球坐标柱坐标
柱坐标变换和球坐标变换一样吗为什么
柱坐标变换和球坐标变换一样吗为什么在数学和物理学中，柱坐标变换和球坐标变换是两种常见的坐标系变换方法。
虽然柱坐标和球坐标都是常用的三维坐标系，但它们在定义、表示和应用上有着明显的区别。
首先，让我们简单介绍一下柱坐标变换和球坐标变换的定义。
柱坐标系是由一个径向距离、一个方位角和一个高度组成的坐标系。
在柱坐标系中，一个点的位置由径向距离r、方位角$\\theta$和高度z确定。
而球坐标系是由一个径向距离、一个极角和一个方位角组成的坐标系。
在球坐标系中，一个点的位置由径向距离r、极角$\\phi$和方位角$\\theta$确定。
尽管柱坐标变换和球坐标变换都涉及到三个坐标参数的变换，但它们之间的区别在于坐标系的不同表示方式。
柱坐标系更适合用于描述圆柱体或圆锥体的几何形状，而球坐标系更适合用于描述球体或球面的几何结构。
在数学和物理学中，柱坐标变换和球坐标变换在坐标系变换、积分变换、微分方程变换等方面有着不同的应用。
柱坐标变换常用于处理圆柱形状的问题，如气缸体积计算、柱坐标系下的极限等；而球坐标变换更适合处理球体形状的问题，如球坐标系下的梯度、散度、旋度计算等。
综上所述，柱坐标变换和球坐标变换虽然都是三维坐标系的表示方法，但由于其定义、应用和特点的不同，二者并不完全相同。
柱坐标系更适用于描述圆柱形状的问题，而球坐标系更适用于描述球体形状的问题。
因此，根据具体问题的特点和要求，选择不同的坐标系进行变换和计算，能更有效地解决问题并获得准确的结果。
希望通过这篇文档能够帮助读者更好地理解柱坐标变换和球坐标变换之间的区别和联系，从而在实际问题中更加灵活地运用不同的坐标系进行分析和计算。
柱坐标与球坐标的区别
柱坐标与球坐标的区别在数学和物理学领域中，柱坐标和球坐标是描述空间中点位置的两种常见方法。
它们在表示和计算上有一些重要的区别，下面将介绍柱坐标和球坐标的基本概念以及它们之间的不同之处。
柱坐标柱坐标系统是三维笛卡尔坐标系的一种扩展，通常用来描述平面内的点的位置。
柱坐标系由三个坐标$(r, \\theta, z)$组成，其中r表示点到z轴的距离，$\\theta$表示点在x−y平面上的极角，z表示点在z轴上的高度。
具体而言，$(r, \\theta,z)$可以通过以下关系转换为笛卡尔坐标(x,y,z)：$$ \\begin{align*} x &= r\\cos(\\theta),\\\\ y &= r\\sin(\\theta),\\\\ z &= z.\\end{align*} $$球坐标球坐标系统是另一种表示三维空间中点的方法，通常用来描述球面坐标或空间点的位置。
球坐标系也由三个坐标$(r, \\theta, \\phi)$组成，其中r表示点到原点的距离，$\\theta$表示点在x−y平面上的极角，$\\phi$表示点到z轴正方向的夹角。
球坐标系转换为笛卡尔坐标系的关系如下：$$ \\begin{align*} x &= r\\sin(\\phi)\\cos(\\theta),\\\\ y &=r\\sin(\\phi)\\sin(\\theta),\\\\ z &= r\\cos(\\phi). \\end{align*} $$ 区别与比较柱坐标和球坐标之间的主要区别在于坐标系的选择和坐标值的表示。
柱坐标主要适用于描述轴对称的物体或问题，如圆柱体或旋转体问题；而球坐标更适合描述球对称的问题，如球体或球壳问题。
柱坐标中的极角$\\theta$通常是一个平面内的角度，而球坐标中的两个角度$\\phi$和$\\theta$则涉及到空间的倾斜和旋转角度。
柱坐标系和球坐标系
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图 1-5-2
如图 1-5-2 所示，设 z 轴的正向与向量O→M的夹角为 φ，x 轴的正向与O→M0的 夹角为 θ，M 点到原点 O 的距离为 r，则由三个数 r，θ，φ 构成的有序数组 (r，θ，φ)称为空间中点 M 的球坐标.若设投影点 M0 在 xOy 平面上的极坐标为(ρ， θ)，则极坐标 θ 就是上述的第二个球坐标 θ.在球坐标中限定 r≥0,0≤θ<2π， 0≤φ≤π.
则有11＝ ＝ρρcsions
θ， θ，
z＝1，
解之得，ρ＝ 2，θ＝π4.
因此，点 M 的柱坐标为( 2，π4，1).
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由直角坐标系中的直角坐标求柱坐标，可以先设出点 M 的柱坐标为ρ，θ，
z代入变换公式xy＝ ＝ρρcsions
θ， θ，
z＝z.
求 ρ；也可以利用 ρ2＝x2＋y2，求 ρ.利用 tan θ＝yx，
∵(r，θ，φ)＝(3，53π，56π)，
x＝rsin φcos θ＝3sin56πcos53π＝34，
y＝rsin φsin θ＝3sin56πsin53π＝－343，
z＝rcos
φ＝3cos56π＝－3
2
3 .
∴点
M
的直角坐标为(34，－3
4
3，－3
2
3 ).
