线性代数 1-3 第1章3讲-行列式的性质及其应用(1)

a11 a12 a13
ai1 ai2 ai3 即
a j1 a j2 a j3
an1 an2 an3
a1n
a11
a12
a13
ain ai1 ka j1
a jn
a j1
ai2 ka j2 aj2
ai3 ka j3 a j3
ann
an1
an 2
an3
a1n
ain ka jn .
a jn
ann
9
行列式的性质
a1n a11 a12 ain ai1 ' ai2 ' ann an1 an2
a1n
a11
a12
ain ' ai1 ai1 ' ai2 ai2 '
ann
an1
an 2
a1n ain ain '
ann
8
行列式的性质
性质1.5 把行列式的某一行（列）的每个元素都乘以数k，加到另一行（列）中对应 元素上，行列式的值不变.
性质1.5 把行列式的某一行（列）的每个元素都乘以数k，加到另一行（列）中对应 元素上，行列式的值不变.
1234 1234 1 2 34 12 34
例
2 1 5 2 0 3 5 6 3 3
3 5
1 6
6 0
3
16 03
16
3 0 11 3 9 0 11 3 9
4 2 3 4 4 2 3 4 4 2 3 4 0 6 9 12
即
a11
a12
a1n
a11 a12
a1n a11 a12
a1n
D ai1 ai1 ' ai2 ai2 '
ain ain ' ai1 ai2
ain ai1 ' ai2 '
ain '
an1
an 2
ann
an1 an2
ann an1 an2
ann
7
行列式的性质 行列式相加
a11 a12 ai1 ai2 an1 an2
解
M 4a21 2a21 3a22 a23 4 a21 2a21 3a22 a23
4a31 2a31 3a32 a33
a31 2a31 3a32 a33
12
c2
2c1
4
a11 a21
3a12 3a22
a13
a11
a23 4 (3) a21
a12 a22
a13 a23 12
a31 3a32 a33
化零的性质
10
行列式的性质
性质1.6
行列式可以按任意行(列)展开，值不变.
行列式 展开定理
n
按第i行展开(i=1,2, , n) D=ai1Ai1 ai2 Ai2 ai3 Ai3 ain Ain = aij Aij j 1 n
按第列展开(j=1,2, , n) D=a1 j A1 j a2 j A2 j a3 j A3 j anj Anj = aij Aij i 1
a jn
即
a j1 a j2 a j3
a jn
ai1 ai2 ai3
ain
an1 an2 an3
ann
an1 an2 an3
ann
推论 若行列式中有两行（或两列）对应元素相同，则行列式等于零.
4
行列式的性质
性质1.3 若行列式的某一行（或列）有公因子k，则公因子k 可以提到行列式记号外面.
a11 a12 a13
a11 a12 a13
a1n
ai1 ai2 ai3 即
kai1 kai2 kai3
ain 0
kain
an1 an2 an3
ann
推论3 若行列式中某一行（列）元素全为零，则行列式为零.
6
行列式的性质
拆项的性质
性质1.4 若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则可按此行（列）
将行列式拆成两个行列式的和.
a11 a12 a13
4a11 2a11 3a12 a13
例2 已知D a21 a22 a23 ，则M 4a21 2a21 3a22 a23 ______ .
a31 a32 a33
4a31 2a31 3a32 a33
4a11 2a11 3a12 a13
a11 2a11 3a12 a13
线性代数（慕课版）
第一章 行列式
第三讲 行列式的性质及其应用(1)
主讲教师 |
本讲内容
01 行列式的性质 02 行列式性质的简单应用(1)
行列式的性质 性质1.1 行列式与其转置行列式的值相等，即 D DT .
转置行列式 把行列式的行与列互换后得到的行列式，称为转置行列式.
a11 a12 若 D a21 a22
a31 a32 a33
14
行列式的简单应用(1)
ab bc ca a b c
例3
证明：a1 b1 b1 c1 c1 a1 =2 a1 b1 c1
a2 b2 b2 c2 c2 a2 a2 b2 c2
解
左端 c2
c1
ab a1 b1
ca c1 a1
ca c1 a1
c3 +c2 a b a1 b1
推论 行列式中某一行（列）的元素与另一行（列）的元素对应的 代数余子式的乘积之和等于零. ai1Aj1 ai2 Aj2 ai3 Aj3 ain Ajn 0 (i, j=1,2, , n，i j) a1i A1 j a2i A2 j a3i A3 j ani Anj 0 (i, j=1,2, , n，i j)
an1 an2
a1n
a11 a21
a2n ，则 DT a12 a22
ann
a1n a2n
an1 an2 .
ann
3
行列式的性质
性质1.2 互换行列式的两行（列），行列式的值仅改变符号.
a11 a12 a13
a1n
a11 a12 a13
a1n
ai1 ai2 ai3
ain
a j1 a j2 a j3
11
本讲内容
01 行列式的性质 02 行列式性质的简单应用(1)
行列式的简单应用(1)
a b c1
b c a1
例1 计算行列式：D c
a
b1
bc ca ab 1 222
解 第二、三行分别乘以 1 加至第四行，得 2
ab c1
b D
c
a
1
0
ca b1
00 00
性质1.3
推论3
13
行列式的简单应用(1)
a1n
a11 a12 a13
a1n
kai1 kai2 kai3
kain k ai1 ai2 ai3
ain
an1 an2 an3
ann
an1 an2 an3
ann
推论1 行列式的某一行（或列）所有元素的公因子可以提到行列式的前面.
5
行列式的性质
推论2 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零.
ca c1 a1
2c 2c1
a2 b2 c2 a2 c2 a2
a2 b2 c2 a2 2c2
ab =2 a1 b1
ca c1 a1
c c2Байду номын сангаас c3 a b
c1
2 a1 b1
a a1