线代矩阵

1 1 1 2003 已知矩阵 A 2 2 2 , 试求 A . 例２ 3 3 3 1 1 解：由于A 2 1, 1, 1 T , 其中 2， 3 3
T 1, 1, 1, 于是，有
设A为n阶方阵,如果 A2 A, 则称A为幂等矩阵.
对合矩阵
设A为n阶方阵,如果 A2 I , 则称A为对合矩阵.
正交矩阵
设A为n阶方阵,如果 AT A A AT I , 则称A为 正交矩阵.
9
逆矩阵
AB BA I
定义 设A为n阶方阵, 如果存在矩阵B , 使
则称矩阵A是可逆的(或非奇异的、非退化的 、满 秩的), 且矩阵B称为A的逆矩阵.
主对角线以外 ,其 余 元 素 全 为 零 , 则 称A为 对角矩阵 .
主对角线上的元素都是1, 其余元素都是零的 n阶方阵,叫做n阶单位阵, 简记作 I .
３
同维矩阵和相等矩阵
两个矩阵的行数相等、列数也相等时，就称 它们是同维矩阵．
如果A (a ij )与B (bij )是同维矩阵, 并且它 们的对应元素相等 ,即 a ij bij ( i 1,2,, m; j 1,2,, n).
四、矩阵的分块运算
五、解矩阵方程的初等变换法
一、矩阵的运算
例１
1 0 1 2 已 知A B AB I , 且A 0 2 0 , 求B. 1 0 1 解 :由 已 知 得
( A I ) B A2 I ( A I )( A I ) 2 0 1 因 为A I可 逆, 所 以B A I 0 3 0 . 1 0 2
《线性代数》知识篇四 个知 识点内在联系图:
矩 阵
一
一 一 对 应
行列式
一
对 应
线性方程组 一 一 对 应 向量组
求解公式“克拉 默法则”引出
特征问题
矩阵
第一章
矩
Βιβλιοθήκη Baidu
阵
一、主要内容
二、典型例题
主
要
内 容
1、矩阵的定义
2、常见的几类矩阵
3、同维矩阵、相等矩阵
4、矩阵相加 5、数乘矩阵 6、矩阵相乘、转置
A2003 ( T ) ( T ) ( T ) ( T ) ( T ) 2003个 1 T ， 又 [1, 1, 1] 2 6, 结合矩阵乘法的结合律 3
则有
A
2003
T T T T T ( ) ( ( ( ) ( ) ) ) 2003个
此标准形由m , n, r 三个数完全确定 , 其中 r 是个与 m , n有关的数.
注意
标准形N有四种变形：
Ir (1) I r , O ; ( 2) ; ( 3) I r ; (4) I 0 O O
典
型
例
题
一、矩阵的运算
二、逆矩阵的运算及证明
三、求逆矩阵的初等变换法
类似地, 用n阶初等矩阵C ij 右乘矩阵A, 相当 于对矩阵A施行第一种初等列变换: 把A的第 i 列与第j列对调(c ij ).
（２）数乘变换：以数 （非零）乘某行（ C i ( )) 列），得初等矩阵 Ri ( ) (．
以 Ri ( ) 左乘矩阵A, 相当于以数 （非零） 乘A的第 i行 ( r i ( ));
那么就称矩阵A与矩阵B相等, 记作 A B .
4
矩阵相加
设A (a ij )mn , B (bij )mn 为两个同维矩阵 ,
矩阵加法定义为A B (a ij bij )mn , A B称为 A与B的和. 交换律 A B B A 结合律 ( A B ) C A ( B C )
注 若A有逆矩阵 , 则A的逆矩阵是唯一的 , A的逆
1 矩阵记作 A .
注 A为方阵时 , 若AB I则BA I .
相关性质
( A ) A;
1
1
(A)
1
1

A ( 0);
1
(A ) (A ) .
1
T
T 1
若同阶方阵A与B都可逆, 那么AB也可逆, 且 ( AB ) B 1 A 1 .
设A (a ij ), 记 A ( a ij ), A称为矩阵A的 负矩阵, 从而有A ( A) O , 并规定 A B A ( B ).
5
数乘矩阵
数与矩阵A的乘积记作A 或 A , 规定为
A A ( a ij ).
运算规律
( ) A ( A); ( ) A A A;
初
等
变
换 逆
变
换
r ij (cij )
r ij (cij )
r i ( ) (ci ( ))
1 1
r i ( ) (ci ( ))
rij (k ) (cij (k ))
r
ij
( k ) (cij ( k ))
12
矩阵的等价
如果矩阵A经有限次初等变换变成 矩阵B , 就
称矩阵A与B等价, 记作A ~ B .
