相速度和群速度 (Phase velocity and group velocity )

k c
r r
(71)
2. 复色波的速度 如前所述，实际上的光波都不是严格的单色光波，而 是复色波，它的光电场是所包含各个单色光波电场的 叠加，即
E E0l cos(l t kl z )
l =1 N
(72)
二色波的光电场为
E E01 cos(1t k1 z) +E02 cos(2t k2 z)
式中， (r ) 是随距离变化的相位项，相应于
t (r )=常数
的空间曲面为该单色光波的等相位面，满足该式的 r 是这个相位状态在不同时刻的位置。
1. 单色光波的速度 将上式两边对时间求导数，得
dt dr 0
设 r0 为 dr 方向上的单位矢量，并写成 dr＝ r0 ds，则
n
折射率随着波长 增加(或光频率的 减少)而减小的色 散叫正常色散。
1.4 相速度和群速度 (Phase velocity and group velocity )
在前面的讨论中，提到了光波速 这个物理量，下面 讨论它的具体含义。 1. 单色光波的速度 2. 复色波的速度
1. 单色光波的速度
假设单色光波电场的表示式为
E E0 cos[(t (r )] （ 69）
dz m g = = dt km k
EE （z, t )cos （t kz）
E （z,t )=2E0 cos （mt km z）
(73)
m t km z =常数
dz m k m 0 dt dz m dt km
1 1 m = (1 2 )= 2 2 1 1 km = (k1 k2 )= k 2 2 dz m
dn g = 1+ n d (78)
d g = d
(77)
该式表明，在折射率 n 随波长变化的色散介质中， 复色波的相速度不等于群速度。
2)复色波的群速度
对于正常色散介质(dn／d＜0)，＞g； 对于反常色散介质(dn／d＞0)， <g ； 在无色散介质(dn／d ＝0)中，复色波的相速度等 于群速度，实际上，只有真空才属于这种情况。
dt km
dz m g = = dt km k
2）复色波的群速度
当Δ 很小时，可以写成
d g dk (75)
dz m g = = dt km k
由波数 k＝ / ，g 可表示为
d(k ) d g +k dk dk
(76)
2)复色波的群速度
(r ) = k r 0
因此
k
所以，平面单色光波的相速度为 c k r r
(r )
(70)
(71)
n
c

r r
1. 单色光波的速度
应当注意，相速度是单色光波所特有的一种速度， 由于它表示的不是光波能量的传播速度，所以当 n r r 1 时，例如在色散介质的反常色散区， 就有相速度大于真空中光速度 的情况，这并不违 背相对论的结论。
由 k=2 / ，有dk＝－(2 / 2)d ，可将上式变为
d g = d (77)
d(k ) d g +k dk dk
k=2 / dk＝－(2 / 2)d
(76)
2)复色波的群速度
由＝c／n，有d ＝－ (c／n2)dn，上式还可表示为
2. 复色波的速度
2，则 若 E01 E02 E0 且 1 2 1、
EE （z, t )cos （t kz） (73)
式中
E （z ,t )=2E0 cos （m t km z） 1 1 m = (1 2 )= 2 2 1 1 km = (k1 k2 )= k 2 2 1 = (1 2 ) 2 1 k = (k1 k2 ) 2
2. 复色波的速度 该式表明：这个二色波是如图所示的、频率为 、 振幅随时间和空间在 0 到 2E0 之间缓慢变化的光波。 这种复色波可以叫做波群或振幅调制波。 x
振动的合成.exe
2. 复色波的速度
对于上述复色波，其传播速度包含两种含义： 等相位面的传播速度，称为相速度； 等振幅面的传播速度，称为群速度。 形象一点说，你拿电钻在一个很坚固的墙上钻洞， 你会觉得电钻的钻头的螺纹在旋转时似乎以高速前 进，但这只是你的错觉，因为你看到的是螺纹的 “相速度”，虽然很快，但是你的电钻却很慢很慢 地向墙内推进，也就是说电钻的总的向前推进的速 度就是“群速度”。
ds = d t r0
t (r )=常数 d d r 0
dr dt dr 0 dt dt d r 0
dt dr 0
dr＝ r0 ds
ds = d t r0
1. 单色光波的速度 当 r0 垂直于等相位面，即 r0 / 时，上式值 最小，其值为
(r )
ds = d t r0
(70)
该 (r) 就是等相位面的传播速度，简称为相速度。
r0 r0 cos
由于等相位面的梯度平 行于 r0，因此 ＝0。则
r0 /
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1. 单色光波的速度
对于波矢量为 k 的平面单色光波，其空间相位项为
1)复色波的相速度 若令（73）式的复色波相位为常数( t kz 常数 )， 则某时刻等相位面的位置 z 对时间的变化率即为等 相位的传播速度——复色波的相速度，且
dz = dt k
(74)
EE （z, t )cos （t kz）
(73)
2）复色波的群速度 由复色波表示式（73）可见，它的振幅是时间和 空间的余弦函数，在任一时刻，满足 m t km z 常数 的 z 值，代表了某等振幅面的位置，该等振幅面 位置对时间的变化率即为等振幅面的传播速度— —复色波的群速度，且