t n 2211,则有：)()(1211n X X X x t X +++∆=L)()(2212n X X X x t X +++∆=L)()()(21112n n X X x t X t X ++∆=−+L由于(与)121n X X X +++L )(211n n X X +++L )(是相互独立的，因此与相互独立。
即随机过程)(1t X )()12t X −(t X t X 是一独立增量过程。
由此)(t X 可以看作由许多微小的相互独立的随机变量)(1−)(−i t i X t X 组成之和。
由中心极限定理，当∆0→t 时，我们有：)(0200lim x x t c xX P t t i i t Φ=≤−∆∑ ∆=→∆ 即有：∫∞−→∆−=Φ=≤xt du u x x t c t X P }2exp{21)()(lim 220π故当∆0→t 时，)(t X 趋向于正态分布，即0→∆t 时，),0(~)(2t c N t X 由此，我们引入维纳过程（Wienner Process ）的定义：定义：若一随机过程{}0);(≥t t W 满足： （1）)(t W 是独立增量过程；（2）∀； ),0(~)()(,0,2t c N s W t s W t s −+>（3）)(t W 是关于t 的连续函数；则称{}0);(≥t t W 是布朗运动或维纳过程（Wienner Process ）。
周荫清《随机过程理论》第5章 高斯随机过程
X s (t ) X c (t )
ˆ X (t ) X s (t ) sin 0t X c (t ) cos 0t
式中
ˆ X c (t ) X (t ) cos 0 (t ) X (t ) sin 0 (t ) ˆ X s (t ) X (t ) sin 0 (t ) X (t ) cos 0 (t )
2
0
exp{x cos }d
所以，相位的二维分布为
p (1 , 2 ) C
2 1 2
4 x
1
2
[
(1 cos )
2
1 2
cos
3 2
(1 cos )
2 2
] 0 1 , 2 2
式中 = cos
r ( ) cos(
1 )
i 2 D[ X (ti )] 2
二、高斯随机过程
高斯过程是二阶矩过程 严格平稳和广义平稳等价
E[ X 2 (t )]
相互独立和互不相关等价
特征函数
1 n n n n (v1 , v2 ,, vn ; t1 , t2 ,, tn ) exp j aivi CX (ti , tk )vivk 2 i 1 k 1 i 1
四、随机相位正弦波加窄带平稳高斯随机过程之和
设随机相位正弦波加窄带平稳高斯过程之和为
Y (t ) s(t ) N (t ) 式中 s(t ) B cos[0t ] B cos 0t cos B sin 0t sin
N(t)为窄带噪声，是一个平稳高斯过程
N (t ) An (t )cos[0t n (t )] Nc (t )cos 0t Ns (t )sin 0t
通信原理之高斯过程详解
高斯过程在任一时刻上的样值是一个一维高斯随机变量，其一维概率密度函
数可表示为
f (x) =
1 2π σ
⎛ exp ⎜
⎝
− (x − a)2 2σ 2
⎞ ⎟ ⎠
（2.3-3）
式中 a 为高斯随机变量的数学期望，σ 2 为方差。 f (x) 曲线如图 2-3 表示。
图 2-3 正态分布的概率密度 由式（2.3-3）和图 2-3 可知 f (x) 具有如下特性： （1） f (x) 对称于 x = a 这条直线。
整个频率范围内，即
Pξ
(ω)
=
n0 2
（2.3-17）
这种噪声被称为白噪声，它是一个理想的宽带随机过程。式中 n0 为一常数，单 位是（瓦/赫）。白噪声的自相关函数
R(τ ) = n0 δ (τ ) 2
（2.3-18）
这说明，白噪声只有在τ = 0 时才相关，而它在任意两个时刻上的随机变量都是 互不相关的。
（2） 且有
∞
∫ f (x)dx = 1 −∞
（2.3-4）
∫ ∫ a f (x)dx = ∞ f (x)dx = 1
