36函数渐近线及函数图形的描绘共24页
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高等数学 函数图形的描绘
极大
值1 2
5) 作图
(0,1) 1 (1,)
0
拐点
(1,
1 2e
)
y
1 2
y
C
1 2
e
x2 2
A
B
o
x
x (,1) 1 (1,0) 0
( x)
0
( x) ( x)
0
拐点
(1,
1 2e
)
极大
值1 2
(0,1) 1 (1,)
0
拐点
(1,
1 2e
)
y1
2
1
o
1
x
(x)
1 2
e
x2 2
补 2 描绘方程 (x 3)2 4 y 4xy 0的图形 .
例如 ,
双曲线
x2 a2
y2 b2
1
L PN
o
x
有渐近线
x a
y b
0
y
但抛物线 y x2 无渐近线 .
o
x
渐近线的分类: 水平渐近线; 铅直渐近线; 斜渐近线
1. 水平渐近线 ( P35) (平行于 x 轴的渐近线)
若
lim
x
f
(x)
b,
或 lim f (x) b , x
( 其中 b 为常数)
3) 判别曲线形态
x (, 1) 1 (1,1) 1 (1,3) 3 (3, )
y y
0
无 定
0
y
2
义
0
( 极大 )
( 极小 )
4) 求渐近线
lim y , x 1 为铅直渐近线
x1
y
(x 4(
3.6.1函数图形的渐近线
函数图形的渐近线一、函数渐近线的定义二、求函数渐近线一、函数渐近线定义定义:(),,().y f x P P L L y f x ==当曲线上的一动点沿着曲线移向无穷远时如果点到某定直线的距离趋向于零那么直线就称为曲线的一条渐近线1.铅直渐近线000lim ()lim ()lim ()x x x x x x f x f x f x +-→→→=∞=∞=∞如果或或0().x x y f x ==那么就是的一条铅直渐近线具体来说，渐近线分为三种：铅直、水平、斜渐近线.例如,)3)(2(1-+=x x y 有铅直渐近线两条:.3,2=-=x x 21lim (2)(3)x x x →-=∞+-31lim (2)(3)x x x →=∞+-2.水平渐近线lim ()lim ()lim ()x x x f x b f x b f x b →∞→+∞→-∞===如果或或例如,arctan x y =有水平渐近线两条:.2,2π-=π=y y ().y b y f x ==那么就是的一条水平渐近线lim arctan 2x πx →+∞=lim arctan 2x πx →-∞=-3.斜渐近线()lim[()()]0lim [()()]0()(,0).x x x f x ax b f x ax b y ax b y f x a b a →+∞→∞→-∞-+=-+==+=≠如果或，那么就是的一条斜渐近线为常数且斜渐近线求法:()lim 0,x f x a x →∞=≠.])([lim b ax x f x =-∞→()0).y f x a y ax b =+==那么就是曲线的一条斜渐近线(是水平渐近线注意:().a b y f x =如果或不存在，可以断定不存在斜渐近线总之，求函数各种渐近线就是讨论函数在无穷远处的变化趋势，表现手法就是求函数的极限.例1236()1.(3)x f x x =++求的渐近线解:(,3)(3,).D -∞--+∞2336lim ()lim(1)(3)x x x f x x →-→∞=+=+,∞236lim ()lim(1)1(3)x x x f x x →∞→∞=+=+又3.x ∴=-是曲线的铅直渐近线1.y ∴=是曲线的一条水平渐近线二、求函数渐近线=→)(lim 1x f x ,∞.1是曲线的铅直渐近线=∴x =∞→xx f x )(lim 又)1()3)(2(2lim -+-∞→x x x x x =2a =]21)3)(2(2[lim x x x x x --+-∞→1)1(2)3)(2(2lim ---+-=∞→x x x x x x 4b==.42是曲线的一条斜渐近线+=∴x y 例22(2)(3)().1x x f x x -+=-求的所有渐近线解).,1()1,(:+∞-∞ D的两条渐近线如图1)3)(2(2)(-+-=x x x x f小结利用求函数极限的方法求函数各种渐近线，了解无穷远处函数的变化趋势：.y x →∞→∞或。
3.6函数图形的描绘 [兼容模式]
![3.6函数图形的描绘 [兼容模式]](https://img.taocdn.com/s3/m/986021ecf61fb7360b4c65c5.png)
π lim arctan x , x 2
x
lim arctan x
π 2
π π 水平渐近线: y , y . 2 2
2
3.6 函数图形的描绘
水平渐近线 : y c
y f ( x)
1 ).
