曲线曲面积分练习答案
11曲线积分与曲面积分6答案
14
33
09
4、计算 xyz d s , 其中 r 是空间曲线 x=t, y 2t 2t , z 1 t 2 在点 t=0 和 t=1 间的一段。
3
2
答案： 解 :
xyzds 1(t 2t
2t 1 t 2) 1 ( 2t )2 t 2dt
2
1
t
9
2(1
t)dt
16
2
r
03
2
30
三、问答（2 小题）
1、已知 P(x,y)=x2+y2，问 Q(x,y)满足什么条件时，才能使 Pdx Qdy 与积分路径无关。 L
解：由 P y
Q x
,
知 Q x
2 y,Q(x,
y)
2xy
c( y), 式中C( y) 为任意连续函数.
2、设∑是八面体|x|+|y|+|z|≤a 的表面，a 为正数。若 (2x z)2 dS 3 a2 则 a 为何值。
11 曲线积分与曲面积分练习题 6 答案
一、选择（10 小题）
1-5、答案：BACCC 6-10、答案：BBA DA 二、填空（5 小题）
1、答案： x2 f (x)dx 2、答案：0 3、答案： A f (x, y)ds.
x1
L
4、答案：
yd x xd y L x 2 y 2
ò 5、答案： L 2p yds.
1 e x3y d s 1
5L
由驻点方程 fx fy 得 x y
3x 2y x3 , 又 34
x=0 y=3
或
x 3
y
3 4
f (x, y) x3y在条件3x 4 y 12 0下的
3x+4y-12=0
曲线积分与曲面积分(答案
第十章 曲线积分与曲面积分一、选择题1、设L 为03,02x x y =≤≤，则4L ds ⎰的值等于 （D ）A 、04xB 、06xC 、0D 、62、设L 为直线cos sin x a ty a t =⎧⎨=⎩上取顺时针方向，则2Ldy ⎰的值等于 （C ）A 、4B 、06yC 、0D 、63，设L 为上半圆周0y y =上从A （0，y 0）到B （3，y 0）的有向线段，则Lydx xdy-⎰的值等于 （C ） A 、0 B 、2ab πC 、ab πD 、ab4、设P(x,y),Q(x,y)在单连通区域D 内有一阶连续偏导数，则在D 内LPdx Qdy +⎰ 路径无关的条件,(,)Q Px y D x y∂∂=∈∂∂是（ B ） A 、充分条件 B 、充分必要条件 C 、必要条件 D 、既不充分也不必要条件5、平面有界闭区域边界曲线的正向是指（ C ） A 、逆时针方向 B 、顺时钟方向C 、人沿这个方向行走，区域总位于人的左侧D 、人沿这个方向行走，区域总位于人的右侧6．设L 为222x y R +=，则3(2)Lx y ds +=⎰________。
A ．2；B ．23； C ．-2； D ．0。
7．设L 为22221x y ab+=的逆时针方向，则()()Lx y dx x y dy ++-=⎰________。
A ．-2ab ；B ．2ab ；C ．ab ；D ．0。
8．设OM 是从(0,0)(1,1)O M 到的直线段，则与22x y OMI +=⎰不相等的积分是______ _。
A ．10⎰； B ．1⎰； C ．0rdr ； D ．1e ⎰。
9．设L 是从（0，0）沿折线11y x =--至点（2，0）的折线段，则Lydx xdy -+=⎰_______。
A ．0；B ．－1；C ．2；D ．－2。
10．设L 是xoy 平面上沿顺时针方向绕行的简单闭曲线，L 所围的平面闭区域D 的面积为A ，(2)(43)9L x dx x y -++=-⎰，则A=__________。
曲线曲面积分部分难题解答
曲线、曲面积分部分难题解答1．（P201,第1题）计算下列标量函数的曲线积分（第一型曲线积分）：解：（ⅰ）[]2,0,,21:2∈⎪⎩⎪⎨⎧==y y y y x l ，.1122dy y dy dy dx ds +=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=dy y y y xyds l 22201..21+=⎰⎰（令t y tan =）()()t td t sec sec .1sec 21222arctan 0-=⎰ |2arctan35sec 31sec 5121⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=t t .151355+=（ⅱ）解：()⎰+l ds yx 22⎰⎰⎰++=OAABOB()()3801.022222222==++=+⎰⎰⎰dx x dx xds y xOA;.20,,0:≤≤⎩⎨⎧==x x x y OA()()[]()dy y y ds y xAB 210222221.22-++-=+⎰⎰().5354855102=+-=⎰dy y y.10,,22,:≤≤⎩⎨⎧-==y y x y y AB()().3101.212222=++=+⎰⎰dy yds y xBO，.10,,0:≤≤⎩⎨⎧==y y y x BO.3535+=++=⎰⎰⎰OAABOBI（ⅲ）解法一：.20,sin 2,cos 22:π≤≤⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=t t a y t a a x l ()().2cos 2sin 22222dt a dt t a t a dt t y t x ds =⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-='+'=所以，()dt at a t a s d y x l2sin 4cos 1420222222⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=+πdt t a⎰=π20222sin2.24dt t a⎰=π2022sin2.22cos 22sin2202202|a t a t d t a=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰ππ解法二：化l 为极坐标表示：().2,2,cos :⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈=ππθθθa r l()().22,s i n .c o s s i n,c o s c o s :2πθπθθθθθθθ≤≤-⎩⎨⎧====a r y a r x l()()()().sin cos 2222θθθθθad dt a a dt r r ds =-+='+=所以，()()[]θθθθππad a a s d y x l⎰⎰-+=+2222222sin cos cosθθππd a a ⎰-=2222cos .2sin 2cos 2220222|a a d a===⎰ππθθθ（ⅳ） ()()()()()dt b a dt b t a t a dt t z t y t x ds22222222cos sin +=++-='+'+'=()()()()[]dt b a bt t a t a ds z y x l2220222222.sin cos +++=++⎰⎰π()|203222220222223ππ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=++=⎰t b t a b a dt t b aba[].433222222b a b a++=ππ2．（P201,第2题）设有某种物质分布在椭圆1:2222=+by ax l 上，其密度().,y y x =μ求它的总质量.解：不妨假设.b a >⎰⎰==14l lyds ds y M ，其中.2,0,sin ,cos ;1⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈⎩⎨⎧==πt t b y t a x l ()()()().cos sincos sin 22222222dt t b t a dt t b t a dt t y t x ds +=+-='+'=dt t b t a t b yds M l 222220cos sinsin 441+==⎰⎰π()()t d t ba ab cos cos422222⎰---=π()du u b a a b 222214---=⎰()du u b a a b 222214--=⎰duu ba aba b ⎰---=22222224π（公式）|102222222222222arcsin .2.4⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--+---=u ba au ba au ba ab a b.arcsin..222222⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+--=b ab a ba ab 3．（P202,第3题）设曲线l 的长度为L ，而函数f 在包含l 的某个区域内连续.证明：()().max .P f L dsP f lP l∈≤⎰证明：由第一型曲线积分的定义()()ini id ls P f ds P f ∆=∑⎰=→.lim1故()()ini id ls P f dsP f ∆=∑⎰=→.lim1()ini id s P f ∆=∑=→.lim1()ini id sP f ∆≤∑=→.lim1()ini lp d sP f ∆≤∑=∈→.m a x lim1().m a x .P f L lP ∈=4．（P202,第6题）计算沿逆时针方向的圆周()222a y x =+的曲线积分 ()().22⎰+--+lyx dyy x dxy x解：π2~0:,.sin ,cos :t t a y t a x l ⎩⎨⎧==，所以，()()⎰+--+lyx dyy x dxy x 22()()()()dtat a t a t a t a t a t a ⎰---+=π202cos .sin cos sin sin cos.22022ππ-=-=⎰dt aa5．（P202,第7题）（ⅱ）设点().0,1A 则()()dyyx dx y xL2222-++⎰()()dyyx dx y xOA2222-++=⎰()()dyyx dx y xAB2222-+++⎰.1~0:,,:x x x x y OA ⎩⎨⎧==()()()()[]321022222222=-++=-++⎰⎰dxxxxxdy yx dx y xOA;.2~1:,,2:x x x x y AB ⎩⎨⎧=-=()()()()()()()[]d xx xx xdy yx dx y xAB⎰⎰---+-+=-++21222222221.22()().3232222|213212=-=-=⎰x dx x原式.343232=+=（ⅲ）()dz x yzdydx zy l ⎰-+-2222 ()[]d t t t t t ttt⎰-+-=102232643.2 (2)[].351527323|10571046=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=⎰t t dt t t6．（P202,第8题）设曲线l 的长度为L ，而函数()P f 在包含l 的某个区域内连续.证明： ()).max ...P L d P f lP l∈≤⎰证明：()()()().(.)|(||||c o s ((,)|lllf P d r fP d s f P f P d s τττ=≤⎰⎰⎰()()||max lP llf P ds f P ds ∈≤≤⎰⎰().m ax .P lL f P ∈≤7．（P209,第1题）求下列曲面块的面积：（ⅰ）球面2222a z y x =++包含在圆柱面()a b b y x ≤<=+0222内那部分面积；（ⅱ）圆锥面22yx z +=被圆柱面x y x 222=+截下的那一部分；（ⅲ）圆柱面222a y x =+被圆柱面222a z y =+截下的那一部分. 解：（ⅰ）222:b y x D xy ≤+.将曲面方程化为:z ∑=d S d x d d x d y==. dxdy yx a a S S xyD ⎰⎰--==22222上⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-=⎰⎰|022022202.2122bbra a ra a r d r d πθπ极().422b a a a --=π（ⅱ）x y x D xy 2:22≤+. 由曲面方程22:yx z +=∑，得,2122dxdy dxdy y z x z dS =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+=.().222π===⎰⎰xy D D S dxdy S xy（ⅲ）利用对称性（仅在第一卦限内计算）18S S =，曲面1∑（1∑为∑在第一卦限的那部分，其面积设为1S ）向yoz 面上的投影区域为222:a z y D yz ≤+. 将曲面1∑方程化为22ya x -=，则,22ya y yx --=∂∂,0=∂∂zx dydzya a dydz z x yx dS 22221-=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+=.dydz ya a S S yzD ⎰⎰-==22188 ⎰⎰--=22228ya adz ya a dy .882a adz a ==⎰8．（P209,第2题）求下列曲面积分：（ⅰ）()⎰⎰++Sy x dS21，式中S 为四面体()1,0,0,0≤++≥≥≥z y x z y x 的表面；（ⅱ）()dS y x S⎰⎰+22，式中S 为圆柱体()h z a y x ≤≤≤+0,222的表面；（ⅲ）()dS z y x S⎰⎰++，式中S 为球面()2222a z y x =++的表面.解：（ⅰ）.4321S S S S S +++=其中 ,0:1=z S d x d y dS =1，()()()dy y x dx dxdy y x y x dSxD S xy⎰⎰⎰⎰⎰⎰-++=++=++110222111111dx x dx y x x ⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=-10110211111| 212ln -=；,0:2=x S d y d z dS =2，()()()dz y dy dydz y y x dSyD S yz⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+=++=++1102221101112()()dy y y dy y y⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+=+-=10212111211 ()2ln 11ln 12||110-=+-+-=y y；,0:3=y S d z d x dS =3，同上()321S dSx y =++⎰⎰1ln 2-；,1:4y x z S --= d x d y dS 34=，()()()dz y x dx dxdy y x y x dSxD S xy⎰⎰⎰⎰⎰⎰-++=++=++101022211311314dx x dx y x x ⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=-10101021113113|().212ln 33211ln 321113|1010⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+=⎪⎭⎫⎝⎛-+=⎰x dx x ； ()⎰⎰++Sy x dS21()+++=⎰⎰121S y x dS()+++⎰⎰221S y x dS()⎰⎰++321S y x dS ()⎰⎰++421S y x dS()()().32ln 2213212ln 32ln 12ln 1212ln +-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=（ⅱ）.321S S S S ++=其中 ,0:1=z S d x d y dS =1，()()r d r r d d x d y y xdS y xaD S xy.42222221⎰⎰⎰⎰⎰⎰=+=+πθ 24a π=；,:2h z S = d x d y dS =2，()()r d r r d d x d y y xdS y xaD S xy.420222222⎰⎰⎰⎰⎰⎰=+=+πθ24a π=；,:2223a yx S =+其向yoz面上的投影区域为⎩⎨⎧≤≤-≤≤.,0:a y a h z D yz . 将曲面3S 方程化为22y a x -±=，则,22ya yyx --=∂∂,0=∂∂zx ，所以，d y d z ya a d y d z z x yxdS 22221-=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+=()()dydz ya a yya dS y xyzD S ⎰⎰⎰⎰-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=+222222322.23⎰⎰-=-haadz ya dy a 022312..2arcsin433|h a ayh a aπ==或者()..22..32232233h a ah a dS a dS y xS S ππ===+⎰⎰⎰⎰()⎰⎰++Sy x dS21()++=⎰⎰122S dSyx()++⎰⎰222S yx()dSy xS ⎰⎰+322().22223344h a ah a a a+=++=ππππ （ⅲ）由积分区域的对称性，及被积函数的奇偶性知（对称性同三重积分）()dS z y x S⎰⎰+++=⎰⎰dSx SdS y S⎰⎰().0=+++⎰⎰dS z y x S9．（P210,第3题）证明泊松公式()()d uc b a uf dS cz by ax f S⎰⎰⎰-++=++112222π其中S 为球面0,1222222>++=++c b a z y x ，f 为连续函数.证明：取新的空间直角坐标系Ouvw ，其中原点不变，使坐标平面Ouvw 与平面=++cz by ax 重合，并使Ou 轴垂直于平面0=++cz by ax .则有其实根据坐标系Ouvw 选取方法的描述，我们不难看出Ou 轴上的单位向量就可取作平面=++cz by ax 的单位法线向量.则222cb a cz by ax u ++++=（注意到，显然222cb a cz by ax u ++++=为点()z y x P ,,到平面=++cz by ax 的距离）. ()dS cz by ax f S⎰⎰++()d S c b a u f S⎰⎰++=222显然在新坐标系下，球面的形状并未改变（仍记为S ），且它的方程应为 1222=++w v u（因为在新的坐标系下，任何一个球面上的点到原点的距离仍然为1.） 得： ()22221u w v -=+当u 固定时，1222=++w v u 表示垂直于Ou 轴平面上的一个圆周. 进一步，我们把S 化为参数方程表示：.20,11,sin 1,cos 1,22πθθθ≤≤≤≤-⎪⎩⎪⎨⎧-=-==u u w u v u u,1='uu ,cos 12θuu v u --=';sin 12θuu w u--=',0='θu ,sin 12θθu v --='.cos 12θθu w -=';112222uw v u E u u u-='+'+'=;0...=''+''+''=θθθw w v v u u F u u u.12222u w v u G -='+'+'=θθθ因此， 曲面的元素dS =dudv =故()dS cz by ax f S⎰⎰++()d S c b a u f S⎰⎰++=222()d u c b a u f d ⎰⎰-++=πθ2011222().211222⎰-++=du cb a u f π10（P210,第4题）设某种物质均匀分布在球面2222a z y x =++上（认为分布密度1=ρ）.求它对于oz 轴的转动惯量. 解：由对称性 ()dSy x J S ⎰⎰+=1228其中2221:yx a z S--=，则d S d x d d x d y==. 因此 ()d x d yyx a a y x S S xyD ⎰⎰--+==222221.88 r d r ra rd a a.8022220⎰⎰-=πθ极()r d r r a aara a.4022222⎰-+-=πr d r r a a a.4022⎰--=πr d rra aa.140223⎰-+π()22022.2ra d r a a a--=⎰π()220223.12ra d ra a a---⎰π.384a π=11（P217,第1题）沿圆锥面()122≤=+z yx S的下侧，求曲面积分S d r S.⎰⎰，其中{}.,,z y x r =解：⎰⎰⎰⎰++=SSzdxdyydzdx xdydz Sd r .''x y z z z ===，[(')(')0xyx y D x z y z dxdy =--+-+=⎰⎰12（P217,第2题）沿椭球面1222222=++cz by ax 的外侧，求曲面积分.⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++Sz dxdy y dzdx x dydz解：把S 分割为21,S S 两个部分.其中，222211:by ax c z S --=（上侧）；222221:by ax c z S ---=（下侧）.21,S S 向xoy 面上的投影区域均为.1:2222≤+by ax D xy故dxdyby ax c zdxdy xyD S ⎰⎰⎰⎰--=2222111变量代换：⎩⎨⎧==.s i n,c o sθθbr y ar x由二重积分的换元法drabrd rc dxdy by ax c D D xyθ⎰⎰⎰⎰'-=--222221111.其中 ()()abr br b ar a y ry xrx r y x J =-=∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=θθθθθθθcos sin sin cos ,, ⎩⎨⎧≤≤≤≤'.20,10:πθr D所以=⎰⎰1S zdxdy drabrd rc dxdy by ax c D D xyθ⎰⎰⎰⎰'-=--222221111dr r rd cab ⎰⎰-=πθ201211dr r rd cab ⎰⎰-=πθ201211所以，().212111|12212πππcab rcabrd rcab =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=---=⎰由轮换对称性，知：πabc xdzdy S4=⎰⎰；.4πbac ydzdx S=⎰⎰故⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛++Sz dxdy ydzdx xdydz +=⎰⎰Szdxdy +⎰⎰S xdzdy ⎰⎰S ydzdx+=πc ab4πabc4().44222222ac c b b a abc b ac ++=+ππ13（P217,第3题）沿球面()()()2222R c z b y a x =-+-+-的外侧，求曲面积分.222⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x解：把S 分割为21,S S 两个部分.其中，()()2221:b y a x R c z S ----+=（上侧）；()()2222:b y a x R c z S -----=（下侧）.21,S S 向xoy 面上的投影区域均为:xy D ()()222R b y a x ≤-+-()()dxdy b y a x R c dxdy zxyD S ⎰⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡----+=222221变量代换： ⎩⎨⎧+=+=.sin ,cos θθr b y r a x()()[]r d r rR c d x d y b y a x R c D D xy⎰⎰⎰⎰'-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡----+2222222.()()r r r y ry xr x r y x J =-=∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=θθθθθθθcos sin sin cos ,, ⎩⎨⎧≤≤≤≤'.20,0:πθR r D=⎰⎰12S dxdy z[]rdr rR c D 222⎰⎰'-+()drr rR c d R⎰⎰-+=πθ20222()rdr rR c R2222⎰-+=π()r dr r R rR c c R⎰-+-+=02222222πrdr r R c rdr c RR⎰⎰-+=0222222ππ()rdr r RR⎰-+0222π()()|||0222023220222132.222RRR rR r R c r c ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=πππ.2344322R cRRc πππ++= 同理()()dxdy b y a x R c dxdy z xyD S ⎰⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡------=222221.2344322R cR R c πππ-+-==⎰⎰Sdxdy z 2+⎰⎰12S dxdy z 32382cRdxdy z S π=⎰⎰；由轮换对称性，知：=⎰⎰Sdydz x 2338aRπ；=⎰⎰Sdzdx y 2.383bR π故.222⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x ⎰⎰=Sdydzx 2⎰⎰Sdzdxy 2⎰⎰Sdxdyz 2().383c b a R ++=π14（P217,第4题）设S 为长方体()c z b y a x ≤≤≤≤≤≤0,0,0的表面.沿外侧求曲面积分⎰⎰Sxyzdxdy解：把S 分割为654321,,,,,S S S S S S 六个部分. 其中 ()b y a x c z S ≤≤≤≤=0,0:1的上侧； ()b y a x z S ≤≤≤≤=0,00:2的下侧； ()c z b y a x S ≤≤≤≤=0,0:3的前侧； ()c z b y x S ≤≤≤≤=0,00:4的后侧； ()c z a x b y S ≤≤≤≤=0,0:5的右侧； ()c z a x y S ≤≤≤≤=0,00:6的左侧.注意到除21,S S 外，其余四片曲面在xoy 面上的投影为零，因此=⎰⎰Sxyzdxdy+⎰⎰1S xyzdxdy⎰⎰2S xyzdxdy⎰⎰=xyD xycdxdy⎰⎰-xyD dxdyxy 0. c b a ydy xdx c a b.422⎰⎰==（后可用奥高公式）15（P225第2题）求()()dy m y e dx my y eI xxL-+-=⎰cos sin ，（m 为常数）其中l 是自点()0,a A 经过圆周()022>=+a ax y x 的上半部分到点O(0,0)的半圆 周.（提示：作辅助线后用格林公式）. 解：cos ,cos xxP Q e y m e y yx∂∂=-=∂∂.221...428A OO A D DQ P a dxdy m dxdy m m a x y ππ⋂⎡⎤∂∂+=-===⎢⎥∂∂⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰. 所以，2220.888AOOAma ma ma I πππ⋂==-=-=⎰⎰（因为，⎰⎰==OAadx 0.00）16（P225第5题）设函数()x f 在正半轴()0>x 上有连续导数()x f '且().21=f 若 在右半平面内沿任意闭合光滑曲线l ，都有 ()043=+⎰dy x xf ydx xl求函数().x f解：()y x y x P 34,=，()()x xf y x Q =,都是右半平面上的连续函数，由于在右半平面内沿任意闭合光滑曲线l ，都有()043=+⎰dy x xf ydx xl故有12f f yx∂∂=∂∂即 ()()x f x x f x '+=34化简，得 ()()241xx f xx f =+'（1）为一阶线性微分方程，其通解为()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰=⎰-c ex e x f dx xdx x 1214().1134xcx c xx+=+=代入条件()21=f ，得 .1=c ().13xx x f +=17（P226第6题）设D 是以光滑曲线l 为正向边界的有界闭区域，而函数()y x u u ,= 在闭区域D 上具有连续的二阶偏导数且记2222yu xu u ∂∂+∂∂=∆证明： ⎰⎰⎰∆=∂∂Dludxdyds nu()()y n yu x n xu nu ,cos ,cos ∂∂+∂∂=∂∂表示函数()y x u u ,=沿边界曲线l 外法线方向的方向导数.证明：设τ为曲线l 的正向的切线向量，其方向余弦为()x ,cos τ、()y ,cos τ，则 有 ()()y x n ,,τ=，()().,,x y n τπ-= 故 ()()y x n ,c o s ,c o s τ=，()().,cos ,cos x y n τ-=()()ds x y uy xu ds nul l⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=∂∂,cos ,cos ττ（由两型曲线积分之间的联系）dx yu dyx ul⎰∂∂-∂∂=（格林公式） ⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=Ddxdy y u y x u x=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂=⎰⎰Ddxdy y u x u 2222.⎰⎰∆Dudxdy18（P226第7题）在第6题的假设和记号下，证明：.22ds nu uudxdy u dxdy y u x u D lD⎰⎰⎰⎰⎰∂∂+∆-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂证明：仿上题 ()()ds x y uy xu u ds nu ul l⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=∂∂,cos ,cos ττ（由两型曲线积分之间的联系） dx yu udy xu ul⎰∂∂-∂∂=（格林公式）⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=Ddxdy y u u y x u u x ⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂∂∂=Ddxdy y u u y u y u x u u x u x u 2222....dxdy y ux u u dxdy y u x u DD⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎰⎰⎰⎰222222 udxdyu dxdy y u x u DD∆+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎰⎰⎰⎰22移项，即得 .22ds nu uudxdy u dxdy y u x u D lD⎰⎰⎰⎰⎰∂∂+∆-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂19（P227第9题）计算高斯(Gauss)积分 ()(b a I ⎰=,其中l 为简单（光滑）闭合曲线，r 为不在l 上的点()b a ,到l 上动点()y x ,的向量，而n 为l 上动点()y x ,处的法向量.解：设τ为曲线l 的正向的切线向量，其方向余弦为()x ,cos τ、()y ,cos τ，则 有 ()()y x n ,,τ=，()().,,x y n τπ-= 又设()(){}y n x n n ,cos ,,cos 0= ，{}b y a x r --=,，则()()()()()()().,c o s .,c o s.,c o s ,c o s 22b y a x y n b y x n a x n r n r -+--+-==⎪⎭⎫ ⎝⎛=故(()()()()()().,cos .,cos .22b y a x y n b y x n a x -+--+-=()()()()()()()[]ds y n b y x n a x b y a x b a I l ,cos ,cos .1,22-+--+-=⎰()()()()()()[]ds x b y y a x b y a x l,cos ,cos .122ττ----+-=⎰()()()().22⎰-+----=l b y a x dx b y dy a x记 ()()(),,22b y a x by y x P -+---=()()().,22b y a x ax y x Q -+--=则()()()(),2222b y a x a x b y yP -+-----=∂∂()()()().2222b y a x a x b y x Q -+-----=∂∂它们在xo y 平面内除点 ()b a ,外处处连续，且.0=∂∂-∂∂yP xQ（一）若点()b a ,在l 所包围的区域D 外，原式=0；（二）若点()b a ,在l 所包围的区域D 内，以点()b a ,为中心作一个充分小的圆()()).0(:222>=-+-εεεb y a x l 取逆时针方向，使之完全包含在l 为边界的区域内.记介于εl 和l 之间的区域为'εD .则在'εD 由格林公式可得：)()()()⎰-+----lb y a x dxb y dy a x 22()()()()⎰-+-----εl b y a x dx b y dy a x 22.0⎰⎰'=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-∂∂=εD dxdy y P x Q所以，()()()()⎰-+----=l b y a x dx b y dya x I 22()()⎰---=εεl dxb y dy a x 2()()⎰---=εεl dx b y dy a x 21（格林公式）()()ππεεεεε2.22112222===⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂-∂-∂-∂=⎰⎰⎰⎰DD dxdy dxdy y y b x a x .20（P227第10题）利用斯托克斯公式重新计算积分（例3） ()()(),⎰-+-+-=ldz y x dy z x dx y z I 其中l 是曲线⎩⎨⎧=+-=+.2,122z y x y x方向为从oz 轴正方向往负方向看去是顺时针方向.解一：由斯托克斯公式d x d y yx zx yz z y x d x d y d z d x d y d z 2=---∂∂∂∂∂∂.取∑为平面2=+-z y x 上由椭圆所围成的那一小块曲面.（取下侧），因此{}1,1,1-=n ,.31,33,330⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=n ） ()()()dSdxdy dz y x dy z x dx y z I l⎰⎰⎰⎰⎰∑∑-=-=-+-+-=3122.2.23.312⎰⎰⎰⎰-=-=-=xyxyD D dxdy dxdy π解二：（直接计算）()()()⎰⎰⎰∑=-+-+-=dxdy dz y x dy z x dx y z I l2其中，.1:22≤+yx D xy所以，.22π-=-=⎰⎰dxdy I xyD .21（P238第2题）证明式（14-31），并由此求下面的曲线积分：()();).1(2,11,22⎰-xxdy ydx ()()⎰++1,1,63,2,1.).2(xydz zxdy yzdx解：（一）要证式（14-31）成立，即要证若平面区域D 内保守力场()(){}y x Q y x P f ,,,=有位势()y x u ,，则对D 内的任意两点()()222111,,,y x M y x M ，有 ()()()()()().,,,.1122,,2211y x u y x u dy y x Q dx y x P y x y x -=+⎰事实上，因为()(){}y x Q y x P f ,,,=为保守力场，故()()dy y x Q dx y x P l,.+⎰在D 内与路径无关，而只取决于路径的起点、终点.令 ()()()()()dy y x Q dx y x P y x v y x y x ,.,,,11+=⎰ （1）则可证明()y x v ,也是f 在D 内的一个势函数.