)(x x f =
的瑕点，且瑕积分⎰0 2d a x
x 发散. 4. 当a 是)(x f 的瑕点时,判别瑕积分的敛散性要考虑极限
)()(lim x f a x a
x λ-+→.
二、选择题 (每小题2分, 共10分) １.下列结论或运算正确的是（ C ）. A. 23
11
d d x x x x +∞
+∞
<⎰⎰ B. 由于21x x +是奇函数,故2d 01x
x x +∞-∞=+⎰.
C.
4
d 01x x x +∞
-∞=+⎰ D. 由于arctan x
x
是偶函数,故0arctan arctan d 2d x x
x x x x +∞+∞-∞=⎰⎰.
注：无穷积分 2
1d x x +∞⎰，3
1
d x x +∞
⎰，2d 1x
x x +∞
-∞+⎰， 0arctan d x x x +∞⎰均发散；
而24 0
01πd arctan 124x x x x +∞+∞
==+⎰， 0
0241πd arctan 124x x x x -∞-∞
==-+⎰. ２.()d f x x +∞
-∞
⎰收敛是0
()d f x x +∞
⎰
与0
()d f x x -∞
⎰
都收敛的( A ).
A.充要条件
B.必要条件
C.充分条件
D.无关条件 ３.下列广义积分中发散的是( D ).
A. 211
d x x +∞
⎰
B. 1x ⎰
C. 1x ⎰
D. 101d 1x x -⎰ 4. 2
21
1
d x x
-=⎰( D ). A. 32
- B. 12
C. 12
- D. 不存在
5. 1
x +∞
=⎰( B ).
A. 0
B. 2π
C. 4
π D. 不存在
注
: 1
1
1
1)x x x +∞
+∞
+∞
==⎰⎰
⎰
11πarcsin 2x +∞
=-=. 三、填空题 (每小题2分,共10分)
1. a 是函数)(x f 的瑕点⇔)(x f 在点a 的任意邻域无界.
2. 无穷积分()d f x x +∞-∞⎰发散⇔∃R C ∈, ()d c f x x +∞⎰与 ()d c
f x x -∞⎰之一发散. 3. 瑕积分 ⎰-2
1
)
2(d λ
x x
当 λ满足1<λ时收敛. 4. 当1≤λ时, 无穷积分x x d )
1(1
2⎰+∞
-λ
发散. 5. 无穷积分 x x
x
d sin 1⎰+∞
λ当 λ满足10≤<λ时条件收敛, 当 λ满足1>λ时绝对收敛.
四、求下列反常积分(每小题5分,共30分) 1. 2
1
d 93x x
+∞
-∞
+⎰. 解: 由定义
22 0
011π
d lim d lim 9393992
p
p p p x x x x +∞
→+∞→+∞===
++⎰⎰,
022 11d lim d lim 9393q q q q
x x x x -∞→-∞→-∞===
++⎰⎰ 故
0222 0111d d d 939393x x x x x x +∞
+∞-∞
-∞=+=+++⎰⎰⎰. 2. 2 1
1
d (1)
x x x +∞
+⎰ .
解:
22
2 1
1
1111d ()d ln ln(1)ln ln (1)
12x x x x x x x x x +∞
+∞
+∞
⎡⎤
=-=-+==⎢⎥++⎣⎦⎰⎰
.
3． d 1x
x
e
x e
-+∞
--∞
+⎰.
