12简单的线性规划(2)
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最优解有无数个，求实数 的值.
2x y 2 0
例4.若实数x,
y满足
y3
, 且x2 y2的
ax y a 0
最大值等于34，则正实数a的值等于
。
例5:某工厂生产甲、乙两种产品,生产1t甲种产品 需要A种原料4t,B种原料12t,产生的利润是2万元； 生产乙种产品需要A种原料1t,B种原料9t,产生的 利润是1万元,现有库存A种原料10t,B种原料60t, 如何安排生产才能使得利润最大?
例1 解下列线性规划问题：
求z=2x+y的最大值和最小值，使式中x、y满足下
列条件：
y
解线性规划问题的一般步骤：
第第一 二步 步xy： ：在 在yx平 可面行1直域角内坐找标到系最中优作解O 出所可 对C(行 应12,域 的12)； 点； 第的三 最步 大y： 值解 或方 最1程小得值最。优解A(，-1,从-1而) 求出目标函B数(2,-1)
4x 3y 20 20的交点A(1.25,5)
时,直线y=-2x+P在
y轴上的截距P最大.
所以,当x=1.25,y=5时目标函数取得最大值
7.5,即甲乙分别生产1.25t,5t时获得最大利润
7.5万元.
例6:投资生产Ａ 产品时，每生产一百吨需要资金200万
元，需场地200ｍ２，可获利润３００万元；投资生产 Ｂ 产品时，每生产一百米需要资金300万元，需场地100 ｍ２，可获利润200万元．现某单位可使用资1400万元， 场地900ｍ２，问：应作怎样的组合投资，可使获利最大？
2 已知 x, y 满足 | x 1| | y 1| 1 ,求
f y2 x 1
的取值范围.
可行域
(1,1)
(5,2)
y 2x z
几个结论：
1、线性目标函数的最大（小）值一般 在可行域的顶点处取得，也可能在边界 处取得。
2、求线性目标函数的最优解，要注意 分析线性目标函数所表示的几何意义 ——在y轴上的截距或其相反数。
线性规划
变：z=x+2y
将z 2x y改写为y 2x z
设每天调出Ａ 型车ｘ 辆，Ｂ 型车ｙ 辆，公司花费成本ｚ元，
x y 10
04
x
6 x
3y 8
10
180
目标函数为z=320x+504y
0 y 4
x, y Z
作出可行域
y
4x 5y 30
O
x8
y4
x
x y 10
当直线320ｘ＋504ｙ =ｚ经过直线4x+5y=30与ｘ轴 的交点(7.5,0)时，z有最小值，由于（7.5,0）不是整点 ，故不是最优解．
B
A x-4y+3=0
O
x
线性规划
线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最 大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．
可行解 ：满足线性约束条
将件z=的2解x+(yx改，为y)y叫=可-2行x+解z ；
可行域 ：由所有可行解组
成的集z合ma叫x 做 1可2行域；
最优解zm：in使目3标函数取得
最大或最小值的可行解叫 线性规划问题的最优解。
设计划生产甲、乙两种产品的吨数分别是x,y,
Baidu Nhomakorabea
利润为P,则
4x y 10 4x 3y 20 x 0 y 0
目标函数为P=2x+y
作出约束条件所表示的平面区域
4x y 10
y
将P=2x+y变为y=-2x+P
A(1.25,5) 平移直线y=-2x+P
当直线经过两直线4x
O
x +y=10和4x+3y=
x
答案：当x=-1,y=-1时，z=2x+y有最小值－3. 当x=2,y=-1时，z=2x+y有最大值3.
解线性规划问题的步骤：
（1）画：画出线性约束条件所表示的可行域；
（2）移：在线性目标函数所表示的一组平行 线中，利用平移的方法找出与可行域有公共 点且纵截距最大或最小的直线；
（3）求：通过解方程组求出最优解；
简单的线性规划问题
第二讲 线性规划
线性规划
问题：设z=2x+y，式中变量满足下列条件： 3xx45yy235 x 1
求z的最大值与最小值。
线性规划
线性目标函数
线性约束条 件
问题：
设z=2x+y，式中变量满足
下列条件：
y
x=1
3xx45yy235 x 1
求z的最大值与最小值。
C 3x+5y-25=0
例7:某运输公司向某地区运送物资，每天至少运送180
ｔ．该公司有８辆载重为６ｔ的Ａ 型卡车与４辆载重为 10ｔ的Ｂ 型卡车，有10名驾驶员．每辆卡车每天往返次 数为 Ａ型车４次，Ｂ 型车３次．每辆卡车每天往返的成 本费Ａ型车为320元，Ｂ 型车为504元．试为该公司设 计调配车辆方案，使公司花费的成本最低．
（4）答：作出答案。
例2已知 x, y满足
x 4 y 3 0, 3x 5y 25 0, x 1.
分别求(1) z y x
(2) s (x 4)2 ( y 1)2 的最值.
例3．在如图所示的坐标平面的可行 域（阴影部分且包括边界）内，目标
函数 z 2x ay
a 取得最值的
x 01 23 4 5 6 7 8
y
4 3 2 2 10
z
2976 2792 2608 2928 2744 2560
所以,当x=8,y=0,即公司每天调出A型车8辆时, 花费的成本最低.
2x y 2 0,
补充:1
已知
x, y满足
x
2
y
4
0,
3x y 3 0.
