第七章 点的合成运动

~ dA dA ＝ ω A dt dt
dt
dt
dt
dt
中
~ d vr d v ＝ r＋ ω v r＝ a r＋ ω vr dt dt
加速度合成定理
d ve ＝a e ω v r dt
d va d ve d vr dt dt dt
d vr ＝a r ＋ ω vr dt
a r
R P点： v a v e v r ve j u i j u i 3
y va x vr P

牵连速度 ve＝(R/3) j
动点－P : 绝对速度 va＝？； 相对速度 vr ＝u＝ui
牵连速度 ve ＝(R) j
O P，P
x
P 点：
相对速度vr：大小未知，沿O1B方向向上；
牵连速度ve：大小未知，方向垂直与O1A， 斜向左上方。
1 ve va cos60 rω 0 , 2

3 v r va sin60 rω 0 2

例 题 1
2、加速度分析
aa ae ar aC
aa: aa= r 02，沿着OA，指向O； ar : 大小未知，沿着O1B，指向B； aen : aen = r 0 2 /8，沿着O1A，指向O1； ae : ae = (O1A) ， 为未知，垂直于O1A， 指向未知，假设指向左上； aC : 垂直于O1B，指向左上
三种加速度的定义
怎样从速度合成定理导出 加速度合成定理 加速度合成定理
三种加速度的定义
绝对加速度－动点对于定系的加速度称为 绝对加速度，用aa表示。 相对加速度－动点对于动系的加速度称为 相对加速度，用ar表示。
牵连加速度－动系中与动点相重合的那一 点对于定系的加速度称为牵 连加速度，用ae表示。
v a v e v r ve j vr i R j u i


例 题2
已知：正弦机构中，曲柄OA＝l，加速度，＝30o 。 求：连杆BCD的速度。
解：已知曲柄(刚体，原动件)运动，求连杆(刚体，被动件)的运动。 1、选择动点与动系: 动点－曲柄上的A点；动系－连杆上O´x´ y´ 2、分析运动和速度: 绝对运动－以O为圆心 、l为半径的等速圆周运动。 相对运动－沿BC方向的直线运动。牵连运动－铅垂方向的平移。 绝对速度 va ： va＝l，方向已知。相对速度vr： vr＝？，方向已知。 牵连速度ve： ve＝？,方向已知。
v BC ve va sin ωl sin30

1 ωl 2
矢量的相对导数 与绝对导数
问题的提出 矢量的相对导数与绝对导数定义 矢量的相对导数与绝对导数的相 互关系
问题的提出
va vr ve
d va d vr d ve dt dt dt
aa ar ae
a a a e a r 2ω v r
aa ae ar aC
其中
a C 2ω v r 称为科氏加速度。
加速度合成定理－点的绝对加速度等于牵连加速度 、相对加速度与科氏加速度的矢量和。
加速度合成定理
牵连运动为平移时的加速度合成定理
牵连运动为平移时， ω ＝ 0
这一结论在很多情形下是不正确的！
矢量的相对导数与绝对导数定义
矢量对于不同的参考系有不同的表示
z
z´ k´ x´ j i´

k x i
A y´ j´ y
对于定系
A＝Ax i Ay j Az k
对于动系
i A A＝Ax y j Az k
矢量的相对导数与绝对导数定义
怎样从速度合成定理导出加速度合成定理
几个已有的重要结论
z