−∞
a
2
（2.3-5）
（3）a 表示分布中心，σ 表示集中程度， f (x) 图形将随着σ 的减小而变高
和变窄。当 a = 0 , σ = 1时，称 f (x) 为标准正态分布的密度函数。
1 2
+
1 2
erf
⎨
⎪⎪⎩1 −
1 2
erfc
⎛ ⎜⎝ ⎛ ⎜⎝
x x
−a 2σ −a 2σ
⎞ ⎠⎟ ⎞ ⎟⎠
,当 ,当
x x
≥ ≤
a a
时 时
高斯随机过程、高斯白噪声和带限白噪声
带限白噪声在信号处理中常被用作测试信号 或输入信号，用于评估滤波器、频谱分析等 算法的性能。
05
总结与比较
三种随机过程的比较
高斯随机过程
具有高斯分布的随机变量序列，其概率密度函数为正态分布。 具有连续的均值和方差，且各变量之间存在线性关系。
高斯白噪声
一种特殊的随机过程，具有高斯分布的随机变量，且各变量之 间相互独立。其功率谱密度为常数，即具有平坦的频率特性。
04
带限白噪声
带限白噪声的定义
01
带限白噪声是指在一定带宽限制 下，功率谱密度均匀分布的随机 信号。
02
它是一种理想化的模型，用于描 述在特定频率范围内具有恒定功 率密度的随机信号。
带限白噪声的性质
功率谱密度
带限白噪声的功率谱密度 在整个频率范围内是恒定 的，表示其具有均匀的频 率分布。
随机性
适用于描述具有平坦频率特性的信号，如通信系统中的噪声干扰。优点
是功率谱密度计算简单，缺点是难以描述具有特定频率特性的现象。
03
带限白噪声
适用于描述在一定频率范围内具有恒定功率谱密度的信号，如音频信号
中的噪声成分。优点是能够描述特定频率范围内的信号特性，缺点是计
算功率谱密度时需要考虑边界条件。
THANKS
感谢观看
在统计学中，许多重要的分布都 可以通过高斯随机过程进行建模 和推断。
在物理和工程领域，许多自然现 象和人工系统都可以用高斯随机 过程进行描述和分析。
03
高斯白噪声
高斯白噪声的定义
总结词
高斯白噪声是一种随机信号，其特点是具有高斯分布的幅度和均匀分布的频率。
详细描述
高斯白噪声是指其幅度服从高斯分布（也称为正态分布）的随机信号。同时， 它的功率谱密度是均匀分布的，这意味着它的频率成分是均匀分布在整个频带 内的。
wss高斯过程
wss高斯过程
WSS高斯过程是一种统计学方法，用于描述信号在时间或空间上的随机变化。
WSS是“宽平稳随机过程”的缩写，它的特点是在任意时刻，其统计特性不随时间改变，其一阶和二阶统计量只和时间和信号的时间差有关。
高斯过程基于高斯分布，其随机过程中的任意一组数据是一个多元高斯分布，这个分布是完全由期望向量和协方差矩阵所决定的。
在WSS高斯过程中，任意一组数据的协方差只和它们的时间差有关，这种特性使得WSS高斯过程在时间或空间上的随机变化表现得非常平稳。
WSS高斯过程广泛应用于信号处理领域，包括图像处理、语音识别、无线通信等方面。
它可以对信号进行预测和滤波，以便把噪声降低到最小，提高信号的质量。
此外，WSS高斯过程也被应用于金融市场的预测和模拟中。
总之，WSS高斯过程是一种重要的统计学方法，它的特点是平稳和高斯分布。
这种方法可以用于信号处理和金融预测等领域，可视情况而定进行合理的应用。
2.7 高斯过程与白噪声
2.7 高斯过程与白噪声2.7.1 高斯过程中心极限定理已证明：大量独立的、均匀微小的随机变量之和都近似地服从正态分布。
高斯过程定义：如果对于任意时刻),,2,1(n i t i =，随机过程的任意n 维随机变量),,2,1)((n i t X X i i ==服从高斯分布，则X(t)就是高斯过程。
