第三章矩阵代数
大学线性代数课件第三章第一节可逆矩阵
假设有两个不同的逆矩阵$B$和$C$，则有$AB = BA = I$和$AC = CA = I$。由此可得$(B - C)A = 0$和 $A(B - C) = 0$，从而推出$(B - C)$是零矩阵，即$B = C$。
逆矩阵与原矩阵的关系
逆矩阵的性质
如果矩阵$A$是可逆的，那么它的逆矩阵和原矩阵满足关系式 $AA^{-1} = A^{-1}A = I$。
分解方法
常见的矩阵分解方法包括QR 分解、LU分解、SVD分解等， 这些方法都利用了可逆矩阵的 性质。
应用场景
在数值分析、计算物理等领域 中，矩阵分解是非常重要的计 算工具，可逆矩阵的应用为这 些领域提供了强大的支持。
特征值和特征向量的计算
特征值和特征向量
可逆矩阵可以用于计算特征值和 特征向量，这些数值在许多领域 中都有重要的应用。
p;3 1&2 end{bmatrix} $$
习题
判断矩阵B是否可逆，如果可逆，求其逆矩阵。
$$ B = begin{bmatrix}
习题
4 & -3 1&2 end{bmatrix} $$
答案与解析
矩阵A的行列式值为
$ |A| = 2*2 - 3*1 = 1 neq 0 $，因此矩阵A是可逆的。
矩阵A的逆矩阵为
$ A^{-1} = frac{1}{2} begin{bmatrix}
答案与解析
2 & -3
end{bmatrix} $。 1&2
01
03 02
答案与解析
矩阵B的行列式值为
$ |B| = 4*2 - (-3)*(-1) = 5 neq 0 $，因此矩 阵B是可逆的。
线性代数矩阵的初等变换
r2 （ 2） 1
r3
（
1）
0 0
0 1 0
0 0 1
3 2 1
23 ， 3
3 2 X 2 3.
1 3
如果要求Y CA1,则可对矩阵 A作初等列变换， C
A 列变换 E
C
CA1
,
即可得Y CA1.
也可改为对( AT ,CT ) 作初等行变换，
行变换
（AT , CT )
a23 a33
a11 a12 a13 a14
a21
a22
a23
a24
a31 a32 a33 a34
矩阵 A 的一个 2 阶子式
a12 a13 a22 a23
矩阵 A 的一个 2 阶子块
a12 a13
a22
a23
定义：设矩阵 A 中有一个不等于零的 r 阶子式 D，且所有 r +1 阶子式（如果存在的话）全等于零，那么 D 称为矩阵 A 的最高阶非零子式，数 r 称为矩阵 A 的秩，记作 R(A)．
口诀：左行右列. 定理3.2 设A是一个 m×n 矩阵， ✓对 A 施行一次初等行变换，相当于在 A 的左边乘以相应的 m 阶初等矩阵； ✓对 A 施行一次初等列变换，相当于在 A 的右边乘以相应的 n 阶初等矩阵.
定理3.3 方阵A可逆的充要条件是存在有限个初等矩阵P1, P2, …, Pl，使 A = P1 P2 …, Pl ．
r3 3r1 0 2 6 2 12
r1 r2 r3 r2
1 0 2 1 4 0 2 5 1 9 0 0 1 1 3
r1 2r3 1 0 0 3 2
r2 5r3
0 0
2 0 4 6 0 1 1 3
《线性代数》课件-第3章 矩阵
§3.1 矩阵的运算（1）第三章矩阵矩阵的加法定义1111112121121212222221122n n n n m m m m mn mn a b a b a b a b a b a b a b a b a b +++⎡⎤⎢⎥+++⎢⎥+=⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦A B 设有两个 矩阵 和 n m ⨯[]ij a =A [],ij b =B 那么矩阵与 的和 A B 记作 规定为,+A B 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.（可加的条件）注矩阵的加法235178190, 645, 368321-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦设矩阵矩阵则A B 213758169405336281+-++⎡⎤⎢⎥=+-++⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦3413755.689⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦对应元相加例1+A B矩阵的加法;+=+A B B A ()()++=++A B C A B C ；+=+=；A OO A A 矩阵加法的运算律 [],ij a =A 设矩阵 （交换律）（结合律）（加法单位元）(1)(2) (3) (4) 规定 [],ija -=-A 称之为 的负矩阵.A ()(),+-=-+=A A A A O ().-=+-A B A B （加法逆元）规定矩阵的减法为：+=+⇒=.A B A C B C (5) 加法消去律成立，即数量乘法111212122211[].n nij m n m m mn ka ka ka kaka ka k ka ka ka ka ⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 规定数 k 与矩阵 A 的数量乘积为定义2数量乘法()();k l kl =A A ()k l k l +=+A A A ；()k k k +=+.A B A B 数量乘法的运算规律(1) (2)(3)矩阵的加法和数量乘法统称为矩阵的线性运算 .设为A , B 为矩阵，k, l 为数： m n ⨯矩阵的乘法（矩阵与矩阵相乘）定义3设 是一个 矩阵， m n ⨯[]ij a =A 记作 C =AB.[]ij b =B 是一个 矩阵， n s ⨯规定矩阵 与 的乘积是一个 的矩阵 A Bm s ⨯[],ij c =C 其中 11221nij i j i j in nj ikkjk c a b a b a b ab ==+++=∑()1,2,;1,2,,,i m j s ==矩阵的乘法1212[,,,]j j i i in nj b b a a a b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦1122i j i j in nj a b a b a b =+++1n ik kj ij k a b c ===∑行乘列法则可乘条件：左矩阵的列数=右矩阵的行数11211300514-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦设，A 034121.311121⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦B 例20311212113031051412⎡⎤-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦-⎣⎦C AB .⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦5-61022-17乘积矩阵的“型” ？ A m n ⨯B n s ⨯C m s⨯=1111⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦设，A 例300,00⎡⎤=⎢⎥⎣⎦AB 22,22⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦BA .BA AB ≠故1111-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，B 则矩阵的乘法（1）矩阵乘法一般不满足交换律； 若 ，则称矩阵 与是乘法可交换的. =AB BA A B 定义3=AB O ⇒;==或A O B O （2） ()≠-=若而A O A B C O，⇒=B C.