2020年10月浙江自考近世代数试题及答案解析

浙江省2018年10月自学考试近世代数试题

课程代码：10025

一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1.设集合A中含有4个元素，那么积集合A×A中含有______个元素．( )

A.4

B.8

C.12

D.16

2.设R是整数集，A=R×R，σ∶(x,y)→(x,-y)，则σ是A的( )

A.满变换

B.单变换

C.一一变换

D.不是A的变换

3.在有理数集Ｑ中的代数运算a b=b2( )

A.适合结合律但不适合交换律

B.不适合结合律但适合交换律

C.既适合结合律又适合交换律

D.既不适合结合律又不适合交换律

4.在4次对称群S4中，阶为2的元有( )

A.6个

B.7个

C.8个

D.9个

5.除环的理想有( )

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

二、填空题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

6.剩余类加群Z4有______个生成元.

7.在4次对称群S4中，(123)(1423)-1=______.

1

2 8.阶为n 的有限循环群同构于______.

9.剩余类环Z11的零因子个数等于______.

10.剩余类环Z13的可逆元有______个.

11.如果G 是一个含有16个元素的群，那么，根据Lagrange 定理知，对于∀a ∈G ，元素a 的阶只可能是______．

12.整环I ＝｛所有复数a+b 7-(a,b 是整数)｝，则I 的单位是______.

13.在3,i+2,π2中，______是有理数域Q 上的代数元.

14.设Q 是有理数域，则Q(2+5)=______. 15.12

-+i i 在实数域R 上的极小多项式是______.

三、解答题（本大题共3小题，第16小题7分,第17,18小题各12分，共31分）

16.假定下表是一个群的乘法表，试填出未列出的元．

17.找出模15的剩余类环Z15的所有子环，这些子环是否都是Z15的理想？为什么？

18.设Z 是整数环，(2)∩(5)、(2,5)是Z 的怎样的理想？(2)∪(5)是Z 的理想吗？为什么？

四、证明题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）

19.证明：循环群是交换群.

20.在高斯整环Z ［i ］={a+bi ｜a,b ∈Z}中，证明：3是素元．

21.证明：整数加群与偶数加群同构，但整数环与偶数环不同构．