lim f ( x ) c
3 5 B (0,1), C ( , ). 2 8
A ( 1,0)
y
B (0,1)
3 5 C( , ) 2 8
1
1 3
o
1 3
1
x
1
(1, )
x
f ( x ) f ( x )
f ( x)
1 ( , ) 3
1 3
1 1 ( , ) 3 3
1 3
1 ( ,1) 3
0
极大值
x
f ( x ) f ( x )
1 ( , ) 3 1 3
1 1 ( , ) 3 3
1 3
1 ( ,1) 3
1
(1, )
0
极大值
0
拐点
1 16 ( , ) 3 27
0
极小值
f ( x)
32 27
0
(4) 无渐近线
10
3.6 函数图形的描绘
(5) 补充点 : A ( 1,0),
4( x 2) 8( x 3) f ( x ) , f ( x ) . 3 4 x x
令 f ( x ) 0, 得驻点 x 2,
令 f ( x ) 0, 得x 3.
17
3.6 函数图形的描绘
4( x 1) f ( x) 2 2 x
经典高等数学课件D3-6函数图形的描绘,D3-7曲率分析
(或 x )
x
f ( x) b k7 lim [ f ( x ) g ] a存在， 结论 :lim ( x) lim g( x ) lim f ( x ) 0 x x x
5
x2 的渐近线. 例1.求 f ( x ) 2x 1
解: D : ( , ) ( , ).
(或 x )
( P76 题14)
斜渐近线 y k x b .
f ( x) b lim x [ k ] 0 x x x
f ( x) b lim [ k ] 0 x x x
f ( x) k lim x x
(或 x )
b lim [ f ( x ) k x ]
3
3)斜渐近线 如果
x x
lim [ f ( x ) (ax b )] 0
或 lim [ f ( x ) (ax b )] 0 (a , b 为常数) 那么 y ax b 就是 y f ( x ) 的一条斜渐近线 .
f ( x) [ f ( x ) ax] b. 斜渐近线求法: lim a , lim x x x 那么 y ax b 就是曲线 y f ( x ) 的一条斜渐近线 .
8
4( x 2) 8 ( x 3 ) 4( x 1) , f ( x ) . f ( x) 2 f ( x ) 3 4 2 x x x 列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点:
x
f ( x ) f ( x )
f ( x)
( ,3) 3 ( 3,2)
f ( x) 不存在; 注意: 如果(1) lim x x f ( x) ( 2) lim a 存在, 但 lim[ f ( x ) ax] 不存在, x x x
x
f ( x) b k7 lim [ f ( x ) g ] a存在， 结论 :lim ( x) lim g( x ) lim f ( x ) 0 x x x
5
x2 的渐近线. 例1.求 f ( x ) 2x 1
解: D : ( , ) ( , ).
(或 x )
( P76 题14)
斜渐近线 y k x b .
f ( x) b lim x [ k ] 0 x x x
f ( x) b lim [ k ] 0 x x x
f ( x) k lim x x
(或 x )
b lim [ f ( x ) k x ]
3
3)斜渐近线 如果
x x
lim [ f ( x ) (ax b )] 0
或 lim [ f ( x ) (ax b )] 0 (a , b 为常数) 那么 y ax b 就是 y f ( x ) 的一条斜渐近线 .
f ( x) [ f ( x ) ax] b. 斜渐近线求法: lim a , lim x x x 那么 y ax b 就是曲线 y f ( x ) 的一条斜渐近线 .
