第十章 足球队排名问题(II)_层次分析法

③特征根法 解判断矩阵A的特征根问题 AW maxW ,
式中 max是A的最大特征根，W是相应的特征向量，
所得到的W经归一化后可作为权重向量。
④对数最小二乘法 用拟合方法确定权重向量
使如下的残差平方和为最小：
1i j n

[1gaij 1g (i / j )]2 .
⑤最小二乘法 确定权重向量 使残差平方和
2 1
为了便于数学处理，我们通常把上面的结果写成如下矩阵 形式，称为成对比较矩阵
B1 B1 B2 B3 1 5 3 B2 1/ 5 1 1/ 3 B3 1/ 3 3 A0 1
步3 单一准则下元素相对权重的计算以及判断 矩阵的一致性检验
为了给出合理的排序，我们把各因素的重要性与物体的 重量进行类比。设有n件物体：A1, A2, …, An ，它们的重量 分别为：w1, w2, …, wn 。若将它们两两相互比较重量，其 比值(相对重量)可构成一个n×n成对比较矩阵
Example 2.1: 企业留成利润的合理使用
某工厂在扩大企业自主权后，厂领导正在考 虑如何合理地使用企业留成的利润。可供选择的 方案有： I 、发奖金； II 、扩建食堂、托儿所； III 、开办职工技校； IV 、建图书馆； V 、引进新 技术。在决策时需要考虑到调动职工劳动生产积 极性，提高职工文化水平和改善职工物质文化生 活状况等三个方面。请你对这些方案的优劣性进 排序，以便厂领导作决策。
ai j a jk aik ，则称A为 一 致 性
矩阵
不是所有的判断矩阵都满足一致性条件，也没有必要 这样严格要求，但不一致性过于严重将导致所做出的 决策排序毫无意义.
Retrun to Example 2.1
首先考虑不同准则对目标的影响。
B3 比B1的影响稍强，B2 比B3的影响稍强，则两两相对比较
a1, 1 a1, 2 a2, 1 a2, 2 AW an, 1 an, 2 a1, n w1 w1 a2, n w2 n w2 nW an, n wn wn
机理分析法: 用经典的数学工具分析现象的因果关系
统计分析法：以随机数学为工具，通过大量的观察数据 寻求统计规律 系统分析法：层次分析法, 它将定性分析和定量分析相结 合，把人们的思维过程层次化和数量化，在目标结构复 杂且缺乏必要的数据情况下尤为实用
1. 层次分析法的基本步骤
层次分析法是把复杂问题分解成各个组成因素，又将这些 因素按支配关系分组形成递阶层次结构。通过两两比较的方式 确定各个因素相对重要性，然后综合决策者的判断，确定决策 方案相对重要性的总排序。运用层次分析法进行系统分析、设 计、决策时，可分为四个步骤进行：
作为最大特征根的近似。
列和归一化法计算步骤如下：
第一步：A的元素按列归一化； 第二步：将归一化后的各列相加； 第三步：将相加后的向量除以n，即得权重向量； 第四步：计算 1 n ( Aw)i 作为最大特征根的近似。 n i 1 wi
2 6 1 A 1/ 2 1 4 1/ 6 1/ 4 1
w1 / wn w2 / wn wn / wn
(1)
经过仔细观察(1)式，我们发现成对比较矩阵的各行之和恰好 与重量向量 W = (w1, w2, …, wn)T成正比，即
w1 w2 wn

j 1
0.6 0.615 0.545 1.760 列向量 各列求和 0.972 归一化 0.3 0.308 0.364 0.268 0.1 0.077 0.091
例
归一化
0.587 0.324 w 0.089
1i j n

