2020中考专题8——最值问题之将军饮马

的长．
16.如图，抛物线 y 1 x2 2x 4 交 y 轴于点 B，点 A 为 x 轴上的一点，OA=2，过点 A 作直线 MN AB 2
交抛物线与 M、N 两点. （1）求直线 AB 的解析式； （2）将线段 AB 沿 y 轴负方向平移 t 个单位长度，得到线段 A1B1 ，求 MA1 MB1 取最小值时实数 t 的值.
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2020 中考专题 8——最值问题之将军饮马
【模型解析】
班级
姓名
.
总结：以上四图为常见的轴对称类最短路程问题，最后都转化到：“两点之间，线段最短”解决。
特点：①动点在直线上；②起点，终点固定；
方法：作定点关于动点所在直线的对称点。
【例题分析】
例 1.如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB 的顶点 A 在 x 轴的正半轴上，顶点 B 的坐标为(3， 3 )，
例 5.解：如图所示，直线 OC、y 轴关于直线 y＝kx 对称，直线 OD、直线 y＝kx 关于 y 轴对称，点 A′是点 A 关于直线 y＝kx 的对称点．
作 A′E⊥OD 垂足为 E，交 y 轴于点 P，交直线 y＝kx 于 M，作 PN⊥直线 y＝kx 垂足为 N， ∵PN＝PE，AM＝A′M，∴AM＋PM＋PN＝A′M＋PM＋PE＝A′E 最小(垂线段最短)， 在 RT△A′EO 中，∵∠A′EO＝90°，OA′＝4，∠A′OE＝3∠AOM＝60°， ∴OE＝ 1 OA′＝2，A′E＝ 42 22 ＝2 3 ．
值为
．
4.如图 4，钝角三角形 ABC 的面积为 9，最长边 AB＝6，BD 平分∠ABC，点 M、N 分别是 BD、BC
上的动点，则 CM＋MN 的最小值为
．
5.如图 5，在△ABC 中，AM 平分∠BAC，点 D、E 分别为 AM、AB 上的动点，
(1)若 AC＝4，S△ABC＝6，则 BD＋DE 的最小值为
．
图6
图7
图8
图9
7.如图 7，AB 是⊙O 的直径，AB＝8，点 M 在⊙O 上，∠MAB＝20°，N 是弧 MB 的中点，P 是直
径 AB 上的一动点，则 PM＋PN 的最小值为
．
8.如图 8，在锐角△ABC 中，AB＝4，∠BAC＝45°，∠BAC 的平分线交 BC 于点 D，M、N 分别是
AD 和 AB 上的动点，则 BM＋MN 的最小值是
当 BM＋EN＝BM＋FM＝BF′时，四边形 BMNE 的周长最小，
由∠FEQ＝∠ACB＝45°，可求得 FQ＝EQ＝1，
∵∠DPC＝∠FPQ，∠DCP＝∠FQP，∴△PFQ∽△PDC，
∴
PQ
＝ PQ ，∴ PQ ＝ 1 ，解得：PQ＝ 2 ，∴PC＝ 8 ，
PQ QE EC CD
PQ 2 4
4.解：过点 C 作 CE⊥AB 于点 E，交 BD 于点 M，过点 M 作 MN⊥BC 于 N， ∵BD 平分∠ABC，ME⊥AB 于点 E，MN⊥BC 于 N，∴MN＝ME， ∴CE＝CM＋ME＝CM＋MN 是最小值． ∵三角形 ABC 的面积为 9，AB＝6，∴ 1 ×6CE＝9，∴CE＝3．
∴cos∠HAB＝ AH ＝ 2 3 ＝ 3 ，∴∠HAB＝30°，∴∠ABH＝60°，∴∠ABC＝120°，
AB 4
2
∵∠BAC＝∠C＝30°，
3
3
由对称性可求得 tan∠MBC＝tan∠PDC＝ 2 ． 3
例 4.【提示】 将△AEO 向右平移转化为△AEO 不动，点 B 向左平移，则点 B
移动的轨迹为一平行于 x 轴的直线，所以作点 E 关于该直线的对称 点 E1，连接 AE1，与该直线交点 F 即为最小时点 B 的位置，求出 BF 长度即可求出点 E 向右平移的距离．
例 5.如图，已知正比例函数 y＝kx(k＞0)的图像与 x 轴相交所成的锐角为 70°，定点 A 的坐标为(0，
4)，P 为 y 轴上的一个动点，M、N 为函数 y＝kx(k＞0)的图像上的两个动点，则 AM＋MP＋PN 的
最小值为
．
【巩固训练】
1.如图 1 所示，正方形 ABCD 的面积为 12，△ABE 是等边三角形，点 E 在正方形 ABCD 内，在对
角线 AC 上有一点 P，使 PD＋PE 的和最小，则这个最小值为
．
图1
图2
图3
图4
2.如图 2，在菱形 ABCD 中，对角线 AC＝6，BD＝8，点 E、F、P 分别是边 AB、BC、AC 上的动
点，PE＋PF 的最小值是
．
3.如图 3，在边长为 2 的等边△ABC 中，D 为 BC 的中点，E 是 AC 边上一点，则 BE＋DE 的最小
2 ∴AM＋MP＋PN 的最小值为 2 3 ．

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【巩固训练】答案
1. 解：连接 BD， ∵点 B 与 D 关于 AC 对称，∴PD＝PB，∴PD＋PE＝PB＋PE＝BE 最小． ∵正方形 ABCD 的面积为 12，∴AB＝2 3 ， 又∵△ABE 是等边三角形，∴BE＝AB＝2 3 ，故所求最小值为 2 3 ．
点 C 的坐标为( 1 ，0)，点 P 为斜边 OB 上的一动点，则 PA＋PC 的最小值为
．
2