8
4( x 2) 8 ( x 3 ) 4( x 1) , f ( x ) . f ( x) 2 f ( x ) 3 4 2 x x x 列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点:
x
f ( x ) f ( x )
f ( x)
( ,3) 3 ( 3,2)
f ( x) 不存在; 注意: 如果(1) lim x x f ( x) ( 2) lim a 存在, 但 lim[ f ( x ) ax] 不存在, x x x
函数渐近线及函数图形的描绘
使用图形计算器绘制函数图形
简单易用、无需额外设置
图形计算器的操作通常非常简单，只需要选择相应的函数 类型或输入函数表达式，就可以自动绘制出相应的图形。 用户无需进行复杂的设置或调整参数，使得绘图过程更加 快速和简便。
使用图形计算器绘制函数图形
功能相对有限
VS
相对于数学软件，图形计算器的功能 相对有限。它们通常只能绘制基本的 函数图形，如直线、二次函数、三角 函数等，而无法绘制更复杂的函数图 形或进行高级的图形定制。
功能强大、精确度高
数学软件如Matlab、Mathematica和Maple等，提供了强大的绘图工具和函数 库，可以绘制各种复杂的函数图形，包括三维图形和极坐标图形。这些软件通常 具有高精度的计算和绘图能力，能够准确地表示函数的形状和变化趋势。
使用数学软件绘制函数图形
操作简便、可视化效果好
这些软件通常具有直观的用户界面和易于操作的命令语言，使得用户可以轻松地绘制函数图形。同时，这些软件还提供了丰 富的颜色、线条样式和标记工具，使得绘制的图形更加生动和易于理解。
验证模型
通过比较函数渐近线和实际数据，可以验证数学模型的准确 性和可靠性。
在科学计算中的应用
数据拟合
在科学实验中，利用函数渐近线可以 对实验数据进行拟合，得到更准确的 结论。
理论推导
在理论推导中，函数渐近线可以作为 理论依据，帮助推导出新的科学理论。
04 函数图形的描绘工具和技 术
使用数学软件绘制函数图形
平移变换
对称变换
将函数图像沿x轴或y轴方向平移一定 的距离。
将函数图像关于原点、x轴或y轴进行 对称。
伸缩变换
将函数图像在x轴或y轴方向上伸缩一 定的比例。
函数作图知识
y arctan x
例2 ：
y
2
定义1.
如果当自变量x (有时仅当x 或x )时， 函数f ( x )以常量b为极限，即 lim f ( x ) b
x
（x 或x )
1 01 x 0
2
x
那么直线y=b称为曲线y=f(x)的水平渐近线 那么直线y=b称为曲线y=f(x)的水平渐近线.
定义2. 如果当自变量x x0 (有时仅当x x0 0或x x0 0)
时，函数 f ( x )为无穷大，即 lim f ( x )
（x x0 0 或x x0 0)
x x0
那么直线x=x0称为曲线y=f(x)的垂直渐近线.
一.函数的渐近线
例1 中.
一.函数的渐近线
例5. 求曲线y
一.函数的渐近线
1 的渐近线. x 1
如上图， lim
x 1
1 , x 1
故直线x 1为曲线y
如上图， lim ln x ,
x 0 0
1 又 lim 0， x x 1
1 的垂直渐近线. x 1 1 的水平渐近线. x 1
故直线x 0为曲线y ln x的垂直渐近线.
求出方程 f " ( x ) 0 在函数定义域内的全部实 根， 用这些根同函数的间断点或导数不存在的点把 函数的定义域划分成几个凸性区间，求其拐点。 函数的定义域划分成几个凸性区间 求其拐点
( 2 ) 求函数的单调区间 , 极值 ;
求出方程 f ' ( x ) 0 在函数定义域内的全部 实根， 用这些根同函数的间断点或导数不存在的点 把函数的定义域划分成几个单调区间， 并求其极值
例2 ：
y
2
定义1.
如果当自变量x (有时仅当x 或x )时， 函数f ( x )以常量b为极限，即 lim f ( x ) b
x
（x 或x )
1 01 x 0
2
x
那么直线y=b称为曲线y=f(x)的水平渐近线 那么直线y=b称为曲线y=f(x)的水平渐近线.
定义2. 如果当自变量x x0 (有时仅当x x0 0或x x0 0)
时，函数 f ( x )为无穷大，即 lim f ( x )
（x x0 0 或x x0 0)
x x0
那么直线x=x0称为曲线y=f(x)的垂直渐近线.
一.函数的渐近线
例1 中.
一.函数的渐近线
例5. 求曲线y
一.函数的渐近线
1 的渐近线. x 1
如上图， lim
x 1
1 , x 1
故直线x 1为曲线y
如上图， lim ln x ,
x 0 0
1 又 lim 0， x x 1
1 的垂直渐近线. x 1 1 的水平渐近线. x 1
故直线x 0为曲线y ln x的垂直渐近线.
