B2第6章-第六章5幂级数

定理 1. ( Abel定理 ) 若幂级数 an xn
n0
则对满足不等式
的一切 x , 幂级数 an xn 都绝对收敛;
反之, 若当
n0
时, 幂级数发散 , 则对满足不等式
的一切 x , 幂级数也发散 .
发散
发散
收o敛
发散x
收敛
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证: 设
收敛, 则必有
于是存在
ln(1
x)
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设
S2(x)
1 2
xn n2 n 1
1 xn1 2x n2 n 1
1 xn 2 x n3 n
而
故
S2(
xn n3 n ( x
x)
xx
x
xn[1d( x 1)
x1n1 ]ddxx
x
2
n3
)
00
ln(1
x)
0 n13 x
比值判别法成立
根值判别法成立
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*** 函数展开成幂级数
函数f (x),若
有:
f (x) f (x0 ) f (x0 )(x x0 )
f
( x0 2!
)
(
x
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x0
)
2
f
(n) (x0 ) (x n!
x0 )n
称之为函数 f (x) 在 的幂级数展开式。
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收敛 ,
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2. 在幂级数
中,
an1 an
1 2
2 (1)n1 2 (1)n
3 2
,
1 6
,
能否确定它的收敛半径不存在 ?
n 为奇数 n 为偶数
答: 不能. 因为
lim n un( x) lim n 2 (1)n
n
n
x 2
当
时级数收敛 ,
时级数发散 ,
说明: 可以证明
2 11(1(
x
x
x
)
2
)
1
l1n(l1n(1x)x)
22x 2 2 2x2x
S1(
x
x2
dx
1 x
0
x x2 11 d
x)0
1
x
x
ln(1
2
x
x)
S( x) S1( x) S2( x)
故
S 1
2
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思考与练习
1. 已知
处条件收敛 , 问该级数收敛
半径是多少 ? 答: 根据Abel 定理可知, 级数在 时发散 . 故收敛半径为
x
1
dx
01 x2
x (1, 1]
(1)n
1
n0
2n 1
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例5.10
的和函数 .
解: 由例2可知级数的收敛半径 R=+∞. 设
则
S( x)
x n1
n1 (n 1)!
S(x)
故 S(x) ex
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例5.11.
S 1
2
解: 设 S( x)
n [ 2 n ] !
lim ( 2 n 1)(2 n 2) n ( n 1 )2
x2
[ n ! ]2
4x2
x2n
当4 x2 1 当4 x2 1
时级数收敛 故收敛半径为 R 1 .
时级数发散
2
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例5.4
的收敛域.
解: 令
lim an1
a n n
级数变为
则有 :
an xn
bn xn
(an bn ) xn ,
n0
n0
n0
收敛半径有可能 R minR1 , R2 ,
x R
1
1
R1 2 , R2 2 .
但是
R
1
R1
1 2
,
R2
1. 2
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2. 分析性质 定理： 若幂级数
的收敛半径
其和函数为
S(x). 则（1）S(x)在收敛区间（－R, R）内连续,又如果 幂级数在点 x =R（或点 x =－R ）处收敛，则S(x)在
)(
x
x0
)n
,
x (x0 )
收敛，和为 f(x)
令
S n 1 ( x)
n k 0
f
(k) (x0 )(x k!
x0 )k
f
(
x
)
lim
n
Sn1
(
x
)
f (x) Sn1(x) Rn (x)
lim
n
Rn (x)
lim n
f
(x)
S n 1 ( x)
0
,
x (x0 )
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与原级数 an xn n1
（3）如果S(x) 在收敛区间（－R, R）内可积，并可逐
项求积分；即对任意 x (R , R )
x
S(x) dx
0
an
n0
x xn d x an x n1,
0
n0 n 1
且求积后的幂级数与原级数收敛半径相同。
注: 逐项积分时, 运算前后端点处的敛散性不变.
x0 )n
为f (x) 的 Taylor（泰勒）级数 .