注意：(),+=+A B C AB AC ();+=+B C A BA CA ()()()k k k ==AB A B A B （其中 k 为数）;n m ;m n m n m n ⨯⨯⨯==A E E A A 矩阵的乘法()();=AB C A BC 矩阵乘法的运算规律 (1) (2) (3) (4) （结合律） （左分配律）（右分配律）（乘法单位元）11112211211222221122n n n n m m mn n ma x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩，，，11121121222212n n m m mn n a a a x a a a x a a a x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦111122121122221122n n n n m m mn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x ⎡⎤+++⎢⎥+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦12m b b b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦=AX =β⇔=（矩阵形式）AX β ==00（齐次线性方程当时组的矩阵形式），AX β .例4cos sin ,,sin cos OP ϕϕϕϕ-⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦设矩阵平面向量x A y cos ,sin ,x r y r θθ=⎧⎨=⎩于是x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦A cos sin sin cos x y ϕϕϕϕ-⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦cos()sin()r r θϕθϕ+⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦例5cos cos sin sin cos sin sin cos r r r r θϕθϕθϕθϕ-⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦,,OP r θ设的长度为幅角为则cos sin sin cos x y x y ϕϕϕϕ-⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦111x OP y ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦.OP ϕ这是把向量按逆（或顺）时针旋转角的旋转变换xyopp 1θϕ11cos sin ,sin cos .x x y y x y ϕϕϕϕ=-⎧⎨=+⎩（线性变换）小结（1）只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算；（2） ≠=若而A O AB AC ，⇒;=B C 且矩阵相乘一般不满足交换律；（3）只有当左矩阵的列数等于右矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘，矩阵的数乘运算与行列式的数乘运算不同； 可交换的典型例子：同阶对角阵；数量阵与任何同阶方阵. k n E ≠=若而A O BA CA ，⇒=B C.( 4 )§3.1 矩阵的运算（2）方阵的幂·矩阵多项式·迹第三章矩阵定义1注1A 设为阶方阵，为正整数n k ，A A AA∆=kk 个.A 为的次幂k 01,.A E A A ==规定n 称,AA A km k m +=m k mkA A =（），其中m , k 为非负整数.定义1注1A 设为阶方阵，为正整数n k ，A A AA∆=kk 个.A 为的次幂k 01,.A E A A ==规定n 称,AA A km k m +=m k mkA A =（），其中m , k 为非负整数.一般地， (),,.AB A B A B ⨯≠∈k k k n n注2 注3时，以下结论成立：AB BA =当 (1)();AB A B =kkk222(2)()2;A B A AB B +=++22(3)()();A B A B A B +-=-,,A B ⨯∈n n11(4)()C C .A B A AB AB B --+=+++++mmm k m kkmmm例1解 ,A ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦2121214=01010112.01A A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦设求其中为正整数mm ,（）32141216,010101A A A ⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦()122.01A ⎡⎤=≥⎢⎥⎣⎦mm m 由此归纳出方阵的幂112(1)1212,010101A A A --⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦k k k k ()122.01A ⎡⎤=≥⎢⎥⎣⎦m m m 用数学归纳法证明当 时，显然成立.2=m 假设 时成立， 1=-m k 所以对于任意的m 都有=m k 则时，方阵的幂解法二 利用二项式定理122()m m m mA EB EC B=+=+202,.00⎡⎤=⎢⎥⎣⎦B B O 其中=且这种方法适用于主对角元全相同的三角形矩阵求幂 2,=+A E B ,E B 显然与乘法可交换由二项式定理有2E B=+m 100212.010001m ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦m1110()A A A A E --=++++m m m m n f a a a a 为方阵 A 的矩阵多项式.例如 2()524,f x x x =--12,11⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A 22524A A E --1412101116524211101811--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-----⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦定义2A ⨯∈设n n ，称()A =f：注f g g fA A A A()()()()运算性质 定义3设A 是n 阶方阵，称A 的主对角线上所有元素之和为方阵的迹(trace )，记为11221tr .A ==+++=∑nnn ii i a a a a (1) tr()tr tr ;A B A B ⨯⨯⨯⨯+=+n n n n n n n n (2) tr()tr();A A ⨯⨯=n n n n k k (3) tr()tr().A B B A ⨯⨯⨯⨯=m n n m n m m ntr()tr().A B B A ⨯⨯⨯⨯=m n n m n m m n设A , B 为 n 阶方阵， 求证.AB BA E -≠n tr()tr()tr()0,--AB BA =AB BA = 证明： tr()0,n n =≠E 故 . n -≠AB BA E 例2§3.1 矩阵的运算（3）矩阵的转置·方阵的行列式第三章矩阵例 123,458A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦T ;A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦142538叫做 的转置矩阵， m n A ⨯m n A ⨯把矩阵的行依次变为同序数的列得到的新矩阵， 定义1T A 记作. 思考 T A A 与的关系?⨯→⨯的变化型m n n m(1) : '(,)=元的变化ij ji i j a a (2) ：TA A 与的关系?