曲线曲面积分练习答案

第十一章 曲线曲面积分

一、填空

1、L 为下半圆21y x =--，则22()L x y ds +=⎰___π_______。

2、L 为222x y R +=，则3(2)L x y ds +=⎰____0____。

3、L 为圆22(2)(2)2x y -+-=的逆时针一周，则L ydx xdy +⎰=_0_。

4、设L 是xoy 平面上沿顺时针方向绕行的简单闭曲线，L 所围的平面闭区域D 的面积为A ，(2)(43)8L x dx x y dy -++=-⎰，则A=___2_______。

5、分片光滑闭曲面Σ所围成的空间区域Ω的体积为V ，则沿曲面Σ外侧的积分()()()z y dxdy y x dxdz x z dzdy ∑-+-+-⎰⎰= 3V 。

二、选择题

1、设是一光滑曲线，为了使曲线积分(,)(,)L yF x y dx xF x y dy +⎰

与积分路径无关，则可微函数 应满足条件（ A ）。

A 、

B 、

C 、

D 、

2、OM 是从(0,0)(1,1)O M 到的直线段，则22x y OM e ds +⎰不等于（D ）。

A 、1202x e dx ⎰

B 、1202y e dy ⎰

C 、20r e dr ⎰

D 、102r e dr ⎰ 3、∑：2221x y z ++=外侧，1∑：上半面上侧，则正确的是（B ）。 A 、12zds zds ∑∑=⎰⎰⎰⎰ B 、12zdxdy zdxdy ∑∑=⎰⎰⎰⎰ C 、1222z dxdy z dxdy ∑∑=⎰⎰⎰⎰ D 、zdxdy ∑⎰⎰=0 4、∑：222(),0z x y z =-+≥，则ds ∑⎰⎰等于（ C ）。 A 、220014r d r rdr πθ+⋅⎰⎰ B 、2220014d r rdr πθ+⋅⎰⎰ C 、2220014d r rdr πθ+⋅⎰⎰ D 、2 5、∑：222,12x y R z +=≤≤外侧，则下列不正确的是等于（B ）。 A 、22x y zdxdy ∑⎰⎰＝0 B 、22x y zdzdy ∑⎰⎰＝0 C 、2x yzdxdz ∑⎰⎰＝0 D 、2x yzdxdy ∑⎰⎰＝0 三、计算 1、⎰L xyds ，其中L 为圆)0a (t sin a y t cos a x >⎩⎨⎧==在第一象限的圆弧。 解：I ＝⎰L xyds =⎰π+-2/022dt )t cos a ()t sin a (t sin ta cos a ==⎰π2/03t sin td sin a =2a 3

2、(),:1,02L

x y ds L y x x x +=--≤≤⎰。

解：1201

:112y x x L y x =-≤≤⎧⎨=-≤≤⎩

()L x y ds +⎰＝1

22201(12)1(2)(1)1(0)x x dx x dx +-+-+-+⎰⎰＝51

2

+ 3、⎰+++L

dy )2x 8(dx )y 2x (，其中L 为从原点O(0,0)沿直线至点A(2,0)，

再沿直线至点B （4,4）。

解：I ＝⎰20xdx +⎰++-+4

2

dx )]2x 8(2)4x 2(2x [＝120

4、⎰+++-L 22y

x dy

)y x (dx )y x (，其中L 为圆周)0a (a y x 222>=+按逆时针方

向绕行一周。

解：L:⎩⎨⎧==t sin a y

t

cos a x t:02

I ＝⎰π

++-202

a )t sin a (d )t sin a t cos a ()t cos a (d )t sin a t cos a (

=2.

5、I ＝2

22L (xy y sin x)dx (1x y 2ycos x)dy π--+-+⎰，其中L 为从原点O(0,0)

沿抛物线2x

y ()=π再到点A (，1)的一段弧。

解：记P=22xy y sin x π--，Q=21x y 2y cos x -+ 则 P Q 2xy 2ysin x y x ∂∂==--∂∂ 积分与路径无关 OB ：y=0(x 0) BA ：x= (1y 0) I= OB BA ()Pdx Qdy ++⎰⎰=1200dx (1y 2y)dy ππ+-π-⎰⎰ =2 /2 6、⎰-+-L 2x x dy )y 3y cos e (dx )y 20y sin e (，其中L 为从点O(0,0)沿右半圆周2y y 2x -π=，再到点A (0,2)的一段圆弧。 解：设P=y 20y sin e x -，Q=2x y 3y cos e - 则I= ⎰⎰⎰+++L OA AO Qdy Pdx )( A(0，2) =⎰⎰⋃++AO L OA Qdy Pdx )( =⎰⎰⎰++∂∂-∂∂OA D Qdy Pdx dx dy )y P x Q ( =dy ]y 3y [cos dxdy )]20y cos e (y cos e [202D x x ⎰⎰⎰π-+-- =π-+π⨯π2032)y y (sin 220=32π 7、(sin 2)(6cos )y y L I e x y dx x e x dy =-+-⎰，其中L 为从点(,0)A π沿上

半圆周2y x x π=-(0,0)O 的一段圆弧。

解：记P=y e sin x 2y -，Q=y 6x e cos x - 则 Q P 8x y ∂∂-=∂∂ 补OA ：y=0(x ：0→) 则

I= L OA OA ()Pdx Qdy +-+⎰⎰=D 0

8dxdy sin xdx π

-⎰⎰⎰ =3–2

8、I ＝⎰π-++-π-L

x x dy y x ye dx y x e y )22()2(2，其中L 为从点A(2,0)沿

上半圆周22x x y -=，再到原点O (0,0)的一段圆弧。

解：设P=y x e y x -π-22，Q=y x ye x π-+22

则I=⎰⎰⎰+-+L OA OA Qdy Pdx )(=⎰⎰⋃+-OA L OA Qdy Pdx )(

=⎰⎰⎰+-∂∂

-∂∂OA D Qdy Pdx dxdy y P x Q )(

=dx x dxdy ye ye D x x ]2[)]12()12[(2

⎰⎰⎰π--

--+ =2

022

)(212x π--⨯π=π5

9、2(1z )dS ∑

+⎰⎰，其中为上半球面22z 1x y =--。

解：的投影22

xy D :x y 1+≤ 2(1z )dS ∑+⎰⎰＝xy 222222D x y 2(1x y )1dxdy 1x y +π+--+--⎰⎰ ＝xy 22D 21x y dxdy π+--⎰⎰＝28233πππ+= 10、2(13z )dxdy ∑+⎰⎰，为上半球面22z 1x y =--的上侧。 解：的投影22xy D :x y 1+≤ 2(13z )dxdy ∑+⎰⎰=xy 22D (13(1x y )dxdy ++--⎰⎰ xy xy 22D D dxdy 3(1x y )dxdy =+--⎰⎰⎰⎰ xy 22D 3(1x y )dxdy =π+--⎰⎰ 令x r cos ,y rsin ,0r 1,02=θ=θ≤≤≤θ≤π 211222221000033d 3(1r )rdr 3(1r )d(1r )(1r )22ππ=θ-=-π--=--=π⎰⎰⎰

25(13z )dxdy 2∑∴+=π⎰⎰ 11、322322(x y z)dydz (x y z)dzdx z(x y )dxdy ∑+++++-+⎰⎰， 为旋转抛物面22z x y =+被平面平面z=1所截下部分的的下侧。