大一微积分复习资料
大一微积分复习总结
微积分期中复习第一章 函数与极限一、函数1、数轴、区间、领域2、函数的概念：设有两个变量x 和y ，如果当某非空集合D 内任取一个数值时， 变量y 按照一定的法则(对应规律)f ，都有唯一确定的值y 与之对应，则称y 是x 的函数。
记作()y f x =，其中变量x 称为自变量，它的取值范围D 称为函数的定义域；变量y 称为因变量，它的取值范围是函数的值域，记作()Z f ，即(){|(),}Z f y y f x x D ==∈。
函数的表示：函数的表示有三种。
公式法、表格法和图示法。
3、函数的几种特性函数的有界性、奇偶性、单调性和周期性。
4、初等函数(1) 基本初等函数① 幂函数：y x μ=(μ为任意实数)， y kx b =+， 2y ax bx c =++ ② 指数函数：x y a =(0a >且1a ≠) ③ 对数函数：log a y x =(0a >且1a ≠)。
恒等式： log (0,1)a N a N a a =>≠ 换底公式： log log log c a c bb a=运算的性质：log log log a a a xy x y =+，log log log aa a yy x x=-。
④ 三角函数：sin ,cos ,tan ,cot ,sec ,csc y x y x y x y x y x y x ======。
⑤ 反三角函数：arcsin ,arccos ,arctan ,cot y x y x y x y arc x ====。
(2) 反函数： (3) 复合函数： 5、常见的经济函数(1) 成本函数、收益函数和利润函数01()()C x C C x =+， ()()R x p x x =⋅，()()()L x R x C x =-。
(2) 需求函数与供给函数 (),()d d s s Q f p Q f p ==二、极限的概念与性质1、数列的极限 (1) 数列(2) 数列极限的定义 (3) 数列极限的几何意义 2、函数的极限(1) 当自变量x →∞时函数()f x 的极限 (2) 当自变量0x x →时函数()f x 的极限 (3) 左右极限3、函数极限的主要性质极限的唯一性、局部有界性、局部保号性。
微积分大一考试必背知识点
微积分大一考试必背知识点微积分是数学中重要的一个分支，是描述变化和运动的工具。
对于大一学习微积分的学生来说，掌握一些必备的知识点可以帮助他们更好地理解微积分的概念和应用。
下面是一些大一微积分考试中必背的知识点。
1. 无穷小与极限在微积分中，无穷小是一个基本概念。
对于函数f(x)，当x趋向于某一点a时，如果f(x)的值趋近于0，那么f(x)就是无穷小。
极限是无穷小的重要概念，表示函数f(x)在某一点的值的趋近情况。
大一考试中，对于极限的求解是一个重点，学生需要了解极限的定义、性质和求解方法。
2. 导数与微分导数是微积分中的一个重要概念，表示函数在某一点上的变化率。
导数的求解是微积分的基本操作之一，对于大一学生来说，熟练掌握导数的计算方法是至关重要的。
此外，微分是导数的一个应用，表示函数在某一点上的线性近似。
在考试中，学生需要掌握导数和微分的定义、性质和计算方法。
3. 积分与不定积分积分是微积分的另一个重要概念，表示函数在某一区间上的累积效应。
不定积分是积分的一种形式，表示函数的原函数。
对于大一学生来说，了解积分和不定积分的定义、性质和计算方法是必须的。
在考试中，学生需要掌握积分和不定积分的基本性质和计算方法。
4. 微分方程微分方程是微积分的一个重要应用领域，用于描述变化和运动的规律。
对于大一学生来说，掌握解微分方程的方法是考试的一个重点。
学生需要了解一阶和二阶微分方程的基本概念和解法，并能够应用到实际问题中。
5. 泰勒展开与级数泰勒展开是微积分中的一个重要工具，用于将一个函数在某一点附近用无穷级数的形式表示。
对于大一学生来说，理解泰勒展开的思想和应用是必要的。
在考试中，学生需要掌握泰勒展开的定义和计算方法，并能够应用到函数的近似计算和函数性质的研究中。
6. 曲线的切线与法线切线和法线是微积分中常用的概念，用于描述曲线在某一点的特性。
对于大一学生来说，熟练掌握曲线的切线和法线的求解方法是必要的。
在考试中，学生需要了解切线和法线的定义和计算方法，并能够应用到曲线性质的研究中。
大学微积分总复习提纲
2
微积分（一） calculus
第二章 极限与连续
极限的描述性定义与左右极限
极限四则运算
未定式求极限(因式分解/有理化/同除最高次项)
求极限
夹逼定理 两个重要极限
无穷小量X有界函数(注意无穷小量性质)
等价代换(加减不能代换，乘除可以代换)
洛必达法则(注意运用条件，与上述方法结合)
必考：先分清极限类型，选择相应方法
微积分（一） calculus
第一章 函数
初等函数 分段函数
定义域、值域 奇偶性 周期性 有界性 反函数
选择题或填空题：与换元法结合考察上述知识点
1
微积分（一） calculus
第一章 函数
经济学函数
需求与供给函数 成本函数 收益函数 利润函数 库存函数
边际与弹性 最优化问题
应用题必考：与求导、求极值、最值知识点结合
5
微积分（一） calculus
第三章 导数与微分
导数的定义与左右导数 (求分段点导数，判断可导性与连续性，求极限)
必考：判断分段函数分段点可导性，与连续性、可微 结合考察；与求极限及无穷小量基本性质结合考察。
6
微积分（一） calculus
第三章 导数与微分
基本公式
求导数
四则运算 链式法则 反函数求导
9
微积分（一） calculus
第五章 多元函数微分学
ห้องสมุดไป่ตู้
求极限
极限定义与不同方向的极限 极限四则运算 未定式求极限(因式分解/有理化) 夹逼定理 无穷小量X有界函数(注意无穷小量性质) 等价代换(加减不能代换，乘除可以代换) 换元法后，使用洛必达法则
必考：先分清极限类型，选择相应方法
大一微积分知识点总结
大一微积分知识点总结
函数与极限：