故()()C y x v y x u ≡-,, ，对任意()D y x ∈,成立 （2）取()()11,,y x y x =，并注意到()0,11=y x v （因为沿闭合曲线的积分为零），得()()()111111,,,y x u y x v y x u C =-=（2）式中再取()()22,,y x y x =，并注意到(),0,11=y x v 得()()C y x v y x u =-2222,, 即 ()()()()().,,3,,11222222y x u y x u C y x u y x v --============又由（1）式，注意到()y x v ,的记号，得 ()()()()()().,,,.1122,,2211y x u y x u dy y x Q dx y x P y x y x -=+⎰（二）()()⎰-2,11,22).1(xxdy ydx中，()2,xy y x P =，().1,2xxx y x Q -=-=因为 xQ xyP ∂∂==∂∂21，().0,,2≠∈x R y x所以，2xxdyydx -是某一个函数()y x u ,的全微分.故可取()()()⎰-=y x xxdyydx y x u ,0,12,dy x dx yx⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛-+=110.x y -=所以()()()().2321121,22,12,11,22-=⎪⎭⎫⎝⎛---=-=-⎰u u xx d y yd x ()()⎰++1,1,63,2,1.).2(xydz zxdy yzdx 中，()()().,,,,,,,,xy z y x R zx z y x Q yz z y x P ===因为xQ z yP ∂∂==∂∂；yR x zQ ∂∂==∂∂；.zP y xR ∂∂==∂∂ ().,,3R z y x ∈所以，+yzdx xydz zxdy +是某一个函数()z y x u ,,的全微分. （二）现取()()()xydz zxdy dx yz z y x u z y x ++=⎰,,0,0,0,,取0M M 如图所示，从()0,0,00M 沿x 轴到点()0,0,1x M 再沿平行于y 轴的直线到点()0,,2y x M最后沿平行于z 轴的直线到点(),,.M x y z 于是()⎰⎰⎰++=zyxxydz dy x dx z y x u 0.00,, .xyz =所以()()()().03,2,11,1,61,1,63,2,1=-=++⎰u u x y d z z x d y y z d x22（P238第5题）验证下列方程我全微分方程，并求通解：()();04332).1(=-++dy y x dx y x ()().03223).2(2222=+-++-dyyxy xdx yxy x解：()();04332).1(=-++dy y x dx y x这里，()()y x y x Q y x y x P 43,,32,-=+=.因为，xQ yP ∂∂==∂∂3，是全微分方程.故：()()()()()dyy x dx y x y x u y x 4332,,0,0-++=⎰()()dyy x dxx yx⎰⎰-++=04302[]||020223yx yxy x-+=.2322y xy x -+=通解为：cyxy x =-+2223.()().03223).2(2222=+--+-dyyxy xdx yxy x这里，()().32,,23,2222y xy x y x Q y xy x y x P -+-=+-=. 因为，xQ y x yP ∂∂=+-=∂∂22，所以方程是全微分方程.故：()()()()()dy yxy x dx y xy x y x u y x 22,0,0223223,+--+-=⎰()()dy y xy x dx xyx⎰⎰-+-+=22023203[]||03223yxyxy y x x-+-+=.3223y xyy x x -+-=因此，所求方程的通解为：.3223c y xy y x x =-+-.23（P238第6题）设函数()y x u u ,=在凸区域（即包含区域内任意两点间的连线）2R ⊂Ω内连续可微分且K gradu ≤（常数）.证明：对于Ω内任意两点B A ,，都有 ()()().,.B A d K B u A u ≤- 其中()B A d ,表示点B A ,之间的距离.证明：由于Ω为凸区域，故线段AB 整个属于Ω.设点B 的坐标为()000,,z y x ，点A 的坐标为()111,,z y x ，且令.,,010101z z z y y y x x x -=∆-=∆-=∆ 考虑一元函数()()z t z y t y x t x u t f ∆+∆+∆+=000,, ().10≤≤t （1）显然， ()()()().1,0A u f B u f == （2） 且()t f 在[]1,0上可微，并且 ()()x z t z y t y x t x u t f x ∆∆+∆+∆+'='.,,000 ()y z t z y t y x t x u y ∆∆+∆+∆+'+.,,000()z z t z y t y x t x u z ∆∆+∆+∆+'+.,,000 （3） 于是，由微分学中值定理知()()()()()ξf f f B u A u '=-=-01 ()()=3 ()x z z y y x x u x ∆∆+∆+∆+'.,,000ξξξ ()y z z y y x x u y ∆∆+∆+∆+'+.,,000ξξξ ()z z z y y x x u z ∆∆+∆+∆+'+.,,000ξξξ()..,,000BA z z y y x x gradu ∆+∆+∆+=ξξξ （4） 由（4）式可知 ()()(z z y y x x gradu B u A u ,,000∆+∆+∆+=-ξξξ ()().,..,,000B A d K z z y y x x gradu ≤∆+∆+∆+≤ξξξ 24（P238第7题）求向量场⎪⎭⎫⎝⎛=x y grad f arctan沿下列曲线l 的环量：（ⅰ）l 为圆周()()12222=-+-y x ；l 为圆周422=+y x （分为左、右半圆周分别计算）.解： ⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y y x y x x y grad f arctan ,arctan arctan.,2222⎭⎬⎫⎩⎨⎧++-=y x xyx y（ⅰ）2222.yx xdy yx ydx r d f ll+++-=⎰⎰（格林公式）d x d y y x y y y x x x D⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂=2222()().02222222222=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+--+-=⎰⎰dxdy yxxy yx x y D（ⅱ）⎰⎰+-=llyx ydx xdy r d f 22.[].22.241412ππ==-=⎰lydx xdy25（P238第9题）证明： ()f gradu f urot f u rot ⨯+=. 解：设()()(){}z y x R z y x Q z y x P f ,,,,,,,,=，则()()(){}.,,,,,.,,,z y x uR z y x Q u z y x uP uf =()()()()()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧∂∂-∂∂∂∂-∂∂∂∂-∂∂=y uP x uQ x uR z uP z uQ yuR f rot ,, ,,{⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=x u R x R u z u P zPu z uQ zQ u y u R y R u },⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂y u P y P u x u QxQ u⎭⎬⎫⎩⎨⎧∂∂-∂∂∂∂-∂∂∂∂-∂∂=y P x Q x R z P z Q y R u ,,⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+y u P x u Q z u P x u R z u Q yu R ,.f gradu f urot ⨯+= 26（P246第1题）利用奥-高公式计算下列各曲面积分：（ⅰ）⎰⎰++Szdxdy ydzdx xdydz ，沿球面()()()2222R c z b y a x =-+-+-外侧；（ⅱ）⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x 333，沿正方体()10,10,10≤≤≤≤≤≤z y x 外表面；（ⅲ）()()()[]d S z n z y n y x n x S⎰⎰++,cos ,cos ,cos 222，沿锥面()hz yx S≤=+22的下侧；（ⅳ）,3dxdy z S⎰⎰沿上半球面222yx a z --=的上侧.解：（ⅰ）⎰⎰++Szdxdy ydzdx xdydz （奥-高公式）()()()⎰⎰⎰Ω⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+∂∂=dv z z y y xx .434.3333R R dv ππ===⎰⎰⎰Ω（ⅱ）⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x 333（奥-高公式）()()()x d y d zd z z y y x x ⎰⎰⎰Ω⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+∂∂=333()⎰⎰⎰Ω++=d x d y d zzy x 2223=3 （ⅲ）若取h z S =:1（上侧）.则S 与1S 一起构成一个封闭曲面.记它们所围成的空间闭区域为Ω.在Ω上利用奥-高公式，便得：()()()[]d S z n z y n y x n xS S ⎰⎰+++1,cos ,cos ,cos 222dxdyz dzdx y dydz x S S 2221++=⎰⎰+ （奥-高公式）()()()x d y d z d z z y y x x ⎰⎰⎰Ω⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+∂∂=222 ()⎰⎰⎰Ω++=dxdydz z y x 2⎰⎰⎰Ω=zdxdydz 2（=⎰⎰⎰Ωxdxdydz0=⎰⎰⎰Ωydxdydz）dz z rdrd hhr⎰⎰⎰=πθ202()drrhrd h⎰⎰-=πθ2022212 .24πh=所以 ()()()[]d Sz n z y n y x n xS⎰⎰++,cos ,cos ,cos 222d x d yz d z d x y d y d z xhS 222212++-=⎰⎰π =-=⎰⎰dxdy hhxyD 222π.2.22222πππhh h h=-=（ⅳ）,3dxdy z S⎰⎰沿上半球面222yx a z --=的上侧.若取0:1=z S （下侧）.则S 与1S 一起构成一个封闭曲面.记它们所围成的空间闭区域为Ω.在Ω上利用奥—高公式，便得：dxdyz S S ⎰⎰+13x d y d z d z ⎰⎰⎰Ω=23()ρρϕρϕϕθππd d d a⎰⎰⎰=20222c o s s i n 3.5251.cos 31.655203|a a πϕππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=dxdyz S⎰⎰3dxdya S ⎰⎰-=10525π .525a π=27（P246第2题）设S 为光滑封闭曲面，c 为常向量.证明：().0,c o s=⎰⎰dS c n S()P n n =为S 上点P 处的单位外法向量证明：设{},cos ,cos ,cos γβα=n {}.,,321c c c c =()232221321cos cos cos .,cos c c c c c c c n ++++==γβα()⎰⎰⎰⎰++++=SSdxdy c dzdx c dydzc c c c dS c n 3212322211,cos （奥-高公式）.0=28（P246第3题）证明等式().,c o s 21dS n r rdxdydz S⎰⎰⎰⎰⎰=Ω其中S 为包围空间有界区域3R ⊂Ω的光滑封闭曲面，n 为曲面S 上动点()z y x P ,,处的单位外法向量，r 为连接定点()()S M c b a M ∉00,,与动点P 处的向量,0r P M =证明：设{},cos ,cos ,cos γβα=n {}.,,c z b y a x r ---=()()()()()()()222cos cos cos ..,cos c z b y a x c z b y a x n r n r -+-+--+-+-==γβα()()()()()()()⎰⎰⎰⎰-+-+--+-+-=S Sc z b y a x dxdyc z dzdx b y dydz a x dS n r 22221,cos 21()()()()()[];23222221c z b y a x c z b y xf -+-+--+-=∂∂()()()()()[];23222222c z b y a x c z a x yf -+-+--+-=∂∂()()()()()[].23222223c z b y a x b y a x zf -+-+--+-=∂∂()()()[]()()()[]232222223212c z b y a x c z b y a x zf yf xf -+-+--+-+-=∂∂+∂∂+∂∂()()().22222rc z b y a x =-+-+-=。
曲线曲面积分部分难题解答
曲线曲面积分部分难题解答1．（P201,第1题）计算下列标量函数的曲线积分（第一型曲线积分）： （ⅰ）⎰lxyds ，l 为抛物线x y 22=上从原点)0,0(O 到点)2,2(A 的弧⋂OA ；（ⅱ）()⎰+l ds yx 22，l 为联结点)0,0(O 、)0,2(A 和)1,0(B 的三角形围线；（ⅲ）⎰+lsd y x 22，l 为圆周()022>=+a ax y x ；（ⅳ）()⎰++l ds zy x 222，l 为螺线()0,sin ,cos >===b bt z t a y t a x 的 一段弧()π20≤≤t ；（ⅴ）⎰l zds ，l 为曲线()⎩⎨⎧>===0,2222a ax y z y x 上从点)0,0,0(O 到)2,,(a a a A 的一段弧.解：（ⅰ）[]2,0,,21:2∈⎪⎩⎪⎨⎧==y y y y x l ，.1122dy y dy dy dx ds +=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=所以dy y y y xyds l2221..21+=⎰⎰（令t y tan =） tdtt 332arctan 0sec .tan21⎰= ()t td t sec sec .tan21222arctan 0⎰=()()t td t sec sec .1sec21222arctan 0-=⎰()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=315153155121sec 31sec 5121352arctan35|t t.15135515255315521+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=（ⅱ）解：()⎰+l ds yx 22⎰⎰⎰++=OAABOB()()3801.022222222==++=+⎰⎰⎰dx x dx xds y xOA;，其中：.20,,0:≤≤⎩⎨⎧==x xx y OA()()[]()dy y y ds y xAB21222221.22-++-=+⎰⎰().5354855102=+-=⎰dy y y其中：.10,,22,:≤≤⎩⎨⎧-==y y x y y AB()().3101.22212222==++=+⎰⎰⎰dy y dy yds y xBO，其中：.10,,0:≤≤⎩⎨⎧==y y y x BO所以.3535+=++=⎰⎰⎰OAABOBI（ⅲ）解法一：.20,sin 2,cos 22:π≤≤⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=t t a y t a a x l()().2cos 2sin 22222dt a dt t a t a dt t y t x ds =⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-='+'=所以，()dt at a t a s d y x l2sin 4cos 1420222222⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=+π()dt t a⎰+=π202cos 124dt t a⎰=π20222sin2.24dt t a⎰=π2022sin2.22cos 22sin2202202|a t a t d t a=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰ππ解法二：化l 为极坐标表示：().2,2,cos :⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈=ππθθθa r l 则()().22,s i n .c o s s i n,c o s c o s :2πθπθθθθθθθ≤≤-⎩⎨⎧====a r y a r x l ()()()().sin cos 2222θθθθθad dt a a dt r r ds =-+='+=所以，()()[]θθθθππad a a s d y x l⎰⎰-+=+2222222sin cos cosθθππd a a ⎰-=2222cos .2sin 2cos 2220222|a a d a===⎰ππθθθ（ⅳ） ()()()()()dt b a dt b t a t a dt t z t y t x ds22222222cos sin +=++-='+'+'=()()()()[]dt b a bt t a t a ds z y x l2220222222.sin cos +++=++⎰⎰π()|203222220222223ππ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=++=⎰t b t a b a dt t b aba[].433222222b a b a++=ππ2．（P201,第2题）设有某种物质分布在椭圆1:2222=+by ax l 上，其密度().,y y x =μ求它的总质量.解：不妨假设.b a >⎰⎰==14l lydsds y M ，其中.2,0,sin ,cos ;1⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈⎩⎨⎧==πt t b y t a x l ()()()().cos sincos sin 22222222dt t b t a dt t b t a dt t y t x ds +=+-='+'=所以dt t b t a t b yds M l 222220cos sinsin 441+==⎰⎰π()dt t b a a t b 222220cos sin 4--=⎰π()()t d t b a a b cos cos 4202222⎰---=π()du u b a a b 222214---=⎰()du u b a a b 222214--=⎰duu ba aba b ⎰---=22222224π（公式）|102222222222222arcsin .2.4⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--+---=u ba au ba au ba ab a b ()⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--+---=21arcsin .2.42222222222ba aab a b a a b a b.arcsin..222222⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+--=b ab a ba ab 3．（P202,第3题）设曲线l 的长度为L ，而函数f 在包含l 的某个区域内连续.证明：()().max .P f L dsP f lP l∈≤⎰证明：由第一型曲线积分的定义()()ini id ls P f dsP f ∆=∑⎰=→.lim1故()()ini id ls P f dsP f ∆=∑⎰=→.lim1()ini id s P f ∆=∑=→.lim1()ini id sP f ∆≤∑=→.lim1()ini lp d sP f ∆≤∑=∈→.m a x lim1().m a x .P f L lP ∈=4．（P202,第4题）从原点()0,0O 到点()2,1A 沿下列不同路径分别计算第二型曲线积分.⎰⋂-OAydx xdy（1）.⋂OA 为直线段；（2）.⋂OA 为抛物线22x y =上的弧；（3）.⋂OA 为从点()0,0O 经点()0,1B 到点()2,1A 的折线⋂OBA . 解： （1） .1~0:,,2:x xx x y OA ⎩⎨⎧==⋂[].022.1=-=-⎰⎰⋂dxx x ydx xdy OA（2）.1~0:,,2:2x x x x y OA ⎩⎨⎧==⋂[].323224.|10312==-=-⎰⎰⋂xdxx x x ydx xdy OA（3）.220=+=+=+⎰⎰⎰⋂OBBAOAydx xdy其中，.1~0:,.,0:x x x y OB ⎩⎨⎧==();000.1=-=-⎰⎰dxx ydx xdy OB其中，.2~0:,.,1:y y y x BA ⎩⎨⎧== ().20.12=-=-⎰⎰dyy ydx xdy BA5．（P202,第5题）计算曲线积分 .⎰+lxdy ydx（1）.l 为从点()0,a 点()0,a -的上半圆周()022>-=a xa y ；（2）. l 为从点()0,a 点()0,a -的直线段()0>a ； （3）. l 为逆时针方向的圆周.222a y x =+ 解： （1）.~0:,sin ,cos :πt t a y t a x l ⎩⎨⎧==()()()()[]dt t a t a t a t a xdy ydx l⎰⎰+-=+πcos .cos sin .sin ==⎰dt t aπ22cos 02sin 2|02=πt a.（2）.~:,,0:a a x x x y l -⎩⎨⎧==().00.0=+=+⎰⎰-dxx xdy ydxaal（3）.2~0:,sin ,cos :πt ta y t a x l ⎩⎨⎧==()()()()[]dt t a t a t a t a xdy ydx l⎰⎰+-=+π20cos .cos sin .sin ==⎰dt t aπ2022cos 02sin 2|202=πt a.6．（P202,第6题）计算沿逆时针方向的圆周()222a y x =+的曲线积分 ()().22⎰+--+lyx dyy x dxy x解：π2~0:,.sin ,cos :t t a y t a x l ⎩⎨⎧==，所以，()()⎰+--+lyx dyy x dxy x 22()()()()dtat a t a t a t a t a t a ⎰---+=π202cos .sin cos sin sin cos.22022ππ-=-=⎰dt aa7．（P202,第7题）计算下列曲线积分，曲线的方向与参数增加方向： （ⅰ）()()dy xy y dx xy x l⎰-+-2222，l 为抛物线()112≤≤-=x x y ；（ⅱ）()()dy y x dx yx l ⎰-++2222，l 为折线()2011≤≤--=x x y ；（ⅲ）()dz x yzdy dx zy l ⎰-+-2222，l 的参数方程为().10,,3,2≤≤⎪⎩⎪⎨⎧===t t z t y t x ；解：（ⅰ）.1~1:,:2-⎩⎨⎧==x xy x x l()()dy xy y dx xy xl⎰-+-2222()()[]d x x x x xxx x⎰--+-=1124222..2.2[].151454324|10531142-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=⎰-x x dx x x （ⅱ）设点().0,1A 则()()dyyx dx y xL2222-++⎰()()dyyx dx y xOA2222-++=⎰()()dyyx dx y xAB2222-+++⎰其中 .1~0:,,:x x x x y OA ⎩⎨⎧==故()()()()[]d x xxxxdy yx dx y xOA⎰⎰-++=-++1022222222.32322|10312===⎰x dx x ;其中.2~1:,,2:x x x x y AB ⎩⎨⎧=-=故()()()()()()()[]d x x xx xdy yx dx y xAB⎰⎰---+-+=-++21222222221.22()().3232222|213212=-=-=⎰x dx x所以原式.343232=+=（ⅲ）()dz x yzdydx zy l ⎰-+-2222()[]d t t t t t ttt⎰-+-=102232643.2 (2)[].351527323|1571046=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=⎰t t dttt8．（P202,第8题）设曲线l 的长度为L ，而函数()P f 在包含l 的某个区域内连续.证明：()).max ...P L d P f lP l∈≤⎰证明：设()()(){}.,21P f P f P f =由第二型曲线积分的定义及柯西不等式()()()[]∑⎰=→∆+∆=ni i i iid ly P f xP f rd P f 121..lim.故()()()[]∑⎰=→∆+∆=ni i i iid ly P f xP f d P f 121..lim.()()[]∑=→∆+∆≤ni i i iid y P f xP f 121..lim()()()()2212221.limi i ni i i d y x P f P f ∆+∆+≤∑=→)()()221.limi ini id y x P ∆+∆=∑=→)()())⎰∑=→=∆+∆≤li ini d ds P y x P .max .max lim221)P L =m a .9．（P209,第1题）求下列曲面块的面积：（ⅰ）球面2222a z y x =++包含在圆柱面()a b b y x ≤<=+0222内的那部分面积；（ⅱ）圆锥面22yx z +=被圆柱面x y x 222=+截下的那一部分；（ⅲ）圆柱面222a y x =+被圆柱面222a z y =+截下的那一部分.解：（ⅰ）画出示意图222:b y x D xy ≤+. 将曲面方程化为:z ∑=2z zx y∂∂=-=-∂∂，所以，d S d x d d x d y==. 因此d x d yyx a a S S xyD ⎰⎰--==22222上 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-=⎰⎰|022022202.2122bbra a ra a r d r d πθπ极().422b a a a --=π（ⅱ）画出示意图x y x D xy 2:22≤+. 由曲面方程22:yx z +=∑，得,22yx x xz +=∂∂,22yx y yz +=∂∂，所以，,2122d x d y d x d y y z x z dS =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+=.因此().222π===⎰⎰xy D D S dxdy S xy（ⅲ）利用对称性（仅在第一卦限内计算）18S S =，曲面1∑（1∑为∑在第一卦限的那部分，其面积设为1S ）向yoz 面上的投影区域为222:a z y D yz ≤+. 将曲面1∑方程化为22ya x -=，则,22ya y yx --=∂∂,0=∂∂zx ，所以，d y d zya a d y d z z x yx dS 22221-=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+=.因此d y d zya a S S yzD ⎰⎰-==22188 ⎰⎰--=22228ya a dz ya a dy .882a a d z a==⎰10．（P209,第2题）求下列曲面积分：（ⅰ）()⎰⎰++Sy x dS21，式中S 为四面体()1,0,0,0≤++≥≥≥z y x z y x 的表面；（ⅱ）()dS y x S⎰⎰+22，式中S 为圆柱体()h z a y x ≤≤≤+0,222的表面；（ⅲ）()dS z y x S⎰⎰++，式中S 为球面()2222a z y x =++的表面.解：（ⅰ）.4321S S S S S +++= 其中,0:1=z S dxdy dS =1，()()()dy y x dx dxdy y x y x dSxD S xy⎰⎰⎰⎰⎰⎰-++=++=++110222111111dx x dx y x x ⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=-101010211111|()212ln 211ln 2111|1010-=-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎰x dx x ；,0:2=x S d y d z dS =2，()()()dz y dy dydz y y x dSyD S yz⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+=++=++1102221101112()()dy y y dy y y⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+=+-=102102111211()2ln 11ln 12||110-=+-+-=y y；,0:3=y Sd z d x dS =3，()()()dzx dx dzdx x y x dSxD S zx⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+=++=++1102221101113()()dx x x dx x x⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=+-=10212111211 ()2ln 11ln 12||1010-=+-+-=x x；,1:4y x z S --= d x d ydS 34=，()()()dz y x dx dxdy y x y x dSxD S xy⎰⎰⎰⎰⎰⎰-++=++=++101022211311314dx x dx y x x ⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=-1011021113113|().212ln 33211ln 321113|110⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+=⎪⎭⎫⎝⎛-+=⎰x dx x；所以()⎰⎰++Sy x dS21()+++=⎰⎰121S y x dS()+++⎰⎰221S y x dS()⎰⎰++321S y x dS ()⎰⎰++421S y x dS()()().32ln 2213212ln 32ln 12ln 1212ln +-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=（ⅱ）.321S S S S ++=其中,0:1=z S d x d y dS =1，()()r d r r d d x d y y xdS y xaD S xy.420222221⎰⎰⎰⎰⎰⎰=+=+πθ24a π=；,:2h z S = d x d y dS =2，()()r d r r d d x d y y xdS y xaD S xy.420222222⎰⎰⎰⎰⎰⎰=+=+πθ24a π=；,:2223a yx S =+其向yoz面上的投影区域为⎩⎨⎧≤≤-≤≤.,0:a y a h z D yz . 将曲面3S 方程化为22y a x -±=，则,22ya y yx --=∂∂,0=∂∂zx ，所以，d y d z ya a d y d z z x yx dS 22221-=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+=.因此()()d y d zya a yya dS y xyzD S ⎰⎰⎰⎰-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=+222222322.23⎰⎰-=-haadz ya dy a22312..2arcsin433|h a ayh a aπ==或者()..22..32232233h a ah a dS a dS y xS S ππ===+⎰⎰⎰⎰所以()⎰⎰++Sy x dS21()++=⎰⎰122S dSyx()++⎰⎰222S yx()dSy xS ⎰⎰+322().22223344h a ah a a a+=++=ππππ （ⅲ）由积分区域的对称性，及被积函数的奇偶性知，显然()dS z y x S⎰⎰+++=⎰⎰dSx SdS y S⎰⎰().0=+++⎰⎰dS z y x S11．（P210,第3题）证明泊松公式()()d uc b a uf dS cz by ax f S⎰⎰⎰-++=++112222π其中S 为球面0,1222222>++=++c b a z y x ，f 为连续函数.证明：取新的空间直角坐标系Ouvw ，其中原点不变，使坐标平面Ouvw 与平面=++cz by ax 重合，并使Ou 轴垂直于平面0=++cz by ax .则有其实根据坐标系Ouvw 选取方法的描述，我们不难看出Ou 轴上的单位向量就可取作平面0=++cz by ax 的单位法线向量.则 222cb a cz by ax u ++++=（1）（注意到，显然222cb a cz by ax u ++++=为点()z y x P ,,到平面0=++cz by ax 的距离）.则()dS cz by ax f S⎰⎰++()d S c b a u f S⎰⎰++=222显然在新坐标系下，球面的形状并未改变（仍记为S ），且它的方程应为 1222=++w v u （2） （因为在新的坐标系下，任何一个球面上的点到原点的距离仍然为1.）由（2）式可得： ()22221u w v -=+ （3）当u 固定时，（3）式其实就表示垂直于Ou 轴平面上的一个圆周. 进一步，我们把S 化为参数方程表示：.20,11,sin 1,cos 1,22πθθθ≤≤≤≤-⎪⎩⎪⎨⎧-=-==u u w u v u u,1='uu ,cos 12θuu v u --=';sin 12θuu w u--=',0='θu ,sin 12θθu v --='.cos 12θθu w -='于是，;112222uw v u E u u u-='+'+'=;0...=''+''+''=θθθw w v v u u F u u u.12222u w v u G -='+'+'=θθθ因此， 曲面的元素dS =dudv = （4）故()dS cz by ax f S⎰⎰++()d S c b a u f S⎰⎰++=222()d u c b a u f d ⎰⎰-++=πθ2011222().211222⎰-++=du cb a u f π12（P210,第4题）设某种物质均匀分布在球面2222a z y x =++上（认为分布密度1=ρ）.求它对于oz 轴的转动惯量. 解：由公式 ()dSy xJ S⎰⎰+=22由对称性()dSy x J S ⎰⎰+=1228其中2221:yx a z S--=，则2z z x y∂∂=-=-∂∂，所以，d S d x d d x d y==. 因此()d x d yy x a a y x S S xyD ⎰⎰--+==222221.88 r d r ra rd a a.8022220⎰⎰-=πθ极()r d r r a aara a.4022222⎰-+-=πr d r r a a a.4022⎰--=πr d rra aa.140223⎰-+π()22022.2ra d r a a a--=⎰π()220223.12ra d ra a a---⎰π()|232232.2araa -=π|2232.2ara a --π434aπ-=44aπ+ .384a π=13（P217,第1题）沿圆锥面()122≤=+z yx S的下侧，求曲面积分S d r S.⎰⎰，其中{}.,,z y x r =解：⎰⎰⎰⎰++=SSzdxdyydzdx xdydzS d r .