高二数学函数的单调性与导数

y 解：函数f(x)的定义域是(－ ∞,＋∞)
f'(x)6x212x
令6x2－12x>0,解得x>2或x<0
∴当x ∈(2,＋∞)时，f(x)是增函数； 当x ∈(－∞，0)时，f(x)也是增函数
o
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x
令6x2－12x<0,解得,0<x<2
∴当x ∈(0,2)时，f(x)是减函数。
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知识点：
定理：
• 如果恒有 f′(x)>0，则 f（x） 是增函 数。
• 如果恒有 f′(x)<0，则f（x） 是减函 数。
• 如果恒有 f′(x)=0，则f（x） 是常数。
例1.确定函数 f(x)x24x5在哪个区
间是减函数？在哪个区间上是增函数？
解: (1)求函数的定义域
函数f (x)的定义域是(－ ∞,＋∞)
一般地，函数y＝f（x）在某个区间内 可导：f’(x)>0
f’(x)<0
如果恒f’有(x)＝0 步函骤：数。
，则 f(x)在是增
（1如）果求函恒数有的定义域 （数2）。求函数的导数
，则 f(x)是减函
（3）令f’(x)>0以及f’(x)<0,求自变量x的取值范围，即
函数如的果单调恒区有间。
，则 f(x)是常数。
练习: 判断下列函数的单调性
• (1)f(x)=x3+3x; • (2)f(x)=sinx-x,x∈(0,π); • (3)f(x)=2x3+3x2-24x+1; • (4)f(x)=ex-x;
作业布置：
书本P107 A 1.（1）（2）,2.（2）(4). 第二教材 A
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新课引入
y 1
o
1.在x＝1的左边函数图像的单 调性如何？
2.在x＝1的左边函数图像上的各
x 点切线的倾斜角为
(锐角/
钝角)?他的斜率有什么特征？
3.由导数的几何意义，你可以得 到什么结论？
4.在x＝1的右边时，同时回答
上述问题。
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• 定理： • 一般地，函数y＝f（x）在某个区间
内可导：
高二数学函数的单调性与导数
函数的单调性与导数
情境设置 探索研究 演练反馈 创新升级 总结提炼 作业布置
画出下列函数的图像，并根据图像指出每个函数的单调区间
y 1 x
yx2 2x1 y 3x
y
y
y
o
x
1
o
x
1
o
x
在（－ ∞ ，0）和（0, ＋ ∞）上分别是减函数。
但在定义域上不是减函数。
在（－ ∞ ，1）上是减 函数，在（1, ＋∞）上 是增函数。
在(－ ∞,＋∞) 上是增函数
概念回顾
单调性的概念
对于给定区间上的函数f(x): 1.如果对于这个区间上的任意两个自变量x1,x2,当x1<x2时， 都有 f(x1)<f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是增函数. 2.如果对于这个区间上的任意两个自变量x1,x2,当x1<x2时， 都有f(x1)>f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数 对于函数y＝f(x)在某个区间上单调递增或单调递减的性 质，叫做f(x)在这个区间上的单调性，这个区间叫做f(x) 的单调区间。
y
（2）求函数的导数
f '(x)2x4
（3）令 f '(x) 0以及 f '(x) 0
2
o
x
求自变量x的取值范围，也即函数的单调区间。
令2x－4>0,解得x>2
∴x∈(2,＋∞)时， f (是x增)函数 令2x－4<0,解得x<2
∴x∈(-∞,2)时， f ( x)是减函数
确定函数 f(x)2x36x27 ，在哪个区 间是增函数，那个区间是减函数。