函数的定义与性质（奇偶性、周期性、单调性等）函数的四则运算与复合运算极限的概念与性质极限的运算法则无穷小与无穷大的概念极限存在准则（如夹逼准则）导数：
导数的定义（增量比、差商、导数）导数的几何意义（切线斜率）导数的计算法则（常数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的导数等）高阶导数隐函数与参数方程的导数函数的单调性与导数的关系微分：
微分的定义与性质微分的计算法则微分在近似计算中的应用中值定理与导数的应用：
*罗尔定理（Rolle's Theorem）
拉格朗日中值定理（Lagrange's Mean Value Theorem）柯西中值定理（Cauchy's Mean Value Theorem）泰勒公式（Taylor's Formula）函数图形的描绘（利用导数判断凹凸性、拐点等）最值问题（一阶、二阶导数判断最值）不定积分：
不定积分的定义与性质不定积分的计算法则（幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的不定积分等）积分表的使用换元积分法分部积分法定积分：
定积分的定义与性质微积分基本定理（牛顿-莱布尼茨公式）定积分的计算（直接计算、换元积分法、分部积分法）定积分的应用（面积、体积、弧长、旋转体体积等）无穷级数：
数列的概念与性质无穷级数的概念与性质正项级数的审敛法（比较审敛法、比值审敛法、根值审敛法等）交错级数的审敛法（莱布尼茨审敛法）幂级数的概念与性质函数展开成幂级数（泰勒级数、麦克劳林级数）
以上是对大一微积分主要知识点的总结，每个知识点都有许多细节和深入的内容需要学习和掌握。
在学习过程中，要注重理解概念和原理，多做练习，加强实践应用。
大一微积分高数期末知识点
大一微积分高数期末知识点微积分是大一高数课程中的一门重要学科，涵盖了许多基础的数学知识和计算方法。
在期末考试前，了解和掌握微积分的关键知识点对于取得好成绩至关重要。
本文将为您总结大一微积分高数期末考试中的主要知识点。
一、极限与连续1. 极限的定义和性质极限是微积分的核心概念之一，了解极限的定义和性质是理解微积分的基础。
掌握函数极限和数列极限的定义，熟练运用极限的性质进行计算和证明是必不可少的。
2. 连续的概念与判定了解函数在某一点的连续性的定义和判定方法。
可利用极限的性质判定函数在某一点的连续性。
二、导数与微分1. 导数的定义和计算法则理解导数的定义和计算法则是解决微积分问题的关键。
熟悉基本的导数计算法则，如常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的导数等，并能够熟练运用。
2. 高阶导数了解高阶导数的概念和计算方法。
能够使用高阶导数解决相关的数学问题。
3. 微分的概念与应用理解微分的概念，能够根据问题应用微分进行计算，如求近似值、求最大值最小值等。
三、积分与不定积分1. 积分的定义和计算法则熟悉积分的定义和计算法则，包括基本积分法则、分部积分法、换元积分法等。
能够运用这些法则解决各种不定积分问题。
2. 定积分了解定积分的概念和几何意义。
能够计算定积分，求解曲线下的面积、弧长、旋转体的体积等。
四、微分方程1. 微分方程的基本概念了解微分方程的定义和基本概念，包括阶数、常微分方程和偏微分方程等。
2. 一阶常微分方程掌握一阶常微分方程的求解方法，如可分离变量法、齐次方程法、一阶线性微分方程法等。
3. 高阶常微分方程了解高阶常微分方程的求解方法，特别是二阶常微分方程的特征方程法和常系数法等。
五、级数与幂级数1. 级数的定义和性质掌握级数的概念及其基本性质，理解级数的敛散性和收敛域的判定方法。
2. 幂级数了解幂级数的定义和性质，掌握幂级数的收敛域和求和方法，熟练运用幂级数求解函数展开和逼近问题。
六、空间解析几何1. 空间直角坐标系与向量理解空间直角坐标系的基本概念和性质，熟悉向量的基本运算法则和坐标表示。
大一微积分理论知识点
大一微积分理论知识点微积分是数学中非常重要的一个分支，其理论知识点为我们深入了解和应用微积分奠定了基础。
下面将介绍大一学生在学习微积分时需要掌握的一些理论知识点。
一、导数与导数的应用1. 导数的定义：导数表示函数在某一点上的变化率，可以通过极限来定义。
2. 导数的基本性质：导数具有线性性、可导函数的和差积商的导数、导数的复合等性质。
3. 微分学基本定理：导数可以用来求函数的极值、判别函数的单调性等。
4. 高阶导数：高阶导数表示对函数进行多次求导的结果。
5. 泰勒公式与泰勒展开：泰勒公式可以将函数近似表示为多项式的形式，用于计算复杂函数的近似值。
二、积分与积分的应用1. 不定积分与定积分：不定积分是求导运算的逆运算，用于确定函数的一个原函数；定积分是求函数在一定区间上面积的运算。
2. 积分的计算方法：常用的计算方法包括换元积分法、分部积分法、定积分的几何意义等。
3. 微积分基本定理：微积分基本定理将导数和积分联系在一起，反映了导数和积分的基本性质。
4. 曲线长度与曲面面积的计算：利用积分可以计算曲线长度和曲面面积，对应于一维和二维几何问题的求解。
三、微分方程1. 微分方程的概念与分类：微分方程是含有未知函数及其导数的方程，根据方程中未知函数、自变量和导数的不同形式，可以将微分方程分为常微分方程和偏微分方程。
2. 一阶常微分方程：一阶常微分方程是指方程中最高阶导数为一阶的微分方程，常见的一阶常微分方程包括可分离变量方程、线性方程、一阶齐次与非齐次线性方程等。
3. 高阶常微分方程：高阶常微分方程是指方程中最高阶导数为高阶的微分方程，可以通过特征方程、待定系数法等方法求解。
4. 常微分方程的应用：常微分方程在物理、化学、工程等领域中有广泛的应用，例如模拟振动系统、生长模型、电路分析等问题。
总结起来，大一微积分的理论知识点主要包括导数与导数的应用、积分与积分的应用以及微分方程。
这些知识点对于建立数学思维、掌握分析问题的方法和提高数学应用能力具有重要作用。
大一微积分考前复习
(iii) f(a) = f(b). 那么在开区间(a, b)内必定(至少)存在一点, 使
f ( ) 0.