求 x 2 y 2 的最大值和最小值.
2x y 2 0
例4.若实数x,
y满足
y3
, 且x2 y2的
ax y a 0
最大值等于34，则正实数a的值等于
。
例5:某工厂生产甲、乙两种产品,生产1t甲种产品 需要A种原料4t,B种原料12t,产生的利润是2万元； 生产乙种产品需要A种原料1t,B种原料9t,产生的 利润是1万元,现有库存A种原料10t,B种原料60t, 如何安排生产才能使得利润最大?
例1 解下列线性规划问题：
求z=2x+y的最大值和最小值，使式中x、y满足下
列条件：
y
解线性规划问题的一般步骤：
第第一 二步 步xy： ：在 在yx平 可面行1直域角内坐找标到系最中优作解O 出所可 对C(行 应12,域 的12)； 点； 第的三 最步 大y： 值解 或方 最1程小得值最。优解A(，-1,从-1而) 求出目标函B数(2,-1)
4x 3y 20 20的交点A(1.25,5)
时,直线y=-2x+P在
y轴上的截距P最大.
所以,当x=1.25,y=5时目标函数取得最大值
7.5,即甲乙分别生产1.25t,5t时获得最大利润
7.5万元.
例6:投资生产Ａ 产品时，每生产一百吨需要资金200万
元，需场地200ｍ２，可获利润３００万元；投资生产 Ｂ 产品时，每生产一百米需要资金300万元，需场地100 ｍ２，可获利润200万元．现某单位可使用资1400万元， 场地900ｍ２，问：应作怎样的组合投资，可使获利最大？
2 已知 x, y 满足 | x 1| | y 1| 1 ,求
f y2 x 1
的取值范围.
可行域
(1,1)
(5,2)
y 2x z
几个结论：
1、线性目标函数的最大（小）值一般 在可行域的顶点处取得，也可能在边界 处取得。
2、求线性目标函数的最优解，要注意 分析线性目标函数所表示的几何意义 ——在y轴上的截距或其相反数。
线性规划
变：z=x+2y
将z 2x y改写为y 2x z
设每天调出Ａ 型车ｘ 辆，Ｂ 型车ｙ 辆，公司花费成本ｚ元，
x y 10
04
x
6 x
3y 8
10
180
目标函数为z=320x+504y
0 y 4
x, y Z
作出可行域
y
4x 5y 30
O
x8
y4
x
x y 10
当直线320ｘ＋504ｙ =ｚ经过直线4x+5y=30与ｘ轴 的交点(7.5,0)时，z有最小值，由于（7.5,0）不是整点 ，故不是最优解．
B
A x-4y+3=0
O
x
线性规划
线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最 大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．
可行解 ：满足线性约束条
将件z=的2解x+(yx改，为y)y叫=可-2行x+解z ；
可行域 ：由所有可行解组
成的集z合ma叫x 做 1可2行域；
最优解zm：in使目3标函数取得
最大或最小值的可行解叫 线性规划问题的最优解。
设计划生产甲、乙两种产品的吨数分别是x,y,
Baidu Nhomakorabea
利润为P,则
4x y 10 4x 3y 20 x 0 y 0
目标函数为P=2x+y
作出约束条件所表示的平面区域
4x y 10
y
将P=2x+y变为y=-2x+P
A(1.25,5) 平移直线y=-2x+P
当直线经过两直线4x
O
x +y=10和4x+3y=
x
答案：当x=-1,y=-1时，z=2x+y有最小值－3. 当x=2,y=-1时，z=2x+y有最大值3.
解线性规划问题的步骤：
（1）画：画出线性约束条件所表示的可行域；
（2）移：在线性目标函数所表示的一组平行 线中，利用平移的方法找出与可行域有公共 点且纵截距最大或最小的直线；
（3）求：通过解方程组求出最优解；
简单的线性规划问题
第二讲 线性规划
线性规划
问题：设z=2x+y，式中变量满足下列条件： 3xx45yy235 x 1
求z的最大值与最小值。
线性规划
线性目标函数
线性约束条 件
问题：
设z=2x+y，式中变量满足
下列条件：
y
x=1
3xx45yy235 x 1
求z的最大值与最小值。
C 3x+5y-25=0
例7:某运输公司向某地区运送物资，每天至少运送180
ｔ．该公司有８辆载重为６ｔ的Ａ 型卡车与４辆载重为 10ｔ的Ｂ 型卡车，有10名驾驶员．每辆卡车每天往返次 数为 Ａ型车４次，Ｂ 型车３次．每辆卡车每天往返的成 本费Ａ型车为320元，Ｂ 型车为504元．试为该公司设 计调配车辆方案，使公司花费的成本最低．
（4）答：作出答案。
例2已知 x, y满足
x 4 y 3 0, 3x 5y 25 0, x 1.
分别求(1) z y x
(2) s (x 4)2 ( y 1)2 的最值.
例3．在如图所示的坐标平面的可行 域（阴影部分且包括边界）内，目标
函数 z 2x ay
a 取得最值的
x 01 23 4 5 6 7 8
y
4 3 2 2 10
z
2976 2792 2608 2928 2744 2560
所以,当x=8,y=0,即公司每天调出A型车8辆时, 花费的成本最低.
2x y 2 0,
补充:1
已知
x, y满足
x
2
y
4
0,
3x y 3 0.
求 x 2 y 2 的最大值和最小值.