k O x i r j
P O´
r´
r rO r
d r d rO d r 其绝对导数为 dt dt dt
rO ´
va ve vr y 矢量的绝对导数与相对导数之间的关系 ~ dA dA ＝ ω A
aa ae ar aC aa ae a r
关于绝对加速度、相对加速度与 牵连加速度的结论
绝对加速度，是绝对速度对于时间的绝对导数；
牵连加速度，动系中与动点重合之点的绝对加速度，
绝对导数；
相对加速度，是相对速度对于时间的相对导数。
例 题 1
已知：0，OA＝r 求：AB与铅垂线夹角为30o时，摇杆AB的角加速度。 解：1、选择动点、动系，运动分析与 速度分析 动点：滑块A，动系： O1x1y1固结于O1B 对于动点A，在 t 瞬时 绝对速度va：va＝r0 沿着铅垂方向向 上；
对于定系
dAy dAz d A dAx di dj dk ＝ ( i Ax ) ( j Ay )( k Az ) dt dt dt dt dt dt dt
di d j dk ＝ ＝ ＝ 0 因为在定系中求导数，所以 dt dt dt
A＝Ax i Ay j Az k
dAy dAz d A dAx 相对导数 ＝ i j k dt dt dt dt i A 对于动系 A＝Ax y j Az k
d i ＝ ω i dt
d i 0 dt
i A A＝Ax y j Az k
dA dAz d A dAx d i d j d k y ＝ ( i j k ) ( Ax Ay Az ) dt dt dt dt dt dt dt
定参考系？ 动参考系？ 绝对运动？ 相对运动？ 牵连运动？
工程实例2
定参考系？ 动参考系？ 绝对运动？
相对运动？
牵连运动？
两点重要结论
运动的相对性－物体对于不同的参考系， 运动各不相同。 绝对运动与相对运动都是指点的运动； 牵连运动则是刚体的运动。
绝对运动方程与相对运动 方程之间的关系
矢量的相对导数与绝对导数的相互关系
~ dA dA ＝ ω A dt dt
1、动系作平移
几种特殊情形:
~ dA dA ＝ dt dt
dA ＝ ωA dt
ω＝ 0
2、矢量在动系中为常矢量
3、矢量在定系中为常矢量
~ dA 0 dt
dA 0 dt
~ dA ＝－ ωA dt
第三节 点的加速度合成定理
aC 2 ω o1v r 2
ve 3 3 2 r 0 r 0 O1 A 2 4
aC aa
3、应用加速度合成定理加速度分析确定未知的角加速度
ae ar aen
将所有加速度矢量向a 方向上投影： e
e aC a a cos30 aτ
3 3 2 r 2r r 0 2 4
第二节 点的速度合成定理
动系与定系
z x z y x O t 瞬时
y
t+t 瞬时
第二节 点的速度合成定理 三种运动轨迹
r =r +r1
r1 r r lim lim lim t 0 t t 0 t t 0 t
va vr ve
第二节 点的速度合成定理
定系 Ox1x2x3
x3 x3
动系 O x1x2 x3
P
x2
r (t)
O
r (t)
O

绝对位矢 r (t) 相对位矢 r (t) 动系原点在定系中位置 矢量r O (t)
r O ( t ) x1 x 2
r ( t) ＝ r O ( t ) ＋ r
(t)
x1பைடு நூலகம்
2 0

3 2 0 8
例 题2
已知：凸轮的偏心距OC＝e,凸轮半径 r 3e,并且 以等加速度绕O轴转动， 图示瞬时，AC垂直于OC， ＝30o。 求：顶杆的速度与加速度。
解：1、选择动点、动系，运动分析与速度分析
动点：顶杆上A点; 动系： Cx1y1固结于凸轮。 对于动点A，在 t 瞬时 绝对运动：铅垂直线运动；相对运动：圆周运动； 牵连运动：绕O轴的定轴转动， 牵连速度ve： ve＝OA ＝2e ，方向垂直与OA，指向左 方； 绝对速度va： ve为所要求的未知量，方向沿着铅垂方向向上； 相对速度vr：大小未知，方向垂直与CA。 应用速度合成定理确定顶杆AB的速度 va 2 3 o e 由速度平行四边形 va＝ vetan30 同时求得相对速度
dt dt
定轴转动刚体上任意点的速度
v P ω rP
定轴转动刚体上任意点的加速度
速度合成定理
d vP dω aP α rP ω v P α dt dt
va ve vr
怎样从速度合成定理导出加速度合成定理
几个不正确的结论
将速度合成定理等号两侧分别对时间 t求一次绝对导数
va ve vr
当牵连运动为转动时
d va d ve d vr dt dt dt

aa ae a r
d vr ar dt

d va aa dt
d ve ae dt
加速度合成定理
当牵连运动为转动时
va ve vr
中
v e＝ ω r
动系中与动点重合点的加速度，即为牵连加速度
于是
d ve ae α r ω v e dt d ve d dω dr ＝ ( ω r) r ω
利用矢量的相对导数与绝对导数之间的关系
d va d ve d vr dt dt dt
＝ α r＋ ω v a＝ α r＋ ω v e v r ＝( α r＋ ω v e ) ωv r＝a e ωv r