平面直角坐标系与轴对称变换专题

平面直角坐标系与轴对称变换专题

第三讲平面直角坐标系与轴对称变换专题

第一节：直角坐标系与轴对称变换

知识点回顾

知识点一：轴对称、轴对称图形

1、轴对称图形：如果一个图形沿某条直线对折，对折的两部分是重合的，那么就称这样的图形为轴对称图形。这条直线称为对称轴，对称轴一定为直线。

2、轴对称：把一个图形沿着某一条直线翻折过去，如果它能与另一个图形重合，那么这两个图形成轴对称，两个图形中的对应点叫对称点。

知识点二：轴对称图形的性质

1、轴对称图形的对应线段相等，对应角相等，对应点的连线被对称轴

垂直平分。轴对称的两个图形，对应线段或延长线相交，交点在对称轴上。2、轴对称图形变换的特征是不改变图形的大小和形状，只改变图形的

位置，新旧图形具有对称性。

例2：（2009湖北荆门）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，将A'

B

D

A C

其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB =（）

A．40° B．30° C．20° D．10°解析：

有关折叠问题是中考常考的题型，必须要辨别清楚折叠前后图形和数量关系。本题中，将∠A折叠，出现了轴对称，∠CA′D=∠A，因为∠A=50°，所以∠CA′D=50°。在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=90°-∠A=40°。∠CA′D是△ A′B D的一个外角，等于∠A′DB与∠B之和，所以∠A′DB=∠A′DB -∠B=50°- 40°=10°。应选择D。2.（2009湖南郴州）点(35)

p，关于x轴对称的点的坐标为（）

A．(3,5)B．(5,3)C．(3,5) D．(3,5)

【答案】D

知识点三：中心对称、中心对称图形

1、中心对称图形：一个图形绕着某点旋转一定角度后能与自身重合，这种图形叫中心对称图形，该点叫作旋转中心。

2、中心对称：把一个图形绕着某一点旋转一定角度后，如果它能与另一个图形

4.对任意实数x，点2

，一定不在

P x x x

(2)

．．（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

（1）当0＜x＜2时，x＞0，x2-2x=x*（x-2）＜0，故点P在第四象限；

（2）当x＞2时，x＞0，x2-2x=x*（x-2）＞0，故点P在第一象限；

（3）当x＜0时，x2-2x＞0，点P在第二象限．故对任意实数x，点P可能在第一、二、四象限，一定不在第三象限，故选C．

5如图的坐标平面上有一正五边形ABCDE，其中C、D两点坐标分别为(1,0)、(2,0) ．若在没有滑动的情况下，将此正五边形沿着x轴向右滚动，则滚动过程中，下列会经过(75 , 0)的点是（）

A． A B． B C． C D． D

∵C、D两点坐标分别为（1，0）、（2，0）．∴按题中滚动方法点E经过点（3，0），点A 经过点（4，0），点B经过点（5，0），

∵点（75，0）的横坐标是5的倍数，而该正五边形滚动5次正好一周，

∴可知经过（5，0）的点经过（75，0），∴点B 经过点（75，0）．故选B．

6、当b=______时,点B(3,|b-1|)在第一.三象限角平分线上.

点在角平分线上的特点：一、三象限的角平分线上的点：横纵坐标相等；二、四象限的角平分线上的点：横纵坐标互为相反数

7.（2013浙江杭州）如图，在△ABC中,∠ CAB ＝70。. 在同一平面内, 将△ABC绕点A旋转到△

AB’C’的位置, 使得AB//CC’,则∠BAB （）

A. 30.

B. 35.

C. 40.

D.

50.

8、如图，已经四边形ABCD是矩形，把矩形沿

直线AC折叠，点B落在点E处，连接DE，若DE:AC=3:5,求AD/AB的值

第二节：最短路径问题

(1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求．

如图所示，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时点C是直线l与AB的交点．

(2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求．

如图所示，点A，B分别是直线l同侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时先作点B关于直线l的对称点B′，则点C是直线l与AB′的交点．

为了证明点C的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点C′，连接AC′，BC′，B′C′，证明AC＋CB＜AC′＋C′B.如下：

证明：由作图可知，点B和B′关于直线l对称，

所以直线l是线段BB′的垂直平分线．

因为点C与C′在直线l上，

所以BC＝B′C，BC′＝B′C′.

在△AB′C′中，AB′＜AC′＋B′C′，

所以AC＋B′C＜AC′＋B′C′，

所以AC＋BC＜AC′＋C′B.

【例1】在图中直线l上找到一点M，使它到A，B两点的距离和最小．

分析：先确定其中一个点关于直线l的对称点，然后连接对称点和另一个点，与直线l的交点M即为所求的点．

解：如图所示：(1)作点B关于直线l的对称点B′；

(2)连接AB′交直线l于点M.

(3)则点M即为所求的点．

点拨：运用轴对称变换及性质将不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，然后用“两点之间线段最短”解决问题.

2.运用轴对称解决距离最短问题

运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题的基本思路，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点到直线上某点的距离和最小这个核心，所有作法都相同．

警误区利用轴对称解决最值问题应注意题目要求根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法．解决这类最值问题时，要认真审题，不要只注意图形而忽略题意要求，审题不清导致答非所问．

3．利用平移确定最短路径选址

选址问题的关键是把各条线段转化到一条线段上．如果两点在一条直线的同侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成线段的差最大，如果两点在一条直线的异侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成的线段的和最小，都可以用三角形三边关系来推理说明，通常根据最大值或最小值的情况取其中一个点的对称点来解决．

解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题．

在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，从而作出最短路径的方法来解决问题．

【例2】如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边建一自来水厂向A村与B村供水．