求出方程 f " ( x ) 0 在函数定义域内的全部实 根， 用这些根同函数的间断点或导数不存在的点把 函数的定义域划分成几个凸性区间，求其拐点。 函数的定义域划分成几个凸性区间 求其拐点
( 2 ) 求函数的单调区间 , 极值 ;
求出方程 f ' ( x ) 0 在函数定义域内的全部 实根， 用这些根同函数的间断点或导数不存在的点 把函数的定义域划分成几个单调区间， 并求其极值
4-4 曲线的凹向、渐近线与函数图形描绘
3 9 六、 a = − , b = . 2 2 2 . 七、 k = ± 8
二、曲线的渐近线
定义: 当曲线 y = f ( x) 上的一动点 P 沿着曲线 定义:
, 移向无穷点时 如果点 P 到某定直线 L的距离 趋向于零, 那么直线 L 就称为曲线 y = f ( x) 的 一条渐近线.
1.铅直渐近线 1.铅直渐近线 (垂直于 x 轴的渐近线 )
∴ 在[0,2π]内曲线有拐点为
3π 7π ( ,0), ( ,0). 4 4
注意: 注意: 若 f ′′( x 0 ) 不存在, 点 ( x 0 , f ( x0 )) 也可能
是连续曲线 y = f ( x ) 的拐点.
例4
求曲线 y = 3 x 的拐点.
2 5
1 −3 4 −3 解 当x ≠ 0时, y′ = x , y′′ = − x , 时 3 9 x = 0是不可导点 , y′, y′′均不存在 .
但在( −∞ ,0)内, y′′ > 0, 曲线在( −∞ ,0]上是凹的; 在(0,+∞ )内, y′′ < 0, 曲线在[0,+∞ )上是凸的 .
∴ 点(0,0)是曲线 y = 3 x的拐点.
小结
曲线的弯曲方向——凹凸性 凹凸性; 曲线的弯曲方向 凹凸性 凹凸性的判定. 凹凸性的判定 改变弯曲方向的点——拐点 拐点; 改变弯曲方向的点 拐点 拐点的求法1, 拐点的求法 2.
不存在
(0,+∞ )
+
凹
−
凸
+
凹
思考题
内二阶可导， 设 f ( x ) 在( a , b ) 内二阶可导，且 f ′′( x 0 ) = 0 ， 其中 x 0 ∈ (a , b ) ，则( x 0 , f ( x 0 ))是否一定为 的拐点？举例说明. 曲线 f ( x ) 的拐点？举例说明
函数图形的描绘
2. 斜渐近线 若
(或 x )
( k x b) ( k x b)
斜渐近线 y k x b .
f ( x) b lim x[ k ]0 x x x f ( x) b lim [ k ]0 x x x
f ( x) b 即 k lim [ ] x x x
1 令 f ( x ) ＝ 0， 得可疑点： x 2
lim f ( x ) lim e
x x x2
0
得水平渐近线 y 0 ，
曲线 y f ( x ) 不存在其它渐近线.
列表确定函数单调区间,凹凸区间，极值点和拐点:
x
f ( x ) f ( x )
1 1 1 (, ) ( ,0) 2 2 2
第六节 函数图形的描绘
第六节 函数图形的描绘
一、曲线的渐近线 二、函数图形的描绘
三、内容小结
返回
一、 曲线的渐近线 定义 若曲线 C上的点M 沿着曲线无限地远离原点
时, 点 M 与某一直线 L 的距离趋于 0, 则称直线 L 为 曲线C 的渐近线 . 或为“纵坐标差”
y
C M
y f ( x)
解:
定义域： (,0) (0,)
f ( x ) 4( x 2) , 3 x f ( x ) 8( x 3) . 4 x
令 f ( x ) 0, 得驻点 x 2, 令 f ( x ) 0, 得点 x 3.