高斯过程的n 维概率密度函数为：2)()(21221211)2(1),,,;,,,(m x C m x n n n T eCt t t x x x f ----=π式中m,x 为n 维向量⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n n n x x x x t m t m t m t X E t X E t X E m 212121)()()()]([)]([)]([C 为协方差矩阵：⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=),(),(),(),(),(),(1212111n n X n X n X X n X X t t C t t C t t C t t C t t C t t C C由此可见，正态随机过程的n 维概率分布仅取决于其一、二阶矩函数。
广义平稳正态过程定义：若正态随机过程X(t)的均值和方差都是与时间无关的常数，即2)]([,)]([X Xt X D m t X E σ==；而自相关函数只取决于时间间隔τ，n k i t t R t t R i k i k i k X k i X ,,2,1,;,)(),( =-==--ττ，则称此正态过程为广义平稳正态过程。
高斯过程有许多特殊性质：性质1：宽平稳高斯过程一定是严平稳过程。
性质2：若平稳高斯过程在任意两个不同时刻j i t t ,是不相关的，那么也一定是互相独立的。
证明：由不相关性，可得平稳高斯过程的二维概率密度函数为2222)()(221),;,(σπσm x m x j i j i j i e t t x x f -+--=n 维分布为)()()(21),,,;,,,(212)(1212122n m x ni n n x f x f x f et t t x x x f i ==--=∏σσπ这说明任何时刻都不相关的高斯过程一定是独立高斯过程。
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erf ( x )
2
x
0
e dt
t 2
它 是 自 变 量 的 递 增 函 数 ， erf(0)=0 ， erf(∞)=1 ， 且 erf(-x)=-erf(x)。我们称1-erf(x)为互补误差函数，记为erfc(x), 即 2 t 2 e dt erfc(x)=1-erf(x)=
f ( x)
1 ( x a )2 exp( ) 2 2 2
式中，a为高斯随机变量的数学期望，σ2为方差。f(x)
曲线如图 2 - 3所示。
由式（2.3 - 3）和图2 - 3可知f(x)具有如下特性： (1) f(x)对称于x=a这条直线。 (2)
f ( x)dx 1
x
它是自变量的递减函数，erfc(0)=1，erfc(∞)=0，且erfc(-
x)=2-erfc(x)。当x1时（实际应用中只要x＞2)即可近似有
erfc ( x )
1
x
e
x2
（2） 概率积分函数和Q函数。 概率积分函数定义为 1 t 2 / 2 Φ(x)= (2.3 - 10) x e dt, x 0 2 这是另一个在数学手册上有数值和曲线的特殊函数， 有Φ(∞)=1。 Q函数是一种经常用于表示高斯尾部曲线下的面积的 函数，其定义为 1 t 2 / 2 Q( x ) 1 ( x) x e dt, x 0 2 比较式（2.3 - 8）与式（2.3 - 10）和式（2.3 -] 11）， 可得
用误差函数或互补误差函数表示F(x)的好处是，它简明 的特性有助于今后分析通信系统的抗噪声性能。
2.3.3高斯白噪声
信号在信道中传输时， 常会遇到这样一类噪声， 它的功 率谱密度均匀分布在整个频率范围内，即 Pξ(ω)=
n0 2
(2.3 - 17)
这种噪声被称为白噪声，它是一个理想的宽带随机过程。 式中n0为一常数，单位是瓦/赫。显然，白噪声的自相关函数 可借助于下式求得，即 R(τ)=
例子。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1
fn(x1, x2, …, xn; t1, t2, …, tn)=
( 2 )
n
n
2
j
j 1
j
n
exp[
j 1
n
( x j a j )2 2 2 j
]
(2.3 - 2)
j 1
1 2
exp[
( x j a j )2 2
2 j