( 4 ) 15 ( 3 ) 25 ( 3) 35
1 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
任何一个m n矩阵, 总可以经过初等变换 (行变 换和列变换), 化为标准形
Ir O N O O m n
T A A A11 11 1r T (1) 若A 则A T A A s1 sr A1r
A T Asr
T s1
(2) 若每个子块Ai (i 1,s )均可逆，则
A1 A2 O As O
以 C i ( ) 右乘矩阵 A, 相当于以数 （非零） 乘A的第 i列 (ci ( ));
（３）数乘及加法变换：以数 k 乘某行（列） 加到另一行（列）上去，得初等矩阵Rij ( k ) (C ij ( k )) ．
以 Rij ( k )左乘矩阵A, 相当于把A的第 i行乘 以k加到第 j行上 ( r ij ( k )); 以 C ij ( k )右乘矩阵A, 相当于把A的第 i列乘 以k加到第 j列上 (cij ( k ));
(1)
其中m n个数叫做矩阵 A的元素, a ij 叫做矩 阵A的第i行第j列元素. 元素是实数的矩阵叫做 实矩阵. 元素是复数的矩阵叫做 复矩阵.
(1)式可简记为 A (a ij ) m n 或A (a ij ), m n矩阵A也记作 Am n .
２
常见的几类矩阵
对(1)式,当m n时, A称为n阶方阵.
( A B ) A B .
其中， 均为常数.
6
矩阵相乘、转置
设A (a ij )ms , B (bij )sn , 规定A与B的乘积
是一个m n矩阵C (c ij )mn , 其中 c ij a i 1 b1 j a i 2 b2 j a is b sj a ik bkj
a1 a2 只有一列的矩阵 A 叫做列矩阵; am 只有一行的矩阵 A (a 1 a 2 a n )叫做 行矩阵.
元素都是零的矩阵称为零矩阵, 记作O .
主对角线以下的元素全为零的方阵称为上三 角矩阵． 主对角线以上的元素全为零的方阵称为下三 角矩阵．
反身性
对称性
A ~ A;
若A ~ B, 则B ~ A; 若A ~ B, B ~ C , 则A ~ C .
传递性
13
初等矩阵
由单位矩阵 I 仅经过一次初等变换得到的矩 阵称为初等矩阵． 三种初等变换对应着三种初等矩阵．
（１）交换两行（列）：对调两行（列）， 得初等矩阵 Rij (C ij ) ．
用m阶初等矩阵 Rij 左乘A (a ij )mn , 相当于 对矩阵A施行第一种初等行变换: 把A的第 i行与 第j行对调( r ij ).
k 1 s
( i 1,2,, m; j 1,2, n), 记作 C AB.
注意： 这叫 A左乘 B !
运算规律
( AB )C A( BC );
( AB ) (A)B A(B),
A( B C ) AB AC , ( B C ) A BA CA;
运算规律
( A ) A; ( A B ) AT B T ; (A) AT ;
T T
T T
( AB ) B T AT .
其中为常数.
T
7
方阵的运算
设A是n阶方阵, 定义
2 1 1 k 1 k 1 A , , , A A A A A A A, 1
n 阶方阵的幂
(其中为数);
I m Amn Amn Amn I n .
一般地， AB BA, 若AB BA, 则称 A与B 是可交换的. 一般地, AB O不能推出A O或B O,
即消去律不成立.
矩阵转置
把矩阵A的行换成同序数的列得 到一个新矩 阵,叫做A的转置矩阵, 记作 AT . 这个动作叫做转置 运算.
7、方阵的运算
8、一些特殊的矩阵
9、逆矩阵 10、分块矩阵
11、初等变换的定义
12、等价矩阵 13、初等矩阵 14、矩阵的标准形分解
１
矩阵的定义
由m n个数 a ij ( i 1,2, m; j 1,2, n)排成的
m 行n列数表 a11 a12 a1n a 21 a 22 a 2 n A amn a m1 am 2 叫做m 行n列矩阵, 简称m n矩阵.
1
A11
A2
1
O
; 1 As O
As
A2
A1
1
1 A1
A
1 2
A
1 s
11
初等变换的定义
对调矩阵的两行 (列), 记作r ij (cij );
14
矩阵的标准形分解
对任何矩阵，总可经过有限次初等变换，而 得到矩阵的标准形，其特点是：左上角是一个单 位矩阵，其余元素都为0． 例如
1 0 0 0
4 1 1 0 3 0 0 1 3 0 0 0 0
0 1 0
~ c
c c
c 34 c14(1) c 24(1)
其中k是正整数.
A A A
k l
kl
, ( A ) Akl ,
k
k l
其中k , l为正整数.
一般地
( AB) Ak B k .
8
一些特殊的矩阵
对称矩阵
设A为n阶方阵,如果 AT A, 则称A为对称矩阵.
反对称矩阵
设A为n阶方阵,如果 AT A, 则称A为反对称 矩阵.
幂等矩阵
( ) ( ) ( )
T T T
T
62002 T 6
2002
2002个
A
解毕.
例3 设A是n阶 对 称 阵 , B是 n 阶 反 对 称 阵 ,则 下 列 矩 阵 中 为反对称阵的是 ( A) AB BA; C) ( AB ) 2 ; ). B) D)
1
推广 若同阶方阵A1 , A2 , An都可逆, 那么( A1 A2 An )
也可逆, 且 ( A1 A2 An ) An A2 A1
1 1 1 1
10
分块矩阵
矩阵的分块，主要目的在于简化运算及便于 论证． 分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则 相类似．
需要特别注意的是：
交换两行（列）
数乘变换
以数 0乘某一行(列)中的所有元素, 记作
数乘及加法变换 把某一行(列)所有元素