椭圆的定义及标准方程(第一课时)

思考： 如果焦点F1 、F2在 y 轴上，且
F1(0,-c)，F2(0,c)，a、b、c 的意义同上，
那么椭圆的方程形式又如何呢？
y
F2
M
y x 2 1(a b 0) 2 a b
2
2
o
F1
x 也是椭圆的标准方程。
归纳：椭圆的标准方程
定 义 y
M
|MF1|+|MF2|=2a (2a>2c>0)
作业： 习题2.1A组第2题
本节课的教学感想
我根据教学大纲，认真设计了教学过程，在老师的启发 引导下，在多媒体课件的辅助下，通过观察、类比、归 纳等手段达到教学目的。激发了学生的学习兴趣、调动了 学生学习的积极性，让学生参与了知识的形成过程，充分 体现了学生在教学中的主体地位，通过例题分析和练习题 的训练，巩固了所学知识，加深了学生对知识的理解和掌
x y 1 144 169
2 2
2
2
答：在 X 轴。（-3，0）和（3，0）
答：在 y 轴。（0，-5）和（0，5）
x y 2 1 2 m m 1
2
2
答：在y 轴。（0，-1）和（0，1）
判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则： 焦点在分母大的对应那个轴上。
练习2.求适合下列条件的椭圆的标准方程：
握，这样的设计，符合了学生了认知规律。
椭圆的标 准方程
椭圆的标准方程的再认识：
y M(x,y)
F1(-c,0) x
x y 2 1(a b 0) 2 a b
2
2
O
F2(c,0)
（1）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1 （2）椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足c2=a2-b2 。 （3）由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值。 （4）焦点在x轴上的椭圆的标准方程中，x2对应的分母大。
(1)a=
6
,b=1,焦点在x轴上；
x2 6
y 1
2
(2)焦点为F1(0,－3)，F2(0,3),且a=5； 25 16 (3)两个焦点分别是F1(－2,0)、F2(2,0),且过 P(2,3)点； x y 1
2 2
y2
x2
1
16
12
.
课时小结：
1、学习了椭圆的定义，焦点、焦距， 2、求出了椭圆的标准方程，椭圆的两种标准方程 中，总是a＞b＞0 3 、 a、b、c始终满足：a2-b2=c2, a＞b＞0 4 、判断椭圆的焦点在哪个轴上的准则： 焦点在分母大的对应的那个轴上
变式练习题（一）
x y 1. 2 2 1 ，则a＝ 5 ，b＝ 3 ； 5 3 （-4，0）（4，0） 8 焦点坐标为：___________ 焦距等于___;
x2 y2 2. 1 ，则a＝ 3 ，b＝ 2 ； 9 4 ( 5,0) ( 5,0) 焦点坐标为：___________
x
故由椭圆的定义得
wk.baidu.com
| MF1 | | MF2 | 2a （a > c）
( x c ) 2 y 2 ( x c ) 2 y 2 2a
移项，得
( x c ) y 2a ( x c ) y
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
2
化简，得
(a c ) x a y a ( a c )
三教学过程设计
1创设情境，展示生活中的椭圆的图片
生 活 中 的 椭 圆
8
天体运动的轨迹是一个什么图形呢？
如何精确地设计、制作、建造出现实生活 中这些椭圆形的物件呢？
10
2怎样画椭圆呢？
请看教材2.1.1探究,同桌一起合作画椭圆。
M
F1 F2
目的：1、给学生提供一个动手操作、合 作学习的机会；2、通过实验可以是使学生去探究“满足什 么样的条件下的点的集合为椭圆”有深刻地理解。
一、教学背景分析
（三）教学目标 1、知识与技能目标：理解椭圆定义、掌握标准方程及其 推导。 2、过程与方法目标：注重数形结合，掌握解析法研究几 何问题的一般方法，注重探索能力的培养。
3、情感、态度和价值观目标：
通过课堂活动参与，激发学生学习数学的兴趣，提高学 生审美情趣，培养学生勇于探索，敢于创新的科学的精 神
x
原则：尽可能使方程的形式简单、运算简单； (一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的 直线作为坐标轴.) (对称、“简
洁”)
y
o
