结构动力学习题解答(一二章)
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第一章 单自由度系统
1.1 总结求单自由度系统固有频率的方法和步骤。
单自由度系统固有频率求法有：牛顿第二定律法、动量距定理法、拉格朗日方程法和能量守恒定理法。
1、 牛顿第二定律法
适用范围：所有的单自由度系统的振动。 解题步骤：（1） 对系统进行受力分析,得到系统所受的合力；
（2） 利用牛顿第二定律∑=F x m
,得到系统的运动微分方程；
（3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。 2、 动量距定理法
适用范围：绕定轴转动的单自由度系统的振动。 解题步骤：（1） 对系统进行受力分析和动量距分析；
（2） 利用动量距定理J ∑=M θ
,得到系统的运动微分方程；
（3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。 3、 拉格朗日方程法：
适用范围：所有的单自由度系统的振动。
解题步骤：（1）设系统的广义坐标为θ，写出系统对于坐标θ的动能T 和势能U 的表达式；进一步写求出拉格朗日函数的表达式：L=T-U ； （2）由格朗日方程
θθ
∂∂-
∂∂∂L
L dt )( =0，得到系统的运动微分方程； （3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。
4、 能量守恒定理法
适用范围：所有无阻尼的单自由度保守系统的振动。 解题步骤：（1）对系统进行运动分析、选广义坐标、写出在该坐标下系统的动能T 和势能U 的表达式；进一步写出机械能守恒定理的表达式 T+U=Const （2）将能量守恒定理T+U=Const 对时间求导得零,即
0)
(=+dt
U T d ，进一步得到系统的运动微分方程；
（3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。
1.2 叙述用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法和步骤。
用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法有两个：衰减曲线法和共振法。 方法一：衰减曲线法。 求解步骤：（1）利用试验测得单自由度系统的衰减振动曲线，并测得周期和相邻波峰和波谷的幅值i A 、1+i A 。
（2）由对数衰减率定义 )ln(
1
+=i i
A A δ， 进一步推导有 2
12ζ
πζδ-=
，
因为ζ较小，所以有
π
δ
ζ
2
=。
方法二：共振法求单自由度系统的阻尼比。
（1）通过实验，绘出系统的幅频曲线，如下图：
单自由度系统的幅频曲线
（2）分析以上幅频曲线图，得到：
4/
2
2
/
max
2,1
ζ
β
β=
=；
于是
2
2
1
)
2
1(
n
ω
ζ
ω-
=；
进一步
2
2
2
)
2
1(
n
ω
ζ
ω+
=；
最后
()
n
n
ω
ω
ω
ω
ω
ζ2/
2/
1
2
∆
=
-
=；
1.3 叙述用正选弦激励求单自由度系统阻尼比的方法和步骤。
用正选弦激励求单自由度系统阻尼比的方法有两个：幅频（相频）曲线法和功率法。
方法一：幅频（相频）曲线法
当单自由度系统在正弦激励t
Fω
sin
作用下其稳态响应为：
)
sin(α
ω-
=t
A
x,
其中：()()22
2
2
2
2
2
4
1
4ω
ζ
ω
ω
ω
ω+
-
=
+
-
=st
n
x
n
m
F
A；(1)
()
()2
1/
2
arctanω
ω
ζ
α-
=(2)
从实验所得的幅频曲线和相频曲线图上查的相关差数，由上述（1），（2）式求得阻尼比ζ。 方法二：功率法：
（1） 单自由度系统在t F ωsin 0作用下的振动过程中，在一个周期内， 弹性力作功为 0=c W 、 阻尼力做功为 2A W c d πω-=、 激振力做作功为 απsin 0F W f -=；
（2） 由机械能守恒定理得，弹性力、阻尼力和激振力在一个周期内所作功为零， 即： c W +d W +0=f W ； 于是 παsin 0F -02=A c πω 进一步得： ωαc F A sin 0=； （3） 当ωω=n 时，1sin =α，
则 ζ2max st x A =，
得 ζβ21max =, max 2βζ=。
1.4 求图1-35中标出参数的系统的固有频率。 （1）此系统相当于两个弹簧串联，弹簧刚度为k 1
刚度为 3
248L EI k =
； 等效刚度为k;有
1k =3
1214848111l k EI EIk k k k +=
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=
则固有频率为：(
)
m
l k EI EIl m
k 3
13
4848+==
ω； 图1-33（a ） （2）此系统相当于两个弹簧串联, 等效刚度为:
3
148l
EI
k k +
=; 则固有频率为:
3
3148ml EI
l k m
k +==
ω 图1-33（b ）