4( x 1) lim f ( x ) lim [ 2] 2 得水平渐近线 y 2 ， 2 x x x
y kxb
L
PN
例如, 双曲线 有渐近线
o
x y 0 a b
chap3-6函数图形的描绘 共22页
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第三步 确 定 在 这 些 部 分 区 间 内 f'(x)和 f"(x)的 符 号 ， 并 由 此 确 定 函 数 的 增 减 性 与 极 值 及 曲 线 的 凹 凸 与 拐 点 （ 可 列 表 进 行 讨 论 ） ；
第四步 确定函数图形的水平、铅直渐近线、斜渐 近线以及其他变化趋势;
那么yaxb就是y f(x)的一条斜渐 . 近
斜渐近线求法:
limf(x) a, li[m f(x)a]x b.
x x
x
那y么 a xb就是y 曲 f(x)线 的一条.斜
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注意: 如果
(1) lim f (x) 不存在; x x
(2 )lif m (x )a存 ,但 在 li[m f(x ) a]不 x ,存
0
0
f(x) f (x)
极大值
32
27
拐点
( 1 , 16 ) 3 27
极小值
0
y
B(0,1)
C (3,5) 28
A(1,0)
1
1 o 1
3
3
1
x
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yx3x2x1
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四、小结
函数图形的描绘综合运用函数性态的研究,是导 数应用的综合考察.
x x
x
可以断 y定 f(x)不存在斜.渐近线
例1 求f(x)2(x2)x (3)的渐. 近线 x1
解 D :(,1 ) (1 ,) .
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limf(x), x1
第三步 确 定 在 这 些 部 分 区 间 内 f'(x)和 f"(x)的 符 号 ， 并 由 此 确 定 函 数 的 增 减 性 与 极 值 及 曲 线 的 凹 凸 与 拐 点 （ 可 列 表 进 行 讨 论 ） ；
第四步 确定函数图形的水平、铅直渐近线、斜渐 近线以及其他变化趋势;
那么yaxb就是y f(x)的一条斜渐 . 近
斜渐近线求法:
limf(x) a, li[m f(x)a]x b.
x x
x
那y么 a xb就是y 曲 f(x)线 的一条.斜
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注意: 如果
(1) lim f (x) 不存在; x x
(2 )lif m (x )a存 ,但 在 li[m f(x ) a]不 x ,存
0
0
f(x) f (x)
极大值
32
27
拐点
( 1 , 16 ) 3 27
极小值
0
y
B(0,1)
C (3,5) 28
A(1,0)
1
1 o 1
3
3
1
x
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yx3x2x1
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四、小结
函数图形的描绘综合运用函数性态的研究,是导 数应用的综合考察.
x x
x
可以断 y定 f(x)不存在斜.渐近线
例1 求f(x)2(x2)x (3)的渐. 近线 x1
解 D :(,1 ) (1 ,) .
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limf(x), x1
高等数学随堂讲解函数图形描绘
(2) 求出函数的一阶导数f '(x) 和二阶导数f ''(x); (3) 求出方程f '(x)＝０和f "(x)＝０在函数定义域内的全
部实根，用这些根同函数的间断点或导数不存在的点 把函数的定义域划分成几个部分区间.
(4) 确定在这些部分区间内f '(x)和f "(x)的符号，并由此 确定函数的升降和凸凹，极值点和拐点
x x0
x x0
则称x=x0为y=f(x)的一条铅直渐近线
o
x
例如 y
1
,
( x 2)( x 3)
有两条铅直渐近线:
x 2, x 3.
2.水平渐近线（平行于x轴的渐近线）
y
如果 lim f (x) b 或 lim f (x) b
x
x
则称y=b为y=f(x)的一条水平渐近线
o
x x
注
b lim[ f (x) ax] x
如果 (1) lim f ( x) 不存在
x x
(2) lim f ( x) a 存在，但 lim[ f ( x ) ax ]不存在
x x
x
则y=f(x)不存在斜渐近线
a lim f ( x) , b lim[ f ( x) ax].
x x
函数图形的描绘
一、函数的性态 二、函数图形的描绘
函数图形的描绘
一、函数的性态 二、函数图形的描绘
➢函数的性态
特性
定义域
整 值域 体 奇偶性
有
周期性
限
连续性
局 部
单调性
无
凸凹性
限
渐近线
性态
自变量变化范围 函数取值范围 图形的对称性 图形的平移性 图形的连续性 图形的升降 图形的弯曲方向 图形的变化趋势
部实根，用这些根同函数的间断点或导数不存在的点 把函数的定义域划分成几个部分区间.
(4) 确定在这些部分区间内f '(x)和f "(x)的符号，并由此 确定函数的升降和凸凹，极值点和拐点
x x0
x x0
则称x=x0为y=f(x)的一条铅直渐近线
o
x
例如 y
1
,
( x 2)( x 3)
有两条铅直渐近线:
x 2, x 3.