化为第一型曲面积分计算.S 的向下的法向量{}⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-++=-''=1,,1,,2222yx y yx x z z n y x，所以{}.c o s ,c o s ,c o s21,2,22222γβα=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-++==yx yyx x n 故⎰⎰⎰⎰++=SSzdxdyydzdx xdydzSd r . ()⎰⎰++=SdSz y x γβαcos .cos .cos .⎰⎰⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+++=SdSz yx y yx x222222222⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=SdS z y x 2222（根据第一型曲面积分的计算方法） ⎰⎰=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+=xy D dxdy y x y x .0222222214（P217,第2题）沿椭球面1222222=++cz by ax 的外侧，求曲面积分.⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++Sz dxdy y dzdx xdydz解：把S 分割为21,S S 两个部分.其中，222211:by ax c z S --=（上侧）；222221:by ax c z S ---=（下侧）.21,S S 向xoy 面上的投影区域均为.1:2222≤+by ax D xy故dxdyby ax c zdxdy xyD S ⎰⎰⎰⎰--=2222111作变量代换： ⎩⎨⎧==.s i n,c o s θθbr y ar x由二重积分的换元法drabrd rc dxdy by ax c D D xyθ⎰⎰⎰⎰'-=--222221111.其中 ()()abr br b ar a y ry xrx r y x J =-=∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=θθθθθθθcos sin sin cos ,,⎩⎨⎧≤≤≤≤'.20,10:πθr D所以=⎰⎰1S zdxdy drabrd rc dxdy by ax c D D xyθ⎰⎰⎰⎰'-=--222221111dr r r d cab ⎰⎰-=πθ201211dr r rd cab ⎰⎰-=πθ201211所以，().212111|12212πππcab rcabrd rcab =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=---=⎰（1）同理 dxdy by ax c zdxdy xyD S ⎰⎰⎰⎰----=2222112.2112222πcab dxdy by ax c xyD =--=⎰⎰（2）所以=⎰⎰Szdxdy +⎰⎰1S zdxdy .42πcab zdxdy S =⎰⎰（3）由轮换对称性，知：πa bc x dzdy S4=⎰⎰；.4πbac ydzdx S=⎰⎰故⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++Sz dxdy y dzdx xdydz +=⎰⎰Szdxdy +⎰⎰Sxdzdy ⎰⎰Sydzdx+=πc ab4πabc4().44222222ac c b b a abc b ac ++=+ππ15（P217,第3题）沿球面()()()2222R c z b y a x =-+-+-的外侧，求曲面积分.222⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x解：把S 分割为21,S S 两个部分.其中，()()2221:b y a x R c z S ----+=（上侧）；()()2222:b y a x R c z S -----=（下侧）.21,S S 向xoy 面上的投影区域均为:xy D ()()222R b y a x ≤-+-故()()dxdy b y a x R c dxdy zxyD S ⎰⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡----+=222221作变量代换：⎩⎨⎧+=+=.s i n ,c o sθθr b y r a x由二重积分的换元法()()[]r d r rR c d x d y b y a x R c D D xy⎰⎰⎰⎰'-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡----+2222222.其中 ()()r r r y ry xrx r y x J =-=∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=θθθθθθθcos sin sin cos ,,⎩⎨⎧≤≤≤≤'.20,0:πθR r D所以=⎰⎰12S dxdy z[]rdr rR c D 222⎰⎰'-+()drr rR c d R⎰⎰-+=πθ20222()rdr rR c R2222⎰-+=π()r dr r R rR c c R⎰-+-+=02222222πrdr r R c rdr c RR⎰⎰-+=0222222ππ()rdr r RR⎰-+0222π()()|||0222023220222132.222R RR r R r R c r c ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=πππ.2344322R cRRc πππ++=（1）同理()()dxdy b y a x R c dxdy z xyD S ⎰⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡------=222221[]rdr rR c D 222⎰⎰'---=()dr r rR c d R⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=πθ20222()rdr rR c R2222⎰---=π()r dr r R rR c c R⎰-+---=02222222πrdr r R c rdr cR R⎰⎰-+-=0222222ππ()rdr r RR⎰--0222π()()|||0222023220222132.222R RR r R r R c r c ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=πππ.2344322R cRRc πππ-+-=（2）所以=⎰⎰Sdxdy z 2+⎰⎰12S dxdy z 32382cRdxdy z S π=⎰⎰； （3）由轮换对称性，知：=⎰⎰Sdydz x 2338aRπ；=⎰⎰Sdzdx y 2.383bR π故.222⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x⎰⎰=Sdydzx2⎰⎰Sdzdxy 2⎰⎰Sdxdyz2().383c b a R ++=π16（P217,第4题）设S 为长方体()c z b y a x ≤≤≤≤≤≤0,0,0的表面.沿外侧求曲面积分⎰⎰Sxyzdxdy解：把S 分割为654321,,,,,S S S S S S 六个部分. 其中()b y a x c z S ≤≤≤≤=0,0:1的上侧； ()b y a x z S ≤≤≤≤=0,00:2的下侧； ()c z b y a x S ≤≤≤≤=0,0:3的前侧； ()c z b y x S ≤≤≤≤=0,00:4的后侧； ()c z a x b y S ≤≤≤≤=0,0:5的右侧； ()c z a x y S ≤≤≤≤=0,00:6的左侧.注意到除21,S S 外，其余四片曲面在xoy 面上的投影为零，因此=⎰⎰Sxyzdxdy+⎰⎰1S xyzdxdy⎰⎰2S xyzdxdy⎰⎰=xyD xycdxdy⎰⎰-xyD dxdyxy 0.c b a yd y x d x c ab.422⎰⎰==17（P225第1题）利用格林公式计算下面的曲线积分（l 的方向为正方向）： （ⅰ）()dy xy dx y x l22+-⎰，l 为圆周()222a y x =+；（ⅱ）()()dy y x dx y x l--+⎰，l 为椭圆⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+12222b ya x ； （ⅲ）()xdy dx y l+-⎰，l 为曲线()1=+y x ；（ⅳ）()()dy y y e dx y e x lx sin cos 1---⎰，l 为区域().sin 0,0x y x D <<<<π；18（P225第2题）求()()dy m y e dx my y eI xxL-+-=⎰cos sin ，（m 为常数）其中l 是自点()0,a A 经过圆周()022>=+a ax y x 的上半部分到点O(0,0)的半圆 周.（提示：作辅助线后用格林公式）.解：cos ,cos xxP Q e y m e y yx∂∂=-=∂∂.所以，由格林公式：221...428A OO A D DQ P a dxdy m dxdy m m a x y ππ⋂⎡⎤∂∂+=-===⎢⎥∂∂⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰. 所以，2220.888AOOAma ma ma I πππ⋂==-=-=⎰⎰（因为，⎰⎰==OAadx 0.00）19（P225第5题）设函数()x f 在正半轴()0>x 上有连续导数()x f '且().21=f 若 在右半平面内沿任意闭合光滑曲线l ，都有 ()043=+⎰dy x xf ydx x l求函数().x f解：()y x y x P 34,=，()()x xf y x Q =,都是右半平面上的连续函数，由于在右半平面内沿任意闭合光滑曲线l ，都有 ()043=+⎰dy x xf ydx xl故有xQ yP ∂∂=∂∂即()()x f x x f x '+=34 化简，得()()241xx f xx f =+' （1）（1）为一阶线性微分方程，其通解为()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰=⎰-c e x e x f dx xdx x 1214[]()cdx xx c e x e x x +=+=⎰⎰-3ln 2ln 414().1134xcx c xx+=+=（2）代入条件()21=f ，得 .1=c故().13x x x f +=20（P226第6题）设D 是以光滑曲线l 为正向边界的有界闭区域，而函数()y x u u ,= 在闭区域D 上具有连续的二阶偏导数且记 2222yu xuu ∂∂+∂∂=∆证明：⎰⎰⎰∆=∂∂Dludxdy ds nu其中()()y n yu x n xu nu ,cos ,cos ∂∂+∂∂=∂∂表示函数()y x u u ,=沿边界曲线l 外法线方向的方向导数.证明：设τ为曲线l 的正向的切线向量，其方向余弦为()x ,cos τ、()y ,cos τ，则 有()()y x n ,,τ=，()().,,x y n τπ-= 故()()y x n ,c o s ,c o s τ=，()().,cos ,cos x y n τ-=()()ds x y u y xu ds nul l⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=∂∂,cos ,cos ττ（由两型曲线积分之间的联系）dx yu dy xul⎰∂∂-∂∂=（格林公式）⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂-⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂=Ddxdy y u y x u x=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂=⎰⎰Ddxdy y u x u 2222.⎰⎰∆Dudxdy21（P226第7题）在第6题的假设和记号下，证明：.22ds nu uudxdy u dxdy y u x u D lD⎰⎰⎰⎰⎰∂∂+∆-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂证明：仿上题 ()()ds x y uy xu u ds nu ul l⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=∂∂,cos ,cos ττ（由两型曲线积分之间的联系） dx yu udy xu ul⎰∂∂-∂∂=（格林公式）⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=Ddxdy y u u y x u u x ⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂∂∂=Ddxdy y u u y u y u x u u x u x u 2222....dxdy y ux u u dxdy y u x u DD⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎰⎰⎰⎰222222udxdyu dxdy y u x u DD∆+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎰⎰⎰⎰22移项，即得 .22ds nu uudxdy u dxdy y u x u D lD⎰⎰⎰⎰⎰∂∂+∆-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂22（P227第8题）格林第二公式 若函数()y x u u ,=和()y x v v ,=都满足第6题中的假设，证明： dsvun v n udxdy vuv u lD⎰⎰⎰∂∂∂∂=∆∆证明：我们有 ()()ds x y u y xu v ds nu vl l⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=∂∂,cos ,cos ττ （由两型曲线积分之间的联系）dx yu vdy xu vl⎰∂∂-∂∂=（格林公式）⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=Ddxdy y u v y x u v x ⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂∂∂=Ddxdy y u v y u y v x u v x u x v 2222....⎰⎰⎰⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂=DDdxdy y u x u v dxdy y v y u x v x u 22.. ...⎰⎰⎰⎰∆+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂=DDudxdy v dxdy y v y u x v x u （1）由轮换对称性，知 dsnv ul⎰∂∂ ...⎰⎰⎰⎰∆+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂=DDvdxdy u dxdy y v y u x v x u （2）于是ds n v u n uv ds vun v n ul l⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=∂∂∂∂⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂=⎰⎰⎰⎰DDudxdy v dxdy y v y u x v x u ..⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂-⎰⎰⎰⎰DD vdxdy u dxdy y v y u x v x u ..()⎰⎰∆-∆=Ddxdyv u u v .dxdy vuv u D⎰⎰∆∆=23（P227第9题）计算高斯(Gauss)积分 ()(b a I ⎰=,其中l 为简单（光滑）闭合曲线，r 为不在l 上的点()b a ,到l 上动点()y x ,的向量，而n 为l 上动点()y x ,处的法向量.解：设τ为曲线l 的正向的切线向量，其方向余弦为()x ,cos τ、()y ,cos τ，则 有()()y x n ,,τ=，()().,,x y n τπ-= 又设()(){}y n x n n ,cos ,,cos 0= ，{}b y a x r --=,，则()()()()()()().,c o s .,c o s .,c o s ,c o s 2200b y a x y n b y x n a x n r n r -+--+-==⎪⎭⎫ ⎝⎛= 故(()()()()()().,cos .,cos .22b y a x y n b y x n a x -+--+-=()()()()()()()[]ds y n b y x n a x b y a x b a I l ,cos ,cos .1,22-+--+-=⎰()()()()()()[]ds x b y y a x b y a x l,cos ,cos .122ττ----+-=⎰()()()().22⎰-+----=l b y a x dx b y dya x记 ()()(),,22b y a x by y x P -+---=()()().,22b y a x ax y x Q -+--=则()()()(),2222b y a x a x b y yP -+-----=∂∂()()()().2222b y a x a x b y x Q -+-----=∂∂它们在xo y 平面内除点 ()b a ,外处处连续，且.0=∂∂-∂∂yP xQ（一）若点()b a ,在l 所包围的区域D 外，原式=0；（二）若点()b a ,在l 所包围的区域D 内，以点()b a ,为中心作一个充分小的圆()()).0(:222>=-+-εεεb y a x l 取逆时针方向，使之完全包含在l 为边界的区域内.记介于εl 和l 之间的区域为'εD . 则在'εD 由格林公式可得：)()()()⎰-+----lb y a x dxb y dy a x 22()()()()⎰-+-----εl b y a x dx b y dy a x 22.0⎰⎰'=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-∂∂=εD dxdy y P x Q所以，()()()()⎰-+----=l b y a x dx b y dya x I 22()()⎰---=εεl dxb y dy a x 2()()⎰---=εεl dx b y dy a x 21（格林公式）()()ππεεεεε2.22112222===⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂-∂-∂-∂=⎰⎰⎰⎰DD dxdy dxdy y y b x a x .24（P227第10题）利用斯托克斯公式重新计算积分（例3） ()()(),⎰-+-+-=ldz y x dy z x dx y z I 其中l 是曲线⎩⎨⎧=+-=+.2,122z y x y x方向为从oz 轴正方向往负方向看去是顺时针方向. 解一：由斯托克斯公式d x d y yx zx yz z y x d x d y d z d x d y d z 2=---∂∂∂∂∂∂.取∑为平面2=+-z y x 上由椭圆所围成的那一小块曲面.（取下侧），因此{}1,1,1-=n ,.31,33,33⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=n ） ()()()dSdxdy dz y x dy z x dx y z I l⎰⎰⎰⎰⎰∑∑-=-=-+-+-=3122.2.23.312⎰⎰⎰⎰-=-=-=xyxyD D dxdy dxdy π解二：（直接计算）()()()⎰⎰⎰∑=-+-+-=dxdydz y x dy z x dx y z I l2其中，.1:22≤+y x D xy所以，.22π-=-=⎰⎰dxdy I xyD .25（P238第1题）下面的向量场是否为保守场？若是，并求位势:u(){};sin cos 2,sin cos 2122y x x y x y y x f --=解：（1）这里()x y y x y x P sin cos 2,2-=，().sin cos 2,2y x x y y x Q -=因为xQ x y y x yP ∂∂=--=∂∂sin 2sin 2，()2,R y x ∈所以{}y x x y x y y x f sin cos 2,sin cos 222--=是定义在全平面上的保守场.所以，()+-dx x y y x sin cos22()dyy x x y sin cos 22-是某一个函数()y x u ,的全微分.故可取()()()()()dyy x x y dx x y y x y x u y x sin cos 2sin cos 2,2,0,02-+-=⎰()()dyy xx y dx x x yx⎰⎰-+-=0202sin cos 2sin 00cos 2[]||0222c o s c o s yx yx x y x++=()[]2222c o s c o s xy x x yx -++=.cos cos 22y x x y +=则，所求的位势为().cos cos ,22c y x x y c y x u ++=+(){}.sin ,cos ,222z y ex z xef yy--=--解：这里()()().sin ,,,cos ,,,2,,2z y z y x R e x z z y x Q xez y x P yy-=-==--。
§10_曲线积分和曲面积分习题与答案
第十章 曲线积分和曲面积分（A ）1、计算下列对弧长的曲线积分 1）ds y x n L)(22+⎰，其中：)20(sin ,cos :π≤≤==t t a y t a x L2）,xds L⎰其中围成及为由2x y x y L == 3）,2yzds x T⎰其中T 为折线ABCD ，这里A ，B ，C ，D 依次为点（0，0，0），（0，0，2），（1，0，2），（1，3，2） 4）,)(22ds y x L+⎰其中L ：)20(),cos (sin ),sin (cos π≤≤-=+=t t t t a y t t t a x2 、计算下列对坐标的曲线积分 1）,)(22dx y x L-⎰其中L 是2x y =上从（0，0）到（2，4）的一段弧2）,xydx L⎰其中L 是222)(a y a x =+-及x 轴围成的在第一象限内的区域的整个边界（逆时针向） 3）,ydz dy dx T+-⎰其中T 为有向闭折线ABCA ，这里A ，B ，C 依次为点（1，0，0），（0，1，0），（0，0，1） 4）dy xy y dx xy x L)2()2(22-+-⎰，其中L 是2x y =上从点（-1，1）到（1，1）的一段弧3、利用格林公式，计算下列曲线积分 1）,)635()42(dy x y dx y x L-+++-⎰其中L 为三顶点分别为（0，0），（3，0）和（3，2）的三角形正向边界 2）,)2sin ()sin 2cos (222dy ye x x dx e y x xy x y x x x L -+-+⎰其中L 为正向星形线)0(323232>=+a a y x3）,)3sin 21()cos 2(2223dy y x x y dx x y xy L+-+-⎰其中L 为抛物线22y x π=上由（0，0）到（)1,2π的一段弧4、验证下列dy y x Q dx y x P ),(),(+在整个xoy 面内是某个),(y x u 的全微分，并求这样的),(y x u1）dy y x dx y x )2()2(+++2）dy y x x y dx x y y x )sin sin 2()cos cos 2(22-++5 、计算下列对面积的曲面积分 1）⎰⎰∑++,)342(ds z y x 其中∑为平面1432=++zy x 在第一卦限中的部分 2）⎰⎰∑++,)(ds xz yz xy 其中∑为锥面22y x z +=被柱面ax y x 222=+所截得的有限部分6 、计算下列对坐标的曲面积分 1）⎰⎰∑,22zdxdy y x 其中∑是球面2222R z y x =++的下半部分的下侧 2）⎰⎰∑++,yzdzdx xydydz xzdxdy 其中∑是平面1,0,0,0=++===z y x z y x 围成区域的整个边界曲面的外侧7 、利用高斯公式计算曲面积分 1）⎰⎰∑++,333dxdy z dzdx y dydz x 其中∑为球面2222a z y x =++的外侧 2）⎰⎰∑++,zdxdy ydzdx xdydz 其中∑为界于3,0==z z 之间的圆柱体922≤+y x 的整个表面的外侧8 、 求下列向量的散度1）k xy z j xz y i yz x A )()()(222+++++=ϖ 2）k xz j xy i e A xy)cos()cos(2++=ϖ9、求下列向量场A 的旋度1）k x y j z x i y z A )2()3()32(-+-+-=ϖ2）j y x z i y z A )cos ()sin (--+=ϖ(B)1、一段铁丝成半圆形22x a y -=，其上任一点处的线密度的大小等于该点的纵坐标，求其质量. 2、 把xdy ydx x L-⎰2化为对弧长的曲线积分，其中L 为2x y =从点A （-1，1）到B （1，1）的弧段. 3、把xzdz yzdy xyzdx ++⎰Γ化成对弧长的曲线积分，其中Γ为曲线32,,t z t y t x ===0()1≤≤t 一段弧.4、求心形线t a t a y t a t a x 2sin sin 2,2cos cos 2-=-=所围图形的面积.5、求dy y xy x ye dx y xy x e y x x L)322()23(22222-++++++⎰，其中：L 为21x y -=从A （1，0）到B （0，1）.6、 把⎰⎰∑++Rdxdy Qdzdx Pdydz 化为对面积的曲面积分，其中1）∑是平面632=+-z y x 在第二卦限部分上侧2）∑是222y x a z --=上侧7 、,2)()(22 zdxdy dzdx zx y dydz yz x +-+-⎰⎰∑其中∑为锥面)0(122≥+-=z y x z 的上侧. 8、dz y x dy x z dx z y )()()(222222-+-+-⎰Γ，其中Γ为柱面122=+y x 与平面1=++z y x 的交线，从z 轴正向看Γ为逆时针方向.（C ）1、 计算,)()()(dz y x dy x z dx z y I L -+-+-=⎰其中：L ：⎪⎩⎪⎨⎧=+=+,1222hz a x a y x （),0,0>>h a从X 轴正向看去L 为逆时针. 2、 已知曲线积分,)3(33dy x x dx y I L-+=⎰其中L 为)0(222>=+R R y x 正向，求（1） R 为何值时0=I ; （2） 求I 的最大值. 3 、计算=I [][][]dxdy z z y x f dzdx y z y x f dydz x z y x f +++++⎰⎰∑),,(),,(2),,(,其中：),,(z y x f 连续，∑为1=+-z y x 在第Ⅳ卦限部分的上侧.第十章 曲线积分和曲面积分习 题 答 案（A ）1、1）122+n aπ 2))12655(121-+ 9)3( )21(2)4(232ππ+a 2、1）1556- 2）32a π- 3）21 4）1514-3、 12)1 0)2 4)32π 4、2221221)1y xy x ++ y x x y cos sin )222+ 5 、614)1 421564)2a 6 、71052)1R π 81)2 7、 5512)1a π π81)2 8、 z y x divA 222)1++= )sin(2)sin()22xz xz xy x yedivA xy--=9、k j i rotA 642)1++= j i rotA +=)2（B ）1、提示：222:,2x a y L a yds m L-===⎰，上半圆22a2、提示：222412sin ,411cos ,2tan ,2,:xx xx x y x y L +=+==='=αααds xx y ds xx xxyx xdy ydx x LL L22222241)2()412411(+-=+-+=-⎰⎰⎰3、提示：,3,2,1,,,232t z t y x t z t y t x t t t ='='='===42342429413cos ,9412cos ,9411cos t t t tt t tt ++=++=++=γβα，⎰⎰⎰++=++++=++Γds tt xyzds tt xz t tyz xyz xzdz yzdy xyzdx 424229416941324、2621a ydx xdy s L π=-=⎰ 5、连OA ，OB ，（O （0，0）），使OA ，OB ，L 构成41圆周，τ于是⎰⎰⎰∂∂-∂∂=Dd y P x Q στ)(=0而1,1)3(,13210210-=∴-=-===⎰⎰⎰⎰⎰L B O AO dy y dx x 6、{},3,2,1)1-=h ϖ143cos ,142cos ,141cos =-==γβαds R Q P ds R Q P )32(141)cos cos cos (⎰⎰⎰⎰∑∑+-=++=γβα 2）,,2222z y z z x yx a xz y x -=-=---=,1,,⎭⎬⎫⎩⎨⎧=z y z x h ϖ,,,cos 222222222⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧++++++=z y x z z y x y z y x x α ⎰⎰⎰⎰∑∑++++=ds zy x R Q P z y x 222(。
曲线积分与曲面积分习题答案.pdf
解： Dxy {( x, y) | x y 1, x 0, y 0} ， z 1 x y ， dS 3dxdy
原式 = (2 x y 2(1 x y)) 3dxdy
D xy
13 3(
x
1 x2)dx
53
02
2
6
1
1x
3 dx (2 y) dy
1．利用斯托克斯公式计算下列曲线积分：
(1) x 2 y3dx dy zdz ， 为 xOy 面内圆周 x2 y 2 a 2 逆时针方向；
解：取 为平面 z 0的下侧被 围成的部分， D 为 在 xOy 面上的投影
区域。 由 Stokes 公式，得
dydz dzdx dxdy
原式 =
x
y
z
x2 y3 1
x 2 ydx xy2 dy ，其中 L 为 x2 y 2 6x 的上半圆周从点 A(6,0)
L
到点 O (0,0) 及 x 2 y 2 3x 的上半圆周从点 O(0,0) 到点 B(3,0) 连成的弧
AOB；
uuur 解：连直线段 AB，使 L 与 BA 围成的区域为 D，由 Green 公式，得
第十一章 曲线积分与曲面积分
第三节 Green 公式及其应用
1．利用 Green 公式，计算下列曲线积分：
(1) xy 2dy x2 ydx ，其中 L 为正向圆周 x2 y 2 9 ；
L
解：由 Green 公式，得
?xy2dy x2 ydx
L
(x2
y2 )dxdy
2
2d
0
D
3 r 3dr
曲线曲面积分(单元练习题)答案
曲线积分与曲面积分单元练习题一、 填空题：1．设L 为122=+y x 上点)0,1(到)0,1(-的上半弧段，则2d Ls ⎰= π2；2．⎰+Cds y x z 22= 285π ，其中C 是曲线⎪⎩⎪⎨⎧===t z t y tx sin 2cos 2介于0=t 到π=t 一段； 3．L 为逆时针方向的圆周:4)3()2(22=++-y x ,则=-⎰Lxdy ydx π8-；4．设C 是由ｘ轴、ｙ轴与直线ｘ＋ｙ＝１围成的区域的正向边界，则⎰=-Cxdy ydx1-；5． 第一类曲面积分⎰⎰∑dS =的面积∑；6． 设曲面∑为：2222x y z a ++=，则222()xy z dS ∑++=⎰⎰44a π；7．设∑：2222a z y x =++．则dS z ⎰⎰∑2=434a π； 8．格林(Green)公式指出了下列两类积分：_平面上第二类曲线积分和二重积分之间关系。
高斯(Gauss)公式指出了下列两类积分：空间上的第二类曲面积分与三重积分__之间关系。
二、计算题： 1．计算⎰Lds y ，其中L 是抛物线2x y =上自点（0，0）到（1，1）的一段弧。
解12155|)41(121411023212-=+=+⎰x dx x x 。
2．计算⎰Lxyds ，其中L 为从（0，0）到（2，0）的上半圆弧：)0(222≥=+y x y x。
解2sin )cos 1(0=+=⎰⎰πtdt t xyds L3．已知平面曲线弧段L 是圆 4 22=+y x 上从点 ()0,2到()2,0的有向弧段，试计算⎰=Lxydx I .解 ()t d t t I cos 2sin 2cos 220⎰π=dt t t ⎰π-=202sin cos 838-=4．计算224(2)()LI x xy dx x y dy =+++⎰,其中L 为由点(0,0)O 到点(1,1)A 的曲线sin2y x π=.解法一：由于2242,P x xy Q x y =+=+，2P Q x y x∂∂==∂∂，所以积分与路径无关。
曲线曲面积分部分难题解答43页word文档
