有心力的基本性质

第二宇宙速度
3.当 e > 1
E >0
双曲线 脱离太阳
2GM s = 42.2 ×103 m / s Rs
仿照地球： v′ =
地球相对太阳的速度： ve = 30 ×103 m / s
v = v′ − ve = 12 ×103 m / s 12× 行星脱离太阳的速度：
1 2 1 2 k 2m 1 2 1 2 还需克服地球引力： mv3 = mv + = mv + mv2 2 2 R 2 2
开普勒第二定律： dA = 常数 dt
dA ∆A 1 2 ∆θ 1 2 dθ = lim = lim r = r ∆t 2 dt dt ∆t →0 ∆t ∆t →0 2
Байду номын сангаас
& = r 2θ & ∴2A & ∴ mr θ = mh v v ∴r × F = 0
2
& QA=c
& ∴r θ = c
2
v J =c
d 2u 1 2 1 = [ 2 − ] 2 dθ 2a cos θ cosθ
三、平方反比引力－－－行星的运动
1.
用比耐公式求行星的轨道方程 已知
F (r ) ⇒ u → r
k 2 = GM
太阳（M）与行星(m)间的万有引力：
GMm k 2m F = − 2 = − 2 = −mk 2u 2 r r
第三宇宙速度： v = v 2 + v 2 = 16.5 ×103 m / s 3 2
的意义
扫过面积 ∆A = πab
有 h2 p =
4π 2 a 2b 2
τ
τ2
b 2 4π 2 a 3 = 2 a τ
∴ h2 p = c
开普勒第三定律： τ 2 = c
a3
h 2 p 与行星无关. 结论：h、p虽与行星有关，但
4. 与万有引力比较
m h2 p k 2m F =− =− 2 2 r r
m h2 p 1 =− ∝− 2 2 r r
说明：行星受力是平方反比引力，但不能说就是万有引 力，因 h、p与行星有关，而万有引力中 k 2 = GM 与行星无关.
3. 由开普勒第三定律说明 h 2 p 设行星运行周期 ∆ t = τ 由
dA 1 2 & 1 = rθ= h dt 2 2 h= 2πab
已知
r = r (θ ) ⇔ F ( r )
“ +”斥力 F “ −”引力
例题 证明：质点受有心力作用做圆 r = 2a cosθ 的运动，则
解：根据
8ma 2 h 2 F =− r5 d 2u − mhu 2 ( 2 + u ) = F dθ
u= 1 1 = r 2a cosθ
du 1 sin θ = dθ 2a cos 2 θ
2k 2 2 4 2 e = 1 + h k ⋅ (v0 − ) r0
讨论
1.
当
e=0
E <1
圆形轨道 第一宇宙速度
k GM v0 = = ≈ Rg = 7.9 × 103 m / s r0 r0
e =1
E =0
沿抛物线轨道飞出，脱离地球
1 2 k 2m mv0 − =0 2 r0
2k 2 2GM v0 = = = 2 Rg = 11.2 × 103 m / s r0 R
v ∴M = 0
v F ≠0
行星有加速度，
所以：r必与F共线，行星必受有心力作用，太阳是力心
2. 由开普勒第一定律求行星受力量值
p 第一定律： r = 1 + e cosθ
du e = − sin θ dθ p
u=
1 e + cosθ p p
d 2u e = − cosθ 2 dθ p
d 2u 2 2 1 2 F = −mhu ( 2 + u ) = −mh u p dθ
§1.9
有心力
一、有心力的基本性质 1. 有心力定义 方向：质点在运动中受力的方向总通过某固定点 o 力心 v 大小：矢径 r 的函数 F (r ) 2. 质点始终在一平面内运动 用两个坐标表示：
( x, y )
或
( r ,θ )
v v r F (r ) = F (r ) r
3. 基本方程
v v && = F (r ) r mr r
讨论：
e <1 e =1 e >1
椭圆 抛物线 双曲线
3. 用能量守恒求轨道 引力势能
k 2m k 2m V = − ∫ F (r )dr = ∫ 2 dr = − ∞ r r
r
机械能守恒 角动量守恒
{ r θ& = h
2
1 k 2m 2 2 &2 & m(r + r θ ) − =E 2 r
dr r 2 E 2 = r − h 2 + 2k 2 r dθ h m
解：
r=
h2 k 2 1 + 1 + 2 h 2 E k 4 m ⋅ cos(θ − θ 0 )
两种方法结果比较
2E h 2 e = 1+ ( 2) m k
e的物理于意义
e <1 e =1 e >1
E<0 E =0 E >0
椭圆 抛物线 双曲线
说明：轨道的形状由总能量E决定，而E守恒，所以
1 2 k 2m E = E0 = mv0 − 2 r0
2
k =h p =
2 2
4π a
2
3
τ2
3 2
行星运动周期
2πa τ= k
五、宇宙速度与宇宙航行 人造卫星运动轨道
r=
h2 k 2 1 + 1 + 2 h 2 E k 4 m ⋅ cosθ
1 2 k 2m E = E0 = mv0 − 2 r0
r=
h2 k 2 2k 2 2 1 + 1 + h 2 k 4 ⋅ (v0 − ) ⋅ cosθ r0
初始能量决定
四、开普勒定律 第一定律：行星绕太阳作椭圆运动，太阳位于椭圆的一 个焦点上. 第二定律：行星和太阳之间的联线 （矢径），在相等时 间所扫过面积相等. 第三定律：行星公转的周期的平方和轨道半长轴的立方 成正比. 后来，牛顿发表了万有引力定律。
从开普勒定律推出万有引力定律
1.
由开普勒第二定律得出行星受有心力作用
& (r θ ) = 0
2
动量矩守恒
4. 有心力是保守力
证明
2
v ∇× F = 0
机械能守恒 1 m(r 2 + r 2θ 2 ) + V (r ) = E & & 二、轨道微分方程（比耐公式）
& m(&& − rθ ) = F (r ) r 2& r θ = h
由方程
d 2u − mhu 2 ( 2 + u ) = F 可证明： dθ
分量形式
直角坐标：
x m&& = F (r ) x r m&& = F (r ) y y r
极坐标：
& m(&& − rθ ) = F (r ) r & && m(rθ& + 2rθ ) = Fθ = 0
(1) ( 2)
（2）式物理意义： 1 d
m
r dt 2 & mr θ = mh v v r × mv = mh
由比耐公式：
d 2u hu 2 ( 2 + u ) = k 2u 2 dθ
A、θ 0 由初始条件定
k2 方程解： u = A cos(θ − θ 0 ) + 2 h
轨道方程
h2 k 2 r= 1 + A h 2 k 2 cos(θ − θ 0 )
θ0 = 0
圆锥曲线的标准方程
适当选取坐标原点可使
h2 k 2 p r= = 2 2 1 + A h k cosθ 1 + e cosθ