2.水平渐近线（平行于x轴的渐近线）
y
如果 lim f (x) b 或 lim f (x) b
x
x
则称y=b为y=f(x)的一条水平渐近线
o
x x
注
b lim[ f (x) ax] x
如果 (1) lim f ( x) 不存在
x x
(2) lim f ( x) a 存在，但 lim[ f ( x ) ax ]不存在
x x
x
则y=f(x)不存在斜渐近线
a lim f ( x) , b lim[ f ( x) ax].
x x
函数图形的描绘
一、函数的性态 二、函数图形的描绘
函数图形的描绘
一、函数的性态 二、函数图形的描绘
➢函数的性态
特性
定义域
整 值域 体 奇偶性
有
周期性
限
连续性
局 部
单调性
无
凸凹性
限
渐近线
性态
自变量变化范围 函数取值范围 图形的对称性 图形的平移性 图形的连续性 图形的升降 图形的弯曲方向 图形的变化趋势
第四节 曲线的凹向,渐近线及图像的描绘-PPT文档资料
(1) f(x)0,则f(x)在[a,b]上的图形是上凹的;
(2) f(x)0,则f(x)在[a,b]上的图形是下凹的.
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例1 判 断 曲 线 y x 3的 凹 向 . DR
解 y3x2, y6x, 当x0时，y 0, 曲 线 在 ( ,0 ] 为 下 凹 的 ； 当x0时，y 0, 曲 线 在 [ 0 , ) 为 上 凹 的 ； 注意到, 点 ( 0 , 0 ) 是 曲 线 由 下 凹 变 上 凹 的 分 界 点 .
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三、作图举例
例5 作函 f(x)数 4(x x 21)2的图 . 形 解 D:x0, 非奇非偶函数,且无对称性.
f(x)4(xx3 2),
f(x)8(xx4 3).
令f(x)0, 得驻 x点 2,
令 f(x)0, 得特殊 x点 3.
lx i m f(x)lx i [m 4(x x 21)2] 2
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lx i0m f(x)lx i0[m 4(x x 21)2] , 得铅垂渐近x线0.
列表确定函数升降区间,凹向区间及极值点和拐点:
x ( ,3) 3 (3,2)2 (2,0) 0 (0,)
f(x) 0
不存在
f(x)
0
f (x)
拐点
(3, 26) 9
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例2 求 曲 线 y 3 x 4 4 x 3 1 的 拐 点 及 凹 向 .
解 D :(, )
y1x 2 31x 2 2, y36x(x2).
令y0,
得x1
0,
x2
2. 3
3
x (,0)
0
(0, 2 3)
3.6曲线的渐近线及其函数作图
§3.6 曲线的渐近线
1. 水平渐近线 2. 垂直渐近线 3. 斜渐近线
-1-
定义3.3 . 若曲线 C上的点M 沿着曲线无限地远离原点
时, 点 M 与某一直线 L 的距离趋于 0, 则称直线 L为
曲线C 的渐近线 .
例如, 双曲线
或为“纵坐标差” y
y f (x)
C M y kxb
L PN
有渐近线 但抛物线
4 (拐3点）
2 3
(极小)
3
-10-
例2 描绘函数
的图形.
解 1) 定义域为
图形对称于 y 轴.
2) 求关键点
y
1
x
e
x2 2
,
2
y
1
2
e
x2 2
(1
x2
)
令 y 0得 x 0; 令 y 0得x 1
3) 判别曲线形态
x 0 (0, 1) 1 (1, )
y 0
y
0
y
1
2
1
2 e
于确定函数位置的点，描绘函数图形 .
-9-
例1 描绘
的图形.
解 1) 定义域为
无对称性及周期性.
2) y x2 2x xx 2
y 2x 2 2x 1
令 y 0,
令 y 0,
1 1 2 3
3) x (,0) 0 (0,1) 1 (1, 2) 2 (2, )
y 0
0
y
0
y
2
x 1 3 (极大) 4) y 2 2
a lim [ f (x) b ],
x x
x
a lim f (x) , x x
(或x )
1. 水平渐近线 2. 垂直渐近线 3. 斜渐近线
-1-
定义3.3 . 若曲线 C上的点M 沿着曲线无限地远离原点
时, 点 M 与某一直线 L 的距离趋于 0, 则称直线 L为
曲线C 的渐近线 .