曲线、曲面积分部分难题解答1．（P201,第1题）计算下列标量函数的曲线积分（第一型曲线积分）： （ⅰ）⎰lxyds ，l 为抛物线x y 22=上从原点)0,0(O 到点)2,2(A 的弧⋂OA ；（ⅱ）()⎰+lds y x 22，l 为联结点)0,0(O 、)0,2(A 和)1,0(B 的三角形围线；（ⅲ）⎰+l s d y x 22，l 为圆周()022>=+a ax y x ；（ⅳ）()⎰++lds z y x 222，l 为螺线()0,sin ,cos >===b bt z t a y t a x 的 一段弧()π20≤≤t ；（ⅴ）⎰lzds ，l 为曲线()⎩⎨⎧>===0,2222a ax y z y x 上从点)0,0,0(O 到)2,,(a a a A 的一段弧.解：（ⅰ）[]2,0,,21:2∈⎪⎩⎪⎨⎧==y y y y x l ，.1122dy y dy dy dx ds +=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=dy y y y xyds l 22201..21+=⎰⎰（令t y tan =）()()t td t sec sec .1sec 21222arctan 0-=⎰|2arctan 035sec 31sec 5121⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=t t .151355+=（ⅱ）解：()⎰+lds y x 22⎰⎰⎰++=OAABOB()()3801.022222222==++=+⎰⎰⎰dx x dx x ds y x OA;.20,,0:≤≤⎩⎨⎧==x xx y OA ()()[]()dy y y ds y x AB 210222221.22-++-=+⎰⎰().5354855102=+-=⎰dy y y .10,,22,:≤≤⎩⎨⎧-==y y x y y AB()().3101.02102222=++=+⎰⎰dy y ds y xBO，.10,,0:≤≤⎩⎨⎧==y y y x BO .3535+=++=⎰⎰⎰OA AB OB I （ⅲ）解法一：.20,sin 2,cos 22:π≤≤⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=t t a y t a a x l()().2cos 2sin 22222dt a dt t a t a dt t y t x ds =⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-='+'=所以，()dt a t a t a s d y x l 2sin 4cos 1420222222⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=+πdt t a ⎰=π20222sin 2.24dt t a ⎰=π2022sin 2.22cos 22sin 2202202|a t a t d t a =⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰ππ解法二：化l 为极坐标表示：().2,2,cos :⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈=ππθθθa r l ()().22,sin .cos sin ,cos cos :2πθπθθθθθθθ≤≤-⎩⎨⎧====a r y a r x l()()()().sin cos 2222θθθθθad dt a a dt r r ds =-+='+=所以，()()[]θθθθππad a a s d y x l⎰⎰-+=+2222222sin cos cosθθππd a a ⎰-=2222cos .2sin 2cos 2220222|a a d a===⎰ππθθθ（ⅳ） ()()()()()dt b a dt b t a t a dt t z t y t x ds 22222222cos sin +=++-='+'+'=()()()()[]dt b a bt t a t a ds z y x l 2220222222.sin cos +++=++⎰⎰π()|203222220222223ππ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=++=⎰t b t a b a dt t b a b a[].433222222b a b a ++=ππ2．（P201,第2题）设有某种物质分布在椭圆1:2222=+by a x l 上，其密度().,y y x =μ求它的总质量. 解：不妨假设.b a >⎰⎰==14l lyds ds y M ，其中.2,0,sin ,cos ;1⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈⎩⎨⎧==πt t b y t a x l()()()().cos sin cos sin 22222222dt t b t a dt t b t a dt t y t x ds +=+-='+'=dt t b t a t b yds M l 222220cos sin sin 441+==⎰⎰π()()t d t b a a b cos cos 4202222⎰---=π()du u b a a b 2222014---=⎰()du u b a a b 222214--=⎰du u ba a ba b ⎰---=202222224π（公式） |102222222222222arcsin .2.4⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--+---=u b a a u b a au b a a b a b .arcsin ..222222⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+--=b a b a b a a b 3．（P202,第3题）设曲线l 的长度为L ，而函数f 在包含l 的某个区域内连续.证明： ()().max .P f L ds P f lP l ∈≤⎰证明：由第一型曲线积分的定义()()i ni i d l s P f ds P f ∆=∑⎰=→.lim 1故 ()()i n i i d ls P f ds P f ∆=∑⎰=→.lim 1()i ni i d s P f ∆=∑=→.lim 1()i n i i d s P f ∆≤∑=→.lim 1()i ni lp d s P f ∆≤∑=∈→.max lim 1().max .P f L lP ∈=4．（P202,第4题）从原点()0,0O 到点()2,1A 沿下列不同路径分别计算第二型曲线积分 .⎰⋂-OAydx xdy（1）.⋂OA 为直线段；（2）.⋂OA 为抛物线22x y =上的弧； （3）.⋂OA 为从点()0,0O 经点()0,1B 到点()2,1A 的折线⋂OBA . 解：（1） .1~0:,,2:x xx x y OA ⎩⎨⎧==⋂[].022.10=-=-⎰⎰⋂dx x x ydx xdy OA（2）.1~0:,:x xx OA ⎩⎨=[].323224.|10312==-=-⎰⎰⋂x dx x x x ydx xdy OA（3）.220=+=+=+⎰⎰⎰⋂OB BAOAydx xdy.1~0:,.,0:x x x y OB ⎩⎨⎧== ();000.10=-=-⎰⎰dx x ydx xdy OB.2~0:,.,1:y y y x BA ⎩⎨⎧== ().20.120=-=-⎰⎰dy y ydx xdy BA5．（P202,第5题）计算曲线积分 .⎰+lxdy ydx（1）.l 为从点()0,a 点()0,a -的上半圆周()022>-=a x a y ； （2）. l 为从点()0,a 点()0,a -的直线段()0>a ； （3）. l 为逆时针方向的圆周.222a y x =+ 解：（1） .~0:,sin ,cos :πt ta y t a x l ⎩⎨⎧==()()()()[]dt t a t a t a t a xdy ydx l ⎰⎰+-=+π0cos .cos sin .sin ==⎰dt t aπ22cos 02sin 2|02=πt a .（2）.~:,,0:a a x xx y l -⎩⎨⎧== ().00.0=+=+⎰⎰-dx x xdy ydx a al（3）.2~0:,sin ,cos :πt t a y t a x l ⎩⎨⎧==()()()()[]dt t a t a t a t a xdy ydx l⎰⎰+-=+π20cos .cos sin .sin ==⎰dt t aπ2022cos 02sin 2|202=πt a .6．（P202,第6题）计算沿逆时针方向的圆周()222a y x =+的曲线积分 ()().22⎰+--+ly x dy y x dx y x解：π2~0:,.sin :t t a y l ⎩⎨=，所以，()()⎰+--+l y x dy y x dx y x 22()()()()dt a t a t a t a t a t a t a ⎰---+=π202cos .sin cos sin sin cos .22022ππ-=-=⎰dt aa 7．（P202,第7题）计算下列曲线积分，曲线的方向与参数增加方向： （ⅰ）()()d y xy y dx xy x l⎰-+-2222，l 为抛物线()112≤≤-=x x y ；（ⅱ）()()d y y x dx y x l ⎰-++2222，l 为折线()2011≤≤--=x x y ；（ⅲ）()dz x yzdy dx z y l⎰-+-2222，l 的参数方程为().10,,3,2≤≤⎪⎩⎪⎨⎧===t t z t y t x ；解：（ⅰ）.1~1:,:2-⎩⎨⎧==x xy x x l ()()d y xy y dx xy x l⎰-+-2222 ()()[]d x x x x x x x x⎰--+-=1124222..2.2 [].151454324|10531142-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=⎰-x x dx x x （ⅱ）设点().0,1A 则()()dy y x dx y xL2222-++⎰()()dy y x dx y xOA2222-++=⎰()()dy y x dx y xAB2222-+++⎰.1~0:,,:x x x x y OA ⎩⎨⎧==()()()()[]321022222222=-++=-++⎰⎰dx x x x x dy y x dx y x OA;.2~1:,,2:x x x x y AB ⎩⎨⎧=-=()()()()()()()[]d xx x x x dy y x dx y xAB⎰⎰---+-+=-++21222222221.22()().3232222|213212=-=-=⎰x dx x 原式.343232=+=（ⅲ）()dz x yzdy dx z y l⎰-+-2222 ()[]d t t t t t t t t ⎰-+-=102232643.2 (2)[].351527323|10571046=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=⎰t t dt t t 8．（P202,第8题）设曲线l 的长度为L ，而函数()P f 在包含l 的某个区域内连续.证明： ())....P L P f lP l ∈≤⎰证明：设()()(){}.,21P f P f P f = 由第二型曲线积分的定义及柯西不等式()()()[]∑⎰=→∆+∆=ni i i i i d l y P f x P f d P f 1210..lim .故 ()()()[]∑⎰=→∆+∆=ni i i i i d ly P f x P f P f 1210..lim .()()[]∑=→∆+∆≤n i i i i i d y P f x P f 1210..lim ()()()()22122210.lim i i ni i i d y x P f P f ∆+∆+≤∑=→)()()221.lim i i ni i d y x P ∆+∆==→)()())⎰∑=→=∆+∆≤li i ni d ds P y x P ..lim 221)P L =.9．（P209,第1题）求下列曲面块的面积：（ⅰ）球面2222a z y x =++包含在圆柱面()a b b y x ≤<=+0222内的那部分面积；（ⅱ）圆锥面22y x z +=被圆柱面x y x 222=+截下的那一部分； （ⅲ）圆柱面222a y x =+被圆柱面222a z y =+截下的那一部分.解：（ⅰ）画出示意图222:b y x D xy ≤+. 将曲面方程化为:z ∑=则dS dxdy ==.dxdy yx a a S S xyD ⎰⎰--==22222上 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-=⎰⎰|022022202.2122b br a a ra ardrd πθπ极().422b a a a --=π（ⅱ）画出示意图x y x D xy 2:22≤+. 由曲面方程22:y x z +=∑，得,2122dxdy dxdy y z x z dS =⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+=.().222π===⎰⎰xy D D S dxdy S xy（ⅲ）利用对称性（仅在第一卦限内计算）18S S =，曲面1∑（1∑为∑在第一卦限的那部分，其面积设为1S ）向yoz面上的投影区域为222:a z y D yz ≤+. 将曲面1∑方程化为22y a x -=，则,22y a y yx--=∂∂,0=∂∂zx，所以，dydzya a dydz z x y x dS 22221-=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+=.dydz y a a S S yzD ⎰⎰-==22188 ⎰⎰--=2202208y a a dz y a a dy .8820a adz a==⎰10．（P209,第2题）求下列曲面积分：（ⅰ）()⎰⎰++Sy x dS21，式中S 为四面体()1,0,0,0≤++≥≥≥z y x z y x 的表面； （ⅱ）()d S y x S⎰⎰+22，式中S 为圆柱体()h z a y x ≤≤≤+0,222的表面；（ⅲ）()dS z y x S⎰⎰++，式中S 为球面()2222a z y x =++的表面.解：（ⅰ）.4321S S S S S +++=其中 ,0:1=z S dxdy dS =1， ()()()dy y x dx dxdy y x y x dSxD S xy⎰⎰⎰⎰⎰⎰-++=++=++1010222111111dx x dx y x x ⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=-101010211111| 212ln -=； ,0:2=x S dydz dS =2，()()()dz y dy dydz y y x dSyD S yz⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+=++=++10102221101112()()dy y y dy y y⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=+-=10212111211 ()2ln 11ln 12||1010-=+-+-=y y ； ,0:3=y S dzdx dS =3，()()()dz x dx dzdx x y x dSxD S zx⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+=++=++10102221101113()()dx x x dx x x⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+=+-=10212111211 ()2ln 11ln 12||101-=+-+-=x x ；,1:4y x z S --= dxdy dS 34=，()()()dz y x dx dxdy y x y x dSxD S xy⎰⎰⎰⎰⎰⎰-++=++=++101022211311314dx x dx y x x ⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=-10101021113113| ().212ln 33211ln 321113|1010⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+=⎪⎭⎫⎝⎛-+=⎰x dx x ；()⎰⎰++S y x dS 21()+++=⎰⎰121S y x dS()+++⎰⎰221S y x dS()⎰⎰++321S y x dS ()⎰⎰++421S y x dS()()().32ln 2213212ln 32ln 12ln 1212ln +-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=（ⅱ）.321S S S S ++=其中 ,0:1=z S dxdy dS =1，()()rdr r d dxdy y x dS y x aD S xy.420222221⎰⎰⎰⎰⎰⎰=+=+πθ 24a π=；,:2h z S = dxdy dS =2，()()rdr r d dxdy y x dS y x aD S xy.420222222⎰⎰⎰⎰⎰⎰=+=+πθ24a π=；,:2223a y x S =+其向yoz 面上的投影区域为⎩⎨⎧≤≤-≤≤.,0:a y a h z D yz . 将曲面3S 方程化为22y a x -±=，则,22y a y yx --=∂∂,0=∂∂zx，所以， dydz ya a dydz z x y x dS 22221-=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+= ()()dydz ya a y y a dS y x yz D S ⎰⎰⎰⎰-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=+222222322.23⎰⎰-=-haadz y a dy a 022312..2arcsin4303|h a a y h a aπ== 或者()..22..32232233h a ah a dS a dS y x S S ππ===+⎰⎰⎰⎰()⎰⎰++S y x dS21()++=⎰⎰122S dS y x ()++⎰⎰222S y x()d S y xS ⎰⎰+322().22223344h a a h a a a +=++=ππππ（ⅲ）由积分区域的对称性，及被积函数的奇偶性知，显然()dS z y x S⎰⎰+++=⎰⎰dS x SdS y S ⎰⎰().0=+++⎰⎰dS z y x S11．（P210,第3题）证明泊松公式()()d uc b a u f dS cz by ax f S⎰⎰⎰-++=++112222π其中S 为球面0,1222222>++=++c b a z y x ，f 为连续函数.证明：取新的空间直角坐标系Ouvw ，其中原点不变，使坐标平面Ouvw 与平面0=++cz by ax 重合，并使Ou 轴垂直于平面0=++cz by ax .则有 其实根据坐标系Ouvw 选取方法的描述，我们不难看出Ou 轴上的单位向量就可取作平面0=++cz by ax 的单位法线向量.则222cb a cz by ax u ++++=（注意到，显然222cb a cz by ax u ++++=为点()z y x P ,,到平面0=++cz by ax 的距离）.则 ()dS cz by ax f S⎰⎰++()d S c b a u f S⎰⎰++=222显然在新坐标系下，球面的形状并未改变（仍记为S ），且它的方程应为1222=++w v u（因为在新的坐标系下，任何一个球面上的点到原点的距离仍然为1.）得： ()22221uw v -=+当u 固定时，1222=++w v u 表示垂直于Ou 轴平面上的一个圆周. 进一步，我们把S 化为参数方程表示：.20,11,sin 1,cos 1,22πθθθ≤≤≤≤-⎪⎩⎪⎨⎧-=-==u u w u v u u,1='uu ,cos 12θuu v u --=';sin 12θuu w u--=',0='θu ,sin 12θθu v --='.cos 12θθu w -=' ;112222u w v u E u u u-='+'+'= ;0...=''+''+''=θθθw w v v u u F u u u.12222u w v u G -='+'+'=θθθ因此， 曲面的元素dS =dudv =故()dS cz by ax f S⎰⎰++()d S c b a u f S⎰⎰++=222()d u c b a u f d ⎰⎰-++=πθ2011222().211222⎰-++=du c b a u f π12（P210,第4题）设某种物质均匀分布在球面2222a z y x =++上（认为分布密度1=ρ）.求它对于oz 轴的转动惯量.解：由公式 ()d Sy x J S⎰⎰+=22由对称性 ()d S y x J S ⎰⎰+=1228其中 2221:y x a z S --=，则z z x y ∂∂==∂∂，所以，dS ==.因此 ()dxdy yx a a y x S S xyD ⎰⎰--+==222221.88rdr ra r d a a.8022220⎰⎰-=πθ极()rdr ra a a ra a .4022222⎰-+-=πrdr r a a a.4022⎰--=πrdr ra a a.140223⎰-+π()22022.2r a d r a a a--=⎰π()220223.12r a d ra a a ---⎰π()|232232.2a r a a -=π|02232.2ar a a --π434a π-=44a π+ .384a π=13（P217,第1题）沿圆锥面()122≤=+z y x S 的下侧，求曲面积分d S.⎰⎰，其中{}.,,z y x =解：⎰⎰⎰⎰++=SSzdxdy ydzdx xdydz S d r .化为第一型曲面积分计算.S 的向下的法向量{}⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-++=-''=1,,1,,2222y x y y x x z z yx ，所以{}.cos ,cos ,cos 21,2,222220γβα=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-++==y x y y x x n 故⎰⎰⎰⎰++=SSzdxdy ydzdx xdydz d .()⎰⎰++=SdS z y x γβαcos .cos .cos .⎰⎰⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+++=S dS z y x y yx x 222222222 ⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=S dS z y x 2222（根据第一型曲面积分的计算方法） ⎰⎰=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+=xy D dxdy y x y x .02222222 14（P217,第2题）沿椭球面1222222=++cz b y a x 的外侧，求曲面积分.⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛++S z dxdy y dzdx x dydz解：把S 分割为21,S S 两个部分.其中，222211:b y a x c z S --=（上侧）；222221:by a x c z S ---=（下侧）.21,S S 向xoy 面上的投影区域均为.1:2222≤+by a x D xy故 dxdy b ya x c z dxdyxyD S ⎰⎰⎰⎰--=2222111作变量代换： ⎩⎨⎧==.sin ,cos θθbr y ar x由二重积分的换元法 dr abrd rc dxdy b y a x c D D xyθ⎰⎰⎰⎰'-=--222221111.其中 ()()abr br b ar a y r yxrxr y x J =-=∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=θθθθθθθcos sin sin cos ,,⎩⎨⎧≤≤≤≤'.20,10:πθr D 所以=⎰⎰1S zdxdy dr abrd rc dxdy b y a x c D D xyθ⎰⎰⎰⎰'-=--222221111dr r r d c ab ⎰⎰-=πθ2010211dr r rd c ab ⎰⎰-=πθ2010211所以， ().212111|1022102πππcab r c ab r d r c ab =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=---=⎰ 由轮换对称性，知： πa bc x dzdy S4=⎰⎰； .4πb ac y dzdx S=⎰⎰ 故⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛++Sz dxdy y dzdx x dydz +=⎰⎰S z dxdy +⎰⎰S x dzdy⎰⎰Sy dzdx+=πc ab 4πa bc 4().44222222a c c b b a abcb ac ++=+ππ15（P217,第3题）沿球面()()()2222R c z b y a x =-+-+-的外侧，求曲面积分.222⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x解：把S 分割为21,S S 两个部分.其中，()()2221:b y a x R c z S ----+=（上侧）；()()2222:b y a x R c z S -----=（下侧）.21,S S 向xoy 面上的投影区域均为:xy D ()()222R b y a x ≤-+-故 ()()dxdy b y a x R c dxdy z xyDS ⎰⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡----+=222221作变量代换： ⎩⎨⎧+=+=.sin ,cos θθr b y r a x由二重积分的换元法()()[]rdr r R c dxdy b y a x R c D D xy⎰⎰⎰⎰'-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡----+2222222.其中 ()()r r r y r yxrx r y x J =-=∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=θθθθθθθcos sin sin cos ,,⎩⎨⎧≤≤≤≤'.20,0:πθR r D 所以=⎰⎰12S dxdy z[]rdr rR c D 222⎰⎰'-+()dr r rR c d R⎰⎰-+=πθ20222()rdr rR c R2222⎰-+=π()r dr r R r R c c R⎰-+-+=02222222πrdr r R c rdr c R R ⎰⎰-+=02202222ππ()rdr r R R⎰-+0222π()()|||0222023220222132.222RR R r R r R c r c ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=πππ.2344322R cR R c πππ++=（1）同理()()dxdy b y a x R c dxdy z xyDS ⎰⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡------=222221()dr r r R c d R⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=πθ200222()rdr r R c R 20222⎰---=πrdr r R c rdr cRR⎰⎰-+-=0222222ππ()r dr r R R⎰--0222π()()|||0222023220222132.222RR R r R r R c r c ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=πππ.2344322R cR R c πππ-+-= =⎰⎰Sdxdy z 2+⎰⎰12S dxdy z 32382cR dxdy z S π=⎰⎰ ； 由轮换对称性，知： =⎰⎰Sdydz x 2338aR π； =⎰⎰Sdzdx y 2.383bR π 故.222⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x ⎰⎰=Sdydz x 2⎰⎰Sdzdxy 2⎰⎰Sdxdy z2().383c b a R ++=π16（P217,第4题）设S 为长方体()c z b y a x ≤≤≤≤≤≤0,0,0的表面.沿外侧求曲面积分 ⎰⎰Sxyzdxdy解：把S 分割为654321,,,,,S S S S S S 六个部分. 其中 ()b y a x c z S ≤≤≤≤=0,0:1的上侧； ()b y a x z S ≤≤≤≤=0,00:2的下侧； ()c z b y a x S ≤≤≤≤=0,0:3的前侧； ()c z b y x S ≤≤≤≤=0,00:4的后侧； ()c z a x b y S ≤≤≤≤=0,0:5的右侧； ()c z a x y S ≤≤≤≤=0,00:6的左侧.注意到除21,S S 外，其余四片曲面在xoy 面上的投影为零，因此 =⎰⎰Sxyzdxdy +⎰⎰1S xyzdxdy ⎰⎰2S xyzdxdy⎰⎰=xyD xycdxdy ⎰⎰-xyD dxdy xy 0.c b a ydy xdx c ab.40022⎰⎰==17（P225第1题）利用格林公式计算下面的曲线积分（l 的方向为正方向）： （ⅰ）()dy xy dx y x l22+-⎰，l 为圆周()222a y x =+；（ⅱ）()()dy y x dx y x l--+⎰，l 为椭圆⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+12222b y a x ； （ⅲ）()xdy dx y l+-⎰，l 为曲线()1=+y x ；（ⅳ）()()dy y y e dx y e x lx sin cos 1---⎰，l 为区域().sin 0,0x y x D <<<<π；18（P225第2题）求()()dy m y e dx my y eI x xL-+-=⎰cos sin ，（m 为常数） 其中l 是自点()0,a A 经过圆周()022>=+a ax y x 的上半部分到点O(0,0)的半圆周.（提示：作辅助线后用格林公式）. 解：cos ,cos x x P Qe y m e y y x∂∂=-=∂∂. 所以，由格林公式：221...428AO OA D DQ P a dxdy mdxdy m ma x y ππ⋂⎡⎤∂∂+=-===⎢⎥∂∂⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰.所以，2220.888AO OAma ma ma I πππ⋂==-=-=⎰⎰ （因为，⎰⎰==OAadx 0.00）19（P225第5题）设函数()x f 在正半轴()0>x 上有连续导数()x f '且().21=f 若在右半平面内沿任意闭合光滑曲线l ，都有 ()043=+⎰dy x xf ydx x l求函数().x f解：()y x y x P 34,=，()()x xf y x Q =,都是右半平面上的连续函数，由于在右半平面内沿任意闭合光滑曲线l ，都有()043=+⎰dy x xf ydx x l故有xQ y P ∂∂=∂∂即 ()()x f x x f x '+=34 化简，得 ()()241x x f xx f =+' （1）为一阶线性微分方程，其通解为()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰=⎰-c e x e x f dx xdx x 1214().1134xc x c x x +=+=代入条件()21=f ，得 .1=c故 ().13xx x f +=20（P226第6题）设D 是以光滑曲线l 为正向边界的有界闭区域，而函数()y x u u ,=在闭区域D 上具有连续的二阶偏导数且记2222yux u u ∂∂+∂∂=∆证明： ⎰⎰⎰∆=∂∂Dl udxdy ds n u其中()()yu x u n u ,cos ,cos ∂∂+∂∂=∂∂ 表示函数()y x u u ,=沿边界曲线l 外法线方向的方向导数.证明：设τ为曲线l 的正向的切线向量，其方向余弦为()x ,cos 、()y ,cos ，则有 ()()y x ,,τ=，()().,,x y τπ-=故 ()()y x ,cos ,cos τ=，()().,cos ,cos x y τ-=()()ds x y uy xu ds n u l l ⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=∂∂,cos ,cos ττ（由两型曲线积分之间的联系）dx y udy x u l ⎰∂∂-∂∂=（格林公式） ⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=D dxdy y u y x u x =⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂=⎰⎰D dxdy y u x u 2222.⎰⎰∆Dudxdy21（P226第7题）在第6题的假设和记号下，证明：.22ds n uu udxdy u dxdy y u x u D l D ⎰⎰⎰⎰⎰∂∂+∆-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂ 证明：仿上题 ()()ds xy uy x u u ds n u ul l⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=∂∂,cos ,cos ττ（由两型曲线积分之间的联系）dx yuu dy x u ul ⎰∂∂-∂∂=（格林公式） ⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=Ddxdy y u u y x u u x ⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂∂∂=D dxdy y u u y u y u x u u x u x u 2222....dxdy y u x u u dxdy y u x u D D ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎰⎰⎰⎰222222 udxdy u dxdy y u x u D D ∆+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎰⎰⎰⎰22 移项，即得 .22ds n uu udxdy u dxdy y u x u D l D ⎰⎰⎰⎰⎰∂∂+∆-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂ 22（P227第8题）格林第二公式 若函数()y x u u ,=和()y x v v ,=都满足第6题中的假设，证明： ds vu n v n u dxdy vuv u lD⎰⎰⎰∂∂∂∂=∆∆证明： ()()ds x y u y xu v ds n u vl l⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=∂∂,cos ,cos ττ （由两型曲线积分之间的联系）dx yuv dy x u vl ⎰∂∂-∂∂=（格林公式） ⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=Ddxdy y u v y x u v x ⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂∂∂=D dxdy y u v y u y v x u v x u x v 2222....⎰⎰⎰⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂=D D dxdy y u x u v dxdy y v y u x v x u 22.....⎰⎰⎰⎰∆+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂=DD udxdy v dxdy y v y u x v x u （1）由轮换对称性，知 ds nv ul⎰∂∂...⎰⎰⎰⎰∆+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂=DD vdxdy u dxdy y v y u x v x u（2）于是ds n v u n uv ds vun vnul l ⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=∂∂∂∂ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂=⎰⎰⎰⎰D D udxdy v dxdy y v y u x v x u ..⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂-⎰⎰⎰⎰D D vdxdy u dxdy y v y u x v x u .. ()⎰⎰∆-∆=Ddxdy v u u v .dxdy vuv u D⎰⎰∆∆=23（P227第9题）计算高斯(Gauss)积分()(b a I =,其中l 为简单（光滑）闭合曲线，为不在l 上的点()b a ,到l 上动点()y x ,的向量，而为l 上动点()y x ,处的法向量.解：设为曲线l 的正向的切线向量，其方向余弦为()x ,cos τ、()y ,cos τ，则 有 ()()y x ,,τ=，()().,,x y τπ-= 又设()(){}y x n ,cos ,,cos 0= ，{}b y a x --=,，则()()()()()()().,cos .,cos .,cos ,cos 2200b y a x y b y x a x n r n r -+--+-==⎪⎭⎫ ⎝⎛= 故(()()()()()().,cos .,cos .22b y a x y n b y x n a x -+--+-=()()()()()()()[]d s y b y x a x b y a x b a I l,cos ,cos .1,22-+--+-=⎰()()()()()()[]d s x b y y a x b y a x l,cos ,cos .122----+-=⎰ ()()()().22⎰-+----=lb y a x dx b y dy a x 记 ()()(),,22b y a x b y y x P -+---=()()().,22b y a x ax y x Q -+--=则()()()(),2222b y a x a x b y y P-+-----=∂∂()()()().2222b y a x a x b y x Q -+-----=∂∂它们在xoy 平面内除点 ()b a ,外处处连续，且.0=∂∂-∂∂yP xQ（一）若点()b a ,在l 所包围的区域D 外，原式=0；（二）若点()b a ,在l 所包围的区域D 内，以点()b a ,为中心作一个充分小的圆()()).0(:222>=-+-εεεb y a x l 取逆时针方向，使之完全包含在l 为边界的区域内.记介于εl 和l 之间的区域为'εD .