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拉格朗日中值定理
设函数 f (x) 满足： (i) f(x) 在闭区间 [a, b] 上连续; (ii) f(x) 在开区间 (a, b) 内可导.
y 轴、原点.
(3)截距：令 x 0, 得y 1; 令y 0, 得x 1 .
曲线过点(
0,1)和 1 ,0
2
2
(4)单调区间、极值、凹向和拐点：
y f (x) 2x y f (x) 2(2x 1)
(x 1)3
(x 1) 4
令 y 0,得 x 0; 令 y 0,得
当 x 时1 ， y和 y都不存在.
0
所以y0是曲线
因为
lim
x
y x
lim
x
2x1 x(x1)2
0
所以曲线
y
2x1 (x 1)2
的铅垂渐近线
y
2x1 (x 1)2
的平渐近线
y
2x1 (x 1)2
没有斜渐近线
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感谢您的观赏！
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5、会求曲线的凹凸区间、拐点和渐近线
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例9、 确定函数
y的凹1向2及xx2拐点
解
y
2(1 x2) (1 x2)2
，
y
4x(3 x2) (1 x2)3
令y0 得x0
x (, 3) 3 ( 3, 0) 0
(0, 3)
y
0
0
x 3
大一微积分期中知识点总结
大一微积分期中知识点总结微积分是数学的一个分支，它主要研究函数的变化与其相关的数学概念。
作为大一学生，微积分是我们的必修课之一，其涉及的知识点不仅重要，而且会对我们今后的学习产生深远的影响。
因此，在此我将对大一微积分的期中考试所涉及的知识点进行总结，希望能够对大家复习和巩固知识有所帮助。
一、函数与极限1. 函数的概念与表示方法2. 极限的定义及其性质3. 左极限和右极限的概念4. 极限存在的条件及计算方法5. 极限的四则运算法则二、导数与微分1. 导数的概念与计算方法2. 一阶导数与高阶导数3. 隐函数的求导及相关问题4. 微分的概念及其应用5. 导数在几何上的意义三、微分中值定理1. 罗尔定理及其证明2. 拉格朗日中值定理及其证明3. 柯西中值定理及其证明4. 应用中值定理解决相关问题四、不定积分与定积分1. 不定积分的概念与计算方法2. 基本积分表与常用积分公式3. 定积分的概念与计算方法4. 牛顿-莱布尼兹公式及其应用5. 定积分的几何与物理应用五、微分方程1. 微分方程的概念与基本类型2. 一阶常微分方程的求解方法3. 可分离变量型微分方程解法4. 齐次型微分方程解法5. 一阶线性微分方程解法六、级数与泰勒展开1. 级数的概念与基本性质2. 数项级数的概念与判敛方法3. 幂级数的概念与收敛半径4. 函数的泰勒展开与近似计算5. 泰勒公式及其余项估计七、微分计算工具1. 极值点与驻点的判定2. 函数的凹凸性与拐点的判定3. 作图与图形的分析4. 常微分方程的应用问题5. 物理问题中的微积分应用以上是本次期中考试所涉及的大一微积分知识点总结，希望本文能够帮助到大家。
在复习过程中，请大家务必对每个知识点进行深入理解，善于应用于实际问题，并注意灵活运用相关的公式与定理。
同时，还要多做练习题，加深对知识的掌握和理解。
祝愿大家在微积分这门课程中取得优秀的成绩！。
大一微积分下期期末知识点
大一微积分下期期末知识点微积分是数学的一个重要分支，对于大一学生而言，学习微积分是非常重要的一门课程。
下面我将为大家总结一下大一微积分下学期期末考试的知识点，希望能够帮助大家复习和备考。
一、函数与极限1. 函数的定义与性质- 函数的定义及表示法- 常见函数的性质：奇偶性、周期性、单调性、有界性等2. 极限的定义与性质- 极限的定义与极限存在的条件- 极限的性质：唯一性、局部有界性等- 极限运算法则：四则运算、复合函数、有理函数等3. 极限的计算- 基本初等函数的极限计算- 无穷大与无穷小的概念与计算- 极限存在的判定方法：夹逼准则、单调有界准则等二、导数与微分1. 导数的概念与性质- 导数的定义与几何意义- 导数与函数的连续性、可导性的关系- 常见函数的导数公式与性质2. 导数的计算- 基本初等函数的导数计算- 导数的四则运算法则与复合函数求导法则- 高阶导数的定义与计算3. 微分的概念与性质- 微分的定义与几何意义- 微分的计算与近似计算三、微分中值定理与应用1. 罗尔中值定理与拉格朗日中值定理- 罗尔中值定理的条件与结论- 拉格朗日中值定理的条件与结论2. 泰勒公式与应用- 泰勒公式的定义与表述- 泰勒公式的应用：函数近似、极值、曲线拟合等3. 函数的单调性与曲线的凹凸性- 函数单调性的判定方法- 函数曲线的凹凸性与拐点的判定方法四、不定积分与定积分1. 不定积分的概念与性质- 不定积分的定义与几何意义- 基本积分表与常见公式2. 不定积分的计算方法- 基本积分法与换元积分法- 分部积分法与有理函数积分法3. 定积分的概念与性质- 定积分的定义与几何意义- 定积分的性质：线性性、区间可加性等4. 定积分的计算- 几何应用：面积、体积、弧长等- 基本积分表与常见公式的应用五、微分方程与其应用1. 微分方程的基本概念与分类- 微分方程的定义与基本概念- 一阶微分方程与高阶微分方程的分类2. 一阶微分方程的求解- 可分离变量方程的求解- 齐次方程的求解- 一阶线性微分方程的求解3. 高阶微分方程的求解- 常系数齐次线性微分方程的求解- 非齐次线性微分方程的求解：待定系数法、常数变易法等4. 微分方程的应用- 物理问题中的微分方程建模- 生物问题中的微分方程建模以上就是大一微积分下学期期末考试的知识点总结。
大一微积分需要记的知识点
大一微积分需要记的知识点微积分是现代数学的重要分支，涉及到函数、极限、导数、积分等概念与方法。
对于大一学习微积分的学生来说，掌握一些基本的知识点是非常必要的。
下面将介绍大一微积分需要记住的知识点。
1.函数的基本概念函数是一种特殊的关系，可以将一个集合的元素与另一个集合的元素进行对应。
通常用f(x)表示函数，其中x为自变量，f(x)为因变量。
函数的定义域、值域、图像等是我们需了解的重要概念。
2.极限的定义与性质极限是微积分的基本概念，描述函数在某一点附近的特性。
若函数f(x)当自变量趋向于某个值a时，函数值趋向于某个常数L，则称函数f(x)在x趋于a时的极限为L，记作limf(x)=L。