矩阵的转置()()T T 1;=A A ()()T T T 2;+=+A B A B ()()T T 3;A A =k k 注 性质(2)和(4)可推广到有限个矩阵的情形()()T T T T12122;s s '+=+A A ++A A A ++A ()()T T T T 12114.s s s -'=A A A A A A ()()T T T 4.=AB B A (倒序)矩阵的转置与其它矩阵运算的关系若矩阵A 满足 A A =T ，()n ,,,j ,i a a ji ij 21==201035.157A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦例为对称阵如注：对称矩阵为方阵，元素以主对角线为对称轴 对应相等 .例1 (对称矩阵）则称 A 为对称矩阵 .注 对任意矩阵 A,和 均是对称矩阵. T A A T AA对称矩阵的数乘、和、乘积是否为对称矩阵？思考：练习1 对任意实矩阵 A, 若 则 . T A A =O ,A =O练习2 若实对称矩阵 A 满足 则 . 2A =O ,A =O 设A ，B 为同阶实对称矩阵，则AB 为实对称矩阵当且仅当AB =BA .若矩阵A 满足 A A =-T ，013105.350A ⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦例为反对称阵如注：反对称矩阵为方阵，且例2 (反对称矩阵）则称 A 为反对称矩阵 . 0-≠⎧=⎨=⎩ji ij a i j a i j证明任一 n 阶方阵 A 都可表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和. 证明： ()T T A A +T A A =+()T T A A -T A A =-22T T A A A A A -++=证毕.例3所以 为对称矩阵.T A A +T ,A A =+T ()A A =-- 所以 为反对称矩阵. T A A -方阵的行列式设 A 与 B 都是数域 上的 n 阶方阵, 则()T1;A A =()3;AB A B =()2,;A A =∀∈n k k k 矩阵的运算与行列式的关系方阵的行列式n n n n n A O E B ⨯⨯-A B =n n nO AB E B ⨯=-2(1)n n E AB =--2(1)n n AB +=-.AB =证明： 22222A O E B ⨯⨯-111221221112212200001001a a a a b b b b =--12111111122122111221220001001a a b a b a a b b b b =--111112211112122221221112212200001001a b a b a b a b a a b b b b ++=--111112211112122221112221211222221112212200001001a b a b a b a b a b a b a b a b b b b b ++++=--222O AB E B ⨯=-设 A 与 B 都是数域 上的 n 阶方阵, 则 ()T 1;A A =()3;AB A B =(可推广到有限个) 一般的， +.A B A B ≠+特别地 ,A A =mm ()2,;A A =∀∈n k k k 矩阵的运算与行列式的关系 其中m 为非负整数.24000200,00430034A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦设2.A 求k 22A A =k k2242443()(4(25))10.0234=⋅=⋅-=-k k k 解 例4证明奇数阶反对称矩阵的行列式为零.例5§3.2 初等矩阵第三章矩阵定义1elementary matrix 阶单位矩阵经过一次矩阵的初等变换所得到的矩阵称为阶即初等矩阵n n （），E B −−−−−→一次初等变换行或列为一个初等矩阵n 1,23100010010100.001001E B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=−−−−→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦对换行为一个初等矩阵例如初等矩阵的类型及表示方法1[()],0E ≠初等倍乘矩阵n i k k ） .0E ≠即以数乘单位矩阵的第行(或第列).n k i i i i r c 11[()]11E E ⨯⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦kn n ki k k 或i ←第行初等矩阵的类型及表示方法2[()],0E +≠初等倍加矩阵n i j k k ） .0E ≠即将的某行元素的倍加到另一行(或列)上去.n k 11[())]11E E ++⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−−→=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦i jj ir kr n n c kc k i j k 或←i 第行←j 第行[()]E >+n i j k i j 当时,为下三角 .初等矩阵的类型及表示方法3[,],E 初等对换矩阵n i j ） E n 即对调的某两行或某两列.11011[,]11011E E ↔↔⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−−→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦i ji jr r n n c c i j 或i ←第行j ←第行11[()]11E ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦n i k k i ←第行1[()],0E ≠初等倍乘矩阵n i k k ） .2[()],0E +≠初等倍加矩阵n i j k k ） .11[())]11E ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦n k i j k ←i 第行←j 第行()i j <3[,],E 初等对换矩阵n i j ） 11011[,]11011E E ↔↔⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−−→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦i ji jr r n n c c i j 或i ←第行j ←第行注初等矩阵的转置矩阵仍为同类型的初等阵.Ti k i k=1)[()][()];E En nT+=+i j k j i kE E2)[()][()];n nTi j i j=3)[,][,].E En n初等矩阵的应用揭示： 初等矩阵与矩阵的初等变换的关系.11121314212223243132333411⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦a a a a a a a a k a a a a 111213142122232313233434⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦k a a a a a a a a a ka ka ka 111213142122232431323334111a a a a a a a a k a a a a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦111214212221323343133234a a a a a a a a a ka ka a k ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦()i k A i r k ⨯相当于以数乘的第行；111211212[()]E A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦n m m m m i i in n a a a i k a ka ka a a a k i ←第行[()]E A 左以矩阵乘m i k ，[()]n E i k A 右乘而以矩阵，其结果结论: 相当于以数k 乘A 的第i 列 .()i c k ⨯。