则在'εD 由格林公式可得：()()()()⎰-+----l b y a x dx b y dy a x 22()()()()⎰-+-----εl b y a x dx b y dy a x 22.0⎰⎰'=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-∂∂=εD dxdy y P x Q所以，()()()()⎰-+----=l b y a x dx b y dy a x I 22()()⎰---=εεldx b y dy a x 2()()⎰---=εεl dx b y dy a x 21（格林公式）()()ππεεεεε2.22112222===⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂-∂-∂-∂=⎰⎰⎰⎰DD dxdy dxdy y y b x a x . 24（P227第10题）利用斯托克斯公式重新计算积分（例3） ()()(),⎰-+-+-=ldz y x dy z x dx y z I 其中l 是曲线⎩⎨⎧=+-=+.2,122z y x y x方向为从oz 轴正方向往负方向看去是顺时针方向. 解一：由斯托克斯公式dxdy yx zx yz z y x dxdy dzdx dydz2=---∂∂∂∂∂∂.取∑为平面2=+-z y x 上由椭圆所围成的那一小块曲面.（取下侧），因此{}1,1,1-=,.31,33,330⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=n ）()()()dS dxdy dz y x dy z x dx y z I l ⎰⎰⎰⎰⎰∑∑-=-=-+-+-=3122.2.23.312⎰⎰⎰⎰-=-=-=xyxyD D dxdy dxdy π解二：（直接计算）()()()⎰⎰⎰∑=-+-+-=dxdy dz y x dy z x dx y z I l2其中，.1:22≤+y x D xy所以，.22π-=-=⎰⎰dxdy I xyD .25（P238第1题）下面的向量场是否为保守场？若是，并求位势:u (){};sin cos 2,sin cos 2122y x x y x y y x f --=解：（1）这里()x y y x y x P sin cos 2,2-=，().sin cos 2,2y x x y y x Q -= 因为xQx y y x y P ∂∂=--=∂∂sin 2sin 2，()2,R y x ∈ 所以{}y x x y x y y x f sin cos 2,sin cos 222--=是定义在全平面上的保守场.所以，()+-dx x y y x sin cos 22()dy y x x y sin cos 22-是某一个函数()y x u ,的全微分. 故可取()()()()()dyy x x y dx x y y x y x u y x sin cos 2sin cos 2,2,0,02-+-=⎰()()dy y x x y dx x x yx ⎰⎰-+-=0202sin cos 2sin 00cos 2.cos cos 22y x x y +=则，所求的位势为 ().cos cos ,22c y x x y c y x u ++=+(){}.sin ,cos ,222z y e x z xe f y y --=--解：这里()()().sin ,,,cos ,,,2,,2z y z y x R e x z z y x Q xe z y x P y y -=-==--x Q xe y P y ∂∂=-=∂∂-2；y R z z Q ∂∂=-=∂∂sin ；.0zP x R ∂∂==∂∂ ().,,3R z y x ∈ 所以，{}z y e x z xe f y y sin ,cos ,22--=--为定义在全空间上的保守场.所以，+-dx xe y 2()zdz y dy e x z y sin cos 2---是某一个函数()z y x u ,,的全微分.（二）现取()()()()zdz y dy e x z dx xe z y x u y z y x y sin cos 2,,2,,0,0,0--+=--⎰取0M M 如图所示，从()0,0,00M 沿x 轴到点()0,0,1x M 再沿平行于y 轴的直线到点()0,,2y x M 最后沿平行于z 轴的直线到点(),,.M x y z 于是()()⎰⎰⎰-+-+=--z yyxzdz y dy ex dx xe z y x u 00200sin 0cos 2,,[]|||022cos zy yx z y e x y x+++=-()[]()y z y x e x y x y-+-++=-cos 222.cos 2z y e x y +=-则，所求的位势为 ().cos ,,2c z y e x c z y x u y ++=+- 26（P238第2题）证明式（14-31），并由此求下面的曲线积分： ()();).1(2,11,22⎰-xxdyydx ()()⎰++1,1,63,2,1.).2(xydz zxdy yzdx解：（一）要证式（14-31）成立，即要证若平面区域D 内保守力场()(){}y x Q y x P f ,,,=有位势()y x u ,，则对D 内的任意两点()()222111,,,y x M y x M ，有 ()()()()()().,,,.1122,,2211y x u y x u dy y x Q dx y x P y x y x -=+⎰事实上，因为()(){}y x Q y x P f ,,,=为保守力场，故()()dy y x Q dx y x P l ,.+⎰在D 内与路径无关，而只取决于路径的起点、终点.令()()()()()dy y x Q dx y x P y x v y x y x ,.,,,11+=⎰（1）则可证明()y x v ,也是f 在D 内的一个势函数.故 ()()C y x v y x u ≡-,, ，对任意()D y x ∈,成立（2）取()()11,,y x y x =，并注意到()0,11=y x v （因为沿闭合曲线的积分为零），得()()()111111,,,y x u y x v y x u C =-=（2）式中再取()()22,,y x y x =，并注意到(),0,11=y x v 得()()C y x v y x u =-2222,, 即 ()()()()().,,3,,11222222y x u y x u C y x u y x v --============Θ又由（1）式，注意到()y x v ,的记号，得 ()()()()()().,,,.1122,,2211y x u y x u dy y x Q dx y x P y x y x -=+⎰（二）()()⎰-2,11,22).1(x xdyydx 中，()2,x y y x P =，().1,2x xx y x Q -=-= 因为 xQx y P ∂∂==∂∂21，().0,,2≠∈x R y x 所以，2xxdyydx -是某一个函数()y x u ,的全微分. 故可取()()()⎰-=y x x xdy ydx y x u ,0,12,dy x dx y x ⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=0110.x y -=所以 ()()()().2321121,22,12,11,22-=⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-=-⎰u u x xdyydx()()⎰++1,1,63,2,1.).2(xydz zxdy yzdx 中，()()().,,,,,,,,xy z y x R zx z y x Q yz z y x P ===因为x Q z y P ∂∂==∂∂；y R x z Q ∂∂==∂∂；.zPy x R ∂∂==∂∂ ().,,3R z y x ∈ 所以，+yzdx xydz zxdy +是某一个函数()z y x u ,,的全微分. （二）现取()()()xydz zxdy dx yz z y x u z y x ++=⎰,,0,0,0,,取0M M 如图所示，从()0,0,00M 沿x 轴到点()0,0,1x M 再沿平行于y 轴的直线到点()0,,2y x M 最后沿平行于z 轴的直线到点(),,.M x y z 于是 ()⎰⎰⎰++=zyxxydz dy x dx z y x u 000.00,, .xyz =所以 ()()()().03,2,11,1,61,1,63,2,1=-=++⎰u u xydz zxdy yzdx 27（P238第5题）验证下列方程我全微分方程，并求通解：()();04332).1(=-++dy y x dx y x ()().03223).2(2222=+-++-dy y xy x dx y xy x解：()();04332).1(=-++dy y x dx y x这里，()()y x y x Q y x y x P 43,,32,-=+=.因为，xQy P ∂∂==∂∂3，是全微分方程.故：()()()()()dyy x dx y x y x u y x 4332,,0,0-++=⎰ ()()dy y x dx x yx ⎰⎰-++=004302[]||02223yx y xy x-+=.2322y xy x -+=通解为：c y xy x =-+2223.()().03223).2(2222=+--+-dy y xy x dx y xy x这里，()().32,,23,2222y xy x y x Q y xy x y x P -+-=+-=. 因为，xQ y x y P ∂∂=+-=∂∂22，所以方程是全微分方程. 故：()()()()()dy y xy x dx y xy x y x u y x 22,0,0223223,+--+-=⎰()()dy y xy x dx x yx⎰⎰-+-+=022023203[]||03223yx yxy y xx-+-+=.3223y xy y x x -+-=因此，所求方程的通解为：.3223c y xy y x x =-+-.28（P238第6题）设函数()y x u u ,=在凸区域（即包含区域内任意两点间的连线）2R ⊂Ω内连续可微分且K gradu ≤（常数）.证明：对于Ω内任意两点B A ,，都有 ()()().,.B A d K B u A u ≤- 其中()B A d ,表示点B A ,之间的距离.证明：由于Ω为凸区域，故线段AB 整个属于Ω.设点B 的坐标为()000,,z y x ，点A 的坐标为()111,,z y x ，且令.,,010101z z z y y y x x x -=∆-=∆-=∆ 考虑一元函数()()z t z y t y x t x u t f ∆+∆+∆+=000,, ().10≤≤t （1） 显然，()()()().1,0A u f B u f ==（2）且()t f 在[]1,0上可微，并且 ()()x z t z y t y x t x u t f x ∆∆+∆+∆+'='.,,000 ()y z t z y t y x t x u y ∆∆+∆+∆+'+.,,000()z z t z y t y x t x u z ∆∆+∆+∆+'+.,,000 （3）于是，由微分学中值定理知()()()()()ξf f f B u A u '=-=-01()()=3Θ()x z z y y x x u x ∆∆+∆+∆+'.,,000ξξξ ()y z z y y x x u y ∆∆+∆+∆+'+.,,000ξξξ()z z z y y x x u z ∆∆+∆+∆+'+.,,000ξξξ ()..,,000z z y y x x gradu ∆+∆+∆+=ξξξ （4）由（4）式可知 ()()(z z y y x x gradu B u A u ,,000∆+∆+∆+=-ξξξ()().,..,,000B A d K z z y y x x gradu ≤∆+∆+∆+≤ξξξ29（P238第7题）求向量场⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y grad f arctan 沿下列曲线l 的环量： （ⅰ）l 为圆周()()12222=-+-y x ；l 为圆周422=+y x （分为左、右半圆周分别计算）.解： ⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y y x y x x y grad f arctan ,arctan arctan.,2222⎭⎬⎫⎩⎨⎧++-=y x x y x y （ⅰ） 2222.y x xdyy x ydx d f l l +++-=⎰⎰（格林公式）dxdy y x y y y x x x D⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂=2222()().022********=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+--+-=⎰⎰dxdy y x x y y x x y D （ⅱ）⎰⎰+-=ll y x ydx xdy d f 22.[].22.241412ππ==-=⎰l ydx xdy 30（P238第8题）求,f rot 其中().2,3,32x y z x y z f ---= 解：⎭⎬⎫⎩⎨⎧∂∂-∂∂∂∂-∂∂∂∂-∂∂=y P x Q x R z P z Q y R f rot ,,{}.6,4,2= 31（P238第9题）证明： ()f gradu f urot f u rot ⨯+=. 解：设()()(){}z y x R z y x Q z y x P f ,,,,,,,,=，则()()(){}.,,,,,.,,,z y x uR z y x Q u z y x uP uf =()()()()()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧∂∂-∂∂∂∂-∂∂∂∂-∂∂=y uP x uQ x uR z uP z uQ y uR f rot ,, ,,{⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=x u R x R u z u P z P u z u Q z Q u y u R y R u },⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂y u P y P u x u Q xQu⎭⎬⎫⎩⎨⎧∂∂-∂∂∂∂-∂∂∂∂-∂∂=y P x Q x R z P z Q y R u ,,⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+y u P x u Q z u P x u R z u Q y u R ,.f gradu f urot ⨯+= 31（P246第1题）利用奥-高公式计算下列各曲面积分：（ⅰ）⎰⎰++Szdxdy ydzdx xdydz ，沿球面()()()2222R c z b y a x =-+-+-外侧；（ⅱ）⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x 333，沿正方体()10,10,10≤≤≤≤≤≤z y x 外表面；（ⅲ）()()()[]d S z z y y x x S⎰⎰++,cos ,cos ,cos 222，沿锥面()h z y x S ≤=+22的下侧；（ⅳ）,3dxdy z S⎰⎰沿上半球面222y x a z --=的上侧.解：（ⅰ）⎰⎰++Szdxdy ydzdx xdydz （奥-高公式）()()()⎰⎰⎰Ω⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+∂∂=dv z z y y x x .434.3333R R dv ππ===⎰⎰⎰Ω（ⅱ）⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x 333（奥-高公式）()()()xdydz d z z y y x x ⎰⎰⎰Ω⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+∂∂=333()⎰⎰⎰Ω++=dxdydz z y x 2223=3（ⅲ）若取h z S =:1（上侧）.则S 与1S 一起构成一个封闭曲面.记它们所围成的空间闭区域为Ω.在Ω上利用奥-高公式，便得：()()()[]d S z n z y n yx n x S S ⎰⎰+++1,cos ,cos ,cos 222dxdy z dzdx y dydz xS S 2221++=⎰⎰+ （奥-高公式）()()()xdydz d z z y y x x ⎰⎰⎰Ω⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+∂∂=222()⎰⎰⎰Ω++=dxdydz z y x 2⎰⎰⎰Ω=zdxdydz 2（=⎰⎰⎰Ωxdxdydz 0=⎰⎰⎰Ωydxdydz ）dz z rdr d h h r⎰⎰⎰=πθ202()dr r h r d h⎰⎰-=πθ20022212 .24πh = 所以 ()()()[]d S z n z y n y x n x S⎰⎰++,cos ,cos ,cos 222dxdy z dzdx y dydz x h S 222212++-=⎰⎰π=-=⎰⎰dxdy h h xyD 222π.2.22222πππh h h h =-=（ⅳ）,3dxdy z S⎰⎰沿上半球面222y x a z --=的上侧.若取0:1=z S （下侧）.则S 与1S 一起构成一个封闭曲面.记它们所围成的空间闭区域为Ω.在Ω上利用奥—高公式，便得：。
曲线曲面积分练习答案
面 Σ 外侧的积分 ∫∫ (z − y)dxdy + ( y − x)dxdz + (x − z)dzdy = 3V 。 二、选择题 1、 设 是一光滑曲线， 为了使曲线积分 ∫ yF ( x, y )dx + xF ( x, y )dy
L
A、 ∫ C、 ∫
2π
0 2π
dθ ∫ dθ ∫
ρ
0 2
1 + 4 ρ 2 ⋅ ρ d ρ B、 ∫
Σ1
=4
∫∫ dxdy − 3 ∫∫ (x
D xy D xy
2
5 + y 2 )dxdy = 4π − 3 ∫ dθ∫ ρ2ρdρ = π 2 0 0
2 3 2 2
2π
1
= =
∫∫∫ ( ∂x + ∂y + ∂z )dxdydz + ∫∫ (x
Ω
∂P
∂Q
∂R
2
+ y 2 )dxdy
D xy
11、 (x + y + z)dydz + (x + y + z)dzdx − z(x + y )dxdy ，
2
2 π 8π = 3 3
记 P= x + y + z ，
3 2
Q= x + y + z ，
2 3
R= − z(x + y )
2 2
则
∂P ∂Q ∂R + + = 2(x 2 + y 2 ) ∂x ∂y ∂z
10、
∫∫ (1 + 3z
Σ
)dxdy ，Σ为上半球面 z = 1 − x 2 − y 2 的上侧。
曲线积分与曲面积分习题及答案
第十章 曲线积分与曲面积分(A)1．计算()⎰+Ldx y x ，其中L 为连接()0,1及()1,0两点的连直线段。
2．计算⎰+Lds y x 22，其中L 为圆周ax y x =+22。
3．计算()⎰+Lds y x 22，其中L 为曲线()t t t a x sin cos +=，()t t t a y cos sin -=，()π20≤≤t 。
4．计算⎰+Ly x ds e22，其中L 为圆周222a y x =+，直线x y =及x 轴在第一角限内所围成的扇形的整个边界。
5．计算⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+L ds y x 3434，其中L 为内摆线t a x 3cos =，t a y 3sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤20πt 在第一象限内的一段弧。
6．计算⎰+Lds yx z 222，其中L 为螺线t a x c o s =，t a y sin =，at z =()π20≤≤t 。
7．计算⎰Lxydx ，其中L 为抛物线x y =2上从点()1,1-A 到点()1,1B 的一段弧。
8．计算⎰-+Lydz x dy zy dx x 2233，其中L 是从点()1,2,3A 到点()0,0,0B 的直线段AB 。
9．计算()⎰-+++Ldz y x ydy xdx 1，其中L 是从点()1,1,1到点()4,3,2的一段直线。
10．计算()()⎰---Ldy y a dx y a 2，其中L 为摆线()t t a x sin -=，()t a y cos 1-=的一拱(对应于由t 从0变到π2的一段弧)：11．计算()()⎰-++Ldy x y dx y x ，其中L 是：1）抛物线x y =2上从点()1,1到点()2,4的一段弧；2）曲线122++=t t x ，12+=t y 从点()1,1到()2,4的一段弧。
12．把对坐标的曲线积分()()⎰+Ldy y x Q dx y x P ,,化成对弧和的曲经积分，其中L 为：1）在xoy 平面内沿直线从点()0,0到()4,3； 2）沿抛物线2x y =从点()0,0到点()2,4； 3）沿上半圆周x y x 22=+2从点()0,0到点()1,1。
曲线与曲面积分自测题及答案
《曲线积分与曲面积分》测试题一、选择题（共15分，每小题3分）1.设L 为抛物线21y x =-上介于0x =与1x =之间的一段弧，则L xds =⎰（ ）( A)33112-；(B) 55112- ； (C) 3316- ； (D)5516-2.均匀曲面222z a x y =--的形心坐标为（ ）( A)1(0,0,)2a ；(B) 1(0,0,)3a ； (C) 1(0,0,)4a ； (D)10,0,5a ⎛⎫ ⎪⎝⎭3.星形线：33cos ,sin (0,02)x a t y a t a t π==>≤≤所围平面图形的面积为（ ）( A)235a π；(B) 253a π ； (C) 238a π ； (D)283a π 4.设[()]sin ()cos x Lf x e ydx f x ydy --⎰与路径无关，且()f x 有一阶连续导数，(0)0f =，则()f x =（ ）( A)2x x e e -- ； (B) 2x x e e -- ；(C) 12x x e e -+- ； (D)12x xe e -+- . 5. 设∑为球面222x y z R ++=的内侧，则曲面积分 333x dydz y dzdx z dxdy ∑++=⎰⎰（ ）( A)54R π-；(B) 54R π ； (C) 5125R π ； (D)5125R π- 二、填空题（共15分，每小题3分）1.设L 为椭圆22143x y +=，其周长为a ，则22(234)L xy x y ds ++=⎰ .2. 设Γ为曲线0cos sin (0)x t t y t t t t z t =⎧⎪=≤≤⎨⎪=⎩，则zds Γ=⎰ .3．设L 为一条不过原点的光滑闭曲线，且原点位于L 内部，其走向为逆时针方向，则曲线积分222L xdy ydx x y -=+⎰__________________. 4.设∑为平面1x y z ++=位于球面2221x y z ++=内的上侧，则曲面积分()()()x y dydz y z dzdx z x dxdy ∑-+-+-=⎰⎰ .5.全微分方程2201xdx ydy xdy ydx x y +++=++的解为 .三、计算积分222dS x y z ∑++⎰⎰，其中∑为界于0z =与(0)z H H =>之间的柱面：222x y R +=。
曲线曲面积分部分难题解答
曲线、曲面积分部分难题解答1．（P201,第1题）计算下列标量函数的曲线积分（第一型曲线积分）： （ⅰ）⎰lxyds ，l 为抛物线x y 22=上从原点)0,0(O 到点)2,2(A 的弧⋂OA ；（ⅱ）()⎰+l ds y x 22，l 为联结点)0,0(O 、)0,2(A 和)1,0(B 的三角形围线； （ⅲ）⎰+l s d y x 22，l 为圆周()022>=+a ax y x ；（ⅳ）()⎰++l ds z y x 222，l 为螺线()0,sin ,cos >===b bt z t a y t a x 的 一段弧()π20≤≤t ；（ⅴ）⎰l zds ，l 为曲线()⎩⎨⎧>===0,2222a ax y z y x 上从点)0,0,0(O 到)2,,(a a a A 的一段弧.解：（ⅰ）[]2,0,,21:2∈⎪⎩⎪⎨⎧==y y y y x l ，.1122dy y dy dy dx ds +=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=dy y y y xyds l 22201..21+=⎰⎰（令t y tan =）()()t td t sec sec .1sec 21222arctan 0-=⎰|2arctan 035sec 31sec 5121⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=t t .151355+= （ⅱ）解：()⎰+l ds y x 22⎰⎰⎰++=OA AB OB()()3801.022222222==++=+⎰⎰⎰dx x dx x ds y xOA; .20,,0:≤≤⎩⎨⎧==x x x y OA()()[]()dy y y ds y xAB21222221.22-++-=+⎰⎰().535485512=+-=⎰dy y y .10,,22,:≤≤⎩⎨⎧-==y y x y y AB()().3101.02102222=++=+⎰⎰dy y ds y xBO，.10,,0:≤≤⎩⎨⎧==y y y x BO .3535+=++=⎰⎰⎰OA AB OB I（ⅲ）解法一：.20,sin 2,cos 22:π≤≤⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=t t a y t a a x l ()().2cos 2sin 22222dt a dt t a t a dt t y t x ds =⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-='+'=所以，()dt a t a t a s d y x l2sin 4cos 1420222222⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=+πdt t a ⎰=π20222sin 2.24dt t a ⎰=π2022sin 2.22cos 22sin 2202202|a t a t d t a =⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰ππ解法二：化l 为极坐标表示：().2,2,cos :⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈=ππθθθa r l()().22,s i n .c o s s i n ,c o s c o s :2πθπθθθθθθθ≤≤-⎩⎨⎧====a r y a r x l()()()().sin cos 2222θθθθθad dt a a dt r r ds =-+='+=所以，()()[]θθθθππad a a s d y x l⎰⎰-+=+2222222sin cos cosθθππd a a ⎰-=2222cos .2sin 2cos 2220222|a a d a===⎰ππθθθ（ⅳ） ()()()()()dt b a dt b t a t a dt t z t y t x ds 22222222cos sin +=++-='+'+'=()()()()[]dt b a bt t a t a ds z y x l2220222222.sin cos +++=++⎰⎰π()|203222220222223ππ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=++=⎰t b t a b a dt t b a b a[].433222222b a b a ++=ππ2．（P201,第2题）设有某种物质分布在椭圆1:2222=+by a x l 上，其密度().,y y x =μ求它的总质量.解：不妨假设.b a >⎰⎰==14l l yds ds y M ，其中.2,0,sin ,cos ;1⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈⎩⎨⎧==πt t b y t a x l()()()().cos sin cos sin 22222222dt t b t a dt t b t a dt t y t x ds +=+-='+'=dt t b t a t b yds M l 222220cos sin sin 441+==⎰⎰π()()t d t b a a b cos cos 4202222⎰---=π()du u b a a b 222214---=⎰()du u b a a b 222214--=⎰du u ba a ba b ⎰---=202222224π（公式） |102222222222222arcsin .2.4⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--+---=u b a a u b a a u b a a b a b .arcsin ..222222⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+--=b a b a b a a b 3．（P202,第3题）设曲线l 的长度为L ，而函数f 在包含l 的某个区域内连续.证明：()().max .P f L ds P f lP l∈≤⎰证明：由第一型曲线积分的定义()()i ni i d ls P f ds P f ∆=∑⎰=→.lim 1故()()ini id lsP f ds P f ∆=∑⎰=→.lim 10()i ni i d s P f ∆=∑=→.lim 1()i ni i d s P f ∆≤∑=→.lim 1()i ni lp d s P f ∆≤∑=∈→.m a x lim 1().m a x .P f L lP ∈=4．（P202,第4题）从原点()0,0O 到点()2,1A 沿下列不同路径分别计算第二型曲线积分 .⎰⋂-OAydx xdy（1）.⋂OA 为直线段；（2）.⋂OA 为抛物线22x y =上的弧； （3）.⋂OA 为从点()0,0O 经点()0,1B 到点()2,1A 的折线⋂OBA .解：（1） .1~0:,,2:x xx x y OA ⎩⎨⎧==⋂[].022.1=-=-⎰⎰⋂dx x x ydx xdy OA（2）.1~0:,,2:2x xx x y OA ⎩⎨⎧==⋂[].323224.|10312==-=-⎰⎰⋂x dx x x x ydx xdy OA（3）.220=+=+=+⎰⎰⎰⋂OBBAOAydx xdy.1~0:,.,0:x x x y OB ⎩⎨⎧==();000.10=-=-⎰⎰dx x ydx xdy OB.2~0:,.,1:y y y x BA ⎩⎨⎧==().20.12=-=-⎰⎰dy y ydx xdy BA5．（P202,第5题）计算曲线积分 .⎰+lxdy ydx（1）.l 为从点()0,a 点()0,a -的上半圆周()022>-=a x a y ； （2）. l 为从点()0,a 点()0,a -的直线段()0>a ； （3）. l 为逆时针方向的圆周.222a y x =+解：（1） .~0:,sin ,cos :πt t a y t a x l ⎩⎨⎧==()()()()[]dt t a t a t a t a xdy ydx l⎰⎰+-=+πcos .cos sin .sin ==⎰dt t aπ22cos 02sin 2|02=πt a .（2）.~:,,0:a a x x x y l -⎩⎨⎧==().00.0=+=+⎰⎰-dx x xdy ydx aal（3）.2~0:,sin ,cos :πt ta y t a x l ⎩⎨⎧==()()()()[]dt t a t a t a t a xdy ydx l⎰⎰+-=+π20cos .cos sin .sin==⎰dt t aπ2022cos 02sin 2|202=πt a .6．（P202,第6题）计算沿逆时针方向的圆周()222a y x =+的曲线积分()().22⎰+--+ly x dy y x dx y x解：π2~0:,.sin ,cos :t t a y t a x l ⎩⎨⎧==，所以，()()⎰+--+ly x dyy x dx y x 22()()()()dt a t a t a t a t a t a t a ⎰---+=π202cos .sin cos sin sin cos.22022ππ-=-=⎰dt a a 7．（P202,第7题）计算下列曲线积分，曲线的方向与参数增加方向： （ⅰ）()()d y xy y dx xy x l⎰-+-2222，l 为抛物线()112≤≤-=x x y ；（ⅱ）()()d y y x dx y x l ⎰-++2222，l 为折线()2011≤≤--=x x y ； （ⅲ）()dz x yzdy dx z y l ⎰-+-2222，l 的参数方程为().10,,3,2≤≤⎪⎩⎪⎨⎧===t t z t y t x ；解：（ⅰ）.1~1:,:2-⎩⎨⎧==x xy x x l ()()d y xy y dx xy xl⎰-+-2222()()[]d x x x x x x x x⎰--+-=1124222..2.2 [].151454324|10531142-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=⎰-x x dx x x （ⅱ）设点().0,1A 则()()dy y x dx y xL2222-++⎰()()d y y x d x y xOA2222-++=⎰()()d y y x d x y xAB2222-+++⎰.1~0:,,:x x x x y OA ⎩⎨⎧==()()()()[]321022222222=-++=-++⎰⎰dx x x x x dy y x dx y x OA;.2~1:,,2:x x x x y AB ⎩⎨⎧=-=()()()()()()()[]d xx x x x dy y x dx y xAB⎰⎰---+-+=-++21222222221.22()().3232222|213212=-=-=⎰x dx x 原式.343232=+=（ⅲ）()dz x yzdy dx z y l ⎰-+-2222 ()[]d t t t t t t t t ⎰-+-=102232643.2 (2)[].351527323|10571046=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=⎰t t dt t t8．（P202,第8题）设曲线l 的长度为L ，而函数()P f 在包含l 的某个区域内连续.证明：())....P L P f lP l∈≤⎰证明：设()()(){}.,21P f P f P f = 由第二型曲线积分的定义及柯西不等式()()()[]∑⎰=→∆+∆=ni i i iid ly P f xP f r d P f 121..lim .故()()()[]∑⎰=→∆+∆=ni i i iid ly P f xP f P f 121..lim .()()[]∑=→∆+∆≤ni i i i i d y P f x P f 1210..lim ()()()()22122210.lim i i ni i i d y x P f P f ∆+∆+≤∑=→)()()221.lim i i ni i d y x P ∆+∆==→)()())⎰∑=→=∆+∆≤li i ni d ds P y x P ..lim 221)P L =m a .9．（P209,第1题）求下列曲面块的面积：（ⅰ）球面2222a z y x =++包含在圆柱面()a b b y x ≤<=+0222内的那部分面积；（ⅱ）圆锥面22y x z +=被圆柱面x y x 222=+截下的那一部分； （ⅲ）圆柱面222a y x =+被圆柱面222a z y =+截下的那一部分.解：（ⅰ）画出示意图222:b y x D xy ≤+. 将曲面方程化为:z ∑=d S d x d d x d y==. dxdy yx a a S S xyD ⎰⎰--==22222上 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-=⎰⎰|022022202.2122b br a a ra a r d rd πθπ极().422b a a a --=π（ⅱ）画出示意图x y x D xy 2:22≤+. 由曲面方程22:y x z +=∑，得,2122d x d y d x d y y z x z dS =⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+=.