确知信号检测2

2.4.1.1 线性滤波器输出端信噪比， 用第一章所学知识来推导线性滤波器输出端信噪比， 即输出信号峰值功率与 输出噪声平均功率之比。 设线性系统输入输出为：
x t s t n t
y t s0 t n0 t 线性滤波器 H
匹配滤波器的性质 1）最大峰值信噪比：在所有线性滤波器中，匹配滤波器能给出最大峰值信 噪比 SNRmax
2E ，它只取决于输入信号的能量和白噪声的功率谱，而与输入信 N0
号的形状和噪声的分布规律无关。当白噪声的功率谱一定时，为了增大信噪比， 唯一的办法是设法增大信号能量。
2）幅频特性和相频特性：设输入信号频谱为 S S e js ( ) 则可得匹 配滤波器的传递函数为：
所以输出噪声的平均功率为：
E[n t ] 方差＝E [n0 t ]
2 0
2

0
1 Rn0 (0) 2
2



Gn0 ( )d
(2-42)
1 E [n t ] 2
2 0
N0 G ( ) d n0 4




h t
1 2



cs ( )e j (t0 t ) d cs (t0 t )
此式表明，匹配滤波器的冲激响应是输入（实）信号的镜像函数。
s t
s (t ) s (t )
s t0 t
t
0
t0 / 2
t0
匹配滤波器：是输出端的信号瞬时功率与噪声平均 功率的比值最大的线性滤波器。其滤波器的传递函数 形式是信号频谱的共轭。 因此匹配滤波器对信号做两种处理： 一、滤波器的相频特性与信号相频特性共轭，使得 输出信号所有频率分量都在输出端同相叠加而形成峰 值。 二、按照信号的幅频特性对输入波形进行加权，以 便最有效地接收信号能量而抑制干扰的输出功率。 即当信号与噪声同时进入滤波器时，它使信号成分 在某一瞬间出现尖峰值，而噪声成分受到抑制。 匹配滤波器广泛用于雷达、声纳和通信。



P x dx
2


Q x dx
2



P
*
x Q x dx
2
(2-44)
式中的 P* x 是 P x 的复共轭。 由上式可知， 当且仅 Q x CP x 时， 不等式才可以取等号， 这里的 C 是常数。 令 P
*
4）匹配滤波器的输出信号：将输入信号 s t 与 h t 进行卷积， 即可求得输出信号：
so t h(t ) s(t ) s(t )h( )d c s(t )s(t0 )d sRss (t0 t )



对比输入信号的自相函数的： so t cRss (t0 t ) 此式表明，匹配滤波器的输出信号在形式上与输入信号的自相关函数相同，因而 匹配滤波器可看成是计算输入信号的自相关函数的相关器。
2.4 确知信号的检测
（用已知条件优化似然比计算装置）
为了从噪声干扰中进行信号检测并做出明确的判决（是否存在信号） ，我们 讨论了假设检验理论的优化判决准则， 得出信号检测结构是由似然比计算装置和 门限装置组成。为了进一步简化似然比计算，应该尽可能的利用已知条件，寻找 检测内部存在的规律，来优化似然比计算装置；确知信号检测就是为了此目的而 提出的。所谓确知信号是指其波形和全部参量都是已知的信号。 本节将以确知信号为条件，从最大信噪比入手推导出匹配滤波器，再求出检 测系统似然比计算装置的最佳相关接收机结构，分析了接收机性能。



s d
2
N0

2
2E SNRmax (2-47) N0
根据不等式取等号的条件 Q CP ，可以保证 SNR SNRmax 的条件为， 即： Q H CP C s e
H
jt9

*

x(t ) s t n t x t z


yz
Rxx ( ) E[( x(t ) x(t )] Rss ( ) Rnn ( ) Rsn ( ) Rns ( )
若 n(t ) 与 s (t ) 不相关则 Rsn ( ) Rns ( ) 0 得
Rxx ( ) Rss ( ) Rnn ( )
2）互相关接收
x t s t n t


y z
s t z
互相关器的输出为：
y z x t s t z dt s t s t z dt n t s t z dt Rss z Rns z
H H e j ( ) c S e [ js ( ) t0 ]
故得幅频特性： 故得相频特性：
H c s
Leabharlann Baidu
[s t0 ]
上述关系表明，匹配滤波器的幅频特性与输入信号一致，仅相差常数倍 c;相频特 性与输入信号的相位谱反相，且有附加相移量 t0 。
s e jt , Q H
0
则有：
P
2
s *
2
s , Q
2
2
H
2
故利用(2-44)， P x dx Q x dx
2 2
2 2 2 2