掌握极限的定义、性质以及求解方法是大一微积分的重要内容之一。
3.导数的概念与计算导数是刻画函数变化率的概念，表示函数在某一点的瞬时变化率。
导数的定义为函数f(x)在点x处的极限，记作f'(x)或df(x)/dx。
通过求导可以求得函数的切线、函数极值等重要信息。
4.常见函数的导数运算在大一微积分中，我们需要熟悉常见函数的导数运算规则。
例如，常值函数的导数为0，幂函数、指数函数、对数函数的导数等等。
掌握这些导数运算规则可以帮助我们更快地求解导数问题。
5.高阶导数与导数应用除了一阶导数，函数还可以有更高阶的导数，称为二阶导数、三阶导数，以此类推。
高阶导数可以帮助我们进一步研究函数的性质。
导数在物理、经济等领域有着广泛的应用，如速度、加速度等概念可以通过导数来描述。
6.不定积分与定积分的概念不定积分是导数的逆运算，也称为原函数。
定积分是对函数某一区间上的面积进行求解的数学工具。
掌握不定积分和定积分的概念以及基本计算方法是大一微积分的重点内容。
7.基本微积分定理基本微积分定理将不定积分与定积分联系起来，是微积分的重要定理之一。
它指出，若函数F(x)是函数f(x)的一个原函数，则函数在区间上的定积分可以通过求解该原函数在区间端点处的函数值之差得到。
大学数学微积分复习重点
大学数学微积分复习重点微积分是大学数学中的重要组成部分，对于理工科和经济类专业的学生来说，掌握微积分知识至关重要。
为了帮助大家更好地复习微积分，以下是一些重点内容。
一、函数与极限函数是微积分的基础，要理解函数的概念，包括定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等。
掌握常见函数的性质和图像，如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
极限是微积分的核心概念之一。
要掌握极限的定义、性质和运算法则。
学会求各种类型的极限，如数列极限、函数极限（包括趋向于无穷大、某一点等情况）。
熟练运用极限的四则运算法则、两个重要极限以及等价无穷小替换等方法来计算极限。
二、导数与微分导数是函数的变化率，要理解导数的定义和几何意义。
掌握基本初等函数的求导公式，如常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的导数。
熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则。
微分是导数的应用，理解微分的概念和几何意义。
掌握微分的运算法则，以及利用微分进行近似计算和误差估计。
三、中值定理与导数的应用中值定理是微积分中的重要定理，包括罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理。
要理解这些定理的条件和结论，并能够运用它们证明相关的问题。
导数的应用广泛，如函数的单调性与极值、函数的凹凸性与拐点、函数图形的描绘等。
通过求导判断函数的单调性和极值点，利用二阶导数判断函数的凹凸性和拐点，能够准确地描绘出函数的图形。
四、不定积分与定积分不定积分是求导的逆运算，要掌握不定积分的基本公式和积分方法，如换元积分法、分部积分法。
定积分是微积分的重要内容，理解定积分的定义、几何意义和性质。
掌握定积分的计算方法，包括牛顿莱布尼茨公式。
能够运用定积分求平面图形的面积、旋转体的体积、曲线的弧长等。
五、反常积分反常积分包括无穷限的反常积分和无界函数的反常积分。
要理解反常积分的收敛和发散的概念，掌握反常积分的计算方法和判别敛散性的方法。
六、多元函数微积分对于多元函数，要理解多元函数的概念、定义域、值域。
大一微积分期末考试知识点
大一微积分期末考试知识点微积分是数学的重要分支，也是大一学生必修的一门课程。
期末考试对于学生来说是一个重要的节点，掌握好考试的重点知识是至关重要的。
在本文中，将对大一微积分期末考试的知识点进行整理和总结。
一、导数与微分导数是微积分的重要概念之一，对于理解函数变化趋势、求解极值等问题具有重要作用。
在考试中，需要掌握以下知识点：1. 导数的定义：导数可以看作是函数在某一点上的变化率，其定义为函数f(x)在点x处的极限，即f'(x)=lim(f(x+h)-f(x))/h(h→0)。
2. 基本导数公式：常见的导数公式有常数函数的导数、幂函数的导数、指数函数的导数、对数函数的导数等。
需要熟练掌握这些基本公式。
3. 高阶导数：导数也可以继续求导，得到的就是高阶导数。
在考试中可能会涉及到二阶导数、三阶导数等的求导计算。
二、不定积分不定积分是微积分中的另一个重要概念，它与导数有密切的联系。
在考试中，需要掌握以下知识点：1. 不定积分的定义：不定积分是函数的一个原函数。
即对于函数f(x)和它的原函数F(x)，有F'(x)=f(x)，则F(x)称为f(x)的原函数。
2. 基本积分公式：常见的积分公式有幂函数的积分、指数函数的积分、三角函数的积分等。
需要熟练掌握这些基本公式。
3. 积分的基本性质：积分有线性性质、定积分的可加性等基本性质，需要理解和灵活运用。
三、定积分与积分应用定积分是微积分中的重要内容之一，在解决面积、体积、弧长等问题时具有重要作用。
在考试中，需要掌握以下知识点：1. 定积分的定义：定积分可以理解为函数在一定区间上的累计和，其定义为f(x)在区间[a,b]上的极限，即∫[a,b]f(x)dx=limΔx→0∑i=1n f(xi)Δxi。
2. 定积分的计算方法：除了基本积分公式外，还需要掌握换元积分法、分部积分法等计算定积分的方法。
3. 积分应用：定积分有许多应用，如计算曲线下面的面积、求解旋转体的体积、计算曲线的弧长等。
大一高等数学微积分知识点
大一高等数学微积分知识点微积分作为大一高等数学的重要组成部分，是数学学习中的基础与核心内容。
掌握微积分的知识点对于学生来说至关重要。
本文将从微积分的基本概念、导数、积分以及应用等方面介绍一些大一高等数学微积分的知识点。
一、基本概念1. 函数与极限：函数是自变量与因变量之间的关系。
极限是函数在某一点上的特殊取值方式，表示随着自变量的趋近，函数值的趋近情况。
2. 连续与间断：在一个区间内，如果函数在任意点上都连续，则函数在该区间内连续。
如果存在某一点使得函数在该点不连续，则函数在该点间断。
二、导数1. 导数的定义：导数是描述函数变化率的概念，表示函数在某一点上的瞬时变化率。
导数的定义为函数在该点上的极限。
2. 基本求导法则：常见函数的求导规则包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