例如, 双曲线
或为“纵坐标差” y
y f (x)
C M y kxb
L PN
有渐近线 但抛物线
4 (拐3点）
2 3
(极小)
3
-10-
例2 描绘函数
的图形.
解 1) 定义域为
图形对称于 y 轴.
2) 求关键点
y
1
x
e
x2 2
,
2
y
1
2
e
x2 2
(1
x2
)
令 y 0得 x 0; 令 y 0得x 1
3) 判别曲线形态
x 0 (0, 1) 1 (1, )
y 0
y
0
y
1
2
1
2 e
于确定函数位置的点，描绘函数图形 .
-9-
例1 描绘
的图形.
解 1) 定义域为
无对称性及周期性.
2) y x2 2x xx 2
y 2x 2 2x 1
令 y 0,
令 y 0,
1 1 2 3
3) x (,0) 0 (0,1) 1 (1, 2) 2 (2, )
y 0
0
y
0
y
2
x 1 3 (极大) 4) y 2 2
a lim [ f (x) b ],
x x
x
a lim f (x) , x x
(或x )
36函数渐近线及函数图形的描绘共25页
补例 作函 f(x) 数 4 (x x 21 )2的.图形 解 D :x0, 非奇非偶函数,且无对称性.
f(x)4(x x 32),
f(x)8(xx 43).
令 f(x)0 , 得驻 x点 2,
令 f(x )0 , 得特殊 x点 3. lx ifm (x ) lx i[4 m (x x 21 ) 2 ]2, 得水平渐y近线 2; lx i0fm (x ) lx i0 [4 m (x x 21 ) 2 ] ,
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例2
作
函 (x数 ) 1
x2
e2
的图 . 形
2
解 D :(, ) ,
0(x) 2 10.4.
偶函数, 图形关于y轴对称.
(x)
x
x2
e 2,
2
(x)(x1 )x (1 )ex 2 2. 2
令 (x)0, 得驻x点 0,
令 (x)0 , 得特x殊 1,点 x1.
li m (x)lim 1ex 2 20, 得水平渐近 y线 0.
得铅直渐近 x线 0.
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解 D :(, ) ,无奇偶性及周期性.
f ( x ) ( 3 x 1 )x ( 1 ),f(x ) 2 (3 x 1 ).
令 f(x)0 , 得驻 x1,点 x1 . 3
令 f(x )0 , 得特殊 x点 1. 3
补充点:
A(1,0), B(0,1), C (3,5). 28
列表确定函数单调区间, 凹凸区间及极值点与拐点:
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x (,1) 1 ( 1 , 1) 1
3
3
33
3
( 1 ,1) 3
1 (1,)
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(C) 仅有铅直渐近线；
(D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线.
提示: xl im11eexx22 1;
xl im011eexx22
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x x x x(x1)
b lim [f(x ) k x ] lim [2 (x 2 )(x 3 ) 2 x ]
x
x x 1
lim 2(x2)(x3)2x(x1)
x
x1
4,
y 2 x 4 是 曲 线 的 一 条 斜 渐 近 线 .
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f(x ) 2 (x 2 ) (x 3 )的 两 条 渐 近 线 如 图 x 1
x
xl im x22x22x3x3
yx2为曲线的斜渐近线 .
y x2 1
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练习 求 f(x)2 (x2)(x3 )的 渐 近 线 . x 1
解 D :( ,1)U (1, ).
Qlimf(x), limf(x).
x1
x1
x 1 是 曲 线 的 铅 直 渐 近 线 .
又Qklimf(x) lim2(x2)(x3) 2 ,
得铅直渐近 x线 0.
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列表确定函数单调区间,凹凸区间及极值点和拐点:
x ( ,3) 3 (3,2)2 (2,0) 0 (0,)
f (x) f(x) f (x)
0
0
拐点
(3, 26) 9
极值点
3
不存在
y
6
间 B断 点
补充点: (1 3 ,0 ),(1 3 ,0 );
得水平渐近 y线 0.
x
x 2
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列表确定函数单调区间,凹凸区间及极值点与拐点:
x ( ,1)1 (1,0) 0 (0,1) 1 (1,)
(x)
0
(x) (x)
0 0
拐点
(1, 1 ) 2e
极大值
1
2
拐点
(1, 1 ) 2e
y1
2
1
o
1
x
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(x)
x x
x
可 以 断 定 y f( x ) 不 存 在 斜 渐 近 线 .