().222π===⎰⎰xy D D S dxdy S xy（ⅲ）利用对称性（仅在第一卦限内计算）18S S =，曲面1∑（1∑为∑在第一卦限的那部分，其面积设为1S ）向yoz 面上的投影区域为222:a z y D yz ≤+. 将曲面1∑方程化为22y a x -=，则,22y a y yx --=∂∂,0=∂∂zx，所以，d y d zya a d y d z z x y x d S 22221-=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+=.dydz y a a S S yzD ⎰⎰-==22188 ⎰⎰--=2202208y a a dz y a a dy .8820a adz a==⎰10．（P209,第2题）求下列曲面积分：（ⅰ）()⎰⎰++Sy x dS21，式中S 为四面体()1,0,0,0≤++≥≥≥z y x z y x 的表面；（ⅱ）()d S y x S⎰⎰+22，式中S 为圆柱体()h z a y x ≤≤≤+0,222的表面；（ⅲ）()dS z y x S⎰⎰++，式中S 为球面()2222a z y x =++的表面.解：（ⅰ）.4321S S S S S +++=其中 ,0:1=z S d x d y dS =1，()()()dy y x dx dxdy y x y x dSxD S xy⎰⎰⎰⎰⎰⎰-++=++=++1010222111111dx x dx y x x ⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=-101010211111| 212ln -=； ,0:2=x S d y d z dS =2，()()()dz y dy dydz y y x dSyD S yz⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+=++=++10102221101112()()dy y y dy y y⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+=+-=10212111211 ()2ln 11ln 12||1010-=+-+-=y y ； ,0:3=y S d z d x dS =3，()()()dz x dx dzdx x y x dSxD S zx ⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+=++=++10102221101113()()dx x x dx x x⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+=+-=10212111211 ()2ln 11ln 12||1010-=+-+-=x x； ,1:4y x z S --= d x d y dS 34=，()()()dz y x dx dxdy y x y x dSxD S xy⎰⎰⎰⎰⎰⎰-++=++=++101022211311314dx x dx y x x ⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=-101010********| ().212ln 33211ln 321113|1010⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+=⎪⎭⎫⎝⎛-+=⎰x dx x ； ()⎰⎰++S y x dS 21()+++=⎰⎰121S y x dS()+++⎰⎰221S y x dS()⎰⎰++321S y x dS ()⎰⎰++421S y x dS()()().32ln 2213212ln 32ln 12ln 1212ln +-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=（ⅱ）.321S S S S ++=其中 ,0:1=z S d x d y dS =1，()()r d r r d d x d y y xdS y xaD S xy.42222221⎰⎰⎰⎰⎰⎰=+=+πθ 24a π=；,:2h z S = d x d y dS =2，()()r d r r d d x d y y xdS y xaD S xy.420222222⎰⎰⎰⎰⎰⎰=+=+πθ24a π=；,:2223a y x S =+其向yoz 面上的投影区域为⎩⎨⎧≤≤-≤≤.,0:a y a h z D yz . 将曲面3S 方程化为22y a x -±=，则,22y a y yx --=∂∂,0=∂∂zx，所以， d y d z ya a d y d z z x y x d S 22221-=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+= ()()dydz ya a y y a dS y x yz D S ⎰⎰⎰⎰-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=+222222322.23⎰⎰-=-haadz y a dy a22312..2arcsin 4303|h a a y h a aπ==或者()..22..32232233h a ah a dS a dS y xS S ππ===+⎰⎰⎰⎰()⎰⎰++S y x dS21()++=⎰⎰122S dS y x ()++⎰⎰222S y x()d S y xS ⎰⎰+322().22223344h a a h a a a+=++=ππππ（ⅲ）由积分区域的对称性，及被积函数的奇偶性知，显然()dS z y x S⎰⎰+++=⎰⎰dS x SdS y S⎰⎰().0=+++⎰⎰dS z y x S11．（P210,第3题）证明泊松公式()()d uc b a uf dS cz by ax f S⎰⎰⎰-++=++112222π其中S 为球面0,1222222>++=++c b a z y x ，f 为连续函数.证明：取新的空间直角坐标系Ouvw ，其中原点不变，使坐标平面Ouvw 与平面0=++cz by ax 重合，并使Ou 轴垂直于平面0=++cz by ax .则有其实根据坐标系Ouvw 选取方法的描述，我们不难看出Ou 轴上的单位向量就可取作平面0=++cz by ax 的单位法线向量.则222cb a cz by ax u ++++=（注意到，显然222cb a cz by ax u ++++=为点()z y x P ,,到平面0=++cz by ax 的距离）.则 ()dS cz by ax f S⎰⎰++()d S c b a u f S⎰⎰++=222显然在新坐标系下，球面的形状并未改变（仍记为S ），且它的方程应为 1222=++w v u（因为在新的坐标系下，任何一个球面上的点到原点的距离仍然为1.） 得： ()22221u w v -=+当u 固定时，1222=++w v u 表示垂直于Ou 轴平面上的一个圆周. 进一步，我们把S 化为参数方程表示：.20,11,sin 1,cos 1,22πθθθ≤≤≤≤-⎪⎩⎪⎨⎧-=-==u u w u v u u,1='uu ,cos 12θuu v u --=';sin 12θuu w u--=',0='θu ,sin 12θθu v --='.cos 12θθu w -=' ;112222u w v u E u u u-='+'+'= ;0...=''+''+''=θθθw w v v u u F u u u.12222u w v u G -='+'+'=θθθ因此， 曲面的元素dS =dudv =故()dS cz by ax f S⎰⎰++()d S c b a u f S⎰⎰++=222()d u c b a u f d ⎰⎰-++=πθ2011222().211222⎰-++=du c b a u f π12（P210,第4题）设某种物质均匀分布在球面2222a z y x =++上（认为分布密度1=ρ）.求它对于oz 轴的转动惯量.解：由公式 ()d Sy x J S⎰⎰+=22 由对称性 ()d S y x J S ⎰⎰+=1228其中2221:y x a z S --=，则2z z x y ∂∂==∂∂，所以，d S d x d d x d y==. 因此 ()d x d y yx a a y x S S xyD ⎰⎰--+==222221.88r d r ra r d a a.8022220⎰⎰-=πθ极()r d rra a a ra a .4022222⎰-+-=π r d r r a a a.4022⎰--=πr d r ra a a.140223⎰-+π()22022.2ra d r a a a--=⎰π()220223.12r a d ra a a ---⎰π()|232232.2a r a a -=π|2232.2ar a a --π434aπ-=44a π+ .384a π=13（P217,第1题）沿圆锥面()122≤=+z y xS的下侧，求曲面积分d S.⎰⎰，其中{}.,,z y x =解：⎰⎰⎰⎰++=SSzdxdy ydzdx xdydz d .化为第一型曲面积分计算.S 的向下的法向量{}⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-++=-''=1,,1,,2222y x y y x x z z yx ，所以{}.c o s ,c o s ,c o s 21,2,222220γβα=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-++==y x y y x x n 故⎰⎰⎰⎰++=SSzdxdy ydzdx xdydz d .()⎰⎰++=SdS z y x γβαcos .cos .cos .⎰⎰⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+++=S dS z y x y yx x 222222222⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=S dS z y x 2222（根据第一型曲面积分的计算方法） ⎰⎰=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+=xy D dxdy y x y x .02222222 14（P217,第2题）沿椭球面1222222=++cz b y a x 的外侧，求曲面积分.⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛++S z dxdy y dzdx x dydz解：把S 分割为21,S S 两个部分.其中，222211:b y a x c z S --=（上侧）；222221:by a x c z S ---=（下侧）.21,S S 向xoy 面上的投影区域均为.1:2222≤+by a x D xy故dxdy b ya x c z dxdyxyD S ⎰⎰⎰⎰--=2222111作变量代换： ⎩⎨⎧==.s i n ,c o s θθbr y ar x由二重积分的换元法dr abrd rc dxdy b y a x c D D xyθ⎰⎰⎰⎰'-=--222221111.其中 ()()abr br b ar a y r yxrxr y x J =-=∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=θθθθθθθcos sin sin cos ,,⎩⎨⎧≤≤≤≤'.20,10:πθr D 所以=⎰⎰1S zdxdydr abrd rc dxdy b y a x c D D xyθ⎰⎰⎰⎰'-=--222221111dr r r d c ab ⎰⎰-=πθ2010211dr r r d c ab ⎰⎰-=πθ2010211所以， ().212111|1022102πππc ab r c ab rd rc ab =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=---=⎰ 由轮换对称性，知：πa bcx dzdy S 4=⎰⎰； .4πb acy dzdx S=⎰⎰ 故⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++S z dxdy y dzdx x dydz +=⎰⎰S z dxdy+⎰⎰S x dzdy⎰⎰Sy dzdx+=πc ab 4πabc4().44222222a c c b b a abc b ac ++=+ππ15（P217,第3题）沿球面()()()2222R c z b y a x =-+-+-的外侧，求曲面积分.222⎰⎰++Sdxdy z dzdx ydydz x解：把S 分割为21,S S 两个部分.其中，()()2221:b y a x R c z S ----+=（上侧）；()()2222:b y a x R c z S -----=（下侧）.21,S S 向xoy 面上的投影区域均为:xy D ()()222R b y a x ≤-+-故 ()()dxdy b y a x R c dxdy z xyDS ⎰⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡----+=222221作变量代换： ⎩⎨⎧+=+=.s i n ,c o s θθr b y r a x由二重积分的换元法()()[]r d rr R c d x d y b y a x R c D D xy⎰⎰⎰⎰'-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡----+2222222. 其中 ()()r r r y r yxrx r y x J =-=∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=θθθθθθθcos sin sin cos ,,⎩⎨⎧≤≤≤≤'.20,0:πθR r D 所以=⎰⎰12S dxdy z []rdr r R c D 222⎰⎰'-+()dr r rR c d R⎰⎰-+=πθ20222()rdr rR c R2222⎰-+=π()r dr r R r R c c R⎰-+-+=02222222πrdr r R c rdr c RR⎰⎰-+=02202222ππ()rdr r R R⎰-+0222π()()|||0222023220222132.222RR R r R r R c r c ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=πππ.2344322R cR R c πππ++=（1）同理 ()()dxdy b y a x R c dxdy z xyDS ⎰⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡------=222221()dr r r R c d R⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=πθ20222()rdr r R c R 20222⎰---=πrdr r R c rdr cRR⎰⎰-+-=0222222ππ()rdr r R R⎰--0222π()()|||0222023220222132.222RR R r R r R c r c ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=πππ .2344322R cR R c πππ-+-= =⎰⎰Sdxdy z 2+⎰⎰12S dxdy z 32382cR dxdy z S π=⎰⎰ ； 由轮换对称性，知：=⎰⎰Sdydz x 2338aR π； =⎰⎰Sdzdx y 2.383bR π故.222⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x ⎰⎰=Sdydzx 2⎰⎰Sdzdx y 2⎰⎰Sdxdy z 2().383c b a R ++=π16（P217,第4题）设S 为长方体()c z b y a x ≤≤≤≤≤≤0,0,0的表面.沿外侧求曲面积分⎰⎰Sxyzdxdy解：把S 分割为654321,,,,,S S S S S S 六个部分.其中 ()b y a x c z S ≤≤≤≤=0,0:1的上侧； ()b y a x z S ≤≤≤≤=0,00:2的下侧； ()c z b y a x S ≤≤≤≤=0,0:3的前侧； ()c z b y x S ≤≤≤≤=0,00:4的后侧； ()c z a x b y S ≤≤≤≤=0,0:5的右侧； ()c z a x y S ≤≤≤≤=0,00:6的左侧.注意到除21,S S 外，其余四片曲面在xoy 面上的投影为零，因此=⎰⎰Sxyzdxdy +⎰⎰1S xyzdxdy ⎰⎰2S xyzdxdy⎰⎰=xyD xycdxdy ⎰⎰-xyD dxdy xy 0.c b a yd y x d x c ab.4022⎰⎰==17（P225第1题）利用格林公式计算下面的曲线积分（l 的方向为正方向）： （ⅰ）()dy xy dx y x l22+-⎰，l 为圆周()222a y x =+；（ⅱ）()()dy y x dx y x l--+⎰，l 为椭圆⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+12222b y a x ； （ⅲ）()xdy dx y l+-⎰，l 为曲线()1=+y x ；（ⅳ）()()dy y y e dx y e x lx sin cos 1---⎰，l 为区域().sin 0,0x y x D <<<<π；18（P225第2题）求()()dy m y e dx my y eI x xL-+-=⎰cos sin ，（m 为常数） 其中l 是自点()0,a A 经过圆周()022>=+a ax y x 的上半部分到点O(0,0)的半圆 周.（提示：作辅助线后用格林公式）.解：cos ,cos x x P Q e y m e y y x∂∂=-=∂∂. 所以，由格林公式：221...428A O O A D D Q P a dxdy mdxdy m ma x y ππ⋂⎡⎤∂∂+=-===⎢⎥∂∂⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰.所以，2220.888AOOAma ma ma I πππ⋂==-=-=⎰⎰ （因为，⎰⎰==OAadx 0.00）19（P225第5题）设函数()x f 在正半轴()0>x 上有连续导数()x f '且().21=f 若 在右半平面内沿任意闭合光滑曲线l ，都有 ()043=+⎰dy x xf ydx x l求函数().x f解：()y x y x P 34,=，()()x xf y x Q =,都是右半平面上的连续函数，由于在右半平面内沿任意闭合光滑曲线l ，都有 ()043=+⎰dy x xf ydx x l故有xQy P ∂∂=∂∂即 ()()x f x x f x '+=34 化简，得 ()()241x x f xx f =+' （1）为一阶线性微分方程，其通解为 ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰=⎰-c ex e x f dx xdx x 1214().1134xc x c x x +=+=代入条件()21=f ，得 .1=c故 ().13xx x f +=20（P226第6题）设D 是以光滑曲线l 为正向边界的有界闭区域，而函数()y x u u ,= 在闭区域D 上具有连续的二阶偏导数且记2222yux u u ∂∂+∂∂=∆证明： ⎰⎰⎰∆=∂∂Dl udxdy ds nu其中()()y n yu x n x u n u ,cos ,cos ∂∂+∂∂=∂∂ 表示函数()y x u u ,=沿边界曲线l 外法线方向的方向导数.证明：设为曲线l 的正向的切线向量，其方向余弦为()x ,cos τ、()y ,cos τ，则有 ()()y x n ,,=，()().,,x y n π-=故 ()()y x n ,c o s ,c o s =，()().,cos ,cos x y n -=()()ds x y uy x u ds n u l l ⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=∂∂,cos ,cos ττ（由两型曲线积分之间的联系）dx y udy x u l ⎰∂∂-∂∂=（格林公式） ⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=D dxdy y u y x u x =⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂=⎰⎰D dxdy y u x u 2222.⎰⎰∆Dudxdy21（P226第7题）在第6题的假设和记号下，证明：.22d s n uu u d x d y u d x d y y u x u D l D ⎰⎰⎰⎰⎰∂∂+∆-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂ 证明：仿上题 ()()ds x y uy xu u ds n u ul l⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=∂∂,cos ,cos ττ（由两型曲线积分之间的联系） dx yuu dy x u ul⎰∂∂-∂∂=（格林公式） ⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=D dxdy y u u y x u u x ⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂∂∂=D dxdy y u u y u y u x u u x u x u 2222....dxdy y u x u u dxdy y u x u D D ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎰⎰⎰⎰222222 udxdy u dxdy y u x u D D ∆+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎰⎰⎰⎰22 移项，即得 .22ds n uu udxdy u dxdy y u x u D l D ⎰⎰⎰⎰⎰∂∂+∆-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂ 22（P227第8题）格林第二公式 若函数()y x u u ,=和()y x v v ,=都满足第6题中的假设，证明：ds vu n v n u dxdy vuv u lD⎰⎰⎰∂∂∂∂=∆∆ 证明： ()()ds xy u y x u v ds n u vl l⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=∂∂,cos ,cos （由两型曲线积分之间的联系）dx yuv dy x u vl⎰∂∂-∂∂=（格林公式） ⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=D dxdy y u v y x u v x ⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂∂∂=D dxdy y u v y u y v x u v x u x v 2222....⎰⎰⎰⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂=D D dxdy y u x u v dxdy y v y u x v x u 22.....⎰⎰⎰⎰∆+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂=D D udxdy v dxdy y v y u x v x u （1）由轮换对称性，知 ds n vul⎰∂∂ ...⎰⎰⎰⎰∆+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂=DD vdxdy u dxdy y v y u x v x u （2） 于是ds n v u n uv ds vu n vnul l ⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=∂∂∂∂ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂=⎰⎰⎰⎰D D udxdy v dxdy y v y u x v x u ..⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂-⎰⎰⎰⎰D D vdxdy u dxdy y v y u x v x u .. ()⎰⎰∆-∆=Ddxdy v u u v .dxdy vuv u D⎰⎰∆∆=23（P227第9题）计算高斯(Gauss)积分 ()(b a I =,其中l 为简单（光滑）闭合曲线，为不在l 上的点()b a ,到l 上动点()y x ,的向量，而n 为l 上动点()y x ,处的法向量.解：设为曲线l 的正向的切线向量，其方向余弦为()x ,cos 、()y ,cos ，则有 ()()y x n ,,=，()().,,x y n π-=又设()(){}y x n ,cos ,,cos 0= ，{}b y a x --=,，则()()()()()()().,c o s .,c o s .,c o s ,c o s 220b y a x y b y x a x n r n r -+--+-==⎪⎭⎫ ⎝⎛= 故(()()()()()().,cos .,cos .22b y a x y n b y x n a x -+--+-= ()()()()()()()[]d s y n b y x n a x b y a x b a I l,cos ,cos .1,22-+--+-=⎰()()()()()()[]d s x b y y a x b y a x l,cos ,cos .122ττ----+-=⎰ ()()()().22⎰-+----=lb y a x dx b y dy a x 记 ()()(),,22b y a x b y y x P -+---=()()().,22b y a x ax y x Q -+--=则()()()(),2222b y a x a x b y y P-+-----=∂∂()()()().2222b y a x a x b y x Q -+-----=∂∂它们在xoy 平面内除点 ()b a ,外处处连续，且.0=∂∂-∂∂yP xQ（一）若点()b a ,在l 所包围的区域D 外，原式=0；（二）若点()b a ,在l 所包围的区域D 内，以点()b a ,为中心作一个充分小的圆()()).0(:222>=-+-εεεb y a x l 取逆时针方向，使之完全包含在l 为边界的区域内.记介于εl 和l 之间的区域为'εD .则在'εD 由格林公式可得：()()()()⎰-+----l b y a x dx b y dy a x 22()()()()⎰-+-----εl b y a x dx b y dy a x 22.0⎰⎰'=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-∂∂=εDdxdy y P x Q所以，()()()()⎰-+----=l b y a x dx b y dy a x I 22()()⎰---=εεldx b y dy a x 2()()⎰---=εεl dx b y dy a x 21（格林公式）()()ππεεεεε2.22112222===⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂-∂-∂-∂=⎰⎰⎰⎰DD dxdy dxdy y y b x a x .24（P227第10题）利用斯托克斯公式重新计算积分（例3） ()()(),⎰-+-+-=ld z y x d y z x d x y z I 其中l 是曲线⎩⎨⎧=+-=+.2,122z y x y x方向为从oz 轴正方向往负方向看去是顺时针方向. 解一：由斯托克斯公式d x d y y x z x y z z y x d x d y d z d x d y d z 2=---∂∂∂∂∂∂.取∑为平面2=+-z y x 上由椭圆所围成的那一小块曲面.（取下侧），因此{}1,1,1-=,.31,33,330⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=n ）()()()dS dxdy dz y x dy z x dx y z I l⎰⎰⎰⎰⎰∑∑-=-=-+-+-=3122.2.23.312⎰⎰⎰⎰-=-=-=xyxyD D dxdy dxdy π解二：（直接计算）()()()⎰⎰⎰∑=-+-+-=dxdy dz y x dy z x dx y z I l2其中，.1:22≤+y x D xy所以，.22π-=-=⎰⎰dxdy I xyD .25（P238第1题）下面的向量场是否为保守场？若是，并求位势:u(){};sin cos 2,sin cos 2122y x x y x y y x f --=解：（1）这里()x y y x y x P sin cos 2,2-=，().sin cos 2,2y x x y y x Q -=因为xQ x y y x y P ∂∂=--=∂∂sin 2sin 2，()2,R y x ∈ 所以{}y x x y x y y x f sin cos 2,sin cos 222--=是定义在全平面上的保守场.所以，()+-dx x yy x sin cos 22()dy y x x y sin cos 22-是某一个函数()y x u ,的全微分.故可取()()()()()dyy x x y dx x y y x y x u y x sin cos 2sin cos 2,2,0,02-+-=⎰()()dy y x x y dx x x yx ⎰⎰-+-=0202sin cos 2sin 00cos 2.cos cos 22y x x y +=则，所求的位势为 ().cos cos ,22c y x x y c y x u ++=+(){}.sin ,cos ,222z y e x z xe f y y --=--解：这里()()().sin ,,,cos ,,,2,,2z y z y x R e x z z y x Q xe z y x P y y -=-==--x Q xe y P y ∂∂=-=∂∂-2；y R z z Q ∂∂=-=∂∂sin ；.0zP x R ∂∂==∂∂ ().,,3R z y x ∈ 所以，{}z y e x z xe f y y sin ,cos ,22--=--为定义在全空间上的保守场.所以，+-dx xe y 2()zdz y dy e x z y sin cos 2---是某一个函数()z y x u ,,的全微分. （二）现取()()()()zdz y dy e x z dx xe z y x u y z y x y sin cos 2,,2,,0,0,0--+=--⎰ 取0M M 如图所示，从()0,0,00M 沿x 轴到点()0,0,1x M 再沿平行于y 轴的直线到点()0,,2y x M 最后沿平行于z 轴的直线到点(),,.M x y z 于是()()⎰⎰⎰-+-+=--z yyxzdz y dy ex dx xe z y x u 02sin 0cos 2,,[]|||022c o szy yx z y e x y x+++=-()[]()y z y x e x y x y-+-++=-c o s 222.c o s2z y e x y +=- 则，所求的位势为 ().cos ,,2c z y e x c z y x u y ++=+- 26（P238第2题）证明式（14-31），并由此求下面的曲线积分：()();).1(2,11,22⎰-xxdy ydx ()()⎰++1,1,63,2,1.).2(xydz zxdy yzdx解：（一）要证式（14-31）成立，即要证若平面区域D 内保守力场()(){}y x Q y x P f ,,,=有位势()y x u ,，则对D 内的任意两点()()222111,,,y x M y x M ，有 ()()()()()().,,,.1122,,2211y x u y x u dy y x Q dx y x P y x y x -=+⎰事实上，因为()(){}y x Q y x P f ,,,=为保守力场，故()()dy y x Q dx y x P l,.+⎰在D 内与路径无关，而只取决于路径的起点、终点.令 ()()()()()dy y x Q dx y x P y x v y x y x ,.,,,11+=⎰（1）则可证明()y x v ,也是f 在D 内的一个势函数.故()()C y x v y x u ≡-,, ，对任意()D y x ∈,成立 （2）取()()11,,y x y x =，并注意到()0,11=y x v （因为沿闭合曲线的积分为零），得()()()111111,,,y x u y x v y x u C =-=（2）式中再取()()22,,y x y x =，并注意到(),0,11=y x v 得()()C y x v y x u =-2222,, 即 ()()()()().,,3,,11222222y x u y x u C y x u y x v --============又由（1）式，注意到()y x v ,的记号，得 ()()()()()().,,,.1122,,2211y x u y x u dy y x Q dx y x P y x y x -=+⎰（二）()()⎰-2,11,22).1(x xdyydx 中，()2,x y y x P =，().1,2x xx y x Q -=-= 因为 xQx y P ∂∂==∂∂21，().0,,2≠∈x R y x 所以，2xxdyydx -是某一个函数()y x u ,的全微分. 故可取()()()⎰-=y x x xdy ydx y x u ,0,12,dy x dx y x ⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=0110.x y -=所以()()()().2321121,22,12,11,22-=⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-=-⎰u u xx d y yd x()()⎰++1,1,63,2,1.).2(xydz zxdy yzdx 中，()()().,,,,,,,,xy z y x R zx z y x Q yz z y x P ===因为x Q z y P ∂∂==∂∂；y R x z Q ∂∂==∂∂；.zP y x R ∂∂==∂∂ ().,,3R z y x ∈ 所以，+yzdx xydz zxdy +是某一个函数()z y x u ,,的全微分. （二）现取()()()xydz zxdy dx yz z y x u z y x ++=⎰,,0,0,0,,取0M M 如图所示，从()0,0,00M 沿x 轴到点()0,0,1x M 再沿平行于y 轴的直线到点()0,,2y x M 最后沿平行于z 轴的直线到点(),,.M x y z 于是()⎰⎰⎰++=zy x xydz dy x dx z y x u 000.00,,.xyz =所以()()()().03,2,11,1,61,1,63,2,1=-=++⎰u u x y d z z x d y y z d x27（P238第5题）验证下列方程我全微分方程，并求通解：()();04332).1(=-++dy y x dx y x ()().03223).2(2222=+-++-dy y xy x dx y xy x解：()();04332).1(=-++dy y x dx y x这里，()()y x y x Q y x y x P 43,,32,-=+=.因为，xQy P ∂∂==∂∂3，是全微分方程. 故：()()()()()dyy x dx y x y x u y x 4332,,0,0-++=⎰()()dy y x dx x yx ⎰⎰-++=04302[]||02223yxy xy x -+=.2322y xy x -+=通解为：c y xy x =-+2223.()().03223).2(2222=+--+-dy y xy x dx y xy x这里，()().32,,23,2222y xy x y x Q y xy x y x P -+-=+-=. 因为，xQ y x y P ∂∂=+-=∂∂22，所以方程是全微分方程. 故：()()()()()dy y xy x dx y xy xy x u y x 22,0,0223223,+--+-=⎰()()dy y xy x dx x y x⎰⎰-+-+=022023203[]||032203yxy xy y x x -+-+=.3223y xy y x x -+-=因此，所求方程的通解为：.3223c y xy y x x =-+-.28（P238第6题）设函数()y x u u ,=在凸区域（即包含区域内任意两点间的连线）2R ⊂Ω内连续可微分且K gradu ≤（常数）.证明：对于Ω内任意两点B A ,，都有 ()()().,.B A d K B u A u ≤- 其中()B A d ,表示点B A ,之间的距离.证明：由于Ω为凸区域，故线段AB 整个属于Ω.设点B 的坐标为()000,,z y x ，点A 的坐标为()111,,z y x ，且令.,,010101z z z y y y x x x -=∆-=∆-=∆ 考虑一元函数()()z t z y t y x t x u t f ∆+∆+∆+=000,, ().10≤≤t （1） 显然， ()()()().1,0A u f B u f == （2）且()t f 在[]1,0上可微，并且 ()()x z t z y t y x t x u t f x ∆∆+∆+∆+'='.,,000 ()y z t z y t y x t x u y ∆∆+∆+∆+'+.,,000()z z t z y t y x t x u z ∆∆+∆+∆+'+.,,000 （3） 于是，由微分学中值定理知()()()()()ξf f f B u A u '=-=-01()()=3 ()x z z y y x x u x ∆∆+∆+∆+'.,,000ξξξ ()y z z y y x x u y ∆∆+∆+∆+'+.,,000ξξξ()z z z y y x x u z ∆∆+∆+∆+'+.,,000ξξξ ()..,,000z z y y x x gradu ∆+∆+∆+=ξξξ （4）由（4）式可知 ()()(z z y y x x gradu B u A u ,,000∆+∆+∆+=-ξξξ ()().,..,,000B A d K z z y y x x gradu ≤∆+∆+∆+≤ξξξ29（P238第7题）求向量场⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y grad f arctan 沿下列曲线l 的环量：（ⅰ）l 为圆周()()12222=-+-y x ；l 为圆周422=+y x （分为左、右半圆周分别计算）. 解： ⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y y x y x x y grad f arctan ,arctan arctan.,2222⎭⎬⎫⎩⎨⎧++-=y x x y x y （ⅰ）2222.y x xdyy x ydx d f ll+++-=⎰⎰（格林公式）d x d y y x y y y x x x D ⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂=2222 ()().022********=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+--+-=⎰⎰dxdy y x x y y x x y D （ⅱ）⎰⎰+-=l ly x ydx xdy d f 22.[].22.241412ππ==-=⎰l ydx xdy 30（P238第8题）求,f rot 其中().2,3,32x y z x y z f ---=解：⎭⎬⎫⎩⎨⎧∂∂-∂∂∂∂-∂∂∂∂-∂∂=y P x Q x R z P z Q y R f rot ,,{}.6,4,2=31（P238第9题）证明： ()f gradu f urot f u rot ⨯+=. 解：设()()(){}z y x R z y x Q z y x P f ,,,,,,,,=，则()()(){}.,,,,,.,,,z y x uR z y x Q u z y x uP uf =()()()()()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧∂∂-∂∂∂∂-∂∂∂∂-∂∂=y uP x uQ x uR z uP z uQ y uR f rot ,, ,,{⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=x u R x R u z u P z P u z u Q z Q u y u R y R u },⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂y u P y P u x u Q x Qu ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∂∂-∂∂∂∂-∂∂∂∂-∂∂=y P x Q x R z P z Q y R u ,,。