通过基本求导法则，可以求得函数在某一点的导数。
三、积分1. 定积分：定积分是求函数在一个区间上的总量的方法。
它表示函数在该区间内的面积或曲线长度。
2. 不定积分：不定积分是求函数的原函数的过程，结果表示函数的“积分”。
四、应用1. 最值与最优化问题：利用微积分的知识可以求解函数的最值问题，比如最大值、最小值问题。
在应用中，还可以通过最优化问题来做出最佳决策。
2. 曲线的切线与法线：导数的概念可以帮助我们计算曲线在某一点的切线斜率，进而求得切线方程。
同时，利用切线的垂直性质，可以求得曲线在该点的法线方程。
以上仅为大一高等数学微积分的一些基本知识点的介绍，针对每个知识点还有更加深入的理论和应用。
学生应该通过课堂学习、习题练习与实际运用，逐步掌握微积分知识，建立起扎实的数学基础。
掌握微积分知识不仅对于学习数学学科有很大帮助，也对于其他学科的学习和科学研究具有重要作用。
希望学生通过努力学习，能够将微积分知识应用到实际问题中，提升自己的数学素养。
大学微积分复习(史上最全)
大学微积分复习(史上最全)引言本文档旨在为大学微积分的研究者提供一份全面的复资料。
微积分是数学领域中的重要学科，对于理解和应用各种数学问题至关重要。
通过系统的复和掌握微积分的基本概念和技巧，你将能够更好地应用微积分解决实际问题。
内容概述本文档将涵盖以下主要内容：1. 微积分的基本概念和原理2. 微分学的应用和技巧3. 积分学的应用和技巧4. 微分方程的解法5. 多元微积分的概念和应用微积分的基本概念和原理1. 函数的定义和性质2. 极限和连续3. 导数和微分- 导数的定义和计算- 常见函数的导数- 导数的应用：切线和法线4. 积分和不定积分- 积分的定义和计算- 不定积分的计算方法- 微积分基本定理微分学的应用和技巧1. 函数的图像和特性- 函数的图像和曲线的性质- 高阶导数和函数的凹凸性2. 极值和最值- 极值和最值的定义和判定条件- 最优化问题的求解方法积分学的应用和技巧1. 定积分的计算- 定积分的定义和计算方法- 常用积分公式和换元积分法2. 曲线下面积和定积分的应用- 曲线下面积的计算- 旋转体的体积计算- 曲线长度和曲面积的计算微分方程的解法1. 微分方程的基本概念和分类2. 一阶常微分方程的解法- 可分离变量方程- 齐次方程- 一阶线性方程3. 高阶微分方程的解法- 齐次线性方程和非齐次线性方程的解法- 常系数线性微分方程的特殊解- 欧拉方程和变系数线性微分方程的解法多元微积分的概念和应用1. 多元函数和偏导数2. 多重积分的计算方法- 二重积分的计算- 三重积分的计算3. 曲线积分和曲面积分- 曲线积分的计算- 曲面积分的计算- 格林公式和高斯公式结论通过全面复习本文档中所提及的内容，你将能够更好地理解和应用微积分的知识。
微积分作为数学学科中的基础和关键，对于各个领域的理解和创新都起到了重要作用。
祝你在微积分的学习和考试中取得好成绩！。
微积分大一期末知识点
微积分大一期末知识点微积分是大一学生必修的一门数学课程，它是研究函数及其变化规律的数学分支。
在期末考试中，我们需要熟练掌握一些重要的微积分知识点，以便解决与函数相关的问题。
本文将介绍微积分大一期末考试的重要知识点。
一、导数与微分导数是描述函数变化率的概念，表示函数曲线在某一点处的切线斜率。
大一期末考试中，我们需要掌握导数的计算方法，特别是函数常用的求导法则，如常数法则、幂法则、和差法则、乘法法则和除法法则等。
此外，还需掌握链式法则和反函数导数的计算方法。
微分是导数的一个应用概念，用于研究函数的局部变化。
微分可以看作导数的近似值，在大一期末考试中，我们需要掌握微分的计算方法，特别是利用导数计算函数在某一点的微分值。
二、函数的极值与最值函数的极值和最值是描述函数在特定区间内的最大值和最小值的概念。
在大一期末考试中，我们需要掌握求函数极值和最值的方法。
通过求导数，找出导数为零或不存在的点，然后通过二阶导数或边界点的判断来确定函数的极值和最值。
三、定积分与不定积分定积分是描述曲线与坐标轴之间的面积或曲线长度的概念。
在大一期末考试中，我们需要掌握定积分的计算方法，特别是使用不定积分法来求函数的定积分。
同时，我们还需掌握定积分的基本性质，如可加性、线性性质和区间可加性等。
不定积分是定积分的逆运算，表示求函数的原函数。
在大一期末考试中，我们需要掌握不定积分的计算方法，特别是使用基本积分公式、换元积分法和分部积分法来求函数的原函数。
此外，还需要注意积分常数的加减问题。
四、微分方程微分方程是描述函数与其导数（或微分）之间关系的方程。
在大一期末考试中，我们需要掌握一阶微分方程的基本概念和解法，如可分离变量法、一阶线性微分方程和齐次微分方程等。
同时，还需了解微分方程的初值问题和特解的求法。
五、泰勒展开泰勒展开是用多项式来逼近函数的方法。
在大一期末考试中，我们需要掌握泰勒展开的基本思想和计算方法，特别是泰勒级数展开和泰勒多项式的求法。
大一微积分基础考试必背知识点
大一微积分基础考试必背知识点微积分是数学的一门重要分支，也是大学数学教学中的一门必修课程。
在大一微积分基础考试中，掌握一些必备的知识点能够帮助学生更好地应对考试，提高成绩。
本文将介绍大一微积分基础考试中的一些必背知识点，以供参考。
一、函数与极限1. 函数的定义与分类：函数的定义，常见函数的分类（多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等）。
2. 函数的极限：极限的定义，极限的运算法则，常用极限公式（如sin x/x的极限等），函数的左右极限与无穷远处的极限。
3. 无穷小与无穷大：无穷小的定义与性质，无穷大的定义与性质，无穷小的比较、运算法则。
二、导数与微分1. 导数的概念与计算方法：导数的定义，导数的几何意义，导数的计算方法（基本初等函数的导数、常数乘法法则、和差法则、乘积法则、商法则等）。
2. 高阶导数与高阶微分：高阶导数的概念与计算，高阶微分的概念与计算。
3. 微分与线性近似：微分的几何意义，微分的应用（线性近似、误差估计等）。
三、微分中值定理1. 罗尔定理：罗尔定理的条件和结论，罗尔定理的几何解释。
2. 拉格朗日中值定理：拉格朗日中值定理的条件和结论，拉格朗日中值定理的几何解释。
3. 柯西中值定理：柯西中值定理的条件和结论，柯西中值定理的几何解释。
四、不定积分与定积分1. 不定积分的定义与基本性质：不定积分的定义，常用不定积分公式（如基本初等函数的不定积分、分部积分法、换元积分法等），定积分与不定积分的关系。
2. 定积分的定义与性质：定积分的定义，定积分的几何意义，定积分的性质（线性性、可加性、保号性等）。