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类型三 空间点的直角坐标化为球坐标 已知长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，底面正方形 ABCD 的边长为 1，
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[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1： _____________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________ 疑问 2： _____________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________ 疑问 3： ______________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________
柱坐标和球坐标
柱坐标和球坐标柱坐标和球坐标是数学中常用的两种坐标系，它们在描述空间中点的位置时有各自的特点和应用。
本文将介绍柱坐标和球坐标的定义、表示方法以及它们之间的转换关系。
柱坐标柱坐标是三维空间中表示点位置的坐标系之一。
柱坐标通常使用径向距离r、极角 $\\theta$ 和高度z来描述一个点的位置。
在柱坐标系中，点 $(r, \\theta,z)$ 表示距离原点的长度为r，与x轴正向的夹角为 $\\theta$，高度为z的点。
柱坐标系下，点 $(r, \\theta, z)$ 与直角坐标系下的点(x,y,z)之间的关系可以用以下公式表示：$$ \\begin{aligned} x &= r \\cdot \\cos(\\theta) \\\\ y &= r \\cdot\\sin(\\theta) \\\\ z &= z \\end{aligned} $$球坐标球坐标是另一种用于表示三维空间中点位置的坐标系。
球坐标通常使用球径ρ、极角 $\\phi$ 和方位角 $\\theta$ 来描述点的位置。
在球坐标系中，点$(ρ, \\phi,\\theta)$ 表示距离原点的长度为ρ，与z轴正向的夹角为 $\\phi$，与x轴正向的夹角为 $\\theta$ 的点。
球坐标系下，点$(ρ, \\phi, \\theta)$ 与直角坐标系下的点(x,y,z)之间的关系可以用以下公式表示：$$ \\begin{aligned} x &= ρ \\cdot \\sin(\\phi) \\cdot \\cos(\\theta) \\\\ y &= ρ \\cdot \\sin(\\phi) \\cdot \\sin(\\theta) \\\\ z &= ρ \\cdot \\cos(\\phi)\\end{aligned} $$柱坐标和球坐标之间的转换要将柱坐标转换为球坐标，可以使用以下公式：$$ \\begin{aligned} ρ &= \\sqrt{r^2 + z^2} \\\\ \\phi &=\\arctan\\left(\\frac{r}{z}\\right) \\\\ \\theta &= \\theta \\end{aligned} $$ 类似地，要将球坐标转换为柱坐标，可以使用以下公式：$$ \\begin{ali gned} r &= ρ \\cdot \\sin(\\phi) \\\\ z &= ρ \\cdot \\cos(\\phi) \\\\ \\theta &= \\theta \\end{aligned} $$应用和总结柱坐标和球坐标在不同的场景中有着广泛的应用，例如在物理学、工程学和计算机图形学领域。
圆柱坐标和球坐标
圆柱坐标和球坐标
在数学和物理学中，圆柱坐标和球坐标是描述空间中点的两种常见坐标系。
它
们为描述不同形状和结构的对象提供了有效的工具，促进了对于三维空间中各种问题的研究与理解。
圆柱坐标
圆柱坐标是通过一个点到某个固定平面的垂直距离（高度）、一个从平面的固
定轴线到点的投影距离和从固定轴线到点的方向角三个参数来描述空间中的点。
通常用（ρ, φ, z）表示一个点的坐标，其中ρ代表点在固定平面上到原点的距离，φ
表示点到固定轴线的方向角，z表示点在垂直于平面的高度。
在圆柱坐标系中，点的坐标可以通过以下公式转换为直角坐标系：
x = ρ * cos(φ)
y = ρ * sin(φ)
z = z
圆柱坐标系常被应用于描述圆柱体或者沿着某个轴无限延伸的体。
球坐标
球坐标是通过一个点到原点的距离（半径）、与固定轴线的夹角（极角）、和
与某个平面的夹角（方位角）这三个参数来描述三维空间中的点。
一般用（r, θ, φ）来表示一个点的球坐标，其中r是点到原点的距离，θ是点到正轴的极角，φ是点
到参考平面的方位角。
球坐标系与直角坐标系之间的转换公式如下：
x = r * sin(θ) * cos(φ)
y = r * sin(θ) * sin(φ)
z = r * cos(θ)
球坐标系适合描述以原点为中心，半径不同的球体或者球面等几何体。
总结来看，圆柱坐标系主要适用于圆柱体或沿着某轴无限延伸的物体的描述，
而球坐标系更适用于球体或球面等对称几何体的描述。
通过这两种坐标系，我们可以更清晰地描述和理解三维空间中各种复杂的几何结构和物理现象。
柱坐标与球坐标系简介
柱坐标与球坐标系简介
在数学和物理学中，柱坐标和球坐标系是描述三维空间中点的两种常用坐标系。
它们为研究三维问题提供了方便的工具，可以使问题的表达和求解更加简洁。
柱坐标系
柱坐标系是一种用圆柱形式来描述三维空间中的点的坐标系。
在柱坐标系中，
一个点的位置由距离原点的长度、与正向x轴的夹角和z坐标组成。
通常用(r, θ, z)来表示一个点的坐标，其中r表示点到原点的距离，θ表示点在x-y平面上的极角，z表示点在z轴上的坐标。
柱坐标系在求解具有轴对称性的问题时特别有用，例如旋转体的体积和表面积
的计算等问题。
球坐标系
球坐标系是通过球坐标来描述三维空间中的点的坐标系。
在球坐标系中，一个
点的位置由距离原点的长度、与正向z轴的夹角和在x-y平面上的极角组成。
通常用(r, θ, φ)来表示一个点的坐标，其中r表示点到原点的距离，θ表示点在x-y平面上的极角，φ表示点在z轴上的极角。
球坐标系常常用于处理具有球对称性或球体几何的问题，例如电场和磁场的计
算等。
它也在计算机图形学和三维建模中被广泛应用。
无论是柱坐标系还是球坐标系，它们都是解决特定类型的问题时十分有效的工具。
通过灵活运用这两种坐标系，我们可以更好地理解和分析三维空间中的问题，为实际问题的求解提供更多的可能性和方法。
柱坐标和球坐标系给了我们描述空间中点位置的不同视角，为解决相关问题提
供了更多的数学工具。
通过学习和掌握这两种坐标系的原理和应用，我们可以在数学和物理领域中更加灵活地处理复杂的三维问题。
柱坐标,球坐标
1、设点的直角坐标为(1,1,1)，求它在柱坐标系中的 坐标. 1 r cos q 解得 1 r sin q r 2, q 1 z 4 点在柱坐标系中的坐标为 ( 2, ,1) . 4
2、设点 M的柱坐标为 (2,
6
,7), 求它的直角坐标。
( 3,1,7)
二、球坐标系
在空间任取一点O作为 极点，从O引两条相互 垂直的射线Ox和Oz作 为极轴，再规定一个长 度单位和射线Ox绕Oz 轴转动所成的角的正方 向，这样就建立了一个 球坐标系。 (或空间极坐标系)
z
O x
y
z
设P是空间一点，用r表 示OP的长度，q表示以 r Oz为始边，OP为终边 O y 的角，表示半平面xOz q x 到半平面POz的角. 那么，有序数组(r, , q)就成为点P的球坐标. r是矢径， 相当于经度， q 称为余纬度.
