数列基础知识&例题讲解

☆类型五：由递推关系求通项 an an1 (2n 1)，试求数列 {an }的 【例2】已知 a1 0 ， 通项公式. 【技巧】： ②已知 a1 a且 an an1 f (n) ，可用“迭加法”，即：
an an1 f (n) an1 an2 f (n 1) a3 a2 f (3) a2 a1 f (2)
（1）若公差d>0,则此数列是递增数列；若d<0，则此数列 是递减数列；若d=0，则此数列是常数列. （2）有穷数列中，与首末两项距离相等的两项和相等， 并且等于首末两项之和，即：
a1 an a2 an1 a3 an2
（3）在等差数列中若 m, n, p, k N ，且 m n p k ， 则：am an ap ak 特别的，当 m n 2 p 时，有：am an 2a p （4）在等差数列中，每隔相同的项抽出来的项按照原来 的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列. 即：an , anm , an2m ,... 是等差数列，公差为md.
三.等比数列的判定方法
（1）定义法：
an 1 q {an } 是等比数列 （q是不为0的常数） an
（2）通项公式法：
{an }是等比数列 an cq （c、q是不为0的常数）
第六章 数列
第 二节 等差数列及其前n项和
一.等差数列及其相关概念
（1）等差数列的定义： 一般地，如果一个数列从第2项起， 每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数 列就叫做等差数列. 这个常数叫做等差数列的公差， 公差常用字母d表示. 定义的表达式为：an an1 d (n N , n 2)
②按照项与项之间的大小关系来分：递增数列、递减数 列、摆动数列、常数数列.
二.已知
（1）数列 an 及数列前n项和 Sn 之间的关系：
Sn 求 an
Sn a1 a2 a3 an , an
{S S
n
S1 (n 1),
n 1
(n 2).
注：由 Sn 求 an 时要注意三点： ①要重视分类讨论的应用，分 n 1 和 n 2两种情况讨论， 特别要注意的是由 Sn Sn1 an 推出 an 的时候 n 2 . ②由 Sn Sn1 an 推出的 an 当 n 1 时，a1合适“ an 式”， 则数列的通项公式需要统一“合写”.
第六章 数列
第一节 数列的概念
一.数列及其有关的概念
（1）数列的定义：按照一定次序排列的一列数. （2）项： 数列中的每一个数叫做这个数列的项，第1项称 作首项，若是有穷数列，最后一项叫做末项.
（3）数列的表示： 从函数的观点看：数列是以定义域为 N 的函数f(n)， 当自变量从n从1开始依次取正整数时，对应的一列函 数值为f(1),f(2),…,f(n),…, 通常用 an 代替f(n). 于是数列的一般形式为：a1 , a2 , a3 ,..., an ,... 简记为 {an }
S12 168，求 a1 和 d . （2）已知 S8 48 ，
（3）已知 a6 10 , S5 5 ，求 a8 和 S8 .
（4）已知 a16 3 ,求 S31 .
第六章 数列
第 三节 等比数列及其前n项和
一.等比数列及其相关概念
（1）等比数列的定义： 一般地，如果一个数列从第2项起， 每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数 列就叫做等比数列. 这个常数叫做等比数列的公比， 公比常用字母q表示. (q 0)
所有式子左右两边分别相加得：
(an an 1 ) (an 1 an 2 ) (a3 a2 ) (a2 a1 ) f (n) f (n 1) f (3) f (2)
即： an a1 f (n) f (n 1) f (3) f (2)
（2）在等比数列中若 m, n, p, k N ，且 m n p k ， 则： am an a p ak
2 a a a 特别的，当 m n 2 p 时，有： m n p
（3）在等比数列中，每隔相同的项抽出来的项按照原来 的顺序排列，构成的新数列仍然是等比数列. 一个等比数列的奇数项，仍组成一个等比数列，新公比 为原公比的二次幂. 一个等比数列的偶数项，仍组成一个等比数列，新公比 为原公比的二次幂.
则数列的通项公式需要统一“合写”.
{
Sn a1 a2 a3 an1 an Sn1 a1 a2 a3 an1
③由 Sn Sn1 an 推出的 an 当 n 1 时，a1不合适“ an 式”， 则数列的通项公式应分段表示.
例题讲解
☆类型五：由递推关系求通项 an1 3an 1，试求数列 {an } 的通项 【例1】已知 a1 1 ， 公式. 【技巧】： ①已知首项 a1 a ，递推关系为 an1 qan b(n N ) ：
☆求数列 {an } 的通项公式的关键是将 an1 qan b转化
an a1 (n 1)d （3）等差数列的通项公式： an am (n m)d an , am 必须是数列中的项. 其中，m,n大小任意，但是，
（4）等差数列的前n项和公式（由倒序相加得到）：
n(a1 an ) Sn 2
n(n 1) Sn na1 d 2
二.等差数列的性质与应用
2

一.等比数列及其相关概念 （3）等比数列的通项公式： an a1 qn1 (n N ) n m a a q （累乘法得到） n m
an , am 必须是数列中的项. 其中，m,n大小任意，但是，
（4）等比数列的前n项和公式（由错位相减得到）：
Sn na1 当 q 1 时：
其中 an 是数列 {an } 的第n项.