3. 牛顿-莱布尼茨公式：牛顿-莱布尼茨公式的表述与应用。
以上是大一微积分基础考试中的一些必背知识点，希望对你的备考有所帮助。
在复习中，要结合教材和课堂笔记进行系统学习，多做一些相关的例题和习题，加强对概念的理解和运用能力。
同时，也要注重对公式和性质的记忆，以便在考试中能够熟练运用。
加油，祝你考试顺利！。
(完整版)微积分复习资料
基本知识复习一、 不定积分1． 不定积分概念，第一换元积分法（1） 原函数与不定积分概念设函数()F x 与()f x 在区间(),a b 内有定义，对任意的(),x a b ∈，有()()'F x f x =或()()dF x f x dx =，就称()F x 是()f x 在(),a b 内的一个原函数。
如果()F x 是函数()f x 的一个原函数,称()f x 的原函数全体为()f x 的不定积分,记作()(),f x dx F x C =+⎰（2） 不定积分得基本性质1．()()df x dx f x dx=⎰2。
()()'F x dx F x C =+⎰ 3。
()()()().Af x Bg x dx A f x dx B g x dx +=+⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰（3）基本不定积分公式表一()()122222(1)2)1,13ln C,x (4)arctan ,1(5)arcsin ,(6)cos sin ,(7)sin cos ,(8)sec tan ,cos (9)csc cot ,sin (10)sec t kdx kx C k x x dx C dx x dx x C x x C xdx x C xdx x C dx xdx x C x dxxdx x C x x μμμμ+=+=+≠-+=+=++=+=+=-+==+==-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰是常数，（1（）22an sec ,(11)csc cot csc ,(12),ln (13),(14),1(15),1(16).xxxdx x C x xdx x C a a dx C ashxdx chx C chxdx shx C dx thx C ch x dx cthx C sh x =+=-+=+=+=+=+=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰（3） 第一换元积分法（凑微分法）设()f u 具有原函数, ()u x ϕ=可导,则有换元公式()()()()'.u x f x x dx f u du ϕϕϕ=⎡⎤=⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰⎰2． 第二换元积分法，分部积分法（1） 第二换元积分法设()x t ψ=是单调的、可导的函数,并且()'0t ψ≠.又设()()'f t t ψψ⎡⎤⎣⎦具有原函数,则有换元公式()()()()1',t x f x dx f t t dt ψψψ-=⎡⎤=⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰⎰其中()1x ψ-是()x t ψ=的反函数.（2） 分部积分法设函数()u u x =及()v v x =具有连续导数,那么,()''',uv u v uv =+移项,得 ()'''.uv uv u v =-对这个等式两边求不定积分,得''.uv dx uv u vdx =-⎰⎰这个公式称为分部积分公式.它也可以写成以下形式:.udv uv vdu =-⎰⎰（3） 基本积分公式表二(2222(17)tan ln cos )cot ln sin ,sec ln sec tan C,(20)csc ln csc cot ,1(21)arctan ,1(22)ln ,2(23)arcsin ,(24)ln ,(2xdx x C xdx x C xdx x xdx x x C dx x C a x a a dx x adx C x a a x a xC a x C =-+=+=++=-+=++-=+-+=+=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰，（18（19）5)ln .x C =+ （3）有理函数的积分，三角函数有理式的积分，某些简单无理式的积分一、有理函数的积分 两个多项式的商()()P x Q x 称为有理函数，又称为有理分式.我们总假定分子多项式()P x 与分母多项式()Q x 之间是没有公因式的.当分子多项式()P x 的次数小于分母多项式()Q x 的次数时,称这有理函数为真分式,否则称为假分式.利用多项式的除法,总可以将一个假分式化成一个多项式与一个真分式之和的形式,由于多项式的积分容易求,故我们将重点讨论真分式的积分方法.对于真分式()()n m P x Q x ,首先将()m Q x 在实数范围内进行因式分解,分解的结果不外乎两种类型:一种是()kx a -,另外一种是()2lx px q ++,其中,k l 是正整数且240p q -<;其次,根据因式分解的结果,将真分式拆成若干个分式之和.具体的做法是:若()m Q x 分解后含有因式()kx a -,则和式中对应地含有以下k 个分式之和:()()()122,k kA A A x a x a x a +++---L 其中:1,,k A A L 为待定常数.若()m Q x 分解后含有因式()2lx px q ++,则和式中对应地含有以下l 个分式之和:()()()11222222,l l l M x N M x N M x N x px q x px q x px q ++++++++++++L 其中:(),1,2,,i i M N i l =L 为待定常数.以上这些常数可通过待定系数法来确定.上述步骤称为把真分式化为部分分式之和,所以,有理函数的积分最终归结为部分分式的积分.