[aij (i / j )]2
为最小。
（2）一致性检验
在计算单准则下权重向量时，必须进行一致性检验。在判断矩阵的构造 中，并不要求判断具有传递性和一致性，即不要求 ai j a jk aik 严格 成立，这是由客观事物的复杂性与人的认识的多样性所决定的。但要求判 断矩阵满足大体上的一致性是应该的。如果出现“甲比乙极端重要，乙比 丙极端重要，而丙又比甲极端重要”的判断，则显然是违反常识的，一个 混乱的经不起推敲的判断矩阵有可能导致决策上的失误。而且上述各种计 算排序权重向量（即相对权重向量）的方法，在判断矩阵过于偏离一致性 时，其可靠程度也就值得怀疑了，因此要对判断矩阵的一致性进行检验。
1 2 n
写成向量形式即 W (1 , 2 , , n ) T .
①列和归一化： 将判断矩阵A的n个行向量归一化
后的算术平均值，近似作为权重向量，即
1 i n

j 1
n
aij
a
k 1
n
,
i 1, 2,, n
kj
n ( Aw)i 1 并计算 n i 1 wi
精确值为
w (0.588,0.322,0.090)T , 3.010
1.769 Aw 0.974 0.268
(
1 1.769 0.974 0.268 ) 3.009 3 0.587 0.324 0.089
②几何平均法 将A的各个行向量进行几何平均，然
（1）建立系统的层次结构模型； （2）构造两两比较的判断矩阵； （3）计算单层排序的相对权重及一致性检验； （4）计算总排序权重及一致性检验。
步1 层次结构的建立
首先分解复杂问题，分解后各组成部分称为元素，这些元 素又按属性分成若干组，形成不同层次。同一层次的元素作为 准则对下一层的某些元素起支配作用，同时它又受上面层次元 素的支配。层次可分为三类: （1）最高层：这一层次中只有一个元素，它是问题的预定 目标或理想结果，因此也叫目标层； （2）中间层：这一层次包括要实现目标所涉及的中间环 节中需要考虑的准则。该层可由若干层次组成，因而有准 则和子准则之分，这一层也叫准则层； （3）最底层：这一层次包括为实现目标可供选择的各种 措施、决策方案等，因此也称为措施层或方案层。
注: 建立层次结构模型是进行层次分析的基础，它将思维过 程结构化、层次化，为进一步定量分析创造了条件。
步2 构造两两比较的判断矩阵
层次结构反映了因素之间的关系，例如上图中目标层合理 使用企业留成利润可由准则层中的各准则反映出来。但准则层 中的各准则在目标衡量中所占的比重并不一定相同，在决策者 的心目中，它们各占有一定的比例。 在确定影响某因素的诸因子在该因素中所占的比重时，遇 到的主要困难是这些比重常常不易定量化。虽然你必须让决策 者根据经验提供这些数据，但假如你提出“调动职工劳动积极 性在决定合理使用企业利润留成中占百分之几的比例”之类的 问题，不仅会让人感到难以精确回答，而且还会使人感到你书 生气十足，不能胜任这一工作。 此外，当影响某因素的因子较多时，直接考虑各因子对该 因素有多大程度的影响时，常常会因考虑不周全、顾此失彼而 使决策者提出与他实际认为的重要性程度不相一致的数据，甚 至有可能提出一组隐含矛盾的数据。
后归一化，得到的行向量就是权重向量。其公式为
i
( aij )
j 1 n 1 n
( a
k 1 j 1
n
n
kj
)
1 n
, i 1, 2, , n
1 n
( Aw)i wi i 1
n
计算步骤如下： 第一步：A的元素按列相乘得一新向量； 第二步：将新向量的每个分量开n次方； 第三步：将所得向量归一化后即为权重向量； 第四步：计算近似最大特征值
n
a1, j a2, j a n, j

