球坐标柱坐标

( x
evx
y
evy
z
evz
)g(Fxevx
Fyevy
Fz evz
)
【例已题知1矢.2量.1】Av(rv) ，rv求 穿Av过(rv一) 个球心在原点，
半径为a的球面的通量和散度 。
【例题1.2v.2】* 已知 R eˆx (x x') eˆy (y y') eˆz (z z')
f x
eˆy
f y
eˆz
f z
f
div
A
Ax
Ay
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Az
A
x y z
旋度
eˆ x eˆy eˆz
v rot A
x y z
Ax Ay Az
v A
从以上的过程中可以清楚地看出，算子确实把对矢量 函数的微分运算转变为矢量算子与矢量的代数运算。
注意：算子在上述的定义与规定下可以将它看成一矢 量来按照矢量代数规则进行运算，但又不能完全将它 与一普通矢量等同，因为它的分量是微分算符而不是 真实矢量的分量。这样，两个普通矢量代数运算的某 些性质对就不成立。
eˆx
(
Fz y
Fy z
)
eˆy
(
Fx z
Fz x
)
eˆz
(
Fy x
Fx y
)
(eˆx
x
eˆy
y
eˆz
) z
eˆx Fx eˆy Fy
eˆz Fz
1.3 矢量微分算子
一、微分算子的定义
微分算子 是一个“符号”矢量，
1、直角坐标系
eˆx
x
eˆy
y
eˆz
z
梯度 散度
grad
f
eˆx
( divFv(rv) 正0源)
divFv(rv) 负0 源)
( divFv(rv) 无0 源）
讨论：在矢量场中，
1）若 2）若
divAv(，rv)则该矢量0场称为有源场，为源密度；
divAv处(rv处)成立0，则该矢量场称为无源场。
5、散度的计算
1) 在直角坐标系下：
divFv(rv) Fx Fy Fz x y z
方向单位矢量：
z
eˆr , eˆ , eˆ
位置矢量：
θ0 P(r0,θ0,ψ0)
rv r0eˆr
矢量表示：
x
O r0 ψ0
e
e er
y
A (rv)eˆ A (rv)eˆ A (rv)eˆ
r
r
4、坐标变换
➢圆柱坐标系与直角坐标系间单位矢量变换关系
eˆ
eˆ x
cos
eˆ y
sin
eˆ
eˆ x
(A B) A B
( fA) f A f A
（7） (A B) B A A B （8） （9） ( fA) f A f A （10） (A B) (B )A B( A) (A)B A( B)
(A B) (B )A (A)B B ( A) A ( B)
3、梯度的物理意义
1)、标量场的梯度为一矢量，且是坐标位置的函数；
2)、标量场的梯度表征标量场变化规律：其方向为标量 场增加最快的方向，其幅度表示标量场的最大增加率。
4、直角、圆柱和球坐标系中梯度的表达式
1）在直角坐标系中：
gradu
u x
eˆx
u y
eˆy
u z
eˆz
2）在柱面坐标系中：
gradu
3、矢量场的散度的定义
在场 Av(空rv) 间中任意点M 处作一个闭合曲面，所
围的体积为 V，则定义场矢量在M点处的散度 为：
divAv (rv)
lim
Ñs Av (rv)
v dS
v0
v
1) 矢量场的散度代4表、矢量散场度的通的量源物的分理布特意性义；
2) 矢量场的散度是一个标量； 3) 矢量场的散度是空间坐标的函数； 4) 矢量场的散度值表征空间中通量源的密度。
由（0，0）和（ ）之间2, 的2 一段抛物线
和两段平行y2于 坐x 标轴的直线段组成。再
计算 的旋度。
A
【例题1.3.2】
求二维标量场 u(x, y)的 梯y2 度x ，并取一闭 合回路C，证明
u dl 0
C
【例题1.3.3】
若
v R
rv
rv'
v R R
证明： ( 1 ) '( 1 )
P(x0,y0,z0) evz
y0 evy
y
,, z
2、圆柱坐标系 (
方向单位矢量：
eˆ , eˆ , eˆz
位置矢量：
rv r0eˆ z0eˆz
矢量表示：
x
A r
(
rv)eˆ
A (rv)eˆ
A (rv)eˆ
z
z
)
z
r0 z0 O
ψ0
P(r0,ψ0,z0)
evz evr
ev
y
3、球面坐标系 ( r, , )
1.1 矢量代数运算
一、矢量与矢量场
1、矢量及表示 A Auˆ
2、标量场与矢量场
标量场 空间某一区域定义一个标量函数,其值随空 间坐标的变化而变化，有时还可随时间变化。则 称该区域存在一标量场。如温度场,电位场,高度场 等
矢量场 空间某一区域定义一个矢量函数,其大小和方向随 空间坐标的变化而变化，有时还可随时间变化。则称该区 域存在一矢量场。如速度场,电场、磁场等.