二、可化为有理函数的积分举例 例4 求()1sin .sin 1cos xdx x x ++⎰解 由三角函数知道,sin x 与cos x 都可以用tan2x的有理式表示,即 222222222tan 2tan22sin 2sin cos ,22sec 1tan 221tan 1tan 22cos cos sin .22sec 1tan 22x x x x x x xx xx x x x x ===+--=-==+如果作变换()tan2xu x ππ=-<<,那么 22221sin ,cos ,11u u x x u u -==++ 而2arctan ,x u =从而22.1dx du u =+ 于是()22222221sin sin 1cos 2211121111112212ln 2211tan tan ln tan .42222xdx x x u du u u u u u u u du u u u u C x x xC ++⎛⎫+ ⎪++⎝⎭=⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭⎛⎫=++ ⎪⎝⎭⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭=+++⎰⎰⎰例5求. 解u =,于是21,2,x u dx udu =+=从而所求积分为()222222111212arctan 12.u u dx udu dux u u du u u C u C =⋅=++⎛⎫=-=-+ ⎪+⎝⎭=+⎰⎰⎰⎰ 例6求解u =,于是322,3,x u dx u du =-=从而所求积分为223113113ln 13ln 1.2u duu u duu u u u C C =+⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭⎛⎫=-+++=+ ⎪⎝⎭⎰⎰例7 求解 设6x t =,于是56,dx t dt =从而所求积分为()()52223266111616arctan 16arctan .t t dt dt t t tdt t t C t C ==++⎛⎫=-=-+ ⎪+⎝⎭=+⎰⎰⎰例8求.解t =,于是()2222112,,,11x tdtt x dx x t t +===---从而所求积分为 ()()()22222222*********ln 1122ln 1ln 12ln 1ln .t t t t dt dtt t t dt t Ct t t t t C x C -=-⋅=----⎛⎫=-+=--+ ⎪-+⎝⎭=-++--+⎫=-++⎪⎪⎭⎰⎰⎰二、 定积分（1） 定积分概念，微积分基本定理，定积分得基本性质 （1） 定积分的概念1。
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大学的考试比较简单，主要以书本为主，下面的复习指导可作提引作用。
10—11学年第一学期“微积分”期末复习指导第一章 函数一．本章重点复合函数及分解，初等函数的概念。
二．复习要求1、 能熟练地求函数定义域；会求函数的值域。
2、理解函数的简单性质，知道它们的几何特点。
3、 牢记常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等六类基本初等函数的表达式，知道它们的定义域、值域、性质及图形特点。
其中⑴. 对于对数函数ln y x =不仅要熟记它的运算性质，还能熟练应用它与指数函数 xy e=互为反函数的关系，能熟练将幂指函数作如下代数运算： ln vu v ue =⑵.对于常用的四个反三角函数，不仅要熟习它们的定义域、值域及简单性质，还要熟记它们在特殊点的函数值.4、 掌握复合函数，初等函数的概念，能熟练地分解复合函数为简单函数的组合。
5、 知道分段函数，隐函数的概念。
. 三．例题选解例1. 试分析下列函数为哪几个简单函数（基本初等函或基本初等函数的线性函数）复合而成的？ ⑴.2sin x y e =⑵.21arctan()1y x =+ 分析：分解一个复合函数的复合过程应由外层向里层进行，每一步的中间变量都必须是基本初等函数或其线性函数（即简单函数）。
解：⑴.2,,sin u y e u v v x===⑵.21arctan ,, 1.y u u v x v===+例 2. cot y arc x =的定义域、值域各是什么？cot1arc ＝？ 答：cot y arc x = 是cot ,(0,)y x x π=∈ 的反函数，根据反函数的定义域是原来函数的值域，反函数的值域是原来函数的定义域，可知cot y arc x =的定义域是(,)f D =-∞+∞，值域为(0,)f Z π=.cot14arc π=四．练习题及参考答案1. ()arctan f x x =则f (x )定义域为 ，值域为 f (1) = ；(0)f = .2.()arcsin f x x =则f (x )定义域为 ，值域为 f (1) =；f = .3.分解下列函数为简单函数的复合： ⑴.3x y e -= ⑵.3ln(1)y x =- 答案：1.（-∞ +∞）, (,)22ππ-,,04π2. []1,1,,,,2223ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.3. ⑴.,3u y e u x ==-⑵.3ln ,1.y u u x ==-自我复习：习题一.（A ）55．⑴、⑵、⑶；习题一.（B ）.11.第二章 极限与连续一．本章重点极限的计算；函数的连续及间断的判定；初等函数的连续性。
二．复习要求1．了解变量极限的概念，掌握函数f (x )在x 0点有极限的充要条件是：函数在x 0点的左右极限都存在且相等。
2.理解无穷小量与无穷大量的概念和关系，掌握无穷小量的运算性质，特别是无穷小量乘以有界变量仍为无穷小。
例如：1sin lim sin0,lim0x x xx xx→→∞==3.会比较无穷小的阶。
在求无穷小之比的极限时，利用等价无穷小代换可使运算简化，常用的等价无穷小代换有： 当()x α 0时,有：sin ()x α～()x α； tan ()x α～()x α()1x e α-～()x α;ln(1())x α+～()x α;1～()x nα1cos ()x α-～2()2x α.…….（参见教材P79）4.掌握两个重要极限:(Ⅰ).0sin lim1x xx→=(Ⅱ).101lim(1)lim(1)xx x x e x x→∞→+==+记住它们的形式、特点、自变量的变化趋势及扩展形式(变形式).并能熟练应用其求极限，特别是应用重要极限(Ⅱ)的如下扩展形式求1∞型未定式极限：10lim(1)lim(1)xk x x x k e kx x→∞→+==+ 10lim(1)lim(1)x kx x x k e kx x-→∞→-==- 5.掌握函数连续的概念， 知道结论：初等函数在其定义区间内都是连续的，分段函数在定义区间内的不连续点只可能是分段点。
