相似矩阵与二次型

性质3 三角不等式
可以证明
,

1
(当
0时）
当
0, 0 时,
arccos
当
,

称为
n 维向量 与
正交
的夹角
, 0 时,称向量 与
显然,零向量与任何向量都正交.
5.3.3正交向量组 定义3 一组两两正交的非零向量组,称为正交向量组 两两正交的单位向量组,称为单位正交向量组, 记作 e1 , e2 ,, em 正交向量组有下列性质 性质1 若 1 , 2 ,, m 是正交向量组,则 , ,, 线性无关 1 2 m 性质2 设 e1 , e2 ,, em 为单位正交向量组, 为同维数的任一向量, 若存在数 k1 , k2 ,, km ,使
x1 x2 x3 x2 x2 x x 3 3
1 1 1 ,求一组非零向量2 , 3 ,使 1 , 2 , 3 两两正交． 1
x1 x2 x3 0
它的通解为 一基础解系为
x1 1 1 x c 1 c 2 1 2 0 x 0 1 3
1 ,取 3 0 即可 1
5.1.4正交化方法(施密特（Schimidt）正交化过程 ) 设 1 , 2 ,, m 为一线性无关向量组 （1）正交化 取
1 1
3 , 1 3 , 2 2 , 1 1 2 2 2 1 3 3 1, 1 2 , 2 1, 1
依次类推,一般的,有
j , 1 j , 2 j , j 1 j j 1 2 j 1 , 1 , 1 2 , 2 j 1 j 1
( j 1, 2,, m)
1T 1 1 1 A T ,则3 应满足齐次线性方程组 Ax 2 1 2 1
0 ,即
x1 1 x1 x3 所以同解方程组为 x c 2 1 0 x 0 2 ,通解为 1 x 3 x x 3 3
可以证明, 1 , 2 ,, m 两两正交,且与1 , 2 ,, m 等价 （2）单位化 令
ej
j j
( j 1, 2,, m)
则 e1, e2 ,, em 为单位正交向量组,且 1 , 2 ,, m 等价
例 已知
解 2 , 3 应该满足 1 , x 0, 即 其同解方程组为
1 2 1 2 1 ,3 0 0 1 2
b1 b2 bn
令
, a1b1 a2b2 anbn

的内积
称为向量 与
向量的内积具有下列性质
, , k , k ห้องสมุดไป่ตู้ , k , , , , 0 0
1 1 1 1 , 2 0 0 1
把基础解系正交化，即为所求．取
1 2 1 1 , 0
1 1 1 2 , 1 2 2 3 2 1 0 0 0 1 , 1 1 2 1 1 2
1 一基础解系为 0 1
x1 1 2 1 0 x2 1 1 1 x 0 3
1 2 1 1 0 1 因为 A 1 1 1 0 1 0
k1e1 k2e2 kmem
则
ki , ei (i 1,2,, m)
例
使 解记
1 1 已知两个3维向量 1 1 , 2 2 1 1 , 2 , 3 两两正交. 1
3 , 正交,求一个非零向量
相似矩阵与二次型
5.1 向量的内积、正交化方法 5.2方阵的特征值与特征向量 5.3 相似矩阵 5.4实对称矩阵的相似矩阵 5.5 二次型及其矩阵表示 5.6二次型的标准形 5.7 正定二次型
5.1 向量的内积、正交化方法 5.1.1向量的内积 定义1 设有
n
a1 a2 维向量 , an
5.1.2向量的长度 a1 定义2 设 a2 an
令

2 2 2 , a a a 1 2 n

称为向量 的长度（或范数）
向量的长度具有下列性质 性质1 非负性:当 性质2 齐次性:
0 时, 0 ;当 0 时, 0. k k （ k 为实数）