P
*
x Q x dx
2
2
和 P s * s , Q H
2 s0 t SNR 2 E[n0 t ]
可将(2-43)
1 2
jt0 H s e d 2 N0 H d 4
即输入为： ， x t s t n t 输出为 y t s0 t n0 t 。 输入干扰 n(t ) 是零均值的平稳白噪声，其功率谱，相关函数为
N Gn 0 , 2 Rn N0 2
，
利用傅氏变换对关系：
H d
2
滤波器输出端的峰值信噪比定义为：
SNR
s t 输出信号峰值功率 ＝ 2 输出噪声平均功率 E[n0 t ]
2 0
1 2
jt0 H s e d 2 N0 H d 4

2.4.1 匹配滤波器 为了分析和简化处理，根据信号的性质，将信号分为确知信号、随机参量信 号两种。 例 1 雷达的工作是不断发射无限电脉冲，然后检测是否有回波以及回波出现的 时刻。 例 2 在超声波检测中，所发射的超声波的波形也是已知的，所关心的何时受到 回波。通讯系统的控制系统中也有很多类似的信号处理问题。总之。这类把已知 波形的信号从噪声中提取出来的问题很多。为了很好的滤除干扰，显然应该充分 利用波形已知这个有利条件，最大限度的滤除噪声，放大信号。 匹配滤波器就是：充分利用波形已知这个有利条件最大限度的抑制噪声，放 大信号的一类滤波器。 1943 年，诺斯从线性滤波器输出端能获得最大信噪功率比的思路出发，推 导了滤波器的最佳传递函数。创立了匹配滤波器理论，至今它仍然是信号检测理 论的重要组成部分。
s t s , Rn Gn
因为滤波器是线性电路可分别用线性变换求解，输出信号 s0 t 和输出噪声 n0 t 设线性滤波器的传递函数 H 则： （通过系统输出的反变换求）
1 s0 t 2




H s e jt d
假定在 t t0 时，此输出信号有一个峰值，其值为：
1 s0 t0 2


H s e jt0 d
(2-41)
由于输入 n t 为零均值平稳随机过程，因而输出噪声 n0 t 仍为零均值平稳随机 过程，其功率谱为：
2 N0 Gn0 H 。 2
2.4.1.3 匹配滤波器与相关接收 利用信号和噪声的相关时间长短不同， 用相关器实现接收信号的方法称为相 关接收法。李郁荣早已提出用自相关来实现自相关接收，从宽带强噪声干扰背景 中提取弱的周期信号。随后又出现了用互相关器来实现互相关接收，并发现它与 匹配滤波器有等效关系，只是用了不同的接收方法来实现最佳接收。 1）自相关接收
根据 Parseval 定理， 故有
1 2



s d s 2 t dt E
2

(2-46)
1 P d Q d 2 4 SNR 2 2 N0 H d 4
2 2
1
3）物理可实现性：线性滤波器要能够物理实现，其冲激响应必须满足条件
h t 0, t 0
当 t t0 t 时也应满足上式条件，因而可实现的匹配滤波器冲激相应为：
cs (t0 t ) , 0 t t0 h t t 0, t t0 0,
此式表明，h t 只能存在于时刻间 [0, t0 ] 隔内。 ， 因此匹配滤波器的输入信号必须 在时刻 t 0 之前结束， 亦即滤波器输出端获得最大峰值信噪比 SNRmax 的时刻 t 0 只能 是在输入信号全部结束之后。 这一性质是不难理解的， 因为只有充分利用输入信 号的全部能量， 才能在输出端获得 SNRmax 。 否则， 当输入信号尚未全部结束之前， 输出端将无法获得全部能量，达不到最大。
c s
故得：
H Cs* e jt0
(2-48)
故得：
H cs* e jt0 cs()e jt0
(2-48)
匹配滤波器的传递函数是输入信号频谱的复共轭， 且各种频谱分量都延迟 t0 时间。当信号确知，滤波器的传递函数由信号本身的频谱来设计时，具由最大的 信噪比，因为滤波器的幅频特性与信号幅频特性成比例，或者说二者匹配，故称 匹配滤波器。 傅氏反变换求的冲激响应：




两种相关接收法的比较：
x(t ) s t n t x t z


y z ， x t s t n t


y z
s t z
2
(2-43)
能使 SNR 达到最大值 SNRmax 的线性滤波器，称为匹配滤波器，它是按照最 大信噪比准则求解的最佳线性滤波器，能保证最佳地从噪声中提取信号。
2.4.1.2 匹配滤波器的传递函数 式(2-43)表明， 输出峰值信噪比 SNR 随传递函数 H 而变化， 为求 SNR SNRmax 时的最佳传递函数，可以利用复函数 schwartz 施瓦茨不定式求解。 复函数施瓦茨不等式简述如下： 设 P x 和 Q 都是实变量 x 的复函数，则有下列不等式成立

2
改为
2 2 2 2 2 1 1 1 P d Q d s d H d 2 2 s d 4 4 2 SNR 2 2 N0 N0 N0 H d H d 2 4 4 (2-45)