第六章 定积分的应用

第六章 定积分的应用

一、基本要求

（1） 掌握定积分的元素法。 （2） 会求平面图形的面积。 （3） 会求旋转体的面积。

（4） 会求截面面积已知的立体体积。 （5） 会求平面曲线的弧长。

（6） 会用元素法求变力沿直线做功，以及压力、引力和平均值。 二、 教学重点

（1） 定积分的微元法，平面图形的面积，空间立体体积，变力做功，引力及压力。 三、 教学难点

（1） 变力沿直线做功，以及压力、引力。 四、释疑解难

问题6.1 微元法的实质是什么？

答 微元法的实质是“以不变代变”或“以直代曲”，近似求出整体量在局部内的各部分，然后相加再取极限，从而求得整体量。这就是用定积分解决实际问题思想“分割—近似代替—作和—求极限”。

问题 6.2 用定积分解决实际问题应具备的条件是什么？

答 用定积分解决实际问题时，对所求的量S ，要具有以下几个特点： （1）S 是与一个变量x 的变化区间[a,b]有关的量。

（2）S 对于区间[a,b]具有可加性，就是说，如果把区间[a,b]分成许多部分区间i x ∆，则S 相应地分成许多部分量i S ∆，而S 等于所有部分量i S ∆之和。

（3）对于每个分量可以找到近似表达式()i i S f x ξ∆≈∆，就可以考虑用定积分来表达这个量。

问题 6.3 微元法的一般步骤是什么？ 答 微元法的一般步骤如下：

（1） 根据问题的具体情况，选取一个变量例如x 为积分变量，并确定它的变化区间[a,b]。 （2） 设把区间[a,b]分成n 个小区间，取其中任一小区间并记为[x,x+dx]，求出相应于小区 间的部分量U ∆的近似值。如果U ∆能近似地表示为[a,b]上的一个连续函数在x 处的值

()f x 与dx 的乘积，就把()f x dx 称为量U 的元素，且记作dU,即dU=f(x)dx.。

（3） 以所求量U 的元素f(x)dx 为被积分表达式，在区间[a,b]上作定积分，得：

()b

U f x dx a

=⎰，即为所求量U 的积分表达式，这个方法通常叫做元素法。

问题 6.4 曲线sin(02)y x =≤≤与x 轴所围图形面积为20

sin 0S xdx π

=

=⎰

，对吗？

答 错。它表示曲线sin(02)y x =≤≤与x 轴所围成面积的代数和，而曲线

sin (02)y x x π=≤≤与x 轴所围成图形的面积为20

sin S x dx π

=⎰

2sin 4xdx π

==⎰

问题 6.5 函数()f x ，()g x 在区间[],a b 上连续，且()()f x g x ≥，则由曲线()y f x =，

()y g x =及直线,x a x b ==所围成图形绕x 轴旋转的体积是2[()()]b

a

V f x g x dx π=-⎰还

是2

2[()()]b

a

V f

x g x dx π

=-⎰？

答 是2

2[()()]b

a

V f

x g x dx π

=-⎰，它是大旋转体的体积减去小旋转体的体积之差。

问题 6.6 函数()f x 在对称区间[],a a -求面积时应注意什么？ 答 当()f x 是奇函数时，定积分()0a

a

f x dx -=⎰

，但()f x 与,,0x a x a y ==-=所围成的

面积为0

()2()a

a

a

S f x dx f x dx -=

=⎰

⎰。

当()f x 是

[]

,a a -偶函数时，定积分

()2()a

a

a

f x dx f x dx -=⎰

⎰，()f x 与

,,0x a x a y ==-=所围成的面积为0

()2()a

a

a

S f x dx f x dx -==⎰

⎰。

问题 6.7 设曲边梯形由2

0,,12y y x x x ====与围成，计算该曲边梯形的面积一般在直角坐标系中进行，请问该面积是否可利用极坐标系进行？由于曲线2

y x =的极坐标方程为

2

sin ([,arctan 2])cos 4

θπ

ρθθ=

∈，于是有人利用算式求出该面积为 arctan 2

arctan 22224

4

1sin 17

()tan tan 2cos 26d d π

πθθθθθ==⎰⎰ 请回答是否正确？

答 曲边梯形的面积可以利用极坐标系计算，但是上列算式是错误的。事实上这里所算的面积是由曲线2

sin cos θρθ=

，4

π

θ=及arctan 2θ=所围成的曲边梯形的面积1S 。在直角坐标系中，该图形由曲线2

0,,12y y x x x ====与围成为2S 。

问题 6.8 在处理定积分物理应用问题时应注意什么？

答 处理定积分物理应用的前提是应具备几类物理问题的基本知识。比如，质心问题是与静力矩概念相关的结论，做功问题应抓住力学基本原理，尤其是牛顿力学第三定律；压力问题是与巴斯定律相联系的概念，而动能或动量的问题的处理，需依据能量公式与能量守恒原理。对所有这些问题的分析，基本点还是累加性，最终要列出微元关系。 问题 6.9 旋转体的体积与侧面积的计算中应注意什么问题？

答 （1）计算旋转体的体积，应注意在两种方法（圆台法、柱壳法）中选择适当方法简化计算，并且要注意对旋转轴的具体要求，有时旋转轴不一定是坐标轴。