02圆周运动的描述,角量与线量的关系,曲线运动

v1 P x
θ
Fan
y
B：t+∆t ： ∆ ∆θ O A：t ：
质点在oxy平面内绕 质点在 平面内绕O点沿 半径为R的圆周运动 的圆周运动， 半径为 的圆周运动，以Ox 轴为参考方向. 轴为参考方向 设 t 时刻质点在 A 处, 质点 的角位置为θ ; t + ∆t 时刻质 点在B处 点在 处. 在 ∆t 时间内质点的角位 规定逆时针为正. 移为 ∆θ , 规定逆时针为正
1 匀速率圆周运动
ω = 常量， 故 常量，
如 t = 0 时,
θ =θ 可得： 可得： θ = θ 0 + ωt
0
Fan
2 匀变速率圆周运动
dω β= =常量， 常量， dt ω 如 t = 0 时, θ =θ ， =ω
0
0
ω =ω0 + β t 1 2 可得： 可得： θ = θ 0 + ω 0 t + β t 2 2 2 ω =ω0 + 2β (θ −θ0 )
一、圆周运动中的角量
用位置矢量、速度、加速度描写圆周运动的方法， 用位置矢量、速度、加速度描写圆周运动的方法， 称线量描述法；也可用角度来确定其位置， 称线量描述法；也可用角度来确定其位置，称角量描 述法。 述法。
Hale Waihona Puke Baidur 线量： 线量： r
r v
r a
y
v2 R
∆θ
P’
角量： 角量：θ ω β 角位置： 角位移： 角位置： θ 角位移：∆θ 角速度： 角加速度： 角速度： ω 角加速度： β
d τˆ ˆ ˆ dθ dτ (dθn) v 可改写为： 可改写为： v ˆ =v =v n dt dt dt dt
∆t →0
∆t →0
ˆ τ′
ˆ ∆τ
ˆ dθτ
ˆ ˆ dτ = dθn
Fan
ˆ dθ dτ (dθn) ˆ v =v =v n dt dt dt
设轨道在P点的曲率半径为ρ 设轨道在 点的曲率半径为ρ， 点的曲率半径为
r ˆ r dv d (vτ ) dv ˆ dτ ˆ = τ +v a= = dt dt dt dt
dv 代表着质点运动速度大小的变化。 代表着质点运动速度大小的变化。 dt
ˆ dτ v ? dt
Fan
增量为： ˆ ˆ ˆ τˆ 增量为： ∆τ = τ ′ − τ
ˆ t+Δt时刻， t+Δt时刻，速度单位矢量为τ ′ 时刻
r
dθ p′ o dθ ρ
P
ˆ τ ˆ τ
,
ds ds ds Qρ = , v= dt dθ 2 r dτ dθ dθ ds dθ ds = v n ˆ ˆ ˆ ˆ ∴v =v n =v n =v n ρ dt dt ds dt ds dt 2 v ˆ r dv dτ dv ˆ τˆ + = n = aτ τ + an n ˆ ˆ ˆ ∴a = τ + v dt ρ dt dt
质点运动时的速度方向是沿 着运动轨道的切线并指向前进 的方向。 的方向。 r 速度可表示为： 速度可表示为： v = vτ ˆ
A
r vA
B
为沿速度方向的单位矢量。 τˆ 为沿速度方向的单位矢量。是一个大小不
r vB
变（恒为1）但方向不断变化的矢量。 恒为 ）但方向不断变化的矢量。 根据加速度的定义， 根据加速度的定义，有：
θ
x
平均角速度为
ω = ∆θ ∆t
Fan
角速度
ω = lim
∆t →0
∆θ ∆t
dθ ω= dt
平均角加速度
∆ω β= ∆t
角加速度
dω d θ = 2 β= dt dt
2
Fan
线量： 线位移(弧长 线量： S ——线位移 弧长 线位移 弧长)
v = ds / dt aτ = dv / dt 2 an = v / R
——线速度 线速度 ——切向加速度 切向加速度 ——法向加速度 法向加速度
角量： 角位移(rad) 角量：θ ——角位移 角位移 角速度(rad/s) 角速度 ω = dθ / dt ——角速度 2 2 ——角加速度 角加速度(rad/s2) 角加速度 β = d θ / dt
