人教新课标版数学高二-数学选修2-1练习1.4.1~1.4.2全称量词、存在量词

§1.4 全称量词与存在量词

1．4.1 全称量词

1．4.2 存在量词

一、基础过关

1．下列命题：

①中国公民都有受教育的权利；

②每一个中学生都要接受爱国主义教育；

③有人既能写小说，也能搞发明创造；

④任何一个数除0，都等于0.

其中全称命题的个数是

( ) A ．1 B ．2 C ．3

D ．4 2．下列命题中，真命题是

( ) A ．∃m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是偶函数

B ．∃m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是奇函数

C ．∀m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )都是偶函数

D ．∀m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )都是奇函数

3．给出四个命题：①末位数是偶数的整数能被2整除；②有的菱形是正方形；③存在

实数x ，x >0；④对于任意实数x,2x ＋1是奇数．下列说法正确的是

( )

A ．四个命题都是真命题

B ．①②是全称命题

C ．②③是特称命题

D ．四个命题中有两个假命题

4．下列全称命题中真命题的个数为

( ) ①负数没有对数；

②对任意的实数a ，b ，都有a 2＋b 2≥2ab ；

③二次函数f (x )＝x 2－ax －1与x 轴恒有交点；

④∀x ∈R ，y ∈R ，都有x 2＋|y |>0.

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4 5．已知命题p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋14

<0；命题q ：∃x ∈R ，sin x ＋cos x ＝ 2.则下列判断正确的是 ( )

A ．p 是真命题

B ．q 是假命题

C ．綈p 是假命题

D ．綈q 是假命题

6．下列命题中，既是真命题又是特称命题的是

( ) A ．存在一个α，使tan(90°－α)＝tan α

B ．存在实数x 0，使sin x 0＝π2

C ．对一切α，sin(180°－α)＝sin α

D ．sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β

7．下列4个命题：

p 1：∃x ∈(0，＋∞)，⎝⎛⎭⎫12x <⎝⎛⎭⎫13x ；

p 2：∃x ∈(0,1)，log 12x >log 13

x ； p 3：∀x ∈(0，＋∞)，⎝⎛⎭⎫12x >log 12

x ； p 4：∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，13，⎝⎛⎭⎫12x

x . 其中的真命题是________．

二、能力提升

8．给出下列四个命题：

①a ⊥b ⇔a·b ＝0；②矩形都不是梯形；

③∃x ，y ∈R ，x 2＋y 2≤1；

④任意互相垂直的两条直线的斜率之积等于－1.

其中全称命题是________．

9．四个命题：①∀x ∈R ，x 2－3x ＋2>0恒成立；②∃x ∈Q ，x 2＝2；③∃x ∈R ，x 2＋1

＝0；④∀x ∈R,4x 2>2x －1＋3x 2.其中真命题的个数为________．

10．判断下列命题是否为全称命题或特称命题，若是，用符号表示，并判断其真假．

(1)对任意实数α，有sin 2α＋cos 2α＝1；

(2)存在一条直线，其斜率不存在；

(3)对所有的实数a ，b ，方程ax ＋b ＝0都有唯一解；

(4)存在实数x 0，使得1x 20－x 0＋1

＝2. 11.已知命题p ：∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0，命题q ：∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0.若命题

“p ∧q ”是真命题，求实数a 的取值范围．

12．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋5.

(1)是否存在实数m ，使不等式m ＋f (x )>0对于任意x ∈R 恒成立？并说明理由；

(2)若存在实数x，使不等式m－f(x)>0成立，求实数m的取值范围．

三、探究与拓展

13．若方程cos 2x＋2sin x＋a＝0有实数解，求实数a的取值范围．

答案

1．C 2.A 3.C 4.C 5.D 6.A

7．p 2，p 4 8.①②④

9．0

10．解 (1)是全称命题，用符号表示为“∀α∈R ，sin 2α＋cos 2α＝1”，是真命题．

(2)是特称命题，用符号表示为“∃直线l ，l 的斜率不存在”，是真命题．

(3)是全称命题，用符号表示为“∀a ，b ∈R ，方程ax ＋b ＝0都有唯一解”，是假命题．

(4)是特称命题，用符号表示为“∃x 0∈R ，1x 20－x 0＋1

＝2”，是假命题． 11．解 ∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0，即a ≤x 2，

当x ∈[1,2]时恒成立，∴a ≤1.

∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0，

即方程x 2＋2ax ＋2－a ＝0有实根，

∴Δ＝4a 2－4(2－a )≥0.

∴a ≤－2或a ≥1.

又p ∧q 为真，故p 、q 都为真，

∴⎩⎪⎨⎪⎧

a ≤1，

a ≤－2或a ≥1，

∴a ≤－2或a ＝1.

12．解 (1)不等式m ＋f (x )>0可化为m >－f (x )，即m >－x 2＋2x －5＝－(x －1)2－4.要使

m >－(x －1)2－4对于任意x ∈R 恒成立，只需m >－4即可．故存在实数m 使不等式m ＋f (x )>0对于任意x ∈R 恒成立，此时m >－4.

(2)不等式m －f (x )>0可化为m >f (x )．

若存在实数x 使不等式m >f (x )成立，只需m >f (x )min .

又f (x )＝(x －1)2＋4，∴f (x )min ＝4，∴m >4.

故所求实数m 的取值范围是(4，＋∞)．