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补例. 求曲线
的渐近线 .
解: y x3 , limy, (x3)(x1) x3
(或x1)
3
所以有铅直渐近线 x3及 x1
又因
k
limf
x
(x) x
xl im x2
x2 2x3
blim [f(x)x]
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例2
作函(数 x)
1
x2
e2
的图 . 形
2
解 D:(, ),
0(x) 1 0.4. 2
偶函数, 图形关于y轴对称.
(x)
x
x2
e 2,
2
(x)(x1)x (1)ex22. 2
令 (x)0,
得驻x点 0,
令 (x)0, 得特x殊 1,点 x1.
lim (x)lim1
x2
e2
0,
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二、函数图形的描绘
步骤 :
1. 确定函数 期性 ;
的定义域 , 并考察其对称性及周
2. 求
并求出 及
为 0 和不存在
的点 ;
3. 列表判别增减及凹凸区间 , 求出极值和拐点 ;
4. 求渐近线 ;
5. 确定某些特殊点 , 描绘函数图形 .
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例1 作函 f(x) 数 x3x2x1的.图形
1
x2
e2
2
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补例 解
作函 f(x)数 4(x x 21)2的图 . 形 D:x0, 非奇非偶函数,且无对称性.
f(x)4(xx3 2),
f(x)8(xx4 3).
令f(x)0, 得驻 x点 2,
令 f(x)0, 得特殊 x点 3. lx i m f(x)lx i [m 4(x x 21)2]2, 得水平渐y近线 2; lx i0m f(x)lx i0[m 4(x x 21)2] ,
x x x
lim x[f(x)kb]0
x x
x
klimf(x) x x
(或x )
lim [f(x)kb]0Fra bibliotekx x
x
blim [f(x)kx]
x (或x )
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注意: 如果
(1)limf (x) 不存在; x x
或 (2 )lim f(x ) k 存 在 ,但 lim [f(x ) k x ]不 存 在 ,
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x (, 1) 1 ( 1 , 1 ) 1
3
3
33
3
( 1 ,1 ) 3
1 (1,)
f (x)
0
0
f(x) f (x)
极大值
32
27
拐点
( 1 , 16 ) 3 27
极小值
0
y
B(0,1)
C (3,5) 28
A(1,0)
1
1 o 1
3
3
1
x
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yx3x2x1
A(1,2), B(1,6), C(2,1).
C
1
3 2 1 o 1 2
x
2
A
3
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内容小结
1. 曲线渐近线的求法
水平渐近线 ; 垂直渐近线;
斜渐近线
2. 函数图形的描绘
按作图步骤进行
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思考与练习
曲线
D y11eexx22 (
)
(A) 没有渐近线；
(B) 仅有水平渐近线；
(或x )
若
则曲线
有垂直渐近线 xx0.
(或xx0)
补例. 求曲线
的渐近线 .
解: lim ( 1 2)2
2
xx1
1
y2为水平渐近线;
lim ( 1 2),x1为垂直渐近线. x 1x1
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2. 斜渐近线 ( P75 题13)
若
(kxb)
(或x )
(kxb)
斜渐近线 ykxb. klim [f(x)b]
解 D:(, ),无奇偶性及周期性.
f(x ) ( 3 x 1 )x ( 1 ),f(x ) 2 (3 x 1 ).
令f(x)0, 得驻 x点 1, x1. 3
令 f(x)0,
得特殊x点 1. 3
补充点:
A(1,0),
B(0,1),
C (3 , 5). 28
列表确定函数单调区间, 凹凸区间及极值点与拐点:
一、 曲线的渐近线
定义 . 若曲线 C上的点M 沿着曲线无限地远离原点
时, 点 M 与某一直线 L 的距离趋于 0, 则称直线 L 为
曲线C 的渐近线 .
例如, 双曲线
有渐近线
x y0 ab
y
y f(x)
C M ykxb
L PN
o
x
y
ox
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1. 水平与铅直渐近线
若
则曲线
有水平渐近线 yb.