一.数列及其有关的概念
（4）数列的通项公式：
一个数列{an }的第n项 an 与项数n之间的函数关系，如 果可以用一个公式 an f (n) 来表示，我们就把这个 公式叫做这个数列的通项公式. （5）数列的分类： ①按照项数的有限还是无限来分：有穷数列、无穷数列.
S1 (n 1), an Sn Sn1 (n 2). 注：由 Sn 求 an 时要注意三点： ①要重视分类讨论的应用，分 n 1 和 n 2两种情况讨论， 特别要注意的是由 Sn Sn1 an 推出 an 的时候 n 2 . ②由 Sn Sn1 an 推出的 an 当 n 1 时，a1合适“ an 式”，
例题讲解
类型三：通项公式的简单应用 2 n 【例3】已知数列 {an } 的通项公式为 an 2 (1)写出该数列的第4项和第7项；
n 1
.
9 1 (2)试判断 和 是否是该数列中项，若是，求出它是第 10 10
几项，若不是说明理由.
例题讲解
类型四：已知 Sn 求 an 【例4】书P74例题2
例如：a1 1， an 2an1 (n 2, n N )
例题讲解
1 2 n 1 (1)2014, 2016, 2018, 2020, 2022; (2)0, 2 , 3 , , n , ; n 1 1 1 1 2 3 ( 1) n (3)1, , , , n 1 , ; (4)1, , , , , ; 2 4 2 3 5 2n 1 n (5)1, 0, 1, ,sin , ; (6)9,9,9,9,9,9. 2
（5）若数列 {an } 与{bn } 是公差分别为 d1 和 d2 等差数列， md1 kd2 则 {man kbn }仍是等差数列，且公差为： （6）若 {an } 成等差数列，且 Sn 为其前n项和，则:
Sn , S2n Sn , S3n S2n , 成等差数列，公差为 n2 d
（1）（6） 其中，有穷数列是： 无穷数列是： （2）（3）（4）（5） 递增数列是： （1）（2） 递减数列是： （ 3） 摆动数列是： （4）（5） 常数列是： （ 6） 类型一：数列的分类 【例1】已知下列数列：
例题讲解
类型二：由数列的前几项写出数列的一个通项公式 【例2】书P73例题1： 【规律总结】 （1）充分观察项，如果有分式，则同时观察分式中分子 分母的特征，进行恰当的变形，寻找分子、分母各自规律 以及分子、分母间的关系. （2）对于正负符号的变化，可用 (1) n 和 (1)n1来调整.
an1 an d (n N ) （2）等差中项： 如果三个数a、A、b成等差数列，则A叫 做a和b的等差中项，即： ab A 2
在等差数列中，从第2项起，每一项都是它的前一项 与后一项的等差中项，即:
2an an1 an1 (n 2, n N )
一.等差数列及其相关概念
当 q 1 时：
a1 (1 q n ) a1 an q Sn 或 Sn 1 q 1 q
注：等比数列在不知道公比q的取值时，一定要分类讨 论.
二.等比数列的性质与应用
（1）有穷数列中，与首末两项距离相等的两项积相等， 并且等于首末两项之积，即：
a1 an ห้องสมุดไป่ตู้a2 an1 a3 an2
例题讲解
☆类型五：由递推关系求通项 【例3】已知 a1 1 ，nan (n 1)an1 ，试求数列 {an }的 通项公式. 【技巧】：
an ③已知 a1 a且 f (n) 可用“迭乘法”，即： an1 an 所有式子左右两边分别相乘得： f ( n) an an 1 a3 a2 an1 an1 an1 an2 a2 a1 f (n 1) an2 f (n) f (n 1) f (3) f (2) a3 即： f (3) a2 an a1 f (n) f (n 1) f (3) f (2) a2 f (2) a1
an q (n N , n 2) 定义的表达式为： an 1 （2）等比中项：如果三个数a、G、b成等比数列，则G叫 做a和b的等比中项，即： G 2 ab
在等比数列中，从第2项起，每一项都是它的前一项 与后一项的等比中项，即:
an an1 an1 (n 2, n N )
为 an1 m q(an m) ,其中m 的值可以用待定系数法确
定，即 qan b an 1
1 【跟1】已知 a1 ， an1 2an 1，试求数列 {an } 的通项 2 公式.
b qan (q 1)m m (q 1) q 1
例题讲解
③由 Sn Sn1 an 推出的 an 当 n 1 时，a1不合适“ an 式”， 则数列的通项公式应分段表示.
三.数列的递推公式
如果已知数列{an }的第一项（或者前几项），且从第二项 （某一项）开始的任一项 an 与它的前一项 an 1 （或前几 (n 2, n N )间的关系可以用一个公式表示，那么这 项） 个公式就叫做这个数列的递推公式.
（7）项数为n的等差数列中，n为奇数时：
S奇 S偶 an1
S奇 n 1 2 S偶 n 1 n n为偶数时： S偶 S奇 d 2
Sn na中 nan1
2
例题讲解
类型一：等差数列中基本量的求解 【例1】在等差数列数列 {an } 中.
（1）已知 a15 33 ， a45 153，求 a61 .