线性代数课件第三章矩阵的秩课件
VS
矩阵的秩可以用于判断两个矩阵是否相似。如果两个矩阵相似，则它们的秩相同。
特征值和特征向量
矩阵的秩还可以用于确定矩阵的特征值和特征向量的个数。对于给定的矩阵，其秩等于其非零特征值的个数。
矩阵相似
矩阵的秩可以用于矩阵分解，如奇异值分解（SVD）和QR分解等。这些分解方法将一个复杂的矩阵分解为几个简单的、易于处理的矩阵，有助于简化计算和解决问题。
1 2 3 | 0 0 -3
7 8 9 | 0 0 0`
```
由于非零行的行数为2，所以矩阵B的秩为2。
题目3
求矩阵C=[1 -2 3; -4 5 -6; 7 -8 9]的秩。
解答
首先，将矩阵C进行初等行变换，得到行阶梯矩阵
```
继续进行初等行变换，得到
1 -2 3 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0
矩阵秩的应用
03
线性方程组的解
矩阵的秩可以用来判断线性方程组是否有解，以及解的个数。如果系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，则方程组有唯一解；否则，方程组无解或有无数多个解。
最小二乘法
矩阵的秩还可以用于最小二乘法，通过最小化误差平方和来求解线性方程组。最小二乘法的解就是使残差矩阵的秩等于其行数或列数的最小二乘解。
线性代数第三章矩阵的逆(习题课)
目录
• 矩阵的逆的定义和性质 • 逆矩阵的运算规则 • 逆矩阵的应用 • 习题解析与解答
01
矩阵的逆的定义和性质
定义与性质
逆矩阵的定义
如果存在一个矩阵A-1，使得A*A-1=I （单位矩阵），则称A为可逆矩阵， A-1为A的逆矩阵。
逆矩阵的性质
若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵A-1也 是可逆矩阵，且(A-1)-1=A。同时， 若B是A的逆矩阵，则AB=BA=I。
03
逆矩阵的应用
解线性方程组
线性方程组
线性方程组是数学中一个常见的 问题，它涉及到多个未知数和方 程。通过矩阵的逆，我们可以找 到线性方程组的解。
求解步骤
首先，将系数矩阵进行转置，然 后计算其行列式值。如果行列式 值不为零，则存在唯一解。最后， 通过矩阵的逆计算出线性方程组 的解。
应用场景
线性方程组广泛应用于各个领域， 如物理、工程、经济等。通过矩 阵的逆，我们可以更高效地解决 这些领域中的问题。
综合题2解析
题目要求求一个给定矩阵的逆矩阵， 并判断其是否可逆。同时，我们需要 解决一个与该矩阵相关的问题。首先 ，我们判断矩阵是否可逆。如果可逆 ，我们再使用公式法或分块法计算逆 矩阵。然后，我们将逆矩阵应用于实 际问题中以获得解决方案。
综合题目3解析
题目要求求多个给定矩阵的乘积的逆 矩阵，并验证其正确性。同时，我们 需要解决一个与这些矩阵相关的问题 。首先，我们计算多个给定矩阵的乘 积。然后，我们使用公式法或分块法 计算其逆矩阵。最后，我们通过乘以 其原矩阵来验证逆矩阵的正确性。同 时，我们将逆矩阵应用于实际问题中 以获得解决方案。
量βi；最后，计算P^(-1)AP=B。
线性代数第三章矩阵的初等变换
⑴ 显然前两种情况都不改变矩阵的秩；
⑵ 只证明第三种初等变换且只证明行变换. 设 Amn ri ，krj仅B改mn变第i行
① 当 rank A r 时 m(则inA{中m,不n}为0子式
0
1 5
4 4
记做
H
0
行最简型
c3
1 2
c1
c4
1 4
c1
c3
3 2
c2
c4
5 4
c2
1 0 0
0 1 0
0 0 0
0 0 0
1 0
1 2
14
0
1
32
5 4
0 0 0 0
E2 O12
O22 O12
记做
等价标准型
命题 每一个初等变换都有逆变换，且其逆变换是同
等类型的初等变换。
例如，对矩阵 3 1 0 2
A 1 1 2 1 1 3 4 4
有有没一 二 三有阶 阶四子 子阶式 式 CC4243CC1子32233 个式148 个 个
二、矩阵的秩
定义3.2 在 m×n 阶的矩阵A中，若
⑴ 有某个r阶子式 Dr 0 ； ⑵ 所有的r+1阶子式 Dr1 0 (如果存在的话)； 则称r为A的秩. 记做rank A r，或者 r(A) r.
3. 某一行(列)的所有元素的k倍加到另一行(列)
对应元素上； 倍加 ri krj , ci kcj
称为矩阵的初等行(列)变换.
初等行变换和初等列变换统称为矩阵的初等变换.
Amn 经过初等变换得到 Bm,记n 做 Am.n Bmn
例1 3 1
A 1 1
线性代数第三章第三节 矩阵的秩 相抵标准形(2014版)
2 1 4 1 0 00 0
1
2
11
33 12
33 00
故
1
1, 2 可由
1
1
31 3
1,
2
2,
0
3
线性表示，且
1
2
3 2 31 3
2
03
12 2
例4 设 A 4 3
t的值。
t 3 ，B是3阶非零矩阵，且AB=0,求
11
解：因方程组Ax=0有非零解，故 |A|=0,所以有t=-3
定理3：矩阵的行秩＝矩阵的列秩
证明：当秩(A)=r,由推论2、推论3和任何矩阵都可经有限
次初等变换变为相抵标准形，故A等价于 Ir 0 故A的最
高阶非零子式的阶数为r。
0
0
当 A的最高阶非零子式的阶数为r，则存在Dr 0
又等价的向量组有相同的秩，
A 的行秩＝ A2 的行秩， 即A的行秩不变。
（3）非零常数k乘以第i行后加到第j行上1 1 来自i i A
kri
A3
j
j
k i
显然，A3 中的行向量组 可以由 A的行向量组线性表示
m
m 而 A的行向量组可以由
A3 中的行向量组线性表示。
所以两个向量组等价，所以行向量组的秩不变， 所以矩阵的行秩不变。
2
1
1
3
7 1 3 5
11
8
4
0
1
2
4
11
1 5 1 7 1
0
9
1
11
0
0 36 4 44 3
0
63
7
77
0
1 5 1 7 1
线性代数课件第三章矩阵的秩
线性方程组的解 与矩阵的秩的关 系
利用矩阵的秩判 断线性方程组是 否有解
利用矩阵的秩求 解线性方程组的 步骤和方法
矩阵的秩在判断向量组线性相关性的应用
矩阵的秩与向量组 线性相关性的定义
矩阵的秩在判断向 量组线性相关性中 的应用
矩阵的秩与向量组 线性相关性的关系
矩阵的秩在解决实 际问题中的应用
矩阵的秩在求向量空间维数中的应用
汇报人：PPT
PPT,a click to unlimited possibilities汇报人Leabharlann PPT目录矩阵秩的定义
矩阵的秩的概念
矩阵秩的几何意义
矩阵秩的计算方法
矩阵秩的性质和定理
矩阵的秩的计算方法
定义：矩阵的秩是其行向量或列向量的最大线性无关组的个数
计算方法：通过初等行变换或初等列变换将矩阵化为阶梯形矩阵，然后数非零行数或非零列 数
利用初等列变换求矩阵的秩的证明
初等列变换的定义和性质
阶梯形矩阵的秩的计算方法
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利用初等列变换将矩阵化为阶梯形 矩阵
证明利用初等列变换求矩阵的秩的 正确性
零矩阵的秩
零矩阵的定义：所 有元素都为0的矩 阵
零矩阵的秩为0
零矩阵与任何矩阵 相乘都等于0
零矩阵在数学中的 意义和作用
性质：矩阵的秩与行数和列数有关，且不超过行数和列数中的最小值
应用：矩阵的秩在解线性方程组、判断向量组的线性相关性等方面有重要应用
矩阵的秩的性质
矩阵的秩等于其行秩或列秩
矩阵的秩是其所有子矩阵的 秩的最大值
矩阵的秩是唯一的
矩阵的秩等于其转置矩阵的 秩
矩阵的秩在解线性方程组中的应用
《线性代数》第三章矩阵的初等变换与线性方程组精选习题及解答
例 3.10
求齐次线性方程组
⎧ ⎪ ⎨
x1 x1
− −
x2 x2
− +
x3 x3
+ x4 = 0 − 3x4 = 0
的通解.