2 y 2
(eˆy eˆy ) f
2 z 2
(eˆz eˆz ) f
2 f 2 f 2 f 2 f x2 y2 z2
【例题1.3.4】
证明一个标量场的梯度必无旋，一个矢量 场的旋度必无散。
Fl r r
＝
eˆ x
y
z
z
y
eˆ
y
z
x
x
z
eˆ x
x
y
v R R
求：矢量
v D
v R R3
在R 0处的散度。
三、 矢量场的环流 旋度
1、矢量的环流
v S nˆ S
环流的定义：
在沿l场积矢分量的结果Av空(称间rvAv)为中(矢rv，)量取一有沿向l的闭环合流路。径即l，：则称
P
C
环流的计算
A
Av(rv) Ñl Av(rv)gdlv
讨论：1）线元矢量 的定dl义v ；
二、矢量代数
1、矢量和
AB B A
A (B C) (A B) C
2.点乘（标量积、投影积）-- 对应分量相乘的和
A B B A ABcos A(B C) A B AC
3. 叉乘（矢量积）－行列式展开
A B ABsinuˆ
A B B A
A(B C) AB AC
eˆr
r
eˆ
1 r
eˆ
1
r sin
Fv(rv)
1 r2
r
(r 2Fr )
1
r sin
(sin F )
1
r sin
F
eˆr reˆ r sin eˆ
A
r2
1
sin
r
Ar rA r sin A
【例题1.3.1】
求矢量场
A(r) x2eˆx y2eˆy z2eˆz
沿xy平
面内一闭合回路C的线积分，此闭合回路
2) 蜒l Av(rv)gdlv l Av(rv) cos (rv)dl
3）环流意义：若矢量场环流为零，矢量场无涡漩流动；反之，则矢量场存在涡
漩运动
反映矢量场漩涡源分布情况。
2. 环流面密度
v S nˆ S
在场矢量 Av(rv空) 间中，围绕空间某点M取一
M
面元S，其边界曲线为C，面元法线方向
vv
Ñ rot
v A
nv
lim
S 0
A dl
c
S
max
式中：nˆ表示矢量场旋度的方向；
4. 旋度的物理意义
1）矢量的旋度为矢量，是空间坐标的函数；
2）矢量在空间某点处的旋度表征矢量 场在该点处的漩涡源密度；
5. 旋度的计算
1) 在直角坐标系下：
v
v
v
v
rotF eˆxrotxF eˆyrotyF eˆzrotzF
R
R
说明：
x
eˆx
y
eˆy
z
eˆz
'
x
'
eˆx
y
'
eˆy
z
'
eˆz
二、含有 算子算式
(1) ( fA) f A Af
证明： ( fA) ( fc A) ( fAc )
(
fc
A)
x
(eˆx
fc
A)
y
(eˆy
fc A)
z
(eˆz
fc
A)
f
x
(eˆx
A)
C
A
为 ，nˆ当面元面积无限缩小时，可定义
Av(rv)在点M处沿nˆ 方向的环量面密度
v
rot表n A 示矢量场
vv
Ñ v
A dl
rotn
A
lim
s0
c
s
在Av(rv点) M处沿 方nˆ向的漩涡源密度；
3. 矢量场的旋度
旋度是一个矢量，模值等于环量密度的最大值；方向为 最大环量密度的方向。用 r表ot 示A ，即：
例如：普通矢量有 A B B， A但是，
， A A
即算子进行运算时，除了上面的定义与规定外，还必须对包含
有算子的算式做进一步的补充定义。
2、圆柱坐标系
(eˆ
r
eˆ
1 r
eˆz
) z
v F
1
( F )
1
F
Fz
z
eˆ eˆ eˆz
A 1
z A A Az
3、在球坐标系
（11） f 0
（12） （13）
(
A)
0
（14） f 2 f
（15） ( A) ( A) 2 A
(f g) 0
1.4 矢量积分定理
一、 高斯散度定理
V AdV sAdS sAnˆdS
又 A (B C) (AC)B (A B)C B(AC) (A B)