当r
0, 0 q 2 , z R
时，空间的点
与有序数组(r ,q, z)建立了一一对应关系。
z
空间点P的直角坐标 (x,y,z)与柱坐标(r ,q, z) 之间的变换公式为:
x
P(r ,q, z) z
O
q
r
Q
x r cos q y r sin q zz
r
O x
q
y
它的直角坐标.
3 3 , ) ，求 1、设点P的球坐标为 (2, 4 4
点在直角坐标系中的坐标为(1,1,
2)
小结
数轴
平面直角坐标系 平面极坐标系 坐标系 空间直角坐标系 柱坐标系 球坐标系
坐标系是联系形与数的桥梁,利用坐标系可以实现几何 问题与代数问题的相互转化,从而产生了坐标法.
文档：柱坐标系与球坐标系
柱坐标系与球坐标系柱坐标系柱坐标系中的三个坐标变量是 r、φ、z。
与空间直角坐标系相同，柱坐标系中也有一个z变量。
其中r为原点O到点M在平面xoy上的投影M‘间的距离，r∈[0,+∞),φ为从正z轴来看自x轴按逆时针方向转到OM'所转过的角，φ∈[0, 2π],z为圆柱高度，z∈R柱坐标系(r,φ,z)与直角坐标系(x,y,z)的转换关系：x=rcosφy=rsinφz=z体积元的体积为：dV=rdrdφdz球坐标系定义即球坐标是三维坐标系的一种，用以确定三维空间中点、线、面以及体的位置，它以坐标原点为参考点，由方位角、仰角和距离构成。
假设P（x，y，z）为空间内一点，则点P也可用这样三个有次序的数(r，θ，φ)来确定，其中r为原点O与点P间的距离；θ为有向线段OP与z轴正向的夹角；φ为从正z轴来看自x轴按逆时针方向转到OM所转过的角，这里M为点P 在xOy面上的投影；。
这样的三个数r，θ，φ叫做点P的球面坐标，显然，这里r，θ，φ的变化范围为r∈[0,+∞)，φ∈[0, 2π]，θ∈[0, π]。
当r,θ或φ分别为常数时,可以表示如下特殊曲面:r = 常数，即以原点为心的球面；θ= 常数，即以原点为顶点、z轴为轴的圆锥面；φ= 常数，即过z 轴的半平面。
与直角坐标系间的转换1).球坐标系(r,θ,φ)与直角坐标系(x,y,z)的转换关系:X=rsinθcosφy=rsinθsinφz=rcosθ2).反之,直角坐标系(x,y,z)与球坐标系(r,θ,φ)的转换关系为:r=sqrt(x*2 + y*2 + z*2);θ= arccos(z/r);φ=arctan(y/x);球坐标系下的微分关系在球坐标系中，沿基矢方向的三个线段元为：dl(r)=dr, dl(θ)=rdθ, dl(φ)=rsinθdφ球坐标的面元面积是：dS=dl(θ)* dl(φ)=r^2*sinθdθdφ体积元的体积为：dV=dl(r)*dl(θ)*dl(φ)=r^2*sinθdrdθdφ数学之外的应用球坐标系在地理学、天文学中都有着广泛应用，例如在天文学中，经度类于图 1中的φ，纬度即类与(90°-θ)；测量实践中，球坐标中的φ角称为被测点P（r，θ，φ）的方位角，(90°-θ)称为高低角。
圆柱坐标和球坐标转化公式
圆柱坐标和球坐标转化公式在数学和物理领域中，圆柱坐标和球坐标是两种常用的坐标系。
圆柱坐标系由径向、角度和高度三个分量描述，在三维空间中的点由此确定。
球坐标系则由距离、极角和方位角三个分量描述。
在一些问题中，我们需要在两种坐标系之间进行转化。
下面将介绍圆柱坐标到球坐标的转化公式以及球坐标到圆柱坐标的转化公式。
圆柱坐标到球坐标的转化对于一个圆柱坐标系中的点，可以使用下面的转化公式将其转化为球坐标系中的点：距离： $r = \\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$极角： $\\theta = \\arctan\\left(\\frac{y}{x}\\right)$方位角： $\\phi = \\arccos\\left(\\frac{z}{\\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}\\right)$其中，x、y和z分别是点在圆柱坐标系中的坐标。
这些公式是将点在直角坐标系中的坐标转化为球坐标系中的距离、极角和方位角。
距离r表示点与原点之间的距离，极角$\\theta$表示点在x−y平面上与x轴之间的夹角，方位角$\\phi$表示点与z轴之间的夹角。
球坐标到圆柱坐标的转化与圆柱坐标到球坐标的转化类似，可以使用下面的转化公式将球坐标系中的点转化为圆柱坐标系中的点：x坐标： $x = r \\cdot \\sin\\phi \\cdot \\cos\\theta$y坐标： $y = r \\cdot \\sin\\phi \\cdot \\sin\\theta$z坐标： $z = r \\cdot \\cos\\phi$其中，r、$\\theta$和$\\phi$分别是点在球坐标系中的距离、极角和方位角。
这些公式是将点在球坐标系中的坐标转化为圆柱坐标系中的x、y和z坐标。
应用举例圆柱坐标和球坐标的转化可以在许多领域中应用。
以下是一些具体应用的举例：1.物理学中的分析：在物理学中，圆柱坐标和球坐标常常用于描述物体的位置和运动。
柱坐标系和球坐标系 课件
z＝5，
∴(1,1,5)为所求．
点(r，θ，z)是三维空间坐标系中的点的坐标，在平面 xOy
内实际为极坐标系，且 r≥0,0≤θ＜2π，在竖直方向上，z 为
任意实数．化点的柱坐标(r，θ，z)为直角坐标(x，y，z)，需
要运用公式yx＝＝rrscions θθ z＝z
转化为三角函数的求值与运算即得．
∴(－1，－1，－ 2)为所求．
首先要明确点的球坐标(r，φ，θ)中角 φ，θ 的边与数轴 Oz，Ox 的关系，注意各自的限定范围，即 0≤φ≤π，0≤θ ＜2π.
化点的球坐标(r，φ，θ)为直角坐标(x，y，z)，需要运用
公式yx＝＝rrssiinn
φcos φsin
θ， θ，
z＝rcos φ
转化为三角函数的求值与1，建立空间直角坐标系 O－xyz.设 M(x，y， z)为空间一点，并设点 M 在 xOy 平面上的投影点 P 的极坐标 为(r，θ)，则这样的三个数 r，θ，z 构成的有序数组(r，θ，z) 就叫作点 M 的 柱坐标 ，这里规定 r，θ，z 的变化范围为 0≤r ＜＋∞，0≤θ＜2π，－∞＜z＜＋∞.
图 1－3－1
特别地， r＝常数，表示的是以 z 轴为轴的圆柱面； θ＝常数，表示的是过 z 轴的半平面； z＝常数，表示的是与 xOy 平面平行的平面．
2．球坐标系 设 M(x，y，z)为空间一点，点 M 可用这样三个有次序的 数 r，φ，θ 来确定，其中 r 为原点 O 到点 M 间的距离，φ 为
2．在空间的柱坐标系中，方程 r＝r0(r0 为不等于 0 的常 数)，θ＝θ0，z＝z0 分别表示什么图形？
【提示】 在空间的柱坐标系 中，方程 r＝r0 表示中心轴为 z 轴，底 半径为 r0 的圆柱面，它是上述圆周沿 z 轴方向平行移动而成的．方程 θ＝θ0 表示与 zOx 坐标面成 θ0 角的半平 面．方程 z＝z0 表示平行于 xOy 坐标面 的平面，如图所示．
柱坐标与球坐标的互换方法
柱坐标与球坐标的互换方法在空间几何中，柱坐标系和球坐标系是描述点的常用坐标系。
柱坐标系由径向距离、方位角和高度组成，而球坐标系由径向距离、极角和方位角组成。
在实际问题中，有时候需要在这两种坐标系之间进行转换。
本文将介绍柱坐标系与球坐标系之间的互换方法。
柱坐标转球坐标假设柱坐标点为$(r, \\theta, z)$，球坐标点为$(\\rho, \\varphi, \\theta)$，其中$r, \\rho$为径向距离，$\\theta, \\varphi$为方位角，z为高度。
则柱坐标系转为球坐标系的方法如下：1.计算球坐标系的径向距离$\\rho$：\[\rho = \sqrt{r^2 + z^2}\]2.计算球坐标系的极角$\\varphi$：\[\varphi = \arccos\left(\frac{z}{\rho}\right)\]3.方位角$\\theta$保持不变。
球坐标转柱坐标反之，若已知球坐标系下的点$(\\rho, \\varphi, \\theta)$，需要将其转换为柱坐标系下的坐标$(r, \\theta, z)$，方法如下：1.计算柱坐标系的径向距离r：\[r = \rho \sin \varphi\]2.计算柱坐标系的高度z：\[z = \rho \cos \varphi\]3.方位角$\\theta$保持不变。
示例假设柱坐标系下的点为$(3, \\frac{\\pi}{4}, 4)$，现在需要将其转换为球坐标系下的坐标。
首先计算球坐标系的径向距离$\\rho$：\[\rho = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5\]计算球坐标系的极角$\\varphi$：\[\varphi = \arccos\left(\frac{4}{5}\right) = \arccos\left(\frac{4}{5}\right) ≈ 0.927\]所以，柱坐标系下的点$(3, \\frac{\\pi}{4}, 4)$转换为球坐标系下的坐标为$(5, 0.927, \\frac{\\pi}{4})$。
柱坐标变换和球坐标变换一样吗
柱坐标变换和球坐标变换一样吗在数学和物理领域，柱坐标和球坐标是常用的坐标系统，它们用来描述空间中的点的位置。
柱坐标由径向距离、极角和轴向距离三个参数组成，而球坐标由径向距离、极角和方位角三个参数组成。
尽管柱坐标和球坐标都是常用的笛卡尔坐标系之外的坐标系，但它们在数学形式和坐标变换方面有所不同。
首先，让我们分别回顾一下柱坐标和球坐标的定义以及坐标变换公式：•柱坐标：在柱坐标系中，点的位置由$(r, \\theta, z)$三个参数确定，其中r表示点到z轴的投影长度，$\\theta$表示点在x−y平面上的极角，z表示点在z轴上的距离。
柱坐标到笛卡尔坐标(x,y,z)的转换公式为：\[ x = r \cos(\theta), \quad y = r \sin(\theta), \quad z = z \] •球坐标：在球坐标系中，点的位置由$(\\rho, \\phi, \\theta)$三个参数确定，其中$\\rho$表示点到原点的距离，$\\phi$表示点在x−y平面上的高度角，$\\theta$表示点在x−y平面上的极角。
球坐标到笛卡尔坐标(x,y,z)的转换公式为：\[ x = \rho \sin(\phi) \cos(\theta), \quad y = \rho \sin(\phi) \sin(\theta), \quad z = \rho \cos(\phi) \]虽然柱坐标和球坐标都由三个参数组成，并且可以描述空间中的点，但它们在具体表达和坐标变换上有着明显的不同。
对于柱坐标而言，坐标变换较为简单，只需要通过三角函数来进行对应分量的计算，而球坐标的坐标变换则需要更多的三角函数和涉及到高度角的计算。
虽然球坐标可以更直观地描述点在球面上的位置，但其坐标变换公式相对来说更为复杂。
另外，在物理学中，球坐标往往更适合描述具有球对称性的系统，而柱坐标则更适合描述具有圆柱对称性的系统。
这也表明了柱坐标和球坐标在物理意义上的差异和应用领域的不同。