⎪⎩x1 − x2 − 2x3 + 3x4 = 0
解 系数矩阵经过初等变换得
⎡1 −1 −1 1 ⎤
⎡1 −1 0 −1⎤
A = ⎢⎢1 −1 1 −3⎥⎥ ⎯r⎯→ ⎢⎢0 0 1 −2⎥⎥
阶梯形的非零行数判断矩阵的秩.
2
⎛1 3 1 4⎞
解
A
⎯r⎯→
⎜ ⎜
0
6
−4
4
⎟ ⎟
，故
R(
A)
=
2
.
⎜⎝ 0 0 0 0⎟⎠
⎡1 1 2 2 3 ⎤
例 3.2
设A=
⎢⎢0 ⎢2
1 3
1 a+2
−1 3
−1 a+6
⎥ ⎥ ⎥
，则
A
的秩
R(
A)
=
(
).
⎢⎣4 0 4 a + 7 a +11⎥⎦
(A) 必为 2
6
⎡ 1 1 0 −2 1 −1⎤
⎡1 0 0 2 −1 −1⎤
( A | b) = ⎢⎢−2 −1
1
−4 2
1
⎥ ⎥
⎯r⎯→
⎢⎢0
1
0
−4
2
0
⎥ ⎥
⎢⎣−1 1 −1 −2 1 2 ⎥⎦
⎢⎣0 0 1 −4 2 −1⎥⎦
R( A) = R( A | b) = 3 < 5 ，所以方程组有无穷多解，令 x4 = c1, x5 = c2 ，得
线性代数-第三章矩阵
推论4若A，B均为可逆矩阵，则
r（AC）＝r（C）；r（CB）＝r（C）；r（ACB）＝r（C）．
推论5可逆矩阵A仅施行初等行（或列）变换即可化为单位矩阵．
例3.4.2求可逆矩阵A= 的逆矩阵。
5、矩阵的等价和等价标准形
定义3.5.1设A，B均为m×n矩阵．若A经过若干次初等行、列变换可化为B，则称A与B等价．
性质3.5.1设A为一个秩为r的矩阵，则A与 等价，并称 为A的等价标准形
下面介绍判断矩阵等价的几个充要条件．
定理3.5.1设A，B均为m×n矩阵，则下述条件中的每一个均为A与B等价的充要条件：
（１）存在m阶可逆矩阵P与n阶可逆矩阵Q使PAQ＝B；
定义3.4.1对单位矩阵 施行一次初等变换后所得到的矩阵称为初等矩阵．
据此对单位矩阵 施行三种初等变换所对应的初等矩阵分别为:
1、互换
2、倍乘
3、倍加
定理3.4.1对矩阵 施行一次初等行变换相当于在 的左边乘一个相应的m阶初等矩阵；对 施行一次初等列变换相当于在 的右边乘一个相应的n阶初等矩阵．
推论2设 是秩为r的矩阵，则存在m阶可逆阵P，n阶可逆阵Q，使得
（２）r（A）＝r（B）；
定理3.5.2秩 秩 ，秩 秩
习ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ3.5
3、已知 与 等价，则a=为什么？
4、证明：秩为r的矩阵可表示为r个秩为1的矩阵之和。
定理3.1.5设 ，A,B,是矩阵，它们的行数和列数使下列各式有意义，则有
1、
2、
3、
4、
5、
定理3.1.6（１）同阶（反）对称矩阵的和仍为（反）对称矩阵
《线性代数》课件第3章
定义1.4对于一组m × n矩阵A1,..., At和数c1,...,ct , 矩阵 c1A1 + + ctAt
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
a11 a 21
am1
a12 a 22
am 2
a 1n a 2n
amn
⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
称为S
上一个m
×
n矩阵，通常简记为
(aij
) m
×n
或
(aij
).
一个n × n矩阵称为n阶矩阵或n阶方阵.在一个n阶矩阵中,从
左上角至右下角的一串元素a11, a22 ,..., ann称为矩阵的对角线.
+
a2
⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
0 1 0
0
⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
+
+
an
⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
0 0
0 1
⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
= a 1ε1 + a 2ε2 +
+ anen .
§3.2 矩阵的乘法
( ) ( ) 定义2.1(矩阵的乘法)设A = aij 是一个m×n矩阵, B = bij 是一个
1. 把A整个分成一块,此时A就是一个1×1的分快矩阵;
2. 把A的每一行(列)或若干行(列)看成一块.比如,把A按列分
线性代数 第三章 矩阵 第六节
1
或以数 k 0 乘单位矩阵E 的第i 列(ci k)，得
初等矩阵E (i(k )).