Fan
二、圆周运动中的角量描述
τ
A s o
r
B
τ
∆s
∆s
r n
r n
3. 速度： 沿切线方向。 速度：
Fan
r ˆ ˆ 为沿速度方向的单位矢量。 v = vτ τ 为沿速度方向的单位矢量。是一个大小
不变（恒为 ）但方向不断变化的矢量。 不变（恒为1）但方向不断变化的矢量。 在自然坐标系中， 在自然坐标系中， 运动方程为
s = s(t )
Fan
三、角量和线量的关系
ds v= dt
s = Rθ
d ( Rθ ) Rdθ v= = dt dt = Rω
圆周运动加速度： 圆周运动加速度：
dv d (ωR) dω aτ = = =R = Rβ dt dt dt
v (ωR) an = = = ω 2R R R
2 2
Fan
线量与角量的关系： 线量与角量的关系：
可以将加速度分解为切向和法向两个分量。 可以将加速度分解为切向和法向两个分量。
dv aτ = 切向加速度 dt
an =
v2
ρ
法向加速度
Fan
v2 ˆ dv r dv dτ ˆ τˆ + = n ˆ ∴a = τ + v ρ dt dt dt
切向加速度与法向加速度的意义： 切向加速度与法向加速度的意义：
很小并趋于零时， 在∆t很小并趋于零时，有： 很小并趋于零时
ˆ τ t时刻，速度单位矢量为： 时刻，速度单位矢量为：
ˆ n dθ
o ρ
P
p′ dθ
ˆ τ ˆ τ
,
ˆ ˆ | ∆τ |=| τ | ∆θ ˆ ˆ ˆ | dτ |= lim | ∆τ | = lim | τ | ∆θ = dθ
ds
ˆ 在∆t趋于零时， τ 的方向τ 跟垂直并指向 趋于零时， ˆ 趋于零时 d 圆心， 圆心，即指向圆周轨道的法向 n 的方向。 ˆ 的方向。
根据速度的定义， 根据速度的定义，
r r dr v= dt
s
O’
ˆ τ
c
s+
r 因为 | dr |= ds •切向坐标 τ 沿运动轨迹的切线并指向质点运动的 切向坐标 ˆ
方向； 方向；
r 所以： dr = dsτ , 所以： ˆ
r ds ˆ ˆ v = τ = vτ dt
ds ∴v = dt
Fan
二、切向加速度与法向加速度
自然坐标系 的表示: 的表示
r an φ •
r ˆ n
r aτ
r ˆ t
矢量: 矢量
r r r a = an + aτ
2 n
v v dv v = n+ τ R dt
2
2
大小: 大小
a = a + aτ
aτ tgφ = , an
方向: 方向
必须指明角度. 必须指明角度
Fan
§1.5 圆周运动的角量表示角量与线量的关系
v = Rω aτ = Rβ 2 an = Rω = vω
Fan
ˆ ˆ = aτ τ + an n
dv a 切向加速度： 表示速度大小变化的快慢。 切向加速度： τ = 表示速度大小变化的快慢。 dt v2 法向加速度： 速度方向的变化快慢。 法向加速度：an = 速度方向的变化快慢。
ρ
a
an
s
Fan
θ
aτ
讨论：在圆周运动中 讨论：在圆周运动中ρ=R
r a
r a
第1章
质点运动学
Fan
§1.4 用自然坐标表示平面曲线 运动中的速度和加速度
一、自然坐标系中的速度
坐标原点固接于质点, 自然坐标系 —— 坐标原点固接于质点 坐标轴沿质点运 动轨道的切向和法向的坐标系，叫做自然坐标系。 动轨道的切向和法向的坐标系，叫做自然坐标系。切向 r 以质点前进方向为正， 以质点前进方向为正，记做 τ ，法向以曲线凹侧方向 r 为正， 为正，记做 n 。 r 1. 位置：在轨道上取一固定点O， 位置：在轨道上取一固定点 ， 用质点距离O的路程长度 ， 用质点距离 的路程长度 s，可 惟一确定质点的位置。 惟一确定质点的位置。 位置 s有 有 正负之分。 正负之分。 2. 位置变化: 位置变化: