电磁波群速度与相速度原理

电子信息工程学院Quency Chen
1、相速度与群速度
如果只考虑均匀介质中的小幅度的波,可利用描述介质的方程与麦克斯韦方程得到一常系数方程组,求解可得到解为:
)ex p(t j r k j ω-⋅ (1)的解
其中k 为波矢量,r 为空间位置矢量,ω为角频率。

式(1)中的ω与k 满足:
0),(=ωk F (2)的关系,
这个关系只与介质的特性有关,称为色散关系。

式(1)描述的电磁波,ω表征波的时间变化,波矢量k 描述波的空间变化。

λπ
2=k (3)
式(3)中λ为波长,因此波矢量k=1/λ表示单位距离有多少个波,即波的数量,然后再乘以2π表示单位距离内波的总相位,若把空间相位变化2π相当于一个全波,则k 表示单位距离内全波的数目,k 也被称为电磁波的相位常数,因为它表示传播方向上波行进单位距离时相位变化的大小,注意这里相位单位为弧度制。

将(1)式变形为:
)]()(exp[t t j r r jk ∆+-∆+⋅ω (4)
若满足0=∆-∆t r k ω (5),
则式(4)与式(3)一样,这说明在空间距离延长Δr 的位置处,若在时间上也滞后Δt 则信号相位与r 处t 时刻的相位保持一致。

这说明r 处的波相位在Δt 时间后传播到r+Δr 处,因此将式(5)变形可得到
t
r k V ∆∆==Φω
(6), 表示波的相速度由角频率与波矢量共同决定。

在真空中电磁波的相速度为c 。

折射指数n 定义为:
ωkc V c n =Φ
= (7), 由于介质中电波相速度既可能小于真空光速,也可能大于真空光速,所以折射指数也可能大于1,也可能小于1。

如果限制ω就是实数,若有一解,使得k 与n 也就是实数,则代表无衰减的波传播。

若k 与n 为纯虚数,则相应的波就是消散波。

波场强度随距离指数地减小。

如果将介质等效为阻抗负载,则实数负载代表介质从输入端口全部吸收能量,然后又从输出端口全部放出能量,类似传输线特性;如果负载为虚数,则代表负载从输入端口全部吸收能量后,又从输入端口全部释放出去,因此电波就不能传播,只能到达一定的深度后就反射出去了,类似界面反射。

如果k 与n 即有实部又有虚部,则波的传播伴随着衰减(或增长)。

如果ω与k 就是实数,且就是常数,则上述平面波将充满整个空间。

波的相速度可以远大于光速,这时波的传播既不输送任何能量,
也不传送任何信息。

实际上对于稳定的单频单色波,根本没有传输的概念,要利用电磁波来传输信息,本质上就是传送变化量,而且变化量必须要有带宽,不可能就是单色单频信号。

这与“Shannon 定律”就是一致的,因此要研究信息传递的速度,必须要研究有一定带宽的波包的传递速度。

即群速度。

根据傅里叶变换的方法可以将波包瞧做单色波的叠加,波包的传播表现为单色波振幅与相位叠加效应的传播,而不就是单色波的相位传播。

所以波包的传播速度被定义为等幅面的传播速度,即群速度。

这里先考虑最简单的情况,两个等幅度,相位与频率有一定偏差的双频信号
])()[(])()[(),(t r k k j Ae t r k k j Ae t r E ωωωω∆+-∆++∆--∆-= (8) 利用三角公式
)2
cos()2cos(2cos cos b a b a b a -+=+ )2
cos()2sin(2sin sin b a b a b a -+=+ 可以将式(8)转换为:
)()cos(2),(t kr j e t kr A t r E ωω-∆-∆= (9)
如果只考虑包络)cos(2t kr A ω∆-∆等幅度面的传播,设波包包络在Δt 时间移动了Δr 距离。

注意不就是单频波相位移动的距离与时间。

t kr t t r r k ωω∆-∆=∆+∆-∆+∆)()(
t r k ∆∆=∆∆ω
k
t r V g ∆∆=∆∆=ω (10) 若介质没有色散效应,则群速度与相速度一致。

如真空中电磁波传播
速度恒等于k c ω=
,因此k
c k k k k c ∆∆=⇒∆+∆+=∆-∆-=ωωωωω。

若介质存在色散效应,即k k k k ∆+∆+≠∆-∆-ωωωω,则群速度不等于相速度。

这里还要注意一个问题就就是式(9)波包传播时,两个正弦波合成后的相位因子)(t kr j e ω-的传播并不与波包包络一致,我一开始就就是因为这个概念弄错了,所以一直不能正确理解与计算,花了半天时间才想明白这个问题。

图1 群速度=相速度(k=1,deltak=0、1,w=1,deltaw=0、1)
图2 群速度小于相速度(k=1,deltak=0、1,w=1,deltaw=0、05)
图2 群速度大于相速度(k=1,deltak=0、05,w=1,deltaw=0、1)
以上就是从最简单的双频正弦波叠加来讨论波包的概念。

式(9)中的包络与后面的相位因子就是无关的,后面的相位因子类似调制中的载波。

波包在传递过程中保持不变。

也只有这样才能认为波包在稳定传播。

如果考虑有3个单频波,分别为s1,s2与s3,则利用公式(8)可得到s12,s23,s31三个子波包。

总的波包则等于2
)312312(s s s ++,根据式(10)则可以得到3个群速度VG12,VG23,VG31,若这3个群速度不相等,则波包包络不能稳定传输(或者产生更高阶的波包),反过来若要波包稳定传输则必须VG12=VG23=VG31、即ω对k 的函数必须就是单调的(或者在ω,k 附近单调)。

则将式(10)进一步基本化为式(11)
k
k V k t r V g g ∂∂=⇒∆∆=∆∆=)(ωω (11) 其中)(k ωω=由色散关系决定。

将式(11)可变为:
0)(=∆∂∂-∆⇒∂∂==∆∆t k
r k V t r g ωω (12) 0=∆⋅∆-∆⋅∆t r k ω (13)
如果从0位置0时刻开始则0=⋅∆-⋅∆t r k ω (14)
若考虑多个单频波叠加可表示为:
......])2(2[)2(])1(1[)1(),(+⋅-⋅+⋅-⋅=t k r k j e k A t k r k j e k A t r E ωω (8) 若考虑到实际上波包就是由无数个单频信号组成,可以写成积分形式为:
⎰-=dk t k kr j e k A t r E ))(()(),(ω (15)
式15中E(r,t)中的r 与t 表示波包的r 与t 。