中职数学平面向量复习教学文案

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复习模块：平面向量

一、知识点

（1）平面向量的概念及线性运算

平面向量两要素：大小，方向。

零向量：记作0，手写时记做0 ，方向不确定。单位向量：模为1的向量。

平行的向量（共线向量）：方向相同或相反的两个非零向量，记作a //b 。规定：零向量与任何一个向量平行。

相等向量：模相等,方向相同，记作a = b 。负向量：与非零向量a 的模相等，方向相反的向量，记作 a 。规定：零向量的负向量仍为零向量。

向量加法的三角形法则：如图1，作AB u u u r =a , BC u u u r =b ，则向量AC u u u r 记作a ＋b ，即

，和向量的起点是向量a 的起点，终点是向量b 的终点．

向量加法的平行四边形法则：如图2，在平行四边形ABCD 中，AB u u u r ＋AD u u u r =AB u u u r ＋

BC u u u r =AC u u u r , AC u u u r 所表示的向量就是AB u u u r 与AD u u u r 的和．平行四边形法则不适用于共线向量。

向量的加法具有以下的性质：

（1）a ＋0 = 0＋a = a ； a ＋（−a ）= 0；（2）a ＋b =b ＋a ；（3）（a ＋b ）＋ c = a ＋（b ＋c ）．

向量的减法：起点相同的两个不共线向量a 、 b ，a 与b 的差运算的结果仍然是向量，叫做a 与b 的差向量，其起点是减向量b 的终点，终点是被减向量a 的终点．如图3。

a −

b =a+(−b )，设a =u u u r OA

，b u u u r OB ，向量的数乘运算：数与向量的乘法运算。一般地，实数与向量a 的积是一个向量，记作 a ，它的模为

，若|| a 0，则当＞0时， a 的方向与a 的方向相同，当＜0时， a 的方向与a 的方向相反．

共线向量充要条件：对于非零向量a

、b ，当0 时， a

a -

b B

b 图3 图1

A C

B a b a +b a

b 图2 C B

一般地，有 0a = 0, 0 = 0 .

线性组合：一般地， a ＋ b 叫做a , b 的一个线性组合．如果l ＝ a ＋ b ，则称l 可以用a ，b 线性表示．

（2）平面向量的坐标表示

设点1122(,)(,)A x y B x y ，，则起点为11(,)A x y ，终点为22(,)B x y 的向量坐标为

2121() u u u r AB x x y y ，．

设平面直角坐标系中，11(,)x y a ，22(,)x y b ，则

由此得到，对非零向量a 、 b ，设1122(,),(,),a b

x y x y

当0

（3）平面向量的内积

向量a 与向量b 的夹角，记作。 o

o b a

180,0, 内积的定义：两个向量a ,b 的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量a 与向量b 的内积，它是一个数量，又叫做数量积．记作a ·b , 结论：（1

）cos ＝||||

a b a b . （2）当b ＝a 时，有＝0，所以 a · a ＝|a ||a |＝|a |2，即|a | （3）当,90a b o 时，a b ，因此， a ·b ＝cos900,a b o

对非零向量a ，b ，

a ·

b ＝0 a b.

平面向量的内积的坐标表示：设平面向量a ＝(x 1,y 1),b ＝(x 2,y 2) 夹角公式坐标表示：当a 、b 是非零向量时，

相互垂直的向量坐标表示：a b a ·b ＝0 x 1 x 2＋ y 1 y 2＝0．

向量的模坐标表示：设a ＝(x,y )，则a

二、练习题

1．下列命题正确的是（）

A.单位向量都相等

B.长度相等且方向相反的两个向量不一定是共线向量

C.若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0

D.对于任意向量a 、b ，必有|a ＋b |≤|a |＋|b |

2．如图，四边形ABCD 中，AB →＝DC →，则相等的向量是（）

D.若a 与b 不相等，则向量a 与b 是不共线向量

4．如图，设O 是正六边形ABCDEF 的中心，在向量OB →，OC →，

OD →，OE →，OF →，AB →，BC →，CD →，EF →，DE →，F A →中与

5．若向量a ＝（x ＋3，x 2－3x －4）与AB →相等，其中A （1，2），B （3，2），则x 等于（）

A.1

B.0

C.－1

D.2 6．已知a ＝（x ，y ），b ＝(－y ，x )(x ，y 不同时为零)，则a ，b 之间的关系是（）

7．在四边形ABCD 中， AB ＝ DC ，且 AC ·

D. 等腰梯形 8．已知向量a =(2，1)，b =(-1，k )，a ·(2a -b )=0，则k = （）

A ．-12

B ．-6

C ．6

D ．12 9．已知向量a =(1，2)，b =(1，0)，c =(3，4)，若为实数，(a + b )∥c ，则 =（） A ．14 B ．12 C ．1 D ．2

10．若向量a ，b ，c 满足a ∥b 且a ⊥c ，则c ·(a +2b )= （）

11．已知向量a =(1，k )，b =(2，2)，且a +b 与a 共线，那么a ·b 的值为（）

12．设向量a ，b 满足|a |=|b |=1，a ·b =-

12，则|a +2b |= （） A ．2

B ．3

C ．5

D ．7