一次函数与三角形面积

一次函数相关的面积问题

思路：画出草图，把要求的图形构建出来，根据面积公式，把直线与坐标轴的交点计算出来，把坐标转化成线段，代入面积公式求解。

规则图形（公式法）

不规则图形（切割法）

不含参数问题

含参数问题（用参数表示点坐标，转化成线段）

注意：坐标的正负、线段的非负性。

求面积时，尽量使底或高中的一者确定下来（通过对图像的观察，确定底和高），然后根据面积公式，建立等式。

1、求直线y = -2x +4，y = 2x -4 及y 轴围成的三角形的面积。

2、已知正比例函数y = 2x与一次函数y = x +2相交于点P，则在x上是否存在一点A，使S△POA=4?若存在，求出点有坐标；若不存在，请说明理由。

3、如下图，一次函数的图像交正比例函数的图像于M 点，交x 轴于点N（-6，

0），已知点M 在第二象限，其横坐标为-4，若S△NOM=15，求正比例函数的解 析式。

过点 A ，B ，直线l 1，l 2交于点C ．

（1）求点 D 的坐标；

（2）求直线l 2的解析表达式；

（3）求△ADC 的面积；

（4）在直线l 2上存在异于点C 的另一点P ，使得

△ADP 与△ADC 的面积相等，请直．接．写出点P 的

坐标． 图 11 5、如图，直线 L 的解析表达式为 y = -1 x +2，且与 x 轴、y 轴交于点 A 、B ， 在 y 轴上有一点 C （0，4），动点 M 从 A 点以每秒 1 个单位的速度沿 x 轴向 左移动。

直线 l 经

1）求A、B 两点的坐标；

2）△COM 的面积 S 与 M 的移动时间 t 之间的函数关系式；

3）当何值时△COM≌△AOB，并求出此时 M 点的坐标。

一次函数（动态问题）举一反三：如图（十二），直线l的解析式为y = -x + 4，它与x轴、y轴分别相交于A、B 两点．平行于直线l的直线m从原点O出发，沿x轴的正方形以每秒 1 个单位长度的速度运动，它与x轴、y轴分别相交于M、N两点，设运动时间为t秒（0 t≤ 4 ）．

1）求A、B两点的坐标；（2）用含t的代数式表示△MON的面积S1；

3）以MN为对角线作矩形OMPN，记△MPN和△OAB重合部分的面积为S2 ，

①当2t≤4时，试探究S2与t之

间的函数关系式；

②在直线m的运动过程中，当t为何

值时，S2为△OAB面积的5？

216

图十二

答案】解（1）当x=0时，y = 4 ；当y = 0时，x = 4 ．A（4，0），B（0，4）；2）Q MN∥AB，O O M N =O O B A =1，OM =ON =t，S1= 12OM·ON = 12t2；

3）①当2 t≤ 4时，易知点P在△OAB的外面，则点P的坐标为（t，t）,

x= t，

F点的坐标满足即F（t，4 - t），同理E（4-t，t），则

y=-t+4，

PF =PE= t-（4-t）=2t-4，所以S2 = S△MPN -S△PEF = S△OMN -S△PEF

=1t2-1PE·PF = 1t2-1（2t-4）（2t-4）=-3t2+8t-8；

2 2 2 2 2

②当0t≤2时，S = t2，t2= 44= ，解得t=- 50，t= 5 2，

2 2 2 16 2 2 12

35 7 两个都不合题意，舍去；当2 t

≤4时，S =-3t2+8t-8= 5，解得t =3，t =7，

75

综上得，当t = 7或t =3时，S2为△OAB的面积的5．

32 16

模仿操练：如图，直线y = -x + 4与两坐标轴分别相交于 A.B 点，点M是线段AB上

任意一点（A.B 两点除外），过M 分别作MC⊥OA于点C，MD⊥OB于D．

（1）当点M在AB上运动时，你认为四边形OCMD 的周长是否发生变化？并说明理由；（2）当点M 运动到什么位置时，四边形OCMD 的面积有最大值？最大值是多少？

（3）当四边形OCMD为正方形时，将四边形OCMD沿着x轴的正方向移动，设平移的距离为a（0 a4），正方形OCMD 与△AOB重叠部分的面积为S．试求S 与a的函

数关系式并画出该函数的图象．

6、在ABC中，C = Rt, AC = 4cm, BC =5cm,点D在BC上，且以CD＝3cm,现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以1cm/s的速度，沿AC向终点 C 移动；点Q 以 1.25cm/s 的速度沿BC 向终点 C 移动。过点P 作PE∥BC 交AD 于点E，连结EQ。设动点运动时间为x 秒。

（1）用含x 的代数式表示AE、DE的长度；

（2）当点Q在BD（不包括点B、D）上移动时，设EDQ的面积为y（cm2），求y与x 的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

3）当x为何值时，EDQ为直角三角形。

7、如图1，在平面直角坐标系中，已知点A（0，4 3），点B在x正半轴上，且

∠ABO = 30o．动点P在线段AB上从点A向点B以每秒3个单位的速度运动，设运动时

间为t秒．在x轴上取两点M，N作等边△PMN．

（1）求直线AB的解析式；

（2）求等边△PMN的边长（用t的代数式表示），并求出当等边△PMN的顶点M运动到与原点O重合时t的值；

（3）如果取OB的中点D，以OD为边在Rt△AOB内部作如图2所示的矩形ODCE，点C在线段AB上．设等边△PMN和矩形ODCE重叠部分的面积为S，请求出当0 ≤t≤2秒时S与t的函数关系式，并求出S的最大值．