第十章-曲线曲面积分(习题及解答)
第十章 曲线曲面积分§10．1对弧长的曲线积分一、选择题1. 设曲线弧段AB 为，则曲线积分有关系( ).(A)(,)d (,)d ABBAf x y s f x y s =-⎰⎰； (B )(,)d (,)d A BB Af x y s f x y s =⎰⎰；(C )(,)d (,)d A B B Af x y s f x y s +=⎰⎰；(D)(,)d (,)d AB BAf x y s f x y s =--⎰⎰． 答(B).2. 设有物质曲线23:,,(01),23t t C x t y z t ===≤≤其线密度为ρ=,它的质量M =( ).(A)10t ⎰; (B )1t t ⎰;(C)t ⎰; (D)t ⎰. 答(A).3.设OM 是从(0,0)O 到(1,1)M 的直线段,则与曲线积分OMI s=⎰不相等的积分是( ).(A)10x ⎰; (B)10y ⎰;(C)d r r ⎰; (D)10e r ⎰答(D).4 .设L 是从(0,0)A 到(4,3)B 的直线段,则曲线积分()d Lx y s -=⎰( ).(A)403d 4x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰; (B)303d 4y y y ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰;(C)3034y y y ⎛- ⎝⎰; (D)4034x x x ⎛- ⎝⎰. 答(D).5. 设L 为抛物线2y x =上从点(0,0)到点(1,1)的一段弧,则曲线积分s =⎰( ).(A)x ⎰; (B)y ⎰;(C)10x ⎰; (D)y ⎰. 答(C).6. 设L 是从(1,0)A 到(1,2)B -的直线段,则曲线积分()d Lx y s +=⎰( ).(A); (B)2; (C) (D) 答(D).二、填空题1. 设L 是圆周221x y +=,则31d LI x s =⎰与52d LI x s =⎰的大小关系是.答:12.I I =2. 设L 是连接(1,0)A 与(0,1)B 两点的直线段, 则()d Lx y s +=⎰.3. 设:cos ,sin (02),L x a t y a t t π==≤≤则22()d n Lx y s +=⎰.答：212a a π+.4. 设:cos ,sin (02),L x a t y a t t π==≤≤则22()d Lx y s -=⎰.答：0.5. 设L 是圆周221x y +=,则2d LI x s ==⎰.答：π.6. 设:cos ,sin ,t t t x e t y e t z e Γ===,上相应于t 从0变到2的这段弧,则曲线积分22()d Lx y s -=⎰.答:2)e --. 7. 设L 为曲线24y x =上从点(0,0)A 到点(1,2)B 的弧段,则Ls =⎰.答：3. 三、解答题1.计算下列对弧长的曲线积分： (1)d Lx s ⎰其中为由直线y x =与抛物线2y x =所围区域的整个边界.答： 11)12.(2)22d x y Les +⎰其中L 为圆周222x y a +=，直线y x =及x 轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界.答： 2 2.4a a e π⎛⎫+- ⎪⎝⎭(3)2d x yz s Γ⎰，其中Γ为折线ABCD ，这里,,,A B C D 依次为点(0,0,0)、(0,0,2)、(1,0,2)、(1,3,2).答：9. (4)2d Ly s ⎰其中L 为摆线一拱(sin ),(1cos )(02)x a t t y a t t π=-=-≤≤.答： 34232.53a ⋅⋅(5)22()d Lx y s +⎰其中L 为曲线(cos sin )(sin cos )x a t t t y a t t t =+⎧⎨=-⎩(02)t π≤≤. 答： 2322(12).a ππ+§10．2对坐标的曲线积分一、选择题1. 设AB 为由(0,)A π到(,0)B π的直线段,则sin d sin d ABy x x y +=⎰( ).(A)2; (B)1-; (C)0; (D)1. 答(C). 2. 设C 表示椭圆22221x y a b+=,其方向为逆时针,则2()d C x y x +=⎰ ( ).(A)ab π; (B)0; (C)2a b +; (D)1. 答(B). 3. 设C 为由(1,1)A 到(2,3)B 的直线段,则(3)d (2)d Cx y x y x y +++=⎰( ).(A)21[(2)(23)]d x x x x x +++⎰； (B)21[(21)(213)]d x x x x x +-+-+⎰(C)21[(73)2(51)]d x x x -+-⎰; (D)21[(73)(51)]d x x x -+-⎰. 答(C).4. 设曲线C 的方程为x y =(0)2t π≤≤,则22d d Cx y y y x x -=⎰( )(A)20[cos sin t π⎰； (B)2220(cos sin )d t t t π-⎰(C)2200cos sin ππ-⎰⎰(D)201d 2t π⎰.答(D).5. 设()f u 连续可导,L 为以原点为心的单位圆,则必有( ).(A)22()(d d )0Lf x y x x y y ++=⎰；(B)22()(d d )0Lf x y x y y x ++=⎰(C)22()(d d )0Lf x y x y y ++=⎰; (D)22()(d d )0Lf x y x x y ++=⎰.答(A).6. 设C 是从(0,0)O 沿折线11y x =--到(2,0)A 到的折线段,则d d Cx y y x -=⎰( )(A)0; (B)1-; (C)2-; (D)2. 答(C).二、填空题1. L 为xoy 平面内直线x a =上的一段,则(,)d LP x y x =⎰.答：0.2. 设L 为2y x =上从(0,0)O 到(2,4)A 的一段弧,则22()d Lx y x -=⎰.答：5615-. 3. 设L 为2y x =上从(0,0)O 到(2,4)A 的一段弧,则22()d Lx y y -=⎰.答：403-.4．L 为圆弧y (2,2)A 的一段弧,则d Lxy y =⎰ .答：43. 5．设L 为圆周222()(0)x a y a a -+=>及x 轴所围成的在第一象限的区域的整个边界(按逆时针方向绕行),则d Lxy y =⎰.答：32a π-.6．设(2)d (23)d 9Lx y x x y y -++=-⎰,其中L 为xoy 平面上简单闭曲线,方向为逆时针.则L 所围成的平面区域D 的面积等于.答：32. 三、解答题1．计算()d ()d Lx y x y x y ++-⎰,其中L 为:(1) 抛物线2y x =上从(1,1)到(4,2)的一段弧; (2) 从点(1,1)到点(4,2)的一直线段;(3) 先沿直线从点(1,1)到点(1,2),然后再沿直线到点(4,2)的折线; (4) 曲线2221,1x t t y t =++=+上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧. 答案：3432(1);(2)11;(3)14;(4).332．计算d d Ly x x y +⎰其中L 为圆周cos ,sin x R t y R t ==上对应t 从0到2π的一段弧.答：0. 3．计算22()d ()d L x y x x y yx y+--+⎰,其中L 为圆周222x y a +=(方向按逆时针). 答：2π-.4．计算d d (1)d x x y y x y z Γ+++-⎰其中Γ为从点(1,1,1)到点(2,3,4)的直线段.答：13.5. 计算22(2)d (2)d Lx xy x y xy y -+-⎰,其中L 是2y x =上从点(1,1)-到点(1,1)的一段弧.答：1415-. §10．3 格林公式一、选择题1. 设C 是圆周222x y R +=,方向为逆时针方向,则22d d Cx y x xy y -+⎰用格林公式计算可化为( ).(A)230d d Rr r πθ⎰⎰； (B)2200d d Rr r πθ⎰⎰;(C)230d 4sin cos d Rr r πθθθ-⎰⎰; (D)220d d RR r r πθ⎰⎰. 答(A).2. 设L 是圆周222x y a +=,方向为负向,则3223()d ()d Lx x y x xy y y -+-⎰= ( ).(A)323a π; (B)4a π-; (C); (D)42a π-. 答(D). 3. 设L 是从(0,0)O 沿折线22y x =--到(4,0)A 到的折线段,则d d Cx y y x -=⎰( )(A)8; (B)8-; (C)4-; (D)4. 答(B).4. 设(,),(,)P x y Q x y 在单连通区域D 内具有一阶连续偏导数,则d d LP x Q y +⎰在D 内与路径无关的充分必要条件是在D 内恒有( ).(A)0Q P x y ∂∂+=∂∂; (B)0Q Px y∂∂-=∂∂; (C)0P Q x y ∂∂-=∂∂; (D)0P Q x y∂∂+=∂∂. 答(B). 5. 设L 为一条不过原点,不含原点在内的简单闭曲线, 则22d d 4L x y y xx y -=+⎰( ).(A)4π; (B)π; (C)2π; (D)0. 答(D).6. 设L 为一条包含原点在内的简单闭曲线,则22d d 4L x y y xI x y -==+⎰( ).(A)因为Q P x y ∂∂=∂∂,所以0I =; (B)因为,Q Px y∂∂∂∂不连续,所以I 不存在; (C)2π; (D)因为Q Px y∂∂≠∂∂,所以沿不同的L ,I 的值不同. 答(C). 7. 表达式(,)d (,)d P x y x Q x y y -为某函数(,)U x y 的全微分的充分心要条件是( ).(A)P Q x y ∂∂=∂∂; (B)P Q y x∂∂=∂∂; (C)P Q x y ∂∂=-∂∂; (D)P Q y x∂∂=-∂∂. 答(D). 8. 已知2()d d ()x ay x y yx y +++为某函数(,)U x y 的全微分,则a =( ).(A)0; (B)2; (C)1-; (D)1. 答(B). 9. 设L 是从点(1,1)A 到点(2,3)B 的直线段,则(3)d (3)d Lx y x y x y +++=⎰( ).(A)2311(3)d (6)d x x y y +++⎰⎰; (B)21[(6)(23)]d x x x x x +++⎰;(C)23111(31)d (3)d 2y x x y y ++++⋅⎰⎰; (D)21[(31)(51)]d x x x -++⎰. 答(A).10*. 设()f x 连续可导,且(0)1f =,曲线积分(,)43(0,0)()tan d ()d I yf x x x f x y ππ=-⎰与路径无关,则()f x =( ).(A)1cos x +; (B)1cos x -; (C)cos x ; (D)sin x . 答(C).二、填空题1. 设区域D 的边界为L ,方向为正向, D 的面积为σ. 则d d Lx y y x -=⎰.答: 2σ.2. 设(,)f x y 在22:14x D y +≤上具有二阶连续偏导数, L 是D 的边界正向,则(,)d [3(,)]d y x Lf x y y y f x y x -+=⎰.答: 6π.3. 设L 是圆周229x y +=,方向为逆时针, 则2(2)d (4)d Lxy y x x x y -+-=⎰.答: 27π-.4. 设L 为闭曲线2x y +=方向为逆时针,,a b 为常数, 则d d L ax y by x x y -+⎰=.答: 4()a b +.5. 设ABCDA 为以点(1,0),(0,1),(1,0),(0,1)A B C D --为顶点的正方形逆时针方向一周,则d d Lx yx y++⎰=.答: 0.6. 设L 为圆周221x y +=上从(1,0)A 到(0,1)B 再到(1,0)C -的曲线段,则2d y Le y =⎰.答: 0. 7.(2,2)2(0,0)2d (3)d xy x x y +-=⎰.答: 2.8. 设L 为直线y x =从(0,0)O 到(2,2)A 的一段, 则22d 2d y y Le x xye y +=⎰.答: 42e .9*. 设L 为抛物线上一段弧,试将积分(,)d (,)d LP x y x Q x y y +⎰化为对弧长的曲线积分,其中(,),(,)P x y Q x y 在L 上连续.答:22d 14L P xQ s x ++⎰.10*. 设()f x 连续可导,且(0)0f =,曲线积分[()]sin d ()cos d x Lf x e y x f x y y --⎰与路径无关,则()f x =.答: 2x xe e --.三、解答题1. 计算22d d 2()L y x x y x y -+⎰，其中L 为圆周22(1)2x y -+=的正向.答:π-. 2. 计算(24)d (536)d Lx y x y x y -+++-⎰，其中L 是顶点分别为(0,0)、(3,0)和(3,2)的三角形正向边界.答:12. 3. 计算3222(2c o s )d (12s i n3)d Lx y y x x y x x y y -+-+⎰,其中L 为抛物线22x y π=上由点(0,0)到,12π⎛⎫⎪⎝⎭的一段弧.答:24π.4. 计算22()d (sin )d Lx y x x y y --+⎰，其中L 是圆周y 上由(0,0)到(1,1)的一段弧. 答:7sin 264-+.5. 证明下列曲线积分与路径无关,并计算积分值:(1) (2,3)(1,1)()d ()d x y x x y y ++-⎰.答:52. (2)(2,1)423(1,0)(23)d (4)d xy y x x xy y -++-⎰.答: 5.6. 验证下列(,)d (,)d P x y x Q x y y +在整个xoy 平面内是某函数(,)u x y 的全微分,并求函数(,)u x y .(1) (2)d (2)d x y x x y y +++. (2) 22d d xy x x y +.(3) 22(2cos cos )d (2sin sin )d x y y x x y x x y y ++-.答: (1) 22222x y xy ++; (2) 2x y ; (3)22cos sin x y y x +. 7. 用格林公式计算223()d (2)d Lx x y x xy y y -+-+⎰，其中L 是圆周y (2,0)A 到(0,0)O 的一段弧.答:324π-.8. 用格林公式计算423(23)d (4)d Lxy y x x x xy y -+++-⎰，其中L 是圆周y (1,0)A 到(1,0)B -的一段弧.答:62π-.§10．4 对面积的曲面积分一、选择题1. 设∑是xoy 平面上的一个有界闭区域xy D ,则曲面积分(,,)d f x y z S ∑⎰⎰与二重积分(,)d d xyD f x y x y ⎰⎰的关系是 ( ).(A)(,,0)d f x y S ∑⎰⎰=(,)d d xyD f x y x y ⎰⎰;(B)(,,0)d f x y S ∑⎰⎰=(,)d d xyD f x y x y -⎰⎰;(C)(,,0)d f x y S ∑<⎰⎰(,)d d xyD f x y x y ⎰⎰;(D)(,,0)d f x y S ∑>⎰⎰(,)d d xyD f x y x y ⎰⎰.答(A).2. 设∑是抛物面22(04)z x y z =+≤≤,则下列各式正确的是( ).(A)(,,)d f x y z S ∑⎰⎰=22224(,,)d d x y f x y x y x y +≤+⎰⎰;(B)(,,)d f x y z S ∑⎰⎰=22224(,,d x y f x y x y x y +≤+⎰⎰;(C)(,,)d f x y z S ∑=⎰⎰22224(,,d x y f x y x y x y +≤+⎰⎰;(D)(,,)d f x y z S ∑=⎰⎰22224(,,d x y f x y x y x y +≤+⎰⎰. 答(D).3.设2222:(0)x y z a z ∑++=≥,1∑是∑在第一卦限中的部分,则有( ).(A)1d 4d x S x S ∑∑=⎰⎰⎰⎰;(B)1d 4d y S x S ∑∑=⎰⎰⎰⎰;(C)1d 4d z S z S ∑∑=⎰⎰⎰⎰;(D)1d 4d xyz S xyz S ∑∑=⎰⎰⎰⎰. 答(C).4. 设∑是锥面1)z z =≤≤,则22()d x y S ∑+=⎰⎰( ).(A)22()d x y S ∑+=⎰⎰2120d d r r r πθ⋅⎰⎰;(B)22()d xy S ∑+=⎰⎰120d d r r r πθ⋅⎰⎰;(C)22()d xy S ∑+=⎰⎰21200d d r r πθ⎰;(D)22()d x y S ∑+=⎰⎰2120d d r r r πθ⋅⎰;. 答(D).5. 设∑为平面1234x y z++=在第一卦限内的部分, 则42d 3z x y S ∑⎛⎫++= ⎪⎝⎭⎰⎰( ).(A)4d d xyD x y ⎰⎰;(B)4d d 3xyD x y ⋅⎰⎰; (C)23004d d x y ⎰; (D)32004d d x y ⎰;. 答(B). 6. 设∑为曲面222()z x y =-+在xoy 平面上方的部分,则d z S ∑=⎰⎰().(A)222200d (2)d r r r r πθ--⋅⎰⎰;(B)2220d (2d r r r πθ-⎰⎰;(C)220d )d r r r πθ-⋅⎰⎰; (D)220d d r r r πθ-⎰⎰. 答(D).7. 设∑为球面2222x y z z ++=,则下列等式错误的是( ).(A)22()d 0x yz S ∑+=⎰⎰; (B )22()d 0y y z S ∑+=⎰⎰;(C)22()d 0z x y S ∑+=⎰⎰; (D)2()d 0x y z S ∑+=⎰⎰. 答(C). 二、填空题1. 设2222:x y z a ∑++=,则222()d x y z S ∑++=⎰⎰.答: 44a π.2. 设∑为球面2222x y za ++=,则222d xy z S ∑=⎰⎰.答: 0.3. 设∑为上半球面z ,则d z S ∑=⎰⎰.答: 3a π.4. 设∑为下半球面z =,则d z S ∑=⎰⎰.答: 3a π.5 设∑为球面2222x y z a ++=,则d z S ∑=⎰⎰.答: 23a π.6. 设∑为上半球面z ,则d x S ∑=⎰⎰.答: 0. 7. 设∑为平面1232x y z ++=在第一卦限部分,则2d 3z y x S ∑⎛⎫++=⎪⎝⎭⎰⎰.答:8. 设∑为平面1x y z ++=在第一卦限部分,则d z S ∑=⎰⎰.答:. 9. 设∑为平面226x y z ++=在第一卦限部分, 则(522)d x y z S ∑---=⎰⎰.答: 272-. 三、解答题1. 计算曲面积分(,,)d f x y z S ∑⎰⎰,其中∑为抛物面222()z x y =-+在xoy 面上方部分,(,,)f x y z 分别如下:(1) (,,)1f x y z =; (2) 22(,,)f x y z x y =+; (3) (,,)2f x y z z =. 答: (1) 136π; (2) 14930π; (3) 11110π. 2. 计算22()d x y S ∑+⎰⎰,其中∑是锥面z =1z =所围成的区域的整个边界曲面.答:.3. 计算22()d x y S ∑+⎰⎰,其中∑是锥面222z x y =+被平面0z =和3z =所截得的部分.答: 9π.4. 计算42d 3z x y S ∑⎛⎫++ ⎪⎝⎭⎰⎰,其中∑为平面1234x y z ++=在第一卦限中的部分.答: 5. 计算()d x y z S ∑++⎰⎰,其中∑为球面2222x y z a ++=上(0)z h h a ≥<<的部分.答: 22()a a h π-.§10．5 对坐标的曲面积分一、选择题1. 设∑是球面2222x y z a ++=外侧,222:xy D x y a +≤,则下列结论正确的是( ).(A) 2d d z x y ∑=⎰⎰222()d d xyD ax y x y --⎰⎰;(B)2d d z x y ∑=⎰⎰2222()d d xyD a x y x y --⎰⎰; (C)2d d z x y ∑=⎰⎰0;(D )(A)(B)(C)都不对. 答(C). 2. 设∑为柱面222x y a +=被平面0z =及3z =所截得的部分外侧,则d d d d d d z x y x y z y x z ∑++=⎰⎰( ).(A) 3d d z x y ∑⎰⎰; (B)3d d x y z ∑⎰⎰;(C)3d d y x z ∑⎰⎰0; (D)d d d d x y z y x z ∑+⎰⎰. 答(D).3. 设∑为柱面222x y a +=被平面0z =及3z =所截得的部分外侧在第一卦限内的部分,则d d d d d d z x y x y z y x z ∑++=⎰⎰( ).(A)303d y x ⎰⎰;(B)302d z y ⎰⎰;(C)30d z x ⎰⎰; (D)30d zx ⎰⎰. 答(B).4. 设2222:x y z a ∑++=,1:z ∑=∑取外侧, 1∑取上侧.下列结论正确的是( ).(A) 12222()d d d d xy z x y a x y ∑∑++=⎰⎰⎰⎰;(B)12222()d d 2d d x y z x y a x y ∑∑++=⎰⎰⎰⎰;(C)2222222()d d 2d d x y a x y z x y a x y ∑+≤++=⎰⎰⎰⎰; (D) 0. 答(D).5. 已知∑为平面1x y z ++=在第一卦限内的下侧,则d d z x y ∑=⎰⎰( ).(A) 1100d (1)d x x x y y ----⎰⎰; (B)110d (1)d x x x y y ---⎰⎰;(C)110d (1)d xy x y x ---⎰⎰; (D) 110d (1)d x y x y x ----⎰⎰. 答(A).6. 曲面积分2d d z x y ∑⎰⎰在数值上等于( ).(A)向量2z i 穿过曲面∑的流量;(B)密度为2z 的曲面∑的质量;(C)向量2z k 穿过曲面∑的流量;(D)向量2z j 穿过曲面∑的流量. 答(C).二、填空题1. 设∑是xoy 平面上的闭区域0101x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩的上侧,则()d d x y z y z ∑++=⎰⎰.答: 0.2. 设∑是xoy 平面上的闭区域0101x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩的上侧,则()d d x y z x y ∑++=⎰⎰.答: 1.3. 设∑为球面2222x y z a ++=取外侧, 则222()d d xy z x y ∑++=⎰⎰..答: 0.4. 设∑为球面2222x y z a ++=取外侧, 则d d z x y ∑=⎰⎰..答:343a π. 5. 设∑为球面2222()()()x a yb zc R -+-+-=取外侧, 则曲面积分d d z x y ∑=⎰⎰..答:343R π. 6. 设∑为球面2222x y z a ++=取外侧, 则222()d d xy z x y ∑++=⎰⎰.答: 0. 三、解答题1. 计算22d d x y z x y ∑⎰⎰,其中∑是球面2222x y z R ++=的下半部分的下侧.答:77426422453753105R R ππ⎛⎫⋅-⋅⋅= ⎪⎝⎭. 2. 计算d d d d d d z x y x y z y z x ∑++⎰⎰,其中∑是柱面221x y +=被平面0z =及3z =所截得的在第一卦限内的部分的前侧.答: 32π.3. 计算d d d d d d xz x y xy y z yz z x ∑++⎰⎰,其中∑是平面0x =,0y =,0z =,及1x y z ++=所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧.答:18. 4*. 把对坐标的曲面积分(,,)d d (,,)d d (,,)d d P x y z y z Q x y z z x R x y z x y∑++⎰⎰化成对面积的曲面积分,其中:(1) ∑是平面326x y ++=在第一卦限部分的上侧. (2) ∑是抛物面228()z x y =-+在xoy 面上方部分的上侧. 答: (1)32d 55P Q S ∑⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎰⎰; (2) S ∑.§10．6 高斯公式一、选择题1. 设空间闭区域Ω的边界是分片光滑的闭曲面∑围成, ∑取外侧，则Ω的体积V =( ).(A)1d d d d d d 3y y z z z x x x y ∑++⎰⎰; (B )1d d d d d d 3x y z y z x z x y∑++⎰⎰; (C)1d d d d d d 3z y z z z x y x y ∑++⎰⎰; (D) 1d d d d d d 3x y z z z x y x y ∑++⎰⎰.答(B). 2.设∑是长方体{}:(,,)0,0,0,x y z x a y b z c Ω≤≤≤≤≤≤的整个表面的外侧,则222d d d d d d x y z y z x z x y ∑++=⎰⎰( ). (A) 2a bc ; (B)2ab c ; (C)2abc ; (D) ()a b c abc ++. 答(D).3. 在高斯定理的条件下,下列等式不成立的是( ).(A)d d d P Q R x y z x y z Ω⎛⎫∂∂∂++= ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰(cos cos cos )d P Q R S αβγ∑++⎰⎰;(B)d d d d d d P y z Q z x R x y ∑++=⎰⎰d d d P Q R x y z x y z Ω⎛⎫∂∂∂++ ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰; (C)d d d d d d P y z Q z x R x y ∑++=⎰⎰d d d R Q P x y z x y z Ω⎛⎫∂∂∂++ ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰; (D)d d d d d d P y z Q z x R x y ∑++=⎰⎰(cos cos cos )d P Q R S αβγ∑++⎰⎰.答(C).4. 若∑是空间区域Ω的外表面,下述计算用高斯公式正确的是( ).(A) 2d d (2)d d x y z z y x y ∑++=⎰⎰(22)d d d x x y z Ω+⎰⎰⎰;(B)3()d d 2d d d d xyz y z xy z x z x y ∑--+=⎰⎰2(321)d d d xx x y z Ω-+⎰⎰⎰;(C) 2d d (2)d d x y z z y z x ∑++=⎰⎰(21)d d d x x y z Ω+⎰⎰⎰;(D)2d d (2)d d x x y z y y z ∑++=⎰⎰(22)d d d x x y z Ω+⎰⎰⎰. 答(B).二、填空题1. 设∑是球面2222x y z a ++=外侧, 则d d z x y ∑=⎰⎰.答:343a π. 2. 设∑是球面2222x y z a ++=外侧, 则333d d d d d d x y z y z x z x y ∑++=⎰⎰.答:525a π. 3. 设∑是长方体{}:(,,)0,0,0,x y z x a yb zc Ω≤≤≤≤≤≤的整个表面的外侧,则d d d d d d x y z y z x z x y ∑++=⎰⎰.答: 3abc .4. 设∑是长方体{}:(,,)0,0,0,x y z x a y b z c Ω≤≤≤≤≤≤的整个表面的外侧,则222d d d d d d x y z y z x z x y ∑++=⎰⎰.答: ()a b c abc ++.5. 向量A yzi zxj xyk =++穿过圆柱222(0)x y a z h +=≤≤全表面∑流向外侧的通量Φ=.答: 0.6.向量2(23)()(2)A x z i xz y j y z k =+-+++穿过球面222(3)(1)(2)9x y z -+++-=∑流向外侧的通量Φ=.答: 108π.三、解答题1. 计算222d d d d d d x y z y z x z x y ∑++⎰⎰,其中∑为平面0x =,0y =,0z =及x a =,y a =,z a =所围成的立体的表面外侧.答: 43a . 2. 计算333d d d d d d x y z y z x z x y ∑++⎰⎰,其中∑为球面2222xy z a ++=外侧.答:525a π. 3. 计算2232d d ()d d (2)d d xz y z xy z z x xy y z x y ∑+-++⎰⎰,其中∑为上半球体222x y a +≤,0z ≤.答:525a π. 4. 计算d d d d d d x y z y z x z x y ∑++⎰⎰,其中∑是界于0z =和3z =之间的圆柱体223x y +≤的整个表面外侧. 答: 81π.5. 计算24d d d d d d xz y z y z x yz x y ∑-+⎰⎰,其中∑是平面0x =,0y =,0z =与平面1x =,1y =,1z =所围成的立方体的全表面外侧. 答:32. 6. 计算22d d (2)d d d d 2zx y z z xy z x x y ∑+-+⎰⎰,其中∑为曲面22z x y =+与平面1z =所围成的立体的表面外侧. 答:4π. 7. 计算曲面积分3333d d (2)d d ()d d x y z y z x z x x y ∑+++-⎰⎰,其中∑为曲面z =z .答: 326(1cos2)5π⋅⋅-.8. 计算曲面积分222d d d d (1)d d xy y z z z x z xx y ∑++-⎰⎰,其中∑为由曲面z =0z =所围成的空间区域的整个边界表面外侧.答: 322161625335πππ⋅⋅-=. 9*.用Gauss 公式计算曲面积分2()d d d d z x y z z x y ∑+-⎰⎰,其中∑是旋转抛物面221()2z x y =+介于平面0z =及2z =之间部分的下侧. 答: 8π.§10．7 斯托克斯公式一、选择题1. 在斯托克斯定理的条件下,下列等式不成立的是( ).(A) d d d P x Q y R z Γ++=⎰d d d d d d y z z x x y x y z P Q R ∑∂∂∂∂∂∂⎰⎰; (B) d d d P x Q y R z Γ++=⎰cos cos cos d S x y z PQ Rαβγ∑∂∂∂∂∂∂⎰⎰; (C)d d d P x Q y R z Γ++=⎰{}cos ,cos ,cos d i j k S x y z P Q Rαβγ∑∂∂∂⋅∂∂∂⎰⎰; (D)d d d P x Q y R z Γ++=⎰{}d ,d ,d i j k x y z x y z PQR∑∂∂∂⋅∂∂∂⎰⎰. 答(D). 2. 设Γ是从点(,0,0)a 到点(0,,0)a 再到(0,0,)a 最后回到(,0,0)a 的三角形边界(0a >),则()d ()d ()d z y x x z y y x z Γ-+-+-=⎰( ).(A) 23a ; (B )26a ; (C )22a ; (D) 2a . 答(A).3. 设Γ为圆周2229,0x y z z ++==,若从z 轴正向看去, Γ为逆时针方向.则22d 3d d y x x y z z Γ+-=⎰( ).(A) π; (B)6π; 9π; (D) 0. 答(C).二、填空题1. 设Γ为圆周2222,0x y z a z ++==,若从z 轴正向看去, Γ为逆时针方向.22d 2d d y x x y z z Γ+-=⎰.答: 0.2. 设u xy yz zx xyz =+++, 则(1)grad u =.答: {},,y z yz z x xz x y xy ++++++(2) div(grad )u = .答: 0.(3) rot(grad )u = . 答: 0.3. 设向量场(23)(3)(2)A z y i x z j y x k =-+-+-,则rot A =.答: 246i j k ++.4. 设向量场22sin sin()sin(cos )A x yi y xz j xy z k =++, 则rot A =.答: 222[sin(cos )cos()]sin(cos )[cos()cos ]x z xy xz i y z j y z xz x y k --+-. 三、解答题1. 计算d d d y x z y x z Γ++⎰,其中Γ为圆周2222,0x y z a x y z ++=++=,若高等数学 第十章 曲线曲面积分 第 21 页 学院 专业 学号 姓名从z 轴正向看去, Γ为逆时针方向.答: 2a .2*. 计算()d ()d ()d yz x z x y x y z Γ+-+-⎰,其中Γ为椭圆222x y a +=, 1(0,0)x y a b a b+=>>,若从x 轴正向看去, Γ为逆时针方向.答: π3. 计算23d d d y x xz y yz z Γ-+⎰,其中Γ为圆周222,2x y z z +==,若从z 轴正向看去, Γ为逆时针方向.答: 20π-.4. 计算22d 3d d y x x y z z Γ+-⎰,其中Γ为圆周2229,0x y z z ++==,若从z轴正向看去, Γ为逆时针方向.答: 9π.5*. 利用斯托克斯公式把曲面积分rot d A n S ∑⋅⎰⎰化为曲线积分,并计算积分值,其中A 、∑及n 分别如下:(1) 2A y i xyj xzk =++,∑为上半球面z , n 是∑的单位法向量.(2) ()A y z i yzj xzk =-+-,∑为{}(,,)02,02,02x y z x y z ≤≤≤≤≤≤的表面外侧去掉xoy 平面上的那个底面,, n 是∑的单位法向量.答: (1) 0. (2) 4-.。