3. 以 k 乘单位矩阵E 的第i 行加到第 j 行上 (rj kri ), 得初等矩阵E(i(k), j)
1
E(i(k), j)
10
第i行
k
1
第j行
1
或以 k 乘 E 的第 j 列加到第i 列上 (ci kcj )得 初等矩阵E (i(k), j)
当 A 0时，由 A P1P2 Pl，则
A1 Pl 1 P11, 于是有
P P 1 1 l l 1
P11 A
E,
及
Pl
1Pl
1 1
P11E
A1,
Pl
1 Pl
1 1
P11
A
E
Pl
1Pl
1 1
P11
A
Pl
1Pl
1 1
P11E
E A1
即对 n 2n 矩阵 (A E) 施行初等行变换，
由上述定理可知：
对任意矩阵A (aij )mn 及 B (bij )mn存在一系列m阶
初等方阵 P1、P2、、PS 和n阶初等方阵Q1、Q2、、Qt
使得
Ps Ps1 P2 P1 AQ1Q2 Qt1Qt B
令: P Ps Ps1 P2 P1 , Q Q1Q2 Qt
则 P、Q是可逆的，于是有: 定理 矩阵A与B等价的充要条件是存在m阶可逆 阵P 和n阶可逆阵Q，使得
a33 a32 a31
0 0 1 0
a11 AE(1,3) a21
a12 a22
a13 a23
a14 a24
0 1
1 0
0 0 0 0
大学线性代数课件矩阵第三章 矩 阵4
k1
k2
A
A11 A21
A12 A22
Ar1 Ar 2
ks
A1s A2 s
m1 m2 ,
Ars
mr
n1
n2
B11
B12
B B21 B22
Br1 Br 2
np
B1s
B2s
k1 k2
A
A21
A22
Ar 1
Ar 2
则
AT
A1T1 A1T2
A2T1 A2T2
ArT1 ArT2
.
A1Ts
A2Ts
ArTs
A1s
A2 s
,
Ars
如矩阵
1 0 2 1 1
A
0 1
1 4
4 3
5 5
2 6
A11 A21
A12 A22
A13
A23
其中 则
1 0
2 1
1
A11
A11
1 5
;
A2
3 2
1 1
,
A21
1 2
31;
0 1 1
A1
O A11
A21 O
0
1
2
3
5 0 0
§5 矩阵的秩
一、矩阵的秩
定义定12义一:一、矩、矩阵矩阵A阵的的的秩k阶秩子式
设 A 是 mn 的矩阵，任取 A 的 k 个行和 k 个列 (1≤k≤min{m, n})，位于这些行列交叉点处的 kk 个元 素，按照原来的顺序组成一个 k 阶方阵，该方阵对应 的行列式称为矩阵 A 的 k阶子式.
第三章第一讲矩阵的初等变换
= 4, ① = 0, ② = −6, ③ = −3. ④
⎛1 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎜ ⎝0
1 −2 1 1 −1 1 0 0
4⎞ ⎟ 0⎟ = B3 0 2 −6 ⎟ ⎟ 0 1 −3 ⎠
通识教育必修课程——线性代数
⎧ x1 + x2 − 2 x3 + x4 ⎪ x 2 − x 3 + x4 ⎪ ⎨ 2 x4 ⎪ ⎪ x4 ⎩
① ② ③ ④
通识教育必修课程——线性代数
⎧ x1 + x2 − 2 x3 + x4 = 4, ⎪ 2 x − x − x + x = 2, ⎪ 1 2 3 4 ⎨ ⎪ 2 x1 − 3 x2 + x3 − x4 = 2, ⎪ 3 x1 + 6 x2 − 9 x3 + 7 x4 = 9. ⎩
②－③ ③－2×① ④－3×①
① ② ③ ④
⎛1 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎜ ⎝0
r1 − r2
1 −2 1 4 ⎞ ⎟ 1 −1 1 0 ⎟ = B4 0 0 1 −3 ⎟ ⎟ 0 0 0 0⎠
r2 − r3
⎛1 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎜ ⎝0
0 −1 0 1 −1 0 0 0
4⎞ ⎟ 3⎟ = B5 0 1 −3 ⎟ ⎟ 0 0 0⎠
通识教育必修课程——线性代数
③ ④
④－2×③
= 4, ① = 0, ② = −6, ③ = −3. ④
⎛1 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎜ ⎝0
r3 ↔ r4 r4 − 2r3
1 −2 1 4 ⎞ ⎟ 1 −1 1 0 ⎟ = B3 0 0 2 −6 ⎟ ⎟ 0 0 1 −3 ⎠
⎧ x1 + x2 − 2 x3 + x4 = 4, ⎪ x2 − x3 + x4 = 0, ⎪ ⎨ x4 = −3, ⎪ ⎪ 0 = 0. ⎩
第三章矩阵第二讲
1 j n 于是 A1(1 2 n )＝e1 e2 en.
a 1
A1
.
a 1
由(1)知a 0，故 1 2
1
n＝
a
.
1
a
(3) 若m 0, 对m用归纳法.m 1,显然成立.
x11
设m＝k
1时成立，当m
k
1时，Ak 1 A
xn1
x1n a11
A
C1 k 2 k 1 k 1
C1 k 2 k 1
n1 k n
C k1 n2 k n1 C k1
A
k1
(注意:Cnk1 Cnk Cnk1)
k
k
C n1 k
C n2 k
k n1 k n2
k
f( )
更一般的有：f(A)=
11!f() f( )
21!f() 11!f( )
于是 A 2 BB C'C
3. 设A=(B,C)是n m实矩阵，B是n s子块. 证明： AA BB CC
证： (1)当n=m时，由题2知正确.
(2)当m>n时, 由B-C公式知 AA ＝0，而 BB 0 CC 0，故结论证毕.
