第三章 第四节 三角函数的图像变换

第三章 第四节 三角函数的图像变换

1.(2009·天津高考)已知函数f (x )＝sin (ωx ＋π

4)(x ∈R ，ω＞0)的最小正周期为π.将y ＝f (x )

的图象向左平移|φ|个单位长度，所得图象关于y 轴对称，则φ的一个值是 ( ) A.π2 B.3π8 C.π4 D.π8 解析：∵

2πω＝π，∴ω＝2，∴f (x )＝sin(2x ＋π

4

)，将它向左平移|φ|个单位长度，得f (x )＝sin[2(x ＋|φ|)＋π

4]，

∵它的图象关于y 轴对称， ∴2(0＋|φ|)＋π4＝π

2

＋kπ.

∴φ＝π8＋kπ2，k ∈Z.∴φ的一个值是π8.

答案：D

2．(2009·全国卷Ⅱ)若将函数y ＝tan(ωx ＋π4)(ω>0)的图象向右平移π

6个单位长度后，与函

数y ＝tan(ωx ＋π

6)的图象重合，则ω的最小值为 ( )

A.16

B.14

C.13

D.12

解析：y ＝tan(ωx ＋π4)向右平移π

6个单位长度后得到函数解析式y ＝tan ⎣⎡⎤ω(x －π6)＋π4，即y ＝tan(ωx ＋π4－πω6)，显然当π4－πω6＝π6＋kπ时，两图象重合，此时ω＝1

2－

6k (k ∈Z)．

∵ω>0，∴k ＝0时，ω的最小值为1

2.

答案：D

3．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3在区间⎣⎡⎦

⎤－π

2，π的简图是 ( )

解析：取特殊点否定三个选项，当x ＝π

6时，y ＝sin0＝0，故C 、D 错误；当x ＝0时，

y ＝sin(－π3)＝－3

2，B 错误．

答案：A

4.把函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π

2)的图象

向左平移π

3个单位长度，所得的曲线的一部分

图象如图所示，则ω、φ的值分别是 ( ) A ．1，π3 B ．1，－π

3

C ．2，π3

D ．2，－π

3

解析：y =sin(ωx +φ) 3

π

−−−−−−−

→向左平移个单位长度

3π y 1=sin[ω(x +3π)+φ]，∴T =2πω= 4

π×4，ω=2，当x =

712π时，2(712π+3π)+φ=2k π+32π，k ∈Z ，φ=2k π-3

π

，k ∈Z ，|φ|＜

2π，∴φ=-3

π

. 答案：D

5. (2009·江苏高考)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω， φ为常数，A >0，ω>0)在闭区间[－π，0]上的 图象如图所示，则ω＝________. 解析：由图中可以看出：

32T ＝π，∴T ＝2

3π＝2πω，

∴ω＝3. 答案：3

6．(2009·宁夏、海南高考)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的图象如图所示，则f (7π

12

)＝________.

解析：32T ＝54π－π4＝π，∴T ＝2

3π，

∴

2πω＝2

3

π，∴ω＝3， ∴f (x )＝2sin(3x ＋φ)，

又∵f (π4)＝0，∴2sin(3

4π＋φ)＝0，

∴f (7π12)＝2sin(74π＋φ)＝2sin(π＋3

4π＋φ)

＝－2sin(3

4π＋φ)＝0.

答案：0

7

O 的距离s cm 和时间t s 的函数关系式为s ＝6sin (2πt ＋π

6)，那么单摆来回摆动一次所需的时间为 ( )

A ．2π s

B ．π s

C ．0.5 s

D ．1 s 解析：T ＝2π

2π

＝1. 答案：D

8．设y ＝f (t )是某港口水的深度y (米)关于时间t (时)的函数，其中0≤t ≤24.下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t 与水深y 的关系：

经长期观察，函数y ＝f (t )的图象可以近似地看成函数y ＝k ＋A sin(ωx ＋φ)的图象，下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是 ( ) A ．y ＝12＋3sin π

6t ，t ∈[0,24]

B ．y ＝12＋3sin(π

6t ＋π)，t ∈[0,24]

C ．y ＝12＋3sin π

12t ，t ∈[0,24]

D ．y ＝12＋3sin(π12t ＋π

2)，t ∈[0,24]

解析：代入坐标验证即可选A. 答案：A

9.y ＝sin x sin(x ＋π2)＋sin 2π

3cos2x 的最大值和最小正周期分别是 ( )

A.1＋3

2，π B ．2,2π

C.2，2π D ．1，π 解析：y ＝sin x cos x ＋32cos2x ＝12sin2x ＋3

2cos2x ＝sin(2x ＋π3

)，故最大值为1，最小正周期为π. 答案：D

10．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(其中A >0，ω>0，|φ|<π

2)的图象的最大值是3，对称轴方程是x

＝

π6.要使图象的解析式为y ＝3sin(2x ＋π

6

)，还应给出一个条件是____________________(注：填上认为正确的一个条件即可，不必考虑所有情况)． 解析：从已知可看出该函数的周期T ＝π，故再给出一个条件为：周期T ＝π. 此时由已知可先确定y ＝3sin(2x ＋φ)， 又∵对称轴方程为x ＝π

6

，

∴π3＋φ＝kπ＋π2，k ∈Z ，φ＝kπ＋π

6(k ∈Z)． 又∵|φ|<π2，∴令k ＝0，得φ＝π6，

从而得出y ＝3sin(2x ＋π

6

)．