曲线曲面积分(单元练习题)答案
曲线积分与曲面积分单元练习题一、填空题：1设L为x'+y2=1上点（1,0）到（_1,0）的上半弧段，贝U ]2ds = 2兀;x = 2 cost2.f_ ds = —兀2,其中C是曲线《y = 2sint介于t = 0到t =兀一段；C X + y 8--------- z = t3.L为逆时针方向的圆周：（x -2）2• （y • 3）2=4 ,贝y J ydx_ xdy= _8兀；L4.设C是由x轴、y轴与直线x + y =1围成的区域的正向边界，贝U :，ydx_ xdy =C5.第一类曲面积分dS^的面积；6.设曲面为：x2y2z^a2,则11 （x2y2z2）dS 二4 a4；Z7•设 3 ：x2y2z2= a2.则■j'：i z2dS = - ~ a4；i J—&格林（Green）公式指出了下列两类积分：「平面上第二类曲线积分和二重积分之间关系。
高斯（Gauss）公式指出了下列两类积分：空间上的第二类曲面积分与三重积分—之间关系。
二、计算题：1.计算.yds,其中L是抛物线y =x2上自点（0, 0）到（1, 1）的一段弧。
L1 2 1 2 于 1 5 5「1解x 1 4 x dx （1 4x ）2|0=012 122.计算.xyds,其中L为从（0, 0）到（2, 0）的上半圆弧：x2• y2二2x（ y 一0）。
L解jxyds= （（1 +cost）sintdt = 2L 33 .已知平面曲线弧段L是圆x2y^4上从点2,0到0,2的有向弧段，试计算I = L xydx解 I 22cost2sintd 2cost = -8 ^costsin 2tdt =4•计算|二j (x 2 2xy)dx (x 2 y 4)dy ,其中L 为由点0(0,0)到点A(1,1)的曲线JIy = sin — x .2I = j (x 22xy)dx (x 2y 4)dy1 1 二 0x 2dx0(1 y4)dy解法二：根据第二类曲线积分计算。
曲线与曲面积分习题参考答案
十 曲线积分与曲面积分习题(一) 对弧长的曲线积分1. 计算ds y x L⎰+)(22，其中L 为圆周t a y t a x sin ,cos == )20(π≤≤t .解32032222202222222cos sin )sin cos ()(a dt a dt t a t a t a t a ds y x Lπππ==++=+⎰⎰⎰.2. 计算ds x L⎰，其中L 为由直线x y =及抛物线2x y =所围成的区域的整个边界.解 )12655(1214121210-+=++=⎰⎰⎰dx x x dx x ds x L. 3．计算⎰Lyds ,其中L 是抛物线x y 42=上从)0,0(O 到)2,1(A 的一段弧.解⎰L y d s ＝dy y y dy y y ⎰⎰+=+202202421)2(1 )122(34)4(4412202-=++=⎰y d y . 4．计算⎰+Lds y x )(，其中L 为从点)0,0(O 到)1,1(A 的直线段.解⎰+L ds y x )(＝23211)(10=++⎰x x . 5．计算⎰L xyzds ，其中L 是曲线2321,232,t z t y t x ===)10(≤≤t 的一段. 解 ⎰Lx y z d s ＝⎰⎰+=++13102223)1(232)2(121232dt t t t dt t t t t t ＝143216.6．计算L⎰ ，其中L 为圆周222x y a +=,直线y x =及x 轴在第一象限所围成的扇形的整个边界.解L⎰ ＝⎰1L ＋⎰2L ＋⎰3L＝dx e dt t a t a edx eax aa x⎰⎰⎰+++++024022222201)sin ()cos (11π＝(2)14ae a π+-7．设在xoy 面内有一分布着质量的曲线L ,在点(),x y 处它的线密度为(),x y μ,试用对弧长的曲线积分分别表达(1)这条曲线弧对x 轴,y 轴的转动惯量,x y I I ； (2) 这条曲线弧的质心坐标,x y . 解 （1）⎰=Lx dS yI 2μ ⎰=Ly dS x I 2μ（2）⎰⎰=L L dSy x dS y x x x ),(),(μμ ⎰⎰=LL dSy x dS y x y y ),(),(μμ (二) 对坐标的曲线积分1．计算⎰+Lxdy ydx ，其中L 为圆周t R y t R x sin ,cos ==上对应t 从0到2π的一段弧. 解⎰+Lx d y y d x ＝0]cos cos )sin (sin [20=+-⎰dt t tR R t R t R π2．计算⎰+Lydx xdy ，其中L 分别为（1）沿抛物线22x y =从)0,0(O 到)2,1(B 的一段； （2）沿从)0,0(O 到)2,1(B 的直线段.； （3）沿封闭曲线OABO ，其中)0,1(A ,)2,1(B .解 （1）⎰=+=122)24(dx x x x I .（2）2)22(1=+=⎰dx x x I .（3）⎰+Lydx xdy ＝⎰⎰⎰++BOABOA＝210(22)0dy x x dx +++=⎰⎰.3．计算⎰-+++Ldz y x zdy xdx )1(，其中Γ是从点)1,1,1(到点)4,3,2(的一段直线.解 直线方程为312111-=-=-z y x ，其参数方程为13,12,1+=+=+=t z t y t x ，t 从0变到1.13])13(3)12(2)1[(1=+++++=⎰dt t t t I .4．计算2()Lxydx x y dy x dz +-+⎰，其中L 是螺旋线bt z t a y t a x ===,sin ,cos 从0=t 到π=t 上的一段.解 dt t b a t a t a t a t a t a t a I ⎰+-+-∙=π22]cos cos )sin cos ()sin (sin cos [)(222b a a +=π.5．设Γ为曲线23,,x t y t z t ===上相应于t 从0变到1的曲线弧.把对坐标的曲线积分Pdx Qdy Rdz Γ++⎰化成对弧长的曲线积分.解 由于)3,2,1()3,2,1(),,(2y x t t dt dz dt dy dt dx ==，故229411c o s y x ++=α，229412cos yx x ++=β，229413cos yx y ++=γ.(cos cos cos )Pdx Qdy Rdz P Q R dS αβγΓΓ++=++⎰⎰＝dS yx yR xQ P ⎰Γ++++2294132.(三) 格林公式及应用1．计算⎰-L ydy x dx xy 22，其中L 为圆周222a y x =+，取逆时针方向. 解⎰-Lydy x dx xy22＝0)22(=--⎰⎰Ddxdy xy xy2．计算⎰+--Ldy y x dx y x )sin ()(22，其中L 是在圆周22x x y -=上由点)0,0(到点)1,1( 的一段弧.解 y x P -=2,)sin (2y x Q +-= ()122017sin sin 246I x x x x dx =---=-⎰ 3. 计算(1)()xxL ye dx x e dy +++⎰，其中L 为椭圆22221x y a b +=的上半周由点(,0)A a 到(,0)B a -的弧段.解 x ye P +=1,x e x Q +=⎰⎰-=+11L L L I ＝2aD adxdy dx ab a π--=-⎰⎰⎰4. 计算3222(2cos )(12sin 3)Lxy y x dx y x x y dy -+-+⎰,其中L 为在抛物线22x y π=上由点(0,0)到,12π⎛⎫⎪⎝⎭的一段弧． 解 322cos P xy y x =-，2212sin 3Q y x x y =-+ ⎰⎰⎰--=+211L L L L I ＝0)4321(00122-+--⎰⎰⎰y y dxdy D π＝42π5. 计算⎰+-L y x xdy ydx )(222，其中L 为圆周2)1(22=+-y x ，L 的方向为逆时针方向. 解 )(222y x y P +=，)(222y x x Q +-=，当022≠+y x 时， yPy x y x x Q ∂∂=+-=∂∂)(22222 L 所围区域为D ，由于D ∈)0,0(，故不能直接用格林公式.选适当小的0>r ，作位于D 内的小圆周222:r y x l =+.记L 与l 所围区域为1D ，在1D 上应用格林公式，得⎰+-L y x xdyydx )(222－⎰+-l y x xdy ydx )(222＝0其中l 取逆时针方向.所以⎰+-L y x xdyydx )(222＝⎰+-l y x xdy ydx )(222＝πθθπ=--⎰20222222cos sin r r r . 6. 计算星形线t a y t a x 33sin ,cos ==，)20(π≤≤t 所围成区域的面积.解 ⎰-=L ydx xdy A 21＝2024224283)cos sin 3sin cos 3(a dt t t a t t a ππ=+⎰7. 证明曲线积分(2,1)423(1,0)(2)(4)xy y dx x xy dy -+-⎰在整个xoy 面内与路径无关，并计算积分值.解 （1）42y xy P -=，324xy x Q -=xQy x y P ∂∂=-=∂∂342在整个xoy 面上成立 故曲线积分(2,1)423(1,0)(2)(4)xy y dx x xy dy -+-⎰在整个xoy 面内与路径无关.（2）⎰⎰+=21L L I ＝8．验证dy x xydx 22+在整个xoy 平面内是某一函数),(y x u 的全微分，并求这样的一个),(y x u .解 （1）验证略；（2）y x dy x y x u yABOA2020),(=+=+=⎰⎰⎰9．试用曲线积分求dy y x dx y x )cos ()sin 2(++的原函数. 解 y x P sin 2+=，y x Q cos =，xQ y y P ∂∂==∂∂cos 在整个xoy 面上成立 所以 ⎰++=),()0,0()cos ()sin 2(),(y x dy y x dx y x y x u=y x x ydy x xdx yxsin cos 220+=+⎰⎰+C.(四) 对面积的曲面积分1．计算⎰⎰∑+dS y x)(22，其中∑是锥面22y x z +=及平面1=z 所围成的区域的整个边界曲面. 解⎰⎰∑+dS y x)(22＝⎰⎰⎰⎰∑∑+21＝⎰⎰⎰⎰+++++xyxyD D y x dxdy y x dxdy z z y x )(1)(222222 ⎰⎰++=xyD dxdy y x )()12(22＝π212+. 2. 计算⎰⎰∑++dS zy x )223(，其中∑为平面1432=++z y x 在第一卦限的部分.解 d x d y y x y x I xyD ⎰⎰-+-+--++=22)34()2(1))321(223(， ＝⎰⎰⎰⎰-+=+x D dy y dx dxdy y xy 23302)265(361)265(361 ＝614)42741549(361202=+-⎰dx x x . （x y x D xy 2330,20:-<<<<） 3．计算⎰⎰∑dS z 2，其中∑为球面2222a z y x =++. 解⎰⎰∑dS z 2＝⎰⎰⎰⎰--=++--xyxyD D y x dxdy y x a a dxdy z z y x a2222222221)(2＝42022342a d a d a aπρρρθπ=-⎰⎰4．计算⎰⎰∑++dS z y x )(，∑是球面0,222≥=++z a z y x .有问题 解 ⎰⎰----++=xyD dxdy y x a y x a y x I 222222)(＝⎰⎰⎰⎰--+--+xyxyD D dxdy y x a dxdy y x a y x )()(222222 ＝πρρρθπ2)(002220=-+⎰⎰ad a d 5．求抛物面壳221()(01)2z x y z =+≤≤的质量，此壳的面密度为z μ=. 解 ⎰⎰∑=zdS M ＝dxdy y x y x xyD 22221)(21+++⎰⎰＝2012d d πρ⎰(五) 对坐标的曲面积分1．计算⎰⎰∑zdxdy y x22，其中∑是球面2222R z y x =++的下半部分的下侧.解⎰⎰∑zdxdy y x22＝dxdy y x R y x xyD ⎰⎰--2222＝24220cos sin Rd πθρθρ⎰⎰ ＝72105R π2．计算⎰⎰∑++yzdzdx xydydzxzdxdy ，其中∑是平面1,0,0,0=++===z y x z y x 所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧. 解 4321∑+∑+∑+∑=∑0321===⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑⎰⎰⎰⎰--=++∑xyD dxdy y x x yzdzdx xydydz xzdxdy )1(34＝dy xy x x dx x⎰⎰---10102)(3＝85. 3．计算⎰⎰∑++=dxdy z h dxdz y g dydz x f I )()()(，其中h g f ,,为已知连续函数，∑为平行六面体c z b y a x ≤≤≤≤≤≤Ω0,0,0:表面的外侧. 解 654321∑+∑+∑+∑+∑+∑=∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰+-==∑yzyzD D dydz a f dydz f dydz x f I )()0()(1＝bc f a f )]0()([-⎰⎰⎰⎰⎰⎰+-==∑yzyzD D dxdz b g dxdz g dxdz y g I )()0()(2＝ac g b g )]0()([-ab h c h I )]0()([3-=所以321I I I I ++=＝ab h c h ac g b g bc f a f )]0()([)]0()([)]0()([-+-+-. 4．计算⎰⎰∑++dxdy z dzdx y dydz x 222，其中∑为半球面222y x a z --=的上侧.解⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑+=21222dydz x dydz x dydz x＝0)()(222222=-----⎰⎰⎰⎰dydz z y a dydz z y a yzyzD D 同理：02=⎰⎰∑dzdx y 4202222222)()(a d a d dxdy y x a dxdy z aD xyπρρρθπ=-=--=⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑故⎰⎰∑++dxdy z dzdx y dydz x 222＝42a π. 5．计算⎰⎰∑++zdxdy ydzdx xdydz ，其中∑是柱面122=+y x 被0=z 及3=z 所截得的在第一卦限内的部分的前侧. 解⎰⎰∑=0zdxdy⎰⎰⎰⎰⎰⎰-=-=∑1032211dz y dy dydz y xdydz yzDπθθθθππ43)2cos 1(23cos 320202=+==⎰⎰d d同理：π43=⎰⎰∑ydzdx 故⎰⎰∑++zdxdy ydzdx xdydz ＝π23. 6．设∑为平面x z a +=在柱面222x y a +=内那一部分的上侧，下面两个积分的解法是否正确？如果不对，给出正确解法. （1）3()()x z dS a dS a a ∑∑+==⨯∑=⎰⎰⎰⎰的面积； （2）3()()x z dxdy a dxdy a a ∑∑+==⨯∑=⎰⎰⎰⎰的面积. 解 （1）正确；（2）错误.正确解法是：()x z dxdy a dxdy ∑∑+=⎰⎰⎰⎰＝3adxdy a xyD π=⎰⎰.(六) 高斯公式利用高斯公式计算: 1．计算⎰⎰∑++dxdy z dzdx y dydz x 333，其中∑为球面2222a z y x=++的内侧.解 2223()I x y z dv Ω=-++⎰⎰⎰2403sin Rd d r dr ππθϕϕ=-⎰⎰⎰5125R π=- 2．计算⎰⎰∑++zdxdy ydzdx xdydz ，其中∑是曲面22y x z +=在第一卦限中10≤≤z 部分的下侧.解 补充曲面：)0,0,1(,1:221≥≥≤+=∑y x y x z ，取上侧； )1,10(,0:22≤≤≤≤=∑z x x y ，取左侧；)1,10(,0:23≤≤≤≤=∑z y y x ，取后侧.∑，1∑，2∑和3∑构成闭曲面，所围的空间闭区域记为Ω，由高斯公式，得⎰⎰∑++zdxdy ydzdx xdydz ＝⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑∑+∑+∑+∑---++321zdxdy ydzdx xdydz＝003+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩzxxyD D dzdx dxdy dv＝ππρρθρπ=+⎰⎰⎰43110202dz d d .3．计算⎰⎰∑+++-dxdy xz y dzdx x dydz z x y )()(22，∑为正方体Ω的表面并取外侧,其中 {(,,)|0,0,0}x y z x a y a z a Ω=≤≤≤≤≤≤.解 ()I y x dv Ω=+⎰⎰⎰＝400)(a dz y x dy dx aaa=+⎰⎰⎰ 4．计算⎰⎰∑++dS z y x )cos cos cos (222γβα，其中∑是由222z y x =+及)0(>=h h z 所围成的闭曲面的外侧，γβαcos ,cos ,cos 是此曲面的外法线的方向余弦. 解 2()2()2I x y z d x d y d z x y d x d y d z z d x d y d zΩΩΩ=++=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰=2220()xyxyh D D dxdy zdz h x y dxdy +=--⎰⎰⎰⎰=412h π.(七) 斯托克斯公式1．计算⎰-+-++Ldz z y dy z x dx z y )()()2(，其中L 为平面1=++z y x 与各坐标面的交线，取逆时针方向为正向. 解 由斯托克斯公式，得⎰-+-++Ldz z y dy z x dx z y )()()2(＝()()()R Q P R Q P dydz dzdx dxdy y z z x x y∑∂∂∂∂∂∂-+-+-∂∂∂∂∂∂⎰⎰ ＝⎰⎰∑-+dxdy dzdx dydz 2＝⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+=xyzxyzD D D dxdy dzdx dydz 2＝1. 2．计算⎰-+-+-Ldz x y dy z x dx y z )()()(，其中L 是从)0,0,(a 经)0,,0(a 和),0,0(a 回到)0,0,(a 的三角形.解 由斯托克斯公式，得⎰-+-+-Ldz x y dy z x dx y z )()()(＝()()()R Q P R Q P dydz dzdx dxdy y z z x x y∑∂∂∂∂∂∂-+-+-∂∂∂∂∂∂⎰⎰ ＝2242222a dxdy dxdy dydz dxdy dydz xyxyyzD D D ==+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑. (八) 曲线积分与曲面积分自测题1．计算曲线积分 (1)ds y x L⎰+22，其中L 为圆周ax y x =+22；解 :cos (-)22L r a ππθθ=≤≤)d s d d a θθθ==cos r a θ==ds y x L⎰+22=222cos 2a ad a ππθθ-=⎰ .(2)⎰Lzds ，其中Γ为曲线)0(,sin ,cos 0t t t z t t y t t x ≤≤===；解d s t d t=⎰Lz d s=0322(2)3t t +-=⎰ (3)⎰+-Lxdy dx y a )2(，其中L 为摆线)cos 1(),sin (t a y t t a x -=-=上对应t 从0到π2的一段弧；解⎰+-Lx d y dx y a )2(=20{[(2(1cos ))](1cos )(sin )sin }a a t a t a t t a t dt π---+-⎰=2220sin 2at tdt a ππ=-⎰. (4)⎰Γ-+-dz x yzdy dx z y 2222)(，其中Γ是曲线32,,t z t y t x ===上由01=t 到12=t 的一段弧；解⎰Γ-+-dz x yzdy dx z y2222)(=14623220[()1223]t t t t t t t dt -+-⎰=16401(3)35t t dt -=⎰(5)⎰-+-Lx x dyy e dx y y e )2cos ()2sin (，其中L为上半圆周0,)(222≥=+-y a y a x 沿逆时针方向；解 补充积分路径1:0L y =，x 从0到2a. sin 2,cos 2xxP e y y Q e yy =-=-11(s i n 2)(c o s 2)xx LL L L ey y dx e y dy +-+-=-⎰⎰⎰=220()(sin 020)0ax D Q Pdxdy e dx a x y π∂∂---+=∂∂⎰⎰⎰2．计算曲面积分 (1)⎰⎰∑++222z y x dS ，其中∑是介于平面0=z 及H z =之间的圆柱面222R y x =+； 解x =，dS ==⎰⎰∑++222z y x dS=12∑∑+⎰⎰⎰⎰=yzD+yzD=221yzD R z =+⎰⎰=2arctanHR π. (2) ⎰⎰∑-+-+-dxdy y x dzdx x z dydz z y )()()(222，其中∑为锥面)0(22h z y x z ≤≤+=的外侧；解 11I ∑+∑∑=-⎰⎰⎰⎰=()P Q Rdxdydz x y z Ω∂∂∂++∂∂∂⎰⎰⎰2()xyD x y dxdy --⎰⎰ =44044h h ππ-=-.(3)⎰⎰∑++zdxdy ydzdx xdydz ,其中∑为半球面22y x R z --=的上侧；解11I ∑+∑∑=-⎰⎰⎰⎰=()P Q R dxdydz x y z Ω∂∂∂++∂∂∂⎰⎰⎰0xyD dxdy -⎰⎰ =3302dv R πΩ-=⎰⎰⎰.(4)⎰⎰∑++++3222)(z y x zdxdyydzdx xdydz ，其中∑为曲面)0(9)1(16)2(5122≥-+-=-z y x z 的上侧；解 0I = （利用高斯公式） (5) ⎰⎰∑xyzdxdy ，其中∑为球面)0,0(1222≥≥=++y x z y x 外侧. 解⎰⎰∑xyzdxdy =12xyzdxdy xyzdxdy ∑∑+⎰⎰⎰⎰=12022cos sin xyD d r r πθθθ=⎰⎰⎰⎰=215. 3．证明：22yx ydyxdx ++在整个xoy 平面除去y 的负半轴及原点的区域G 内是某个二元函数的全微分，并求出一个这样的二元函数.解 在整个xoy 平面除去y 的负半轴及原点的区域G 是单连通域.在G 内，222()Q xy Px x y y ∂-∂==∂+∂， 所以存在(,)u x y ，使22xdx ydydu x y+=+. 取积分路径：(1,0)(,0)(,)x x y →→(,)22222(1,0)10(,)x y yx xdx ydy x y u x y dx dy x y x x y +==+++⎰⎰⎰=221ln()2x y +. 4．计算⎰Γ-+-++dz x y dy z x dx z y )()()2(,其中Γ为平面1=++z y x 与各坐标面的交线，从z 轴正向看取逆时针方向. 解 由斯托克斯公式，得⎰-+-++Ldz z y dy z x dx z y )()()2(＝()()()R Q P R Q Pdydz dzdx dxdy y z z x x y∑∂∂∂∂∂∂-+-+-∂∂∂∂∂∂⎰⎰ ＝⎰⎰∑-+dxdy dzdx dydz 2＝⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+=xyzxyzD D D dxdy dzdx dydz 2＝1.5．求均匀曲面222y x a z --=的质心的坐标.解 设面密度为ρ，重心(,,)x y z 由对称性：0x y ==2200xyaD M dS πρρ∑===⎰⎰⎰=22a πρ2112xyD z zdS Ma ρπ∑==⎰⎰=2a 故重心的坐标为(0,0,)2a .。
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第十一章 曲线曲面积分一、填空1、L 为下半圆21y x =--，则22()L x y ds +=⎰___π_______。
2、L 为222x y R +=，则3(2)L x y ds +=⎰____0____。
3、L 为圆22(2)(2)2x y -+-=的逆时针一周，则L ydx xdy +⎰=_0_。
4、设L 是xoy 平面上沿顺时针方向绕行的简单闭曲线，L 所围的平面闭区域D 的面积为A ，(2)(43)8L x dx x y dy -++=-⎰，则A=___2_______。
5、分片光滑闭曲面Σ所围成的空间区域Ω的体积为V ，则沿曲面Σ外侧的积分()()()z y dxdy y x dxdz x z dzdy ∑-+-+-⎰⎰= 3V 。
二、选择题1、设是一光滑曲线，为了使曲线积分(,)(,)L yF x y dx xF x y dy +⎰与积分路径无关，则可微函数 应满足条件（ A ）。
A 、B 、C 、D 、2、OM 是从(0,0)(1,1)O M 到的直线段，则22x y OM e ds +⎰不等于（D ）。
A 、1202x e dx ⎰B 、1202y e dy ⎰C 、20r e dr ⎰D 、102r e dr ⎰ 3、∑：2221x y z ++=外侧，1∑：上半面上侧，则正确的是（B ）。
A 、12zds zds ∑∑=⎰⎰⎰⎰ B 、12zdxdy zdxdy ∑∑=⎰⎰⎰⎰ C 、1222z dxdy z dxdy ∑∑=⎰⎰⎰⎰ D 、zdxdy ∑⎰⎰=0 4、∑：222(),0z x y z =-+≥，则ds ∑⎰⎰等于（ C ）。
A 、220014r d r rdr πθ+⋅⎰⎰ B 、2220014d r rdr πθ+⋅⎰⎰ C 、2220014d r rdr πθ+⋅⎰⎰ D 、2 5、∑：222,12x y R z +=≤≤外侧，则下列不正确的是等于（B ）。
A 、22x y zdxdy ∑⎰⎰＝0 B 、22x y zdzdy ∑⎰⎰＝0 C 、2x yzdxdz ∑⎰⎰＝0 D 、2x yzdxdy ∑⎰⎰＝0 三、计算 1、⎰L xyds ，其中L 为圆)0a (t sin a y t cos a x >⎩⎨⎧==在第一象限的圆弧。
解：I ＝⎰L xyds =⎰π+-2/022dt )t cos a ()t sin a (t sin ta cos a ==⎰π2/03t sin td sin a =2a 32、(),:1,02Lx y ds L y x x x +=--≤≤⎰。
解：1201:112y x x L y x =-≤≤⎧⎨=-≤≤⎩()L x y ds +⎰＝122201(12)1(2)(1)1(0)x x dx x dx +-+-+-+⎰⎰＝512+ 3、⎰+++Ldy )2x 8(dx )y 2x (，其中L 为从原点O(0,0)沿直线至点A(2,0)，再沿直线至点B （4,4）。
解：I ＝⎰20xdx +⎰++-+42dx )]2x 8(2)4x 2(2x [＝1204、⎰+++-L 22yx dy)y x (dx )y x (，其中L 为圆周)0a (a y x 222>=+按逆时针方向绕行一周。
解：L:⎩⎨⎧==t sin a ytcos a x t:02I ＝⎰π++-202a )t sin a (d )t sin a t cos a ()t cos a (d )t sin a t cos a (=2.5、I ＝222L (xy y sin x)dx (1x y 2ycos x)dy π--+-+⎰，其中L 为从原点O(0,0)沿抛物线2xy ()=π再到点A (，1)的一段弧。
解：记P=22xy y sin x π--，Q=21x y 2y cos x -+ 则 P Q 2xy 2ysin x y x ∂∂==--∂∂ 积分与路径无关 OB ：y=0(x 0) BA ：x= (1y 0) I= OB BA ()Pdx Qdy ++⎰⎰=1200dx (1y 2y)dy ππ+-π-⎰⎰ =2 /2 6、⎰-+-L 2x x dy )y 3y cos e (dx )y 20y sin e (，其中L 为从点O(0,0)沿右半圆周2y y 2x -π=，再到点A (0,2)的一段圆弧。
解：设P=y 20y sin e x -，Q=2x y 3y cos e - 则I= ⎰⎰⎰+++L OA AO Qdy Pdx )( A(0，2) =⎰⎰⋃++AO L OA Qdy Pdx )( =⎰⎰⎰++∂∂-∂∂OA D Qdy Pdx dx dy )y P x Q ( =dy ]y 3y [cos dxdy )]20y cos e (y cos e [202D x x ⎰⎰⎰π-+-- =π-+π⨯π2032)y y (sin 220=32π 7、(sin 2)(6cos )y y L I e x y dx x e x dy =-+-⎰，其中L 为从点(,0)A π沿上半圆周2y x x π=-(0,0)O 的一段圆弧。
解：记P=y e sin x 2y -，Q=y 6x e cos x - 则 Q P 8x y ∂∂-=∂∂ 补OA ：y=0(x ：0→) 则I= L OA OA ()Pdx Qdy +-+⎰⎰=D 08dxdy sin xdx π-⎰⎰⎰ =3–28、I ＝⎰π-++-π-Lx x dy y x ye dx y x e y )22()2(2，其中L 为从点A(2,0)沿上半圆周22x x y -=，再到原点O (0,0)的一段圆弧。
解：设P=y x e y x -π-22，Q=y x ye x π-+22则I=⎰⎰⎰+-+L OA OA Qdy Pdx )(=⎰⎰⋃+-OA L OA Qdy Pdx )(=⎰⎰⎰+-∂∂-∂∂OA D Qdy Pdx dxdy y P x Q )(=dx x dxdy ye ye D x x ]2[)]12()12[(2⎰⎰⎰π----+ =2022)(212x π--⨯π=π59、2(1z )dS ∑+⎰⎰，其中为上半球面22z 1x y =--。
解：的投影22xy D :x y 1+≤ 2(1z )dS ∑+⎰⎰＝xy 222222D x y 2(1x y )1dxdy 1x y +π+--+--⎰⎰ ＝xy 22D 21x y dxdy π+--⎰⎰＝28233πππ+= 10、2(13z )dxdy ∑+⎰⎰，为上半球面22z 1x y =--的上侧。
解：的投影22xy D :x y 1+≤ 2(13z )dxdy ∑+⎰⎰=xy 22D (13(1x y )dxdy ++--⎰⎰ xy xy 22D D dxdy 3(1x y )dxdy =+--⎰⎰⎰⎰ xy 22D 3(1x y )dxdy =π+--⎰⎰ 令x r cos ,y rsin ,0r 1,02=θ=θ≤≤≤θ≤π 211222221000033d 3(1r )rdr 3(1r )d(1r )(1r )22ππ=θ-=-π--=--=π⎰⎰⎰25(13z )dxdy 2∑∴+=π⎰⎰ 11、322322(x y z)dydz (x y z)dzdx z(x y )dxdy ∑+++++-+⎰⎰， 为旋转抛物面22z x y =+被平面平面z=1所截下部分的的下侧。
解：补平面1：22z 1 x y 1 =⎧⎨+≤⎩取上侧，与1所围的空间区域为。
的投影22xy D :x y 1+≤记P=32x y z ++， Q=23x y z ++， R=22z(x y )-+ 2P 3x x ∂=∂，2Q 3y y ∂=∂，22R x y z ∂=--∂，22P Q R2(x y )x y z ∂∂∂++=+∂∂∂ 原式Rdxdy Qdzdx Pdydz )(11++-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑＝⎰⎰⎰⎰∑∑+∑++-++11Rdxdy Qdzdx Pdydz Rdxdy Qdzdx Pdydz =xy22D P Q R ()dxdydz (x y )dxdy x y z Ω∂∂∂++++∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ =2222D2(x y )dxdydz (x y )dxdy Ω+++⎰⎰⎰⎰⎰=22113002d d dz πρθρρ⎰⎰⎰+⎰⎰πρρθ20103d d =135054()d 26πππρ-ρρ+=⎰12、222222(9)(9)[()]xy z dydz yx z dzdx x y z dxdy ∑+++++⎰⎰，为圆锥面22y x z +=被平面Z=1所截下部分的的下侧。
解：补1为圆⎩⎨⎧=≤+ 1z 1y x 22的上侧，为锥体1z y x 22≤≤+的内部，D 为圆⎩⎨⎧ =≤+0122z y x 的内部， 原式=Rdxdy Qdzdx Pdydz )(11++-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑＝ ⎰⎰⎰⎰∑∑+∑++-++11Rdxdy Qdzdx Pdydz Rdxdy Qdzdx Pdydz=⎰⎰⎰⎰⎰+-∂∂+∂∂+∂∂ΩD 22dx dy )y x (dx dydz )z R y Q x P ( =⎰⎰⎰⎰⎰+-+ΩD 2222dxdy )y x (dxdydz )y x (10 =⎰⎰⎰⎰⎰+-++D 221y x D 22dx dy )y x (dz )y x (1022 =dxdy ])y x (10)y x (9[232222D +-+⎰⎰ =⎰⎰π-θ201032rdr )r 10r 9(d =/2 13、()32222d d d d d d Σx y z y z x z x y x y z ++++⎰⎰，Σ为空间区域(){}222≤≤≤=z ,y ,x x,y,z Ω边界曲面的外侧。
解：记P ＝32222()x x y z ++，则222522222()P y z x x x y z ∂+-=∂++Q ＝32222()y x y z ++，则222522222()Q x z y y x y z ∂+-=∂++R ＝32222()z x y z ++，则222522222()R x y z z x y z ∂+-=∂++所以在Ω中除原点外有0PQ Rx y z ∂∂∂++=∂∂∂设曲面1∑为2221x y z ++=取外侧，1∑的内部区域为1Ω， 则()132222d d d d d d 0Σx y z y z x z x yx y z +∑++=++⎰⎰ ()32222d d d d d d Σx y z y z x z x y x y z ++++⎰⎰＝()132222d d d d d d Σx y z y z x z x yx y z ++-++⎰⎰＝1d d d d d d Σx y z y z x z x y -++⎰⎰＝134dv πΩ=⎰⎰⎰ 四、应用题1、求变力{}3,2F x y y x =+-将质点沿椭圆2244x y +=的正向转动一周所做的功。