柱坐标系与球坐标系简介
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xy= =ρρcsions
θ, θ,
z=z,
求出ρ,θ即可.
(2)已知柱坐标系中的柱坐标化为直角坐标,利用公式
xy= =ρρcsions
θ, θ,
z=z,
x,y,z即可.
求出
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【自主解答】 (1)设M的柱坐标为(ρ,θ,z),
则由11= =ρρcsions
θ, θ,
z=1,
解之得,ρ= 2,θ=π4,
之间的一种对应关系.把建立上述对应关系的坐标系叫做
柱坐标系 ,有序数组(ρ,θ,z)叫做点 P 的柱坐标,记作
P(ρ,θ,z) ,其中 ρ≥0,0≤θ<2π,-∞<Z<+∞.
图 1-4-1
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已知点A的柱坐标为(1,0,1),则点A的直角坐标为( )
A.(1,1,0)
B.(1,0,1)
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1.由直角坐标化为球坐标时,我们可以设点M的球坐标为(r,φ,θ),再利 用变换公式
xy==rrssiinn
φcos φsin
θ, θ,
z=rcos φ
求出r,θ,φ.
2.利用r2=x2+y2+z2,tan θ=yx,cos φ=zr,特别注意由直角坐标求球坐标 时,应首先看明白点所在的象限,准确取值,才能无误.
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【自主解答】 设点的直角坐标为(x,y,z),
x=2sin34πcos34π=2× 22×- 22=-1, 则y=2sin34πsin34π=2× 22× 22=1,
z=2cos34π=2×- 22=- 2,
因此点M的直角坐标为(-1,1,- 2).
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1.根据球坐标系的意义以及与空间直角坐标系的联系,首先要明确点的
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3.已知一个点的球坐标为2,34π,π4,则它的高低角为(
)
A.-π4
3π B. 4
π
π
C.2
D.3
【解析】 ∵φ=34π,∴它的高低角为π2-φ=-π4.
【答案】 A
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4.设点 M 的直角坐标为(1,1, 2),则点 M 的柱坐标为________,球坐标 为________.
【答案】
2,π4,
2
2,π4,π4
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5.已知点P的柱坐标为
2,π4,5
,点B的球坐标为
6,π3,π6,求这两个
点的直角坐标.
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【解】 设点P的直角坐标为(x1,y1,z1),
则x1= 2cos π4=1,
y1= 2sin π4=1,z=5.
设点B的直角坐标为(x2,y2,z2),
(2)y=ρsin θ= 2sin34π=1,
z=2,
因此所求点的直角坐标为(-1,1,2).
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将点的球坐标化为直角坐标 已知点M的球坐标为2,34π,34π,求它的直角坐标.
【思路探究】 球坐标 x―=―rs―in―φ―co―sz=θ―,r―cyo―=s ―φrs―in―φs―in―θ→, 直角坐标
则x2=
6sin
π 3cos
π6=
6× 23× 23=346,
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y2=
6sin
π 3sin
π6=
6× 23×12=342,
z2=
6cos
π3=
6×12=
6 2.
所以点P的直角坐标为(1,1,5),点B的直角坐标为346,342, 26.
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球坐标(r,φ,θ)中角φ,θ的边与数轴Oz,Ox的关系,注意各自的限定范围,即
0≤φ≤π,0≤θ<2π.
2.化点的球坐标(r,φ,θ)为直角坐标(x,y,z),需要运用公式
x=rsin φcos θ, y=rsin φsin θ, z=rcos φ,
转化为三角函数的求值与运算.
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点 P 的球坐标,记做 P(r,φ,θ),其中 r≥0,0≤φ≤π,0≤θ<2π.
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已知点A的球坐标为3,π2,π2,则点A的直角坐标为(
)
A.(3,0,0)
B.(0,3,0)
C.(0,0,3)
D.(3,3,0)
【解析】
∵x=3×sin
π 2
×cos
π2=0,y=3×sin
π2×sin
x=ρcos θ, θ,z),代入变换公式y=ρsin θ,
z=z,
求ρ;也可以利用ρ2=x2+y2,求ρ.利用tan θ
=yx,求θ,在求θ的时候特别注意角θ所在的象限,从而确定θ的取值. 2.点的柱坐标和直角坐标的竖坐标相同.
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[再练一题]
1.根据下列点的柱坐标,分别求直角坐标:
π2 =3,z=3×cos
π2=0,
∴直角坐标为(0,3,0).故选B.
【答案】 B
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[小组合作型] 点的柱坐标与直角坐标互化
(1)设点M的直角坐标为(1,1,1),求它的柱坐标系中的坐标; (2)设点N的柱坐标为(π,π,π),求它的直角坐标.
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【思路探究】 (1)已知直角坐标系中的直角坐标化为柱坐标,利用公式
因此点C的柱坐标为
2,π4,0.
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(2)由于r= x2+y2+z2= 12+12+0= 2.
又cos φ=zr=0,∴φ=π2.
又tan θ=yx=1,∴θ=π4,
故点C的球坐标为
2,π2,π4.
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[构建·体系]
— 柱坐标系 柱、球坐标系—— 球坐标系
— 柱坐标、球坐标的互化
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[再练一题] 3.若本例中条件不变,求点C的柱坐标和球坐标.
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【解】 易知C的直角坐标为(1,1,0).