(2)
根据类比性，我们猜想因素的重要性向量与成 对比较矩阵之间也有同样的关系存在。这就是 下面给出的计算相对权重的列和归一化方法的 思想。
类似的分析还可给出几何平均法计算权重的思想。
对(1)式进一步观察，还有
的定量结果如下： B1: B1 1:1; B2 : B1 5:1; B3 : B1 3:1;
B1: B2 1: 5; B2 : B2 1:1; B3 : B2 1: 3; B1: B3 1: 3 B2 : B3 3:1 B3 : B3 1:1
“定性→定量 ” 假定各因素重要性之间的相对关系为：B 比B 的影响强，
对于准则C，n个元素之间相对重要性的比较得到一个两 两比较判断矩阵
A (aij )nn
其中aij 就是元素 ui 和 uj 相对于 C 的重要性的比例标度。判断矩 阵A具有下性质
aij 0, a ji 1 aij , aii 1
正互反矩阵
由判断矩阵所具有的性质知，一个 n 个元素的判断矩阵只需要 给出其上（或下）三角的n(n-1)/2个元素就可以了，即只需做 n(n-1)/2个比较判断即可。 若前后判断一致，即判 断矩阵A的所有元素满足
a1,1 a2,1 A a n,1
a1,2 a1,n w1 / w1 w1 / w2 a2,2 a2,n w2 / w1 w2 / w2 an,2 an,n wn / w1 wn / w2
(3)
这说明W 还是成对比较矩阵A的特征向量，对应的特 征值为n，理论上已严格地证明了n是A的唯一最大特 征值。按类比法，我们也可以用求最大特征对的办 法来得到重要性向量。这就是下面的特征根法计
算相对权重的由来。
（1）权重计算方法 已知n个元素u1,u2,„,un对于准则C的判断矩阵为A， 求u1,u2,„,un对于准则C的相对权重 , ,, ,
Hale Waihona Puke Baidu分层次
像上图中由上层元素对下层元素的支配关系所形成的层 次结构被称为递阶层次结构。当然，上一层元素可以支配下 层的所有元素，但也可只支配其中部分元素。递阶层次结构 中的层次数与问题的复杂程度及需要分析的详尽程度有关， 可不受限制。每一层次中各元素所支配的元素一般不要超过 9 个，因为心理学研究表明支配的元素过多会给两两比较判断 重要性带来困难。层次结构的好坏对于解决问题极为重要， 当然，层次结构建立得好坏与决策者对问题的认识是否全面、 深刻有很大关系。
2) 层次分析法
美 国 运 筹 学 学 家 T.L.Saaty 在 1977 年 创 立 的 层 次 分 析 法 （Analytic Hierarchy Process，简称AHP）
把无结构决策转化为有序的层次结构决策，实质上是一种方 案排序算法
要求重要性判断矩阵满足一致性检验，它特别适用于那些难 以完全定量分析的问题 在经济、科技、文化、军事、环境乃至社会发展的管理决策 中具有广泛的应用
分析
要处理这类复杂的决策问题，首先需要对问题所涉及 的因素进行分析：哪些是要相互比较的；哪些是相互影响的。 把那些要相互比较的因素归成同一类，相互影响的因素之间用 线段连接，构造出一个各因素类之间相互联结的层次结构模型。 各因素类的层次级别由其与目标的关系而定。上述问题中，因 素可以分为三类： 第一是目标类，即合理地使用今年企业留利××万元； 第二是准则类，这是衡量目标能否实现的标准，如调动职 工劳动积极性、提高企业的生产技术水平等等； 第三是措施类，指实现目标的方案、方法、手段等等。 按目标到措施自上而下地将各类因素之间的直接影响关 系分不同层次排列出来，可以构成一个直观的层次结构图。 如下图所示：
Saaty等人建议可以采取对因子进行两两比较建立 成对比较矩阵的办法。即： 在递阶层次结构中，设上一层元素C为准则，所 支配的下一层元素为u1,u2,…,un对于准则C的相对重 要性即权重。这通常可分两种情况： （ 1 ）如果 u1,u2,…,un 对 C 的重要性可定量（如可以 使用货币、重量等），其权重可直接确定 （2）如果问题复杂，u1,u2,…,un对于C的重要性无 法直接定量，而只能定性，那么确定权重用两两比较 方法。其方法是：对于准则 C，元素 ui和uj哪一个更 重要，重要的程度如何，通常按 1 ～ 9 比例标度对重 要性程度赋值，下表中列出了1～9标度的含义