函数f (x )在分段点x 0处连续的充要条是：函数在x 0点极限存在且等于0()f x ，即：0lim ()()x x f x f x →=当分段函数在分段点0x 的左右两边表达式不相同时，函数f (x )在分段点x 0处连续的充要条件则是：0lim ()lim ()()x x x x f x f x f x -+→→==.6. 掌握函数间断点及类型的判定。
函数的不连续点称为间断点，函数()f x 在0x 点间断，必至少有下列三种情况之一发生：⑴、()f x 在0x 点无定义；⑵、0lim ()x x f x →不存在；⑶、存在0lim ()x x f x →，但00lim ()()x x f x f x →≠.若0x 为()f x 的间断点，当)(lim 0x f x x +→及)(lim 0x f x x -→都存在时，称0x 为()f x 的第一类间断点，特别)(lim 0x f x x +→＝)(lim 0x f x x -→时（即0lim ()x x f x →存在时），称0x 为()f x 的可去间断点；)(lim )(lim 00x f x f x x x x -+→→≠时称0x 为()f x 的跳跃间断点。
不是第一类间断点的都称为第二类间断点。
7.了解连续函数的运算性质及闭区间上连续函数的性质,特别要知道闭区间上的连续函数必有最大值与最小值。
8.能够熟练地利用极限的四则运算性质；无穷小量、无穷大量的关系与性质；等价无穷小代换；教材P69公式（2.6）；两个重要极限；初等函数的连续性及洛必达法则(第四章)求函数的极限。
三.例题选解例1.单项选择题⑴下列极限中正确的是（ ）A.sin lim1x xx→∞= B. 1sin lim11x x x→∞=C. 20sin lim1x x x→= D. 0tan lim 1x x x →= ⑵ 当0x →1是2sin x 的（ ）A.低阶无穷小；B.高阶无穷小；C.同阶无穷小，但不是等价无穷小；D. 等价无穷小； 分析与解：⑴． A 与 C 显然都不对，对于D, 记tan ()xf x x=， 则tan 0()tan 0x x xf x x x x⎧>⎪⎪=⎨⎪<⎪-⎩∴0tan lim ()lim 1x x xf x x++→→==tan lim ()lim 1x x xf x x--→→==--0lim ()x f x +→≠即D 也不对，剩下的B 就是正确答案。
⑵． 由于222200022lim lim 1x x x x x x x →→→=== ∴ 应选择D. 例3.求极限：⑴0lim x →2ln(1)1cos x x-- ⑵lim x →∞2()5xx x --解: ⑴ 此极限为00型 ∵当0x →时，有2ln(1)x -～2()x -, 1cos x -～22x∴0lim x →2ln(1)1cos x x-- 220lim 22x x x →-==-⑵ 此极限为1∞型，可用重要极限()II 。
lim x →∞2()5x x x -- ＝xx x )531(lim -+∞→x x x x x ⋅-⋅-∞→-+=5335)531(lim x x x x x ⋅--∞→⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=5335)531(lim3e =. )353lim 53lim(=-=⋅-∞→∞→x x x x x x例2．判断函数2296x y x x -=-- 的间断点，并判断其类型。
解：由于229(3)+3)6(3)(2)x x x y x x x x --==---+（∴3,2x x ==-是函数y 无定义的点，因而是函数y 的间断点。
∵33(3)(3)36limlim (3)(2)25x x x x x x x x →→-++==-++∴ 3x =为函数 y 的可去间断点； ∵22(3)(3)3limlim (3)(2)2x x x x x x x x →-→--++==∞-++∴ 2x =-为函数 y 的第二类（无穷型）间断。
例3．函数21cos 2()00x f x x x x k ⎧-⎪⎪=≠⎨⎪=⎪⎩在点0x =处连续，求常数k .分析与解：由于分段函数()f x 在分段点0x =的左右两边表达式相同，因此()f x 在0x =连续的充要条件是lim ()(0).x f x f k →==∵2220001cos 82lim ()lim lim x x x x x f x x x→→→-==代换1.8=∴1.8k =四.练习题及参考答案1.填空⑴.当0x →时，(1)sin 2xe x -与1)ln(12)x +相比，是__________________无穷小；⑵.21lim()23xx x x →∞-=+ __________________；⑶.220[cos(3)1]tan3lim (1)ln(15)xx xx e x →-=-+______________. 2.单项选择题 ⑴．设2(3)(2)56x x y x x +-=-+，下面说法正确的是________；A. 点3,2x x =-=都是可去间断点；B. 点2x =是跳跃间断点，点3x =是无穷间断点；C. 点2x =是可去间断点，点3x =是无穷间断点；D. 点2x =是可去间断点，点3x =是跳跃间断点；⑵．下面正确的是______________. A.0tan lim1x xx→= ； B. 01lim sin 0x x x →=；C. 0tan limx xx→不存在； D. 0tan lim1x x x →=. 答案:1. ⑴.同阶而不等价的 ；⑵.2e - ；⑶.320-. 2. ⑴.C; ⑵.B . 自我复习.习题二(A) 11. (4).24. ⑴,(4),⑺.27.⑴. (4).28.⑴,⑵. 30.⑵.37．⑴,⑶. 习题二(B).14.第三章 导数与微分一.本章重点.导数的概念，导数及微分的计算.二.复习要求1.掌握函数()x ƒ在0x 处可导的定义，并能熟练应用导数的定义式求分段函数在分段点的导数。
导数是一个逐点概念，()x ƒ在0x 处的导数的定义式常用的有如下三种形式：0000()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆000()()lim h f x h f x h→+-=000()()lim x x f x f x x x →-=- . 2.知道导数的几何意义，会求()x ƒ在0x 处的切线方程。
3.熟记基本求导公式及求导的运算法则，熟练掌握下列求导方法,并能熟练应用它们求函数的导数： ⑴运用基本求导公式及求导的四则运算法则求导； ⑵复合函数求导法； ⑶隐函数求导法； ⑷取对数求导法。