例 2.如图，在五边形 ABCDE 中，∠BAE＝120°，∠B＝∠E＝90°，AB＝BC＝1，AE＝DE＝2，
在 BC、DE 上分别找一点 M、N．
(1)当△AMN 的周长最小时，∠AMN＋∠ANM＝
；
OC、OB 上，则 CE＋DE＋DB 的最小值是
．
图 10
图 11
图 12
图 13
11.如图 11，点 A(a，1)、B(－1，b)都在双曲线 y＝－ 3 (x＜0)上，点 P、Q 分别是 x 轴、y 轴上 x
的动点，当四边形 PABQ 的周长取最小值时，PQ 所在直线的解析式是
．
12.如图 12，点 P 是∠AOB 内任意一点，OP＝5cm，点 M 和点 N 分别是射线 OA 和射线 OB 上的
．
9. 如图 9，圆柱形玻璃杯高为 12cm、底面周长为 18cm，在杯内离杯底 4cm 的点 C 处有一滴蜂蜜，
此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿 4cm 与蜂蜜相对的点 A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为
cm．
10.如图 10，菱形 OABC 中，点 A 在 x 轴上，顶点 C 的坐标为(1， 3 )，动点 D、E 分别在射线
(2)求△AMN 的周长最小值．
例 3.如图，正方形 ABCD 的边长为 4，点 E 在边 BC 上且 CE＝1，长为 2 的线段 MN 在 AC 上运
动．
(1)求四边形 BMNE 周长最小值；
(2)当四边形 BMNE 的周长最小时，则 tan∠MBC 的值为
．
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例 4.在平面直角坐标系中，已知点 A(一 2，0)，点 B(0，4)，点 E 在 OB 上，且∠OAE＝∠OBA．如 图，将△AEO 沿 x 轴向右平移得到△AE′O′，连接 A'B、BE'．当 AB＋BE'取得最小值 时，求点 E'的坐标．
(2)若∠BAC＝30°，AB＝8，则 BD＋DE 的最小值为
．
(3)若 AB＝17，BC＝10，CA＝21，则 BD＋DE 的最小值为
．
2
图5
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6.如图 6，在△ABC 中，AB＝BC＝4，S△ABC＝4 3 ，点 P、Q、K 分别为线段 AB、BC、AC 上任意
一点，则 PK＋QK 的最小值为
(1)点 P 是边 BC 上的一个动点，在线段 BC 上找一点 P，使得 AP＋PD 最小，在下图中画出点 P；
(2)在(1)的条件下，连接 CD 交 AP 于点 Q，求 AQ 与 PQ 的数量关系；
图 14
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15.在矩形 ABCD 中，AB＝6，BC＝8，G 为边 AD 的中点． (1)如图 1，若 E 为 AB 上的一个动点，当△CGE 的周长最小时，求 AE 的长． (2)如图 2，若 E、F 为边 AB 上的两个动点，且 EF＝4，当四边形 CGEF 的周长最小时，求 AF
例 3.解：作 EF∥AC 且 EF＝ 2 ，连结 DF 交 AC 于 M，在 AC 上截取 MN＝ 2 ，延长 DF 交 BC 于 P，
作 FQ⊥BC 于 Q，作出点 E 关于 AC 的对称点 E′，则 CE′＝CE＝1，将 MN 平移至 E′F′处，
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则四边形 MNE′F′为平行四边形，
2 即 CM＋MN 的最小值为 3．
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5.提示：作点 E 关于 AM 的对称点 E′，BH⊥AC 于 H，易知 BD＋DE 的最小值即为 BH 的长. 答案：(1)3；(2)4；(3)8．
6.解：如图，过 A 作 AH⊥BC 交 CB 的延长线于 H，
∵AB＝CB＝4，S△ABC＝4 3 ，∴AH＝2 3 ，
2.解：∵四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC＝6，BD＝8，∴AB＝5，
作 E 关于 AC 的对称点 E′，作 E′F⊥BC 于 F 交 AC 于 P，连接 PE，则 E′F 即为 PE＋PF 的最
小值，∵ 1 ACBD＝ADE′F，∴E′F＝ 24 ，∴PE＋PF 的最小值为 24 .
2
5
5
3.解：作 B 关于 AC 的对称点 B′，连接 BB′、B′D，交 AC 于 E，此时 BE＋ED＝B′E＋ED＝B′D， 根据两点之间线段最短可知 B′D 就是 BE＋ED 的最小值， ∵B、B′关于 AC 的对称，∴AC、BB′互相垂直平分，∴四边形 ABCB′是平行四边形， ∵三角形 ABC 是边长为 2，D 为 BC 的中点，∴AD⊥BC，AD＝ 3 ，BD＝CD＝1，BB′＝2AD＝2 3 ， 作 B′G⊥BC 的延长线于 G，∴B′G＝AD＝ 3 ， 在 Rt△B′BG 中，BG＝3，∴DG＝BG﹣BD＝3﹣1＝2，在 Rt△B′DG 中，B′D＝ 7 ． 故 BE＋ED 的最小值为 7 ．