( Ac B) A( B) ( Ac )B A( B) ( A)B
( A Bc ) ( Bc ) A B( Α) ( ) A B( A)
三、二重算子
f
2 x2
(eˆx eˆx ) f
A(BC) (A B)
C
Α (Β C) (Α C)Β (Α B)C
三、常用坐标系
1、直角坐标系（x,y,z）
方向单位矢量：
eˆx , eˆy , eˆz
位置矢量：
rv x0eˆx y0eˆy z0eˆz
矢量表示：
z
z0
v F O
x0 x
evx
x0eˆx y0eˆy z0eˆz
则定义：
Av (rv)
v dS
S
为矢量 Av(rv沿) 有向曲面S 的通量。
若S为闭合曲面
Ñs Av(rv)
v dS
物理意义：表示穿入和穿出闭合
面S的矢量通量的代数和。 讨论：1）面元 d定Sv义；
2）
v
Ñs A(r)
cos
(rv)ds
3) 通过闭合面S的通量的物理意义：
矢量场的通量
a) 若 ，闭0合面内有产生矢量线的正源； b) 若 ，闭0合面内有吸收矢量线的负源； c) 若 ，闭0合面无源。
A A1uˆ1 A2uˆ2 A3uˆ3 B B1uˆ B2uˆ2 B3uˆ3
uˆ1uˆ2uˆ3 A B A1 A2 A3
B1B2 B3
4、矢量代数公式
（1）
Α (B C) B (C A) C (A B)
（2）
（3） （4）
( A B)C A(B C )
sin
eˆ y
cos
eˆ eˆ
z
z
➢球面坐标系与直角坐标系间单位矢量变换关系
eˆ eˆ sin cos eˆ sin sin eˆ cos
r
x
y
z
eˆ eˆ sin eˆ cos
x
y
eˆ eˆ cos cos eˆ cos sin eˆ sin
x
y
z
1.2 场论——梯度、散度和旋度
y
x
＝0
Fe r Ar
x
Az y
Ay z
Ax y z
Az x
z
Ay x
Ax y
0
四、包含 算子的恒等式
（1） ( f g) f g （2） （3） ( fg) fg gf （4） ( f / g) (gf fg) / g 2, (g 0) （5） （6） (A B) A B
f
y
(eˆy
A)
f
z
(eˆz
A)
f A
(
fAc )
x
(eˆx
fAc )
y
(eˆy
fAc )
z
(eˆz
fAc )
A
f x
eˆx
A
f y
eˆy
A
f z
eˆz
A f
(2) (A B) A( B) (A)B (B )A B( A)
证明： (A B) ( Ac B) ( A Bc )
一、 标量场的梯度
1. 等值面（线）
由所有场值相等的点所构成的面，即为等值面。即若 标量函数为 u u(x，, y则, z)等值面方程为：
u(x, y, z) c const
u u
en N
M el
u
P
2、梯度的定义
gradu(x,
y,
z)
du dl
eˆl
max
式中： e为vl 垂直于等值面（线）的方向。
u r
eˆr
1 r
u
eˆ
u z
eˆz
3）在球面坐标系中：
gradu
u r
eˆr
1 r
u
eˆ
1
r sin
u
eˆ
二、 矢量场的通量
1、矢量线（力线）
矢量线的疏密表征矢量场的大小； 矢量线上每点的切向代表该处矢量场 的方向；
散度
2、矢量场的通量
若矢量场 Av(rv分) 布于空间中，在空间中存在任意曲面S，
第一章 矢量分析
➢简要介绍矢量分析和场论基础。 ➢散度、旋度和梯度的基本概念； ➢ 算符运算公式；
➢散度、旋度和梯度在曲线正交坐标系中的表示
➢讨论了矢量场的基本构成及其与源的关系。
主要内容
1.1 矢量代数运算 1.2 场论- 梯度、散度和旋度 1.3 矢量微分算子 1.4 矢量积分定理 1.5* 并矢及其运算规则 1.6* 正交曲线坐标系