以经过椭圆焦点 F1，F2 的直线为 x 轴，线段 F1F2的中垂线为y轴，建立直角坐标系xoy。 设 M（x，y）是椭圆上的任一点， 设椭圆的焦距为 2c，点M与两焦 点的距离之和为常数 2a。 故椭圆的两焦点坐标分别为 F1(-c,0) 和 F2(c,0)
y
F 2
M
图 形
F1
o
F2
x
o
F1
x
方 程 焦 点 a,b,c之间的
关系
x2 y2 2 1 a b 0 2 a b
y2 x2 2 1 a b 0 2 a b
F(±c，0)
F(0，±c)
c2=a2-b2
焦点在分母大对应的字母所在轴
焦点位置的 判定
例1 已知椭圆的两个焦点坐标分别是 2,0, 5 3 2,0, 并且经过点 , , 求椭圆的标准方程. 2 2 解 因为椭圆的焦点在x轴上, 所以它的标准方 2 2 x y 程为 2 2 1 a b 0 . 由椭圆定义知 2a a b 2 2 2 2 5 3 5 3 2 2 2 10 , 2 2 2 2
一、教学背景分析
（二）学情分析
在学习本课《椭圆及其标准方程》前，学生已学 习了直线与圆的方程，对曲线和方程的概念有了 一些了解与运用，用坐标法研究几何问题也有了 初步的认识。但由于学生学习解析几何时间还不 长、知识与经验的不足，在学习过程中还会有些 困难。如：由于学生对坐标法解决几何问题掌握 还不够，故从研究圆到椭圆，学生思维上会存在 障碍 。
设问：为什么要
MF1 MF2 F1 F2
？
MF1 MF2 F1 F2 画出的图形还是椭 若 圆吗？
若
MF1 MF2 F1 F2 ？
目的：加深对椭圆定义条件的理解 。
4怎么推导椭圆的标准方程呢？ ♦ 探讨建立平面直角坐标系的方案
y y y F1
O O O
y
M
xx x
O 2 F
2
y
即
x y 2 1 2 2 a a c
2
2
b
a
c
x
此方程形式还不够简捷，还有变 形的必要，
观察左图， 你能从中找出表示
o
c 、 a 的线段吗？
a2-c2 有什么几何意义？
令 | OP | a 2 c 2 b
则方程可化为
x2 y2 2 1(a b 0) 2 a b
M
F1
F2
运动过程中，什么是不变的？ 不论点M运动到何处，绳长(2a)是不变的！ 即轨迹上任一点M与两个定点距离之和为同一 常数2a，即：
MF1 MF2 2a
3椭圆几何定义获得
（由学生分组讨论，交流）
F1
M
2c
F2
平面内与两个定点F1、F2的距离之和 等于常数 （大于 F1F 2 ）的点的轨迹 叫做椭圆。 两个定点F1、F2称为焦点， 两焦点之间的距离称为焦距。
则a 10 .又c 2, 故b 2 a 2 c 2 10 4 6. x2 y 2 因此, 所求椭圆的标准方程为 1. 10 6 你还能用其他方法求它 的方程吗?
练习:1、判定下列椭圆的焦点在哪个 轴上 ？并 指明a2、b2，写出焦点坐标
x y 1 25 16
（二）学法指导的实施： (1) 通过利用圆的定义及圆的方程的推导过程，从而 启发椭圆的定义及椭圆的标准方程的推导，让学生体会 到类比思想的应用；通过利用椭圆定义探索椭圆方程的 过程，指导学生进一步理解数形结合思想，产生主动运 用的意识；通过揭示由于椭圆位置的不确定所引起的分 类讨论，进行分类讨论思想运用的指导。 (2) 通过解题思路的脉络分析，对学生进行解题思考 的指导。 (3) 通过对学生发言的点评，规范语言表达，指导学 生进行交流和讨论。
一、教学背景分析
（四）教学重难点 重点：椭圆的定义与椭圆的标准方程的形式的 特点； 难点：椭圆标准方程的推导。
二、教学方法分析
（一）教法的选择
基于上述分析，我采取的是教学方法是“问题 诱导--启发讨论--探索结果”以及“直观观察-归纳抽象--总结规律”的一种探究式教学方法， 注重“引、思、探、练”的结合。 引导学生学习方式发生转变，采用激发兴趣、 主动参与、积极体验、自主探究的学习，形成 师生互动的教学氛围。
2 2
2 5 焦距等于______
变式练习题（二）：根据下列条件写出椭 圆的标准方程
（1）a=4,b=2,焦点在x轴上。 2 2 x y 1 16 4 椭圆的标准方程为：____________ （2）焦点坐标为（-4，0）,（4，0），a=5 2 2 x y 1 25 9 椭圆的标准方程为：____________
§2.1.1椭圆及其标准方程 （第一课时）
一、教学背景分析
（一）教材的地位与作用 椭圆及其标准方程是平面解析几何中的重要基础 知识。这段教材内容承上启下，为研究双曲线和 抛物线提供方法。此外求椭圆标准方程的方法也 对其它曲线标准方程的得出起到先导和示范作用， 从而达到培养学生探索问题和解决问题能力的目 的。