=f(x1, t1)· 2, t2)…f(xn, tn) f(x 也就是说，如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的， 那么它们也是统计独立的以后分析问题时，会经常用到高斯过 程中的一维分布。例如，高斯过程在任一时刻上的样值是一个 一维高斯随机变量，其一维概率密度函数可表示为
1 …
B B 1 21
b12 … … …
b1n … 1
… b2n
Bn1 bn2 …
|B|jk 为行列式|B|中元素bjk 的代数余因子，bjk 为归一化协 方差函数，且
2.3.2重要性质
（1） 由式(2.3 - 1)可以看出, 高斯过程的n维分布完全由n 个随机变量的数学期望、 方差和两两之间的归一化协方差函 数所决定。因此，对于高斯过程，只要研究它的数字特征就 可以了。 （2） 如果高斯过程是广义平稳的，则它的均值与时间无 关，协方差函数只与时间间隔有关，而与时间起点无关，由 性质（1）知，它的n维分布与时间起点无关。 所以，广义平 稳的高斯过程也是狭义平稳的。 （3） 如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的， 即对 所有j≠k有bjk=0，这时式（2.3 - 1）变为
密度函数的积分，即
F ( x ) p( x )
x
1 ( z a )2 exp[ ]dz 2 2 2
这个积分无法用闭合形式计算，我们要设法把这个积分 式和可以在数学手册上查出积分值的特殊函数联系起来，一
般常用以下几种特殊函数：
（1） 误差函数和互补误差函数。 误差函数的定义式为
2.3高斯随机过程
2.3.1定义
若随机过程ξ(t)的任意n维（n=1, 2, …）分布都是正态分布， 则称它为高斯随机过程或正态过程。 其n维正态概率密度函 数表示如下： 1 fn(x1,x2,…,xn; t1,t2,…,tn) 1 1 2 ( 2 ) 1 2 ... n B 2
x j a k xk a k 1 n n . exp[ B jk ( )( )] 2 B j 1 k 1 j k 式中, ak=E［ξ(tk)］，σ2k=E［ξ(tk)-ak］2，|B|为归一化协 方差矩阵的行列式，即
1 x Q( x ) erfc( ) 2 2 erfc ( x ) 2Q ( 2 x ) 2[1 ( 2 x )]
现在让我们把以上特殊函数与式（2.3 - 6）进行联系， 以 表示正态分布函数F(x)。
若对式（2.3 - 6）进行变量代换，令新积分变量t=(z-a)/σ， 就有dz=σdt，再与式（2.3 - 10）联系，则有
xa F(x)=
(2.3 - 15)
若对式（2.3 - 6）进行变量代换， 令新积分变量t=(z-a)/
2σ，就有dz=
σdt，再利用式（2.3 - 5），则不难得到 2
1 1 xa erf ( ), 当x a时 2 2 2
F(X)=
1 xa 1 erf ( ), 当x a时 2 2
1 f ( x )dx f ( x )dx a 2
且有
1 2
f (x)
O
a
x
图2-3 正态分布的概率
3） a表示分布中心，σ表示集中程度，f(x)图形将随着σ 的减小而变高和变窄。当a=0，σ=1时，称f(x)为标准正态分布 的密度函数。 当我们需要求高斯随机变量ξ小于或等于任意取值x的概 率P(ξ≤x)时，还要用到正态分布函数。正态分布函数是概率
n0 ( ) 2
这说明，白噪声只有在τ=0时才相关，而它在任意两个 时刻上的随机变量都是互不相关的。图 2 - 4 画出了白噪声
的功率谱和自相关函数的图形。
如果白噪声又是高斯分布的， 我们就称之为高斯白噪 声。 由式（2.3 - 18）可以看出，高斯白噪声在任意两个不 同时刻上的取值之间，不仅是互不相关的，而且还是统计独 立的。应当指出，我们所定义的这种理想化的白噪声在实际 中是不存在的。但是，如果噪声的功率谱均匀分布的频率范 围远远大于通信系统的工作频带，我们就可以把它视为白噪 声。第 3章将要讨论的热噪声和散弹噪声就是近似白噪声的