人教版数学九年级下册数学：第27章 相似 专题练习(附答案)

专题1 相似三角形的基本模型

模型1 A 字型及其变形

(1)如图1，公共角所对的边平行(DE ∥BC)，则△ADE ∽△ABC ；

(2)如图2，公共角的对边不平行，且有另一组角相等(∠AED ＝∠ABC 或∠ADE ＝∠ACB)，则△AED ∽△ABC.

【例1】 如图，在△ABC 中，AB ＝5，D ，E 分别是边AC 和AB 上的点，且∠ADE ＝∠B ，DE ＝2，求AD ·BC 的值．

解：∵∠ADE ＝∠B ，∠EAD ＝∠CAB ， ∴△ADE ∽△ABC. ∴DE BC ＝AD AB

. ∴AD ·BC ＝DE ·AB. 又∵DE ＝2，AB ＝5， ∴AD ·BC ＝2×5＝10.

1．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DF ∥AC ，AE ＝3，AC ＝5，BC ＝10，则BF 的长为 .

2．如图，在锐角△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF＝∠GAC.求证：△ADE∽△ABC.

模型2 X字型及其变形

(1)如图1，对顶角的对边平行(AB∥CD)，则△ABO∽△DCO；

(2)如图2，对顶角的对边不平行，且有另一对角相等(∠B＝∠D或∠A＝∠C)，则△ABO∽△CDO.

【例2】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC与BD相交于点O.求证：△ABO∽△CDO.

证明：∵AB∥CD，

∴∠OAB＝∠OCD，

∠OBA＝∠ODC.

∴△ABO∽△CDO.

【补充设问】△AOD与△BOC相似吗？试说明理由．

解：△AOD 与△BOC 不相似． 理由如下：∵∠AOD ＝∠COB ， 要使△AOD 与△BOC 相似， ∴当满足DO CO ＝AO BO 或DO BO ＝AO

CO

时，

即DO ·BO ＝AO ·CO 或DO ·CO ＝AO ·BO 时，△AOD 与△BOC 相似．

由已证可知△ABO ∽△CDO ，∴

AO CO ＝BO DO

， 即AO ·DO ＝BO ·CO ，不满足证明△AOD 与△BOC 相似的条件． ∴△AOD 与△BOC 不相似．

【变式】 如图，在四边形ABDC 中，若AB 不平行于CD ，∠ABC ＝∠ADC ，则图中的相似三角形有△COD ∽△AOB ，△AOC ∽△BOD ．

3．如图，在正方形ABCD 中，G 为CD 边中点，连接AG 并延长交BC 边的延长线于点E ，对角线BD 交AG 于点F ，已知FG ＝2，则线段AE 的长度为( )

A ．6

B ．8

C ．10

D ．12

4．将一副三角尺如图所示叠放在一起，则BE

EC

的值是 ．

5．如图，已知∠ADE ＝∠ACB ，BD ＝8，CE ＝4，CF ＝2，求DF 的长．

模型3 子母型

若两个三角形有一个公共角和一条公共边，且有另一对角相等，则这两个三角形相似．如图，若∠ACD ＝∠B ，则△ACD ∽△ABC ，从而可得结论：AC 2

＝AD ·AB.

【例3】 如图，P 是△ABC 的边AB 上的一点．

(1)如果∠ACP ＝∠B ，△ACP 与△ABC 是否相似？为什么？

(2)如果AP AC ＝AC AB ，△ACP 与△ABC 是否相似？为什么？如果AC CP ＝BC

AC

呢？

解：(1)△ACP ∽△ABC.理由如下： ∵∠ACP ＝∠ABC ， ∠PAC ＝∠CAB ， ∴△ACP ∽△ABC.

(2)AP AC ＝AC

AB 时，△ACP ∽△ABC.理由如下：

∵∠PAC ＝∠CAB ，且AP AC ＝AC

AB ，

∴△ACP ∽△ABC.

由AC CP ＝BC

AC

不能得到△ACP 与△ABC 相似． ∵AC 与CP 的夹角为∠ACP ，BC 与AC 的夹角为∠ACB ， 而∠ACP 与∠ACB 不相等，

∴由AC CP ＝BC

AC

不能得到△ACP 与△ABC 相似．

6．如图，在△ABC 中，AD 是中线，BC ＝8，∠B ＝∠DAC ，则线段AC 的长为( )

A ．4

B ．4 2

C ．6

D ．4 3

7．如图，在△ABC 中，D 为AB 边上一点，且∠BCD ＝∠A ，若BC ＝22，AB ＝3，则BD 的长为 ．

模型4 双垂直型

直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．如图，Rt △ABC 中，CD 为斜边AB 上的高，则有△ACD ∽△ABC ∽△CBD ，从而可得结论：CD 2

＝BD ·AD ，BC 2

＝BD ·AB ，AC 2

＝AD ·AB.

【例4】 如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC ，垂足为D. (1)请指出图中所有的相似三角形；

(2)你能得出AD2＝BD·DC吗？

解：(1)△BAD∽△BCA∽△ACD.

(2)能得出AD2＝BD·DC.

理由如下：

∵∠BAC＝90°，

∴∠BAD＋∠DAC＝90°.

∵AD⊥BC，

∴∠DAC＋∠ACD＝90°，∠BDA＝∠ADC＝90°.

∴∠BAD＝∠ACD.

又∵∠BDA＝∠ADC，

∴△BAD∽△ACD.

∴AD

CD

＝

BD

AD

，即AD2＝BD·DC.

8．如图，在Rt△ABC中，CD⊥AB，D为垂足，且AD＝3，AC＝35，则斜边AB的长为() A．3 6

B．15

C．9 5

D．3＋3 5

9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，AD＝9，BD＝4，那么CD＝，AC＝．