36函数渐近线及函数图形的描绘共24页

解 D:(, ),无奇偶性及周期性.
f(x ) ( 3 x 1 )x ( 1 ),f(x ) 2 (3 x 1 ).
令f(x)0, 得驻 x点 1, x1. 3
令 f(x)0,
得特殊x点 1. 3
补充点:
A(1,0),
B(0,1),
C (3 , 5). 28
列表确定函数单调区间, 凹凸区间及极值点与拐点:
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例2
作函(数 x)
1
x2
e2
的图 . 形
2
解 D:(, ),
0(x) 1 0.4. 2
偶函数, 图形关于y轴对称.
(x)
x
x2
e 2,
2
(x)(x1)x (1)ex22. 2
令 (x)0,
得驻x点 0,
令 (x)0, 得特x殊 1,点 x1.
lim (x)lim1
x2
e2
0,
1
x2
e2
2
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补例 解
作函 f(x)数 4(x x 21)2的图 . 形 D:x0, 非奇非偶函数,且无对称性.
f(x)4(xx3 2),
f(x)8(xx4 3).
令f(x)0, 得驻 x点 2,
令 f(x)0, 得特殊 x点 3. lx i m f(x)lx i [m 4(x x 21)2]2, 得水平渐y近线 2; lx i0m f(x)lx i0[m 4(x x 21)2] ,
一、 曲线的渐近线
定义 . 若曲线 C上的点M 沿着曲线无限地远离原点
时, 点 M 与某一直线 L 的距离趋于 0, 则称直线 L 为
曲线C 的渐近线 .
例如, 双曲线
有渐近线
x y0 ab
y
y f(x)
C M ykxb
L PN
o
x
y
ox
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1. 水平与铅直渐近线
若
则曲线
有水平渐近线 yb.
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二、函数图形的描绘
步骤 :
1. 确定函数 期性 ;
的定义域 , 并考察其对称性及周
2. 求
并求出 及
为 0 和不存在
的点 ;
3. 列表判别增减及凹凸区间 , 求出极值和拐点 ;
4. 求渐近线 ;
5. 确定某些特殊点 , 描绘函数图形 .
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例1 作函 f(x) 数 x3x2x1的.图形
x x x
lim x[f(x)kb]0
x x
x
klimf(x) x x
(或x )
lim [f(x)kb]0
x x
x
blim [f(x)kx]
x (或x )
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注意: 如果
(1)limf (x) 不存在; x x
或 (2 )lim f(x ) k 存 在 ,但 lim [f(x ) k x ]不 பைடு நூலகம் 在 ,
x x x x(x1)
b lim [f(x ) k x ] lim [2 (x 2 )(x 3 ) 2 x ]
x
x x 1
lim 2(x2)(x3)2x(x1)
x
x1
4,
y 2 x 4 是 曲 线 的 一 条 斜 渐 近 线 .
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f(x ) 2 (x 2 ) (x 3 )的 两 条 渐 近 线 如 图 x 1
(或x )
若
则曲线
有垂直渐近线 xx0.
(或xx0)
补例. 求曲线
的渐近线 .
解: lim ( 1 2)2
2
xx1
1
y2为水平渐近线;
lim ( 1 2),x1为垂直渐近线. x 1x1
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2. 斜渐近线 ( P75 题13)
若
(kxb)
(或x )
(kxb)
斜渐近线 ykxb. klim [f(x)b]
x
xl im x22x22x3x3
yx2为曲线的斜渐近线 .
y x2 1
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练习 求 f(x)2 (x2)(x3 )的 渐 近 线 . x 1
解 D :( ,1)U (1, ).
Qlimf(x), limf(x).
x1
x1
x 1 是 曲 线 的 铅 直 渐 近 线 .
又Qklimf(x) lim2(x2)(x3) 2 ,
(C) 仅有铅直渐近线；
(D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线.
提示: xl im11eexx22 1;
xl im011eexx22
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得铅直渐近 x线 0.
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列表确定函数单调区间,凹凸区间及极值点和拐点:
x ( ,3) 3 (3,2)2 (2,0) 0 (0,)
f (x) f(x) f (x)
0
0
拐点
(3, 26) 9
极值点
3
不存在
y
6
间 B断 点
补充点: (1 3 ,0 ),(1 3 ,0 );
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x (, 1) 1 ( 1 , 1 ) 1
3
3
33
3
( 1 ,1 ) 3
1 (1,)
f (x)
0
0
f(x) f (x)
极大值
32
27
拐点
( 1 , 16 ) 3 27
极小值
0
y
B(0,1)
C (3,5) 28
A(1,0)
1
1 o 1
3
3
1
x
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yx3x2x1
A(1,2), B(1,6), C(2,1).
C
1
3 2 1 o 1 2
x
2
A
3
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内容小结
1. 曲线渐近线的求法
水平渐近线 ; 垂直渐近线;
斜渐近线
2. 函数图形的描绘
按作图步骤进行
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思考与练习
曲线
D y11eexx22 (
)
(A) 没有渐近线；
(B) 仅有水平渐近线；
x x
x
可 以 断 定 y f( x ) 不 存 在 斜 渐 近 线 .
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补例. 求曲线
的渐近线 .
解: y x3 , limy, (x3)(x1) x3
(或x1)
3
所以有铅直渐近线 x3及 x1
又因
k
limf
x
(x) x
xl im x2
x2 2x3
blim [f(x)x]
得水平渐近 y线 0.
x
x 2
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列表确定函数单调区间,凹凸区间及极值点与拐点:
x ( ,1)1 (1,0) 0 (0,1) 1 (1,)
(x)
0
(x) (x)
0 0
拐点
(1, 1 ) 2e
极大值
1
2
拐点
(1, 1 ) 2e
y1
2
1
o
1
x
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(x)