当x0 = 0 时, 泰勒级数又称为Maclaurin(马克劳林)级数 .
待解决的问题 :
1) 对此级数, 它的收敛域是什么 ？
2) 在收敛域上 , 和函数是否为 f (x) ?
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如果
n0
f
(n) ( x0 n!
1. 泰勒 ( Taylor ) 级数
若函数
的某邻域内具有 n + 1 阶导数, 则在
该邻域内有 :
f (x)
f (x0 ) f (x0 )(x x0 )
f
( x0 2!
)
(
x
x0
)
2
f
(n) (x0 ) (x n!
x0 )n Rn (x)
此式称为 f (x) 的 n 阶Taylor公式 ,其中
设幂级数
及
的收敛半径分别为 R1, R2 ,
令 R minR1 , R2 , 则有 :
an xn
bn xn
(an bn ) xn ,
x R
n0
n0
n0
an xn bn xn cn xn ,
x R
n0
n0
n0
其中
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an xn bn xn
故收敛域为 (1, 1] .
发散 .
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例5.2 求下列幂级数的收敛域 :
规定: 0 ! = 1
1
解: (1) lim n R 1
an1 an
lim n
(n 1)! 1
n!
所以收敛域为
( , ) .
(2) lim
an1
(n 1) !
lim
a n n
n n !
故假设不真. 所以若当 x x0 时幂级数发散 , 则对一切 满足不等式 x x0 的 x , 原幂级数也发散 . 证毕
x1 x0
o
收
敛
x
收敛
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由Abel 定理可以看出, an xn 的收敛域是以原点为
中心的区间.
n0
用±R 表示幂级数收敛与发散的分界点, 则
定理5.3 . 设函数 f (x) 在点 x0 的某一邻域
内具有
任意阶导数, 并且存在 R > 0，使得当 | x x0 | R
有
lim
n
Rn (
x)
0.
则
在|
x
x0
|
R
内
f (x) 能展开成Taylor级数。
x
故
lim ln(1 x)
x0
x
1n 收敛。
n0 n 1
故 S(x)
x [1,0) (0,1)
1, x0
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例5.8. 求级数
的和
解: 设
S( x) (1)n
1 x 2n1
n0
2n 1
收敛域为(1, 1]
(1)n x2n
( x 1)
n0
S(x)
点x =R（或在点x =－R ）处左连续（或右连续）；
（2）如果S(x) 在收敛区间（－R, R）内可微，并可逐
项求导，即
S( x)
an xn
n an x n1,
n0
n1
且求导后的幂级数与原级数收敛半径相同。
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也即：幂级数 n an xn1 n1
收敛半径相同。
1
lim 2n1(n 1) lim n 1 ,
n
1
n 2(n 1) 2
2n n
当 t = 2 时, 级数为
此级数发散;
R2
当 t = – 2 时, 级数为
此级数条件收敛;
因此级数的收敛域为 2 t 2 故, 原级数的收敛域为
即 3 x 1 .
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*** 幂级数的运算
R = 0 时, 幂级数仅在 x = 0 收敛 ;
R = 时, 幂级数在 (－∞, +∞) 收敛 ;
0 R , 幂级数在 (－R , R ) 收敛 ;
在[－R , R ] 外发散; 在 x R 可能收敛也可能发散 .
R 称为收敛半径 ，(－R , R ) 称为收敛区间.
(－R , R ) 加上收敛的端点称为收敛域.
第五节 幂级数
第六章
一、函数项级数的概念 二、幂级数及其收敛性 三、幂级数的运算
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*** 幂级数及其收敛性 形如
的函数项级数称为幂级数, 其中数列
称
为幂级数的系数 .
下面着重讨论
的情形, 即
例如, 幂级数
xn
1
n0
1 x
,
x 1 即是此种情形.