(3)当m<n时，AX=0有非零解且基础解系至少含n m个向量,取n m个线
b2n
bnn
bij bi1 j bij1 bij
(i n, j 1) (1)
bnj bnj1 bnj
(i n, j 1) (2)
bn1 bn1
(i n, j 1) (3)
bi1 bi11 bi1
(i n, j 1) (4)
由(4)得 bi11＝0，即 b21=b31 bn1 0 (5)
j=1
线性代数第三章,矩阵初等变换与线性方程组
（称 B 是该线性方程组的增广矩阵）
3
6 9
7 9
1 1 2 1 4 1 1 2 1 4
~r1
r2
2
r3
1 2
2
3
1 3 6
1 1 9
1 1 7
~ 2
r2 r3
r3 2 r1
0
2
r4
3r1
0
9 0
2 5 3
2 5 3
2 3 4
0
6
3
1 1 2 1 4 1 1 2 1 4
A,
E
2
3
2 4
1 3
0 0
1 0
0 1
r2 r3
2 r1
~
3r1
0 0
2 5 2 2 6 3
1 0
0
1
1
r1 r2
~ r3 r2
0 0
0 2 1 1 2 5 2 1 0 1 1 1
0 1
0 1
r1 2r3
~
r2 5r3
0 0
0 0 1 3 2
2 0
3
6
5
0 1 1 1 1
2 4 4
2 4 0
4 4 0
240
故 R A 2 。
特别，当 n 阶方阵 A 的行列式 A 0 ，则 R A n ；反之，当 n 阶方阵 A 的秩 R A n ，
则 A 0 。因此 n 阶方阵可逆的充分必要条件是 R A n （满秩）。
定理 若 A ~ B ，则 R A RB 。
3 2 0 5 0
x2
c
1
2
x3 1 0
一些推广：
1． 矩阵方程 AX B 有解 R A R A, B 。 2． AB C ，则 RC min{R A, RB}。 3． 矩阵方程 Amn X nl O 只有零解 R A 0 。
几何与线性代数(第三章 行列式与矩阵)
n 2时 ，D a11 A11 a12 A12 a1n A1n a1 j A1 j j1
其中A1 j (1)1 j M1 j
a21 a2, j1
M1 j
a31
a3, j1
an1 an, j1
a2, j1 a2n a3, j1 a3n
an, j1 ann
( j 1,2,..,n)
ai1 j1 ai2 j1
aik j1
ai1 j2 ai2 j2
aik j2
ai1 jk ai2 jk
aik jk
非零子式
定义（秩）：非零矩阵A的非零子式的最高阶数称为A的秩， 记为r(A)或R(A)。规定：零矩阵的秩为0
注：最高阶数，即指A存在r阶非零子式，但所有r+1阶子式 （如果存在）都等于0，则最高阶数为r。 注：r(A)=r(AT)
例：
1 4 2
A 3 5 1
2 1 6
性质2：
a11
a12 a1n
a11 a12 a1n
kai1 kai2 kain k ai1 ai2 ann
推论：
** * * 0 0 0 0 ** * *
性质3：
***
*** ***
k (5) A1 1
A
规定：当A可逆时，A0 E, Ak ( A1 )k k N，则当r, s Z时，有
Ar As Ars , ( Ar )s Ars
伴随矩阵
a11
A
a21
an1
a12 a22
an2
a1n
A11
a2n ann
A*
A12
A1n
A21 A22
| A|
| A|
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新创造价值向量 F=X –Y '
2020/8/2
第三章 矩阵代数
21
投入产出分析
例3.4 某地有三个产业，一个煤矿，一个发电厂和 一条铁路，开采一元钱的煤，煤矿要支付0.25元 的电费及0.25元的运输费; 生产一元钱的电力，发 电厂要支付0.65元的煤费，0.05元的电费及0.05 元的运输费; 创收一元钱的运输费,铁路要支付 0.55元的煤费和0.10元的电费，在某一周内煤矿 接到外地金额50000元定货，发电厂接到外地金 额25000元定货，外界对地方铁路没有需求。
矩阵处理
trace(A) 迹(对角线元素的和) diag(A) A对角线元素构成的向量; diag(x) 向量x的元素构成的对角矩阵. tril(A) A的下三角部分 triu(A) A的上三角部分 flipud(A) 矩阵上下翻转 fliplr(A) 矩阵左右翻转 reshape(A, m, n) 矩阵A的元素重排成m行n列矩阵
用符号数学工具箱中的solve求解(第七章)
2020/8/2
第三章 矩阵代数
16
3.3 计算实验：线性方程组求解
相似对角化及应用
如果n阶方阵A有n个线性无关的特征向量，则必存
在正交矩阵P, 使得 P-1AP= , 其中是A的特征值
构成的对角矩阵，P的列向量是对应的n个正交特 征向量。 使用MATLAB函数eig求得的每个特征向量都是单 位向量(即模等于1)，并且属于同一特征值的线性 无关特征向量已正交化，所以由此容易进行相似 对角化。
2020/8/2
第三章 矩阵代数
8
3.2 矩阵代数的MATLAB指令
矩阵运算与数组运算的区别
数组运算按元素定义，矩阵运算按线性代数定义 矩阵的加、减、数乘等运算与数组运算是一致的 矩阵的乘法、乘方和除法与数组乘法、乘方和除
法不同 数与矩阵加减、矩阵除法在数学上是没有意义的。
但在MATLAB中有定义。
率 AA-A AA-A AA-aa Aa-Aa Aa-aa aa-aa
后 AA A1
1a/2
0
1/4
0
0
代 Aa 0
1/2
1
1/2 1/2 0
aa 0
0
0 1/4 1/2 1
上表给出父母基因型的所有可能组合使其
后代形成每种基因对的概率。
2020/8/2
第三章 矩阵代数
26
例5 设金鱼某种遗传病染色体的正常基因 为A，不正常基因为a, 那么AA，Aa，aa分 别表示正常金鱼，隐性患者，显性患者。 设初始分布为90%正常金鱼，10%的隐性 患者，无显性患者。考虑下列两种配种方 案对后代该遗传病基因型分布的影响 方案一：同类基因结合，均可繁殖； 方案二：显性患者不允许繁殖，隐性患 者必须与正常金鱼结合繁殖
0
102088 56163 28330
新创造价值 51044 14041 9915
总产出 102088 56163 28330
2020/8/2
第三章 矩阵代数
25
基因遗传
后代是从父母体的基因对中各继承一个基因， 形成自己的基因型。如果所考虑的遗传特征 是由两个基因A和a控制，那么有三种基因型，
概
父母
X=CX+D
令 A = E－C，E为单位矩阵，则
AX = D
C称为直接消耗矩阵 A称为列昂杰夫（Leontief）矩阵。
2020/8/2
第三章 矩阵代数
20
x1
B表示各部门间
B=C
x2
的投入产出关 系，称为投入
xn
产出矩阵。
Y = [1,1,…,1] B
Y表示各部门的总投入，称为投入向量。
第三章 矩阵代数
12
3.2 矩阵代数的MATLAB指令
