第十九讲(1)应变能、复合材料应力应变关系

a a 90

互垂方位的切应变 数值相等、符号相反 上述分析建立在几何关系基础上，所得结论适 用于任何小变形问题，而与材料的力学特性无关
应变圆
x y x y xy 2 2 sin2a a cos2a 2 x 2 y xy 2 R x a y2 xy2 cos2 a sin2a

畸变能密度
体积改变 形状不变
形状改变 体积不变
相应的应变能密度 －畸变能密度 vd 由 得
vε 1 2 2 2 1 2 3 - 2 1 2 2 3 3 1 2E


vd
1 1 2 2 2 3 2 3 1 2 6E
2 max x y 2 xy
xy / 2 xy tana 0 x min 2 x min
广义胡克定律（三向应力状态）
1 E 1 y [ y - ( z x )] E 1 z [ z - ( x y )] E


3、单层板：
单向纤维在树脂基体中呈扁平形式的层片——预浸带。
4、层合板壳：
单层板以不同角度铺设后经高温固化而成的板或壳。
5、特点： 比强度、比刚度大，可设计，等等。
单层板正轴应力应变关系
1, 1
1
E1
2 , 1 12
1
2 , 2
2
E2
E1
1, 2 21
max 1
max
min 3
1 3
2
平面应变状态任意方位应变
定义： 1） 方位角 a： 以 x 轴为始边，为正 2） 正应变：OB向正应变 拉应变为正 3） 切应变：直角BOD的改变量，增大为正
结论
任一方位应变： x y x y xy a cos2a - sin2a 2 2 2 xy a x y sin2a cos2a 2 2 2 互相垂直方位切应变：
1 2 2 3 3 dxdydz 2 1 1 vε 1 1 1 2 2 3 3 2
2

2

2
dV ε
单位体积内的应变能－应变能密度
对各向同性材料
vε
1 2 2 2 1 2 3 - 2 1 2 2 3 3 1 2E
x Ea (a ) x (a ) xy Ga (a ) Ga xy (a )
Ea
§9 复杂应力状态下的应变能
应变能密度一般表达式
体应变 畸变能密度
应变能密度一般表达式
dW dV ε
1dydz 1dx 2dzdx 2dy 3dxdy 3dz
2 2 2 2 2 2 2 x y a x y xy a 0 2 2 2 2
最大应变与主应变
max x y 1 2 2 x y xy min 2 2
x [ x - ( y z )]
适用范围：各向同性材料，线弹性范围内
§8 复合材料应力应变关系简介
正轴应力应变关系
偏轴力学特性
基本概念
1、复合材料：
由良种或两种以上性能不同的材料所构成的材料。
2、分类：
纤维增强（树脂）复合材料：层合、编织、缝纫； 颗粒增强 薄片增强
1 1 E1 12 2 E1 12 0

21
E2 1 E2 0
0 1 0 2 1 12 G12
偏轴力学特性
拉伸与剪切之间存在耦合效应 应力主轴与应变主轴不重合 弹性常数具有方向性


体应变
dV (1 1 )(1 2 )(1 3 )dxdydz dV (1 1 2 3 )dVo
dVo dxdydz－原体积
微体的体积变化率－体应变
dV dVo 1 2 1 2 3 1 2 3 E dVo 3(1 2 ) av 1 av 1 2 3 － 平均应力 3 E
第 7 章 应力、应变状态分析
§1 §2 §3 §4 §5 §6 §7 §8 §9
引言 平面应力状态应力分析 应力圆 平面应力状态的极值应力与主应力 复杂应力状态的最大应力
平面应变状态应变分析
各向同性材料的应力应变关系 复合材料的应力应变关系简介
上讲回顾
复杂应力状态下的应变能
三向应力圆
三 向 应 力 圆
2
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E2
E1－纵向弹性模量 12－纵向泊松比
E2－横向弹性模量 21－横向泊松比
可以证明（见第 10 章）：12 E2 21 E1
1
1 21 2
E1 E2
2
2 12 1
E2 E1
γ 12
τ 12 G12
G12－纵向切变模量
单层板正轴应力应变关系