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,
xn1 xn1
n0
n0
x 1 x
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例5.6 解:
的和函数
x ( xn )
x
xn
x
x
n1
n1
1 x
当x＝±1 时级数
发散，收敛域为
故
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例5.7. 求级数
的和函数
解: 设 S( x)
xn
收敛域为 [-1 , 1)
-R
收敛
R
发散
发散
收o 敛 发 散
x
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定理5.2. 若
的系数满足
则
1) 当 ≠0 时, R 1 ;
ρ
2) 当 ＝0 时, R ;
3) 当 ＝∞时, R 0 .
证:
lim
n
an1x n1 an xn
lim an1 n an
x
1) 若 ≠0, 则根据比值判别法可知:
R 1 0
所以级数仅在 x = 0 处收敛 .
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例5.3
的收敛半径 .
解: 级数缺少奇次幂项,不能直接应用定理2, 故直接由
正项级数比值判别法 ，去求收敛半径.
[ 2(n 1) ] !
lim un1( x) lim [ (n 1) ! ]2 x2(n1)
n un ( x)
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例5.4. 求级数
的和函数
解:
设
S(x)
xn
n1 n
x 1 级数
x n1
n1
x
1
dx
1 x
0
发散。
x 1 级数
收敛。
( x 1)
故有
(1 x 1)
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例5.5
的和函数
解: 易求出幂级数的收敛半径为 1 , x＝±1 时级数发散
存在 M > 0, 使
收敛 发散
发散
收o敛
发散x
an xn
an x0n
xn x0n
an x0n
x x0
n
当 x x0 时,
收敛,
也收敛, 于是原幂级数绝对收敛 .
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反之, 若当 x x0 时该幂级数发散 （。用反证法证之）
假设有一点 x1 满足 x1 x0 且使级数收敛 , 则由前 面的证明可知, 级数在点 x0 也应收敛, 与所设矛盾,
xn
1 1 1 xn
n2 n2 1 n22 n 1 n 1
设
S1( x)
1 xn 2 n2 n 1
x 2 n2
x n1 n 1
x xn 2 n1 n
而
xn n1 n
n1
x 0
x n 1
dx
x
0
x n 1
n1
dx
x dx 01 x
ln(1 x)
故
S1(
x)
x 2
x S(x) x
n0 n 1 xn
x n1
n0 n 1 n0 n 1
xn
( x 1)
n0
x 1
dx
1 x
0
x S( x) S1( x)
( x 1)
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x S( x) S1( x)
( x 1)
S(x) 1 ln(1 x) ,
而 S(x)
xn
n0 n 1
当
ρ x 1,即
x
1 ρ
时,
原级数收敛;
当
ρ x 1 ,即
x
1 ρ
时,
原级数发散.
因此级数的收敛半径 R 1 .
ρ
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2) 若 0, 则根据比值判别法可知, 对任意 x 原级数
绝对收敛 , 因此 R ;
3) 若 ,则对除 x = 0 以外的一切 x 原级发散 ,
Rn (x)
f
(n1) (
(n 1)!
)
(
x
x0
)
n1
( 在 x 与 x0 之间)
称为Lagrange型余项 .
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若函数
的某邻域内具有任意阶导数, 则称
f (x0 )
f (x0 )(x x0 )
f
( x0 2!
)
(
x
x0
)2
f
(n) (x0 ) (x n!
因此 R 0 .
说明:据此定理,幂级数
收敛半径为： R 1
lim an1
a n n
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例5.1 求幂级数
的收敛半径及收敛域.
1
解: ρ lim an1 lim
n an n
n 1 1
n
对端点 x = 1, 级数为交错级数
R 1 ρ
收敛;
对端点 x =－1, 级数为
cn xn , 其中
n0
n0
n0
an xn bn xn a0b0 (a0b1 b0a1)x
n0
n0
（a2b0 a1b1 a0b2）x2
（a3b0 a2b1 a1b2 a0b3）x3
(anb0 an1b1 a0bn）xn
设幂级数
及
的收敛半径分别为 R1, R2 ,