特征值与标准形
eig(A) 方阵A的特征值 [V, D]=eig(A)返回方阵A的特征值和特征向量。其
中D为的特征值构成的对角阵，每个特征值对应的 V的列为属于该特征值的一个特征向量。 [V, J]=jordan(A) 返回A的相似变换矩阵和约当标 准形
x3
(0.25x1
0.05x2
0
x3 )
0
2020/8/2
第三章 矩阵代数
23
产出向量X
=
x1 x2
外界需求向量
D
=
50000 25000
x3 0 0.65 0.55 0
直接消耗矩阵C= 0.25 0.05 0.10
0.25 0.05 0
则原方程为 (E-C)X=D
投入产出矩阵为 B=C*diag(X)
总投入向量
Y= ones(1,3)*B
新创造价值向量 F=X-Y’
2020/8/2
第三章 矩阵代数
24
表3.3 投入产出分析表(单位：元)
消耗部门
外界需求 总产出
煤 矿 电厂 铁 路
生 煤矿 0 产 部 电厂 25522 门
铁路 25522
36506 2808 2808
15582 2833
0
50000 25000
解）, A\B给出最小二乘意义上的近似解，即使得 向量AX－B的模达到最小。
2020/8/2
第三章 矩阵代数
14
3.3 计算实验：线性方程组求解
例3.1 解方程组
x 2y 1 3x 2 y 4
x 2y z 1 3x 2 y z 4
3xx
2y 2y
1 4
x y 2
x 2y 1 2x 4 y 2
2020/8/2
第三章 矩阵代数
13
3.3 计算实验：线性方程组求解
矩阵除法
(1) 当A为方阵，A\B结果与inv(A)*B一致； (2) 当A不是方阵, AX=B存在唯一解, A\B将给出这
个解； (3) 当A不是方阵, AX=B为不定方程组(即无穷多解)，
A\B将给出一个具有最多零元素的特解； (4) 当A不是方阵, AX=B若为超定方程组（即无
2020/8/2
第三章 矩阵代数
11
3.2 矩阵代数的MATLAB指令
矩阵分析
rank(A) 秩 det(A) 行列式; inv(A) 逆矩阵; null(A) Ax=0的基础解系； orth(A) A列向量正交规范化 norm(x) 向量x的范数 norm(A) 矩阵A的范数
2020/8/2
2020/8/2
第三章 矩阵代数
27
解 设初始分布X(1)=(0.9 0.1 0)’,
第n代分布为X(n)=
x(n) 1
x(n) 2
1 1/ 4 0 A = 0 1/ 2 0
0 1/ 4 1
x(n) 3
1
1 0 0
则 X(n) = An-1X(1) X(n) = Bn-1X(1) 分别是 两
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第三章 矩阵代数
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3.2 矩阵代数的MATLAB指令
特殊矩阵生成
zeros(m,n) m行n列的零矩阵;
ones(m,n) m行n列的元素全为1的阵;
eye(n)
n阶单位矩阵;
rand(m,n) m行n列[0,1]上均匀分布随机数矩阵
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第三章 矩阵代数
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3.2 矩阵代数的MATLAB指令
门j单位产品对部门i产品的消耗，di为外部对部
门分配i的平需衡求方，程fj为组部门j新创造n 的价值。
xi cij x j di
消耗平衡方程组
j 1 n
x j x j cij f j
i 1
i =1,2,…,n
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第三章 矩阵代数
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投入产出分析
令 C =（cij），X = (x1, …, xn)',D = (d1, …, dn)’，F= (f1, …, fn)’, 则
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第三章 矩阵代数
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问三个企业间一周内总产值多少才能满足
自身及外界需求？三个企业间相互支付多
少金额？三个企业各创造多少新价值?
解：这是一个投入产出分析问题。设
x1为本周内煤矿总产值，x2为电厂总产 值, x3为铁路总产值, 则
x1
(0
x1
0.65x2
0.55x3 )
50000
x2 (0.25x1 0.05x2 0.10x3) 25000
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第三章 矩阵代数
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3.2 矩阵代数的MATLAB指令
运算符
A’ (共轭)转置, A.’ 转置 A+B与A-B 加与减 k+A与k-A 数与矩阵加减 k*A或A*k 数乘矩阵 A*B 矩阵乘法 A^k 矩阵乘方 左除A\B 为AX=B的解 右除B/A 为XA=B的解
a21x1 a22 x2 a2n xn b2
am1x1 am2 x2 amn xn bm
记为 A x = b
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第三章 矩阵代数
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3.1 预备知识：线性代数
线性方程组
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第三章 矩阵代数
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3.1 预备知识：线性代数
线性方程组
• 若秩(A) 秩(A,b)，则无解； • 若秩(A) = 秩(A,b) = n, 存在唯一解； • 若秩(A) = 秩(A,b) < n, 存在无穷多解； • 通解是齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系与 Ax=b
第三章 矩阵代数
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3.1 预备知识：线性代数
特征值与特征向量 对于方阵A，若存在数 和非零向量x 使 A x = x，则称为A的 一个特征值，x 为A 的一个对应于特征值 的特征向量。
特征值计算归结为特征多项式的求根。 特征向量计算：齐次线性方程组