柱坐标和球坐标转换关系
柱坐标和球坐标转换关系柱坐标和球坐标是在数学和物理学中常用的两种坐标系，它们之间的转换关系是非常重要且有用的。
在三维空间中，我们常常需要在这两种坐标系之间进行转换，以便更方便地描述和计算各种物理量。
本文将介绍柱坐标和球坐标之间的转换关系。
柱坐标和球坐标的定义首先，我们来简单地回顾一下柱坐标和球坐标的定义。
•在二维平面上，柱坐标由极径 r 和极角θ 组成，通常用(r, θ) 来表示一个点的坐标。
•在三维空间中，柱坐标由极径 r、极角θ 和高度 z 组成，通常用(r, θ, z) 来表示一个点的坐标。
而球坐标则由径向距离 r、极角θ 和方位角φ 组成，通常用(r, θ, φ) 来表示一个点的坐标。
柱坐标和球坐标之间的转换关系接下来，我们将介绍柱坐标和球坐标之间的转换关系。
从柱坐标到球坐标的转换对于给定的柱坐标(r, θ, z)，我们可以将其转换为球坐标 (rho, theta, phi)。
其中，rho 表示球坐标中的径向距离，theta 表示球坐标中的极角，phi 表示球坐标中的方位角。
转换公式如下：rho = sqrt(r^2 + z^2)theta = arctan(r / z)phi = θ从球坐标到柱坐标的转换同样地，对于给定的球坐标 (rho, theta, phi)，我们可以将其转换为柱坐标(r, θ, z)。
转换公式如下：r = rho * sin(theta)z = rho * cos(theta)θ = phi结语在物理学和工程学中，柱坐标和球坐标之间的转换关系有着广泛的应用。
通过熟练掌握这些转换关系，我们可以更加方便地描述和计算三维空间中的各种问题。
希望本文能够对你有所帮助，让你对柱坐标和球坐标之间的转换关系有更深入的理解。
球坐标和柱坐标的转换
球坐标和柱坐标的转换球坐标和柱坐标是三维空间中常用的坐标系，它们和直角坐标系是相互转换的。
本文将介绍球坐标和柱坐标的定义以及它们之间的转换方法。
球坐标球坐标系是一种描述空间中点的坐标系，它用半径（r）、极角（θ）和方位角（φ）来描述点的位置。
半径（r）表示点到坐标系原点的距离，极角（θ）表示点与z轴的夹角，方位角（φ）表示点在xy平面的投影与x轴的夹角。
球坐标的坐标表示为：(x, y, z) = (r * sinθ * cosφ, r * sinθ * sinφ, r * cosθ)柱坐标柱坐标系是一种描述空间中点的坐标系，它用半径（ρ）、极角（θ）和高度（z）来描述点的位置。
半径（ρ）表示点到柱坐标系极轴的距离，极角（θ）表示点与柱坐标极轴的夹角，高度（z）表示点在z轴上的坐标。
柱坐标的坐标表示为：(x, y, z) = (ρ * cosθ, ρ * sinθ, z)球坐标转换为柱坐标球坐标系和柱坐标系之间的转换是通过数学公式进行的。
球坐标转换为柱坐标的公式如下：ρ = r * sinθz = r * cosθ柱坐标转换为球坐标柱坐标转换为球坐标的公式如下：r = √(ρ^2 + z^2)θ = arctan(ρ / z)总结球坐标和柱坐标是三维空间中常用的坐标系，它们的转换可以通过数学公式进行。
球坐标由三个参数（半径、极角和方位角）表示，柱坐标由三个参数（半径、极角和高度）表示。
通过球坐标转换为柱坐标，可以得到柱坐标系中的坐标值，同样地，通过柱坐标转换为球坐标，可以得到球坐标系中的坐标值。
以上是球坐标和柱坐标的定义以及它们之间的转换方法的介绍。
了解球坐标和柱坐标的概念及其转换方法，有助于我们更好地理解和应用三维空间中的坐标系统。
柱坐标和球坐标公式
柱坐标和球坐标公式
在数学和物理学中，柱坐标和球坐标是表示空间中点的两种常用坐标系。
这两种坐标系是笛卡尔坐标系的重要扩展，能够更好地描述三维空间中的点的位置。
柱坐标
柱坐标是三维空间中的一种坐标系，通常用来描述点相对于原点的位置。
在柱坐标系中，一个点的位置由径向(r)、极角(θ)和高度(z)三个坐标值来确定。
柱坐标系和笛卡尔坐标系之间的转换关系如下： - x = r * cos(θ) - y = r * sin(θ) - z = z
其中，r表示点到z轴的距离，θ表示点在xy平面内的极角，z表示点在z轴上的高度。
球坐标
球坐标是另一种常用的三维空间坐标系，用来描述点相对于原点的位置。
球坐标系由径向(r)、极角(θ)和方位角(φ)三个坐标值来确定一个点的位置。
球坐标系和笛卡尔坐标系之间的转换关系如下： - x = r * sin(θ) * cos(φ) - y = r * sin(θ) * sin(φ) - z = r * cos(θ)
其中，r表示点到原点的距离，θ表示点到正z轴的倾角，φ表示点在xy平面上的旋转角度。
柱坐标和球坐标的应用
柱坐标和球坐标在物理学、工程学和计算机图形学等领域有着广泛的应用。
例如，在物理学中，利用柱坐标和球坐标可以更方便地描述和计算力、电场等的分布情况；在工程学中，柱坐标和球坐标可以简化对结构的分析和设计；在计算机图形学中，通过柱坐标和球坐标可以更加自然地进行三维建模和渲染。
总的来说，柱坐标和球坐标是解决三维空间中点位置描述问题的有力工具，它们为研究人员和工程师提供了更多的选择和便利。
通过深入理解柱坐标和球坐标的原理和转换关系，可以更好地应用它们解决实际问题。
柱坐标与球坐标系
12345
解析 答案
5 5.已知点M的直角坐标为(1,2,3), 球坐标为(r, φ, θ), 则tan φ＝_____, ta3n θ＝ ____. 2
解析 如图所示,
tan φ＝
x2＋y2 z＝
35，tan
θ＝yx＝2.
1角坐标为(2,0,2), 则点M的柱坐标为
√A.(2,0,2)
C.( 2，0,2)
B.(2，π，2) D.( 2，π，2)
12345
答案
3.在球坐标系中, 方程r＝2表示空间的
A.球
√B.球面 C.圆 D.直线
12345
答案
4.点 P 的柱坐标为(4，π6，3)，则点 P 到原点的距离为__5___. 解析 x＝ρcos θ＝4cos π6＝2 3， y＝ρsin θ＝4sin 6π＝2. 即点 P 的直角坐标为(2 3，2,3)，
1.空间点的坐标的确定
规律与方法
(1)空间直角坐标系中点的坐标是由横坐标、纵坐标和竖坐标来确定的,
即(x, y, z).
(2)空间点的柱坐标是由平面极坐标系及空间直角坐标系中的竖坐标组成
的, 即(ρ, θ, z).
(3)空间点的球坐标是点在Oxy平面上的射影和原点连线与x轴正方向所成
的角θ, 点和原点的连线与z轴的正方向所成的角φ, 以及点到原点的距离
跟踪训练3 在例3的条件下, 求点C, A1的直角坐标、柱坐标及球坐标.
解答
当堂训练
1.在空间直角坐标系中，点 P 的柱坐标为(2，π4，3)，P 在 xOy 平面上的
射影为 Q，则 Q 点的坐标为
A.(2,0,3)
球坐标系和柱坐标系
球坐标系和柱坐标系球坐标系和柱坐标系是空间解析几何中常用的坐标系，它们可以用来描述三维空间中的点的位置和方向。
本文将介绍球坐标系和柱坐标系的定义、坐标变换以及其在不同领域的应用。
一、球坐标系球坐标系是一种三维坐标系，用来描述三维空间中的点的位置。
它由径向距离r、极角θ和方位角φ来确定一个点的坐标。
径向距离r表示点到坐标原点的距离，极角θ表示点与正z轴的夹角，方位角φ表示点在x-y平面上投影与正x轴的夹角。
在球坐标系中，一个点的坐标可以表示为(r,θ,φ)。
坐标变换公式如下：```x = r * sinθ * cosφy = r * sinθ * sinφz = r * cosθ```球坐标系常见于物理学、天文学和计算机图形学等领域的问题求解。
物理学中常用球坐标系描述粒子在空间中的位置和动量，能够简化很多问题的求解过程。
在天文学中，球坐标系可以用来描述星体的位置和运动轨迹。
二、柱坐标系柱坐标系是另一种常见的三维坐标系，适用于平面内与柱面有关的问题。
柱坐标系由极径ρ、极角θ和高度z来确定一个点的坐标。
极径ρ表示点到z轴的距离，极角θ表示点在x-y平面上的投影与正x轴的夹角，高度z表示点在z轴上的坐标。
柱坐标系中，一个点的坐标可以表示为(ρ,θ,z)。
坐标变换公式如下：```x = ρ * cosθy = ρ * sinθz = z```柱坐标系常见于物理学、工程学和流体力学等领域的问题求解。
在工程学中，柱坐标系常用于描述圆柱形结构的变形和应力分布，能够更直观地理解和解决与柱面相关的工程问题。
在流体力学中，柱坐标系可以用来描述圆柱形容器中的流体流动规律。
综上所述，球坐标系和柱坐标系是在三维空间中描述点的位置和方向的常用坐标系。
它们各自具有独特的特点和应用场景，在不同领域的问题求解中发挥着重要作用。
熟练掌握球坐标系和柱坐标系的定义和坐标变换公式，对于解决相关问题具有重要意义。
柱坐标系与球坐标变换的区别
柱坐标系与球坐标变换的区别
柱坐标系和球坐标系是空间中两种常见的坐标系，它们在描述三维空间中的点和表示向量方向时有着不同的应用。
本文将讨论柱坐标系和球坐标系之间的区别。
柱坐标系
柱坐标系是一种通过极径、极角和高度来定位三维空间中的点的坐标系统。
通常用（r, θ, z）表示，其中： - r 代表点到 z 轴的距离； - θ 代表点在 xy 平面上的极角； - z 代表点在 z 轴上的高度。
柱坐标系常用于描述旋转对称结构的问题，计算方便，适合于涉及圆柱对称性的问题。
球坐标系
球坐标系是一种通过径向距离、极角和方位角来定位三维空间中的点的坐标系统。
通常用（ρ, φ, θ）表示，其中： - ρ 代表点到原点的距离； - φ 代表点在 xy 平面上的极角； - θ 代表点在 xy 平面上的方位角。
球坐标系常用于描述球面和球对称结构的问题，适合于球对称的物理问题和数学问题。
区别
柱坐标系和球坐标系之间的主要区别在于坐标系的基本参数和应用领域有所不同： 1. 参数区别： - 柱坐标系使用极径、极角和高度作为坐标参数； - 球坐标系使用径向距离、极角和方位角作为坐标参数。
2. 应用领域区别： - 柱坐标系适合于描述旋转对称结构的问题，如圆柱体、圆锥体等； - 球坐标系适合于描述球面和球对称结构的问题，如球体、球壳等。
综上所述，柱坐标系和球坐标系在参数表示和应用领域上有着明显的区别。
选择合适的坐标系，能够更有效地描述和解决不同类型的三维空间中的几何问题。
球坐标系和柱坐标系的转换关系
球坐标系和柱坐标系的转换关系一、引言球坐标系和柱坐标系是数学中常用的坐标系之一，它们在物理学、工程学等领域中有着广泛的应用。
球坐标系可以描述三维空间中的点的位置，由径向距离、极角和方位角三个参数确定；而柱坐标系则由径向距离、极角和高度三个参数确定。
本文将详细介绍球坐标系和柱坐标系之间的转换关系。
二、球坐标系和柱坐标系的定义球坐标系是通过一个点到原点的距离、与正半轴的夹角和与x轴的夹角来确定该点的位置。
其中，径向距离r表示点到原点的距离，极角θ表示点与正半轴的夹角，方位角φ表示点与x轴的夹角。
柱坐标系是通过一个点到原点的距离、与正半轴的夹角和该点在z 轴上的投影来确定该点的位置。
其中，径向距离ρ表示点到原点的距离，极角θ表示点与正半轴的夹角，高度z表示点在z轴上的投影。
三、球坐标系到柱坐标系的转换为了将球坐标系转换为柱坐标系，我们可以利用以下公式：1. 将球坐标系中的径向距离r转换为柱坐标系中的径向距离ρ：ρ = r * sin(θ)2. 将球坐标系中的极角θ转换为柱坐标系中的极角θ：θ = θ3. 将球坐标系中的方位角φ转换为柱坐标系中的高度z：z = r * cos(θ)四、柱坐标系到球坐标系的转换同样地，我们也可以将柱坐标系转换为球坐标系，具体的转换关系如下：1. 将柱坐标系中的径向距离ρ转换为球坐标系中的径向距离r：r = √(ρ^2 + z^2)2. 将柱坐标系中的极角θ转换为球坐标系中的极角θ：θ = θ3. 将柱坐标系中的高度z转换为球坐标系中的方位角φ：φ = arctan(z / ρ)五、总结球坐标系和柱坐标系是描述三维空间中点的位置的重要坐标系。
它们之间的转换关系可以通过一些简单的公式来实现。
在实际应用中，我们可以根据需要选择合适的坐标系进行计算和分析。
通过掌握球坐标系和柱坐标系之间的转换关系，我们可以更加灵活地处理三维空间中的问题，提高问题求解的效率和准确性。
六、参考文献[1] 高等数学. 第七版. 同济大学数学系编著. 高等教育出版社.[2] 高等代数与解析几何. 第五版. 同济大学数学系编著. 高等教育出版社.。
球坐标与柱坐标转换
球坐标与柱坐标转换在数学和物理学中，我们经常会遇到需要进行不同坐标系之间的转换的情况。
其中，球坐标系和柱坐标系是两个常用的坐标系，它们有着各自特定的表达形式和应用场景。
在本文中，我们将探讨球坐标系与柱坐标系之间的转换关系和方法。
球坐标系与柱坐标系的定义首先，让我们简单回顾一下球坐标系和柱坐标系的定义。
•球坐标系：在三维空间中，球坐标系由一个原点O、一个距离原点的长度r和两个角度θ和φ来描述一个点P的位置。
其中，r是点P到原点O的距离，θ是点P与正向x轴的夹角（通常0到π），φ是点P投影在xy 平面上与正向x轴的夹角（通常0到2π）。
•柱坐标系：柱坐标系也是三维空间中的一种坐标系，由一个原点O、一个距离原点的长度ρ和两个角度θ和z来描述点P的位置。
其中，ρ是点P 在xy平面上的投影与原点O的距离，θ是点P与正向x轴的夹角（通常0到2π），z是点P在z轴上的高度。
球坐标系到柱坐标系的转换公式现在，我们来探讨如何将一个点的球坐标表示转换为柱坐标表示。
设一个点在球坐标系下的坐标为(r, θ, φ)，我们希望求得该点在柱坐标系下的坐标(ρ, θ, z)。
转换公式如下：•ρ = r sin(φ)•z = r cos(φ)柱坐标系到球坐标系的转换公式同样地，我们也可以探讨将柱坐标系下的坐标(ρ, θ, z)转换为球坐标系下的坐标(r, θ, φ)。
转换公式如下：•r = √(ρ^2 + z^2)•φ = arctan(ρ/z)示例应用以上介绍的球坐标系与柱坐标系的转换公式，在各种工程、科学和数学领域中都有着广泛的应用。
以航空航天领域为例，当我们需要计算飞行器在不同坐标系下的位置时，就会用到这些转换公式来方便地进行坐标变换。
总结起来，球坐标系与柱坐标系之间的转换为我们提供了一种便利的方法，在不同坐标系下描述和计算空间中的物理量。
通过掌握这些转换关系和方法，我们可以更灵活地处理复杂的空间问题，为科学研究和工程实践提供有力支持。
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z
eˆr , eˆ , eˆ
位置矢量：
θ0 P(r0,θ0,ψ0)
rv r0eˆr
矢量表示：
x
O r0 ψ0
e
e er
y
A (rv)eˆ A (rv)eˆ A (rv)eˆ
r
r
4、坐标变换
➢圆柱坐标系与直角坐标系间单位矢量变换关系
eˆ
eˆ x
cos
eˆ y
sin
eˆ
eˆ x
(A B) A B
( fA) f A f A
（7） (A B) B A A B （8） （9） ( fA) f A f A （10） (A B) (B )A B( A) (A)B A( B)
(A B) (B )A (A)B B ( A) A ( B)
A(BC) (A B)
C
Α (Β C) (Α C)Β (Α B)C
三、常用坐标系
1、直角坐标系（x,y,z）
方向单位矢量：
eˆx , eˆy , eˆz
位置矢量：
rv x0eˆx y0eˆy z0eˆz
矢量表示：
z
z0
v F O
x0 x
evx
x0eˆx y0eˆy z0eˆz
二、矢量代数
1、矢量和
AB B A
A (B C) (A B) C
2.点乘（标量积、投影积）-- 对应分量相乘的和
A B B A ABcos A(B C) A B AC
3. 叉乘（矢量积）－行列式展开
A B ABsinuˆ
A B B A
A(B C) AB AC
1.1 矢量代数运算
一、矢量与矢量场
1、矢量及表示 A Auˆ
2、标量场与矢量场
标量场 空间某一区域定义一个标量函数,其值随空 间坐标的变化而变化，有时还可随时间变化。则 称该区域存在一标量场。如温度场,电位场,高度场 等
矢量场 空间某一区域定义一个矢量函数,其大小和方向随 空间坐标的变化而变化，有时还可随时间变化。则称该区 域存在一矢量场。如速度场,电场、磁场等.
一、 标量场的梯度
1. 等值面（线）
由所有场值相等的点所构成的面，即为等值面。即若 标量函数为 u u(x，, y则, z)等值面方程为：
u(x, y, z) c const
u u
en N
M el
u
P
2、梯度的定义
gradu(x,
y,
z)
du dl
eˆl
max
式中： e为vl 垂直于等值面（线）的方向。
v R R
求：矢量
v D
v R R3
在R 0处的散度。
三、 矢量场的环流 旋度
1、矢量的环流
v S nˆ S
环流的定义：
在沿l场积矢分量的结果Av空(称间rvAv)为中(矢rv，)量取一有沿向l的闭环合流路。径即l，：则称
P
C
环流的计算
A
Av(rv) Ñl Av(rv)gdlv
讨论：1）线元矢量 的定dl义v ；
f x
eˆy
f y
eˆz
f z
f
div
A
Ax
Ay
Az
A
x y z
旋度
eˆ x eˆy eˆz
v rot A
x y z
Ax Ay Az
v A
从以上的过程中可以清楚地看出，算子确实把对矢量 函数的微分运算转变为矢量算子与矢量的代数运算。
注意：算子在上述的定义与规定下可以将它看成一矢 量来按照矢量代数规则进行运算，但又不能完全将它 与一普通矢量等同，因为它的分量是微分算符而不是 真实矢量的分量。这样，两个普通矢量代数运算的某 些性质对就不成立。
2) 蜒l Av(rv)gdlv l Av(rv) cos (rv)dl
3）环流意义：若矢量场环流为零，矢量场无涡漩流动；反之，则矢量场存在涡
漩运动
反映矢量场漩涡源分布情况。
2. 环流面密度
v S nˆ S
在场矢量 Av(rv空) 间中，围绕空间某点M取一
M
面元S，其边界曲线为C，面元法线方向
P(x0,y0,z0) evz
y0 evy
y
,, z
2、圆柱坐标系 (
方向单位矢量：
eˆ , eˆ , eˆz
位置矢量：
rv r0eˆ z0eˆz
矢量表示：
x
A r
(
rv)eˆ
A (rv)eˆ
A (rv)eˆ
z
z
)
z
r0 z0 O
ψ0
P(r0,ψ0,z0)
evz evr
ev
y
3、球面坐标系 ( r, , )
A A1uˆ1 A2uˆ2 A3uˆ3 B B1uˆ B2uˆ2 B3uˆ3
uˆ1uˆ2uˆ3 A B A1 A2 A3
B1B2 B3
4、矢量代数公式
（1）
Α (B C) B (C A) C (A B)
（2）
（3） （4）
( A B)C A(B C )
由（0，0）和（ ）之间2, 的2 一段抛物线
和两段平行y2于 坐x 标轴的直线段组成。再
计算 的旋度。
A
【例题1.3.2】
求二维标量场 u(x, y)的 梯y2 度x ，并取一闭 合回路C，证明
u dl 0
C
【例题1.3.3】
若
v R
rv
rv'
v R R
证明： ( 1 ) '( 1 )
则定义：
Av (rv)
v dS
S
为矢量 Av(rv沿) 有向曲面S 的通量。
若S为闭合曲面
Ñs Av(rv)
v dS
物理意义：表示穿入和穿出闭合
面S的矢量通量的代数和。 讨论：1）面元 d定Sv义；
2）
v
Ñs A(r)
cos
(rv)ds
3) 通过闭合面S的通量的物理意义：
矢量场的通量
a) 若 ，闭0合面内有产生矢量线的正源； b) 若 ，闭0合面内有吸收矢量线的负源； c) 若 ，闭0合面无源。
y
x
＝0
Fe r Ar
x
Az y
Ay z
Ax y z
Az x
z
Ay x
Ax y
0
四、包含 算子的恒等式
（1） ( f g) f g （2） （3） ( fg) fg gf （4） ( f / g) (gf fg) / g 2, (g 0) （5） （6） (A B) A B
2 y 2
(eˆy eˆy ) f
2 z 2
(eˆz eˆz ) f
2 f 2 f 2 f 2 f x2 y2 z2
【例题1.3.4】
证明一个标量场的梯度必无旋，一个矢量 场的旋度必无散。
Fl r r
＝
eˆ x
y
z
z
y
eˆ
y
z
x
x
z
eˆ x
x
y
R
R
说明：
x
eˆx
y
eˆy
z
eˆz
'
x
'
eˆx
y
'
eˆy
z
'
eˆz
二、含有 算子算式
(1) ( fA) f A Af
证明： ( fA) ( fc A) ( fAc )
(
fc
A)
x
(eˆx
fc
A)
y
(eˆy
fc A)
z
(eˆz
fc
A)
f
x
(eˆx
A)
3、梯度的物理意义
1)、标量场的梯度为一矢量，且是坐标位置的函数；
2)、标量场的梯度表征标量场变化规律：其方向为标量 场增加最快的方向，其幅度表示标量场的最大增加率。
4、直角、圆柱和球坐标系中梯度的表达式
1）在直角坐标系中：
gradu
u x
eˆx
u y
eˆy
u z
eˆz
2）在柱面坐标系中：
gradu
f
y
(eˆy
A)
f
z
(eˆz
A)
f A
(
fAc )
x
(eˆx
fAc )
y
(eˆy
fAc )
z
(eˆz
fAc )
A
f x
eˆx
A
f y
eˆy
A
f z
eˆz
A f
(2) (A B) A( B) (A)B (B )A B( A)
证明： (A B) ( Ac B) ( A Bc )
( x
evx
y
evy
z
evz
)g(Fxevx
Fyevy
Fz evz
)
【例已题知1矢.2量.1】Av(rv) ，rv求 穿Av过(rv一) 个球心在原点，
半径为a的球面的通量和散度 。
【例题1.2v.2】* 已知 R eˆx (x x') eˆy (y y') eˆz (z z')
eˆx
(
Fz y
Fy z
)
eˆy
(
Fx z
Fz x
)
eˆz
(
Fy xFx yຫໍສະໝຸດ )(eˆxx
eˆy
y
eˆz
) z
eˆx Fx eˆy Fy
eˆz Fz
1.3 矢量微分算子
一、微分算子的定义