设点C的柱坐标为(ρ,θ,0),球坐标为(r,φ,θ),其中0≤φ≤π,0≤θ<2π.
(1)由于ρ= x2+y2= 12+12= 2.
又tan θ=yx=1,∴θ=π4,
因此,点M的柱坐标为
2,π4,1.
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(2)设N的直角坐标为(x,y,z),
x=ρcos θ, 则由y=ρsin θ,
z=z,
x=πcos π, 得y=πsin π,
z=π,
∴xy= =-0,π, z=π,
因此,点N的直角坐标为(-π,0,π).
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百度文库
1.由直角坐标系中的直角坐标求柱坐标,可以先设出点M的柱坐标为(ρ,
(1)
2,5π,3 6
;(2)
2,34π,2 .
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【解】 设点的直角坐标为(x,y,z).
x=ρcos
θ=2cos56π=-
3,
(1)y=ρsin θ=2sin56π=1,
z=3,
因此所求点的直角坐标为(- 3,1,3).
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x=ρcos θ=
2cos34π=-1,
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【解析】 由坐标变换公式,可得ρ= x2+y2= 2,tan θ=yx=1,θ=π4(点 (1,1)在平面xOy的第一象限),
r= x2+y2+z2= 12+12+ 22=2.
由rcos φ=z= 2,
得cos φ= r2= 22,φ=π4.
∴点M的柱坐标为
2,π4,
2,球坐标为2,π4,π4.
教材整理 1 柱坐标系
阅读教材 P16~P17“思考”及以上部分,完成下列问题.
一般地,如图 1-4-1,建立空间直角坐标系 Oxyz.设 P 是空间任意一点.它
在 Oxy 平面上的射影为 Q,用(ρ,θ)(ρ≥0,0≤θ<2π)表示点 Q 在平
面 Oxy 上的极坐标,这时点 P 的位置可用有序数组(ρ,θ,z)(z ∈R)表示.这样,我们建立了空间的点与有序数组 (ρ,θ,z)
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1.在空间直角坐标系中,点P的柱坐标为2,π4,3,P在xOy平面上的射影 为Q,则Q点的坐标为( )
A.(2,0,3)
C.
2,π4,3
B.2,π4,0 D.( 2,π4,0)
【解析】 由点的空间柱坐标的意义可知,选B.
【答案】 B
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2.柱坐标P16,π3,5转换为直角坐标为(
C.(0,1,1)
D.(1,1,1)
【解析】 ∵x=ρcos θ=1,y=ρsin θ=0,z=1, ∴直角坐标为(1,0,1),故选B.
【答案】 B
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教材整理 2 球坐标系
阅读教材 P17~P18,完成下列问题. 一般地,如图 1-4-2,建立空间直角坐标系 Oxyz.设 P
是空间任意一点,连接 OP,记|OP|=r,OP 与 Oz 轴正向
图1-4-2
所夹的角为 φ.设 P 在 Oxy 平面上的射影为 Q,Ox 轴按逆时针方向旋转到 OQ 时
所转过的 最小正角 为 θ.这样点 P 的位置就可以用有序数组 (r,φ,θ) 表
示.这样,空间的点与有序数组 (r,φ,θ) 之间建立了一种对应关系.把建立
上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系),有序数组(r,φ,θ)叫做
[再练一题] 2.若例2中“点M的球坐标改为M3,56π,53π”,试求点M的直角坐标.
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【解】 设M的直角坐标为(x,y,z),
x=rsin
φcos
θ=3sin56πcos53π=34,
则y=rsin
φsin
θ=3sin56πsin53π=-3
4
3,
z=rcos φ=3cos56π=-323,
阶
阶
段
段
一
三
四 柱坐标系与球坐标系简介
学
阶 段 二
业 分 层 测
评
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1.了解柱坐标系、球坐标系的意义,能用柱坐标系、球坐标系刻画简单 问题中的点的位置.(重点)
2.知道柱坐标、球坐标与空间直角坐标的互化关系与公式,并用于解 题.(难点、易错点)
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[基础·初探]
)
A.(5,8,8 3)
B.(8,8 3,5)
C.(8 3,8,5)
D.(4,8 3,5)
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【解析】
由公式xy= =ρρcsions
θ, θ
z=z,
x=16cosπ3=8, 得y=16sinπ3=8 3,
z=5, 即P点的直角坐标为(8,8 3,5). 【答案】 B
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∴因此M的直角坐标为34,-3 4 3,-3 2 3.
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空间点的直角坐标化为球坐标
已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,底面正方形ABCD的边长为1,棱 AA1的长为 2 ,如图1-4-3所示,建立空间直角坐标系Axyz,Ax为极轴,求点C1 的直角坐标和球坐标.
【思路探究】 先确定C1的直角坐标,再根据空间直角 坐标系与球坐标系的联系,计算球坐标.
图1-4-3
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【自主解答】 点C1的直角坐标为(1,1, 2). 设C1的球坐标为(r,φ,θ),其中r≥0,0≤φ≤π,0≤θ<2π, 由x=rsin φcos θ,y=rsin φsin θ,z=rcos φ, 得r= x2+y2+z2= 12+ 22+12=2. 由z=rcos φ,∴cos φ= 22,φ=π4, 又tan θ=yx=1,∴θ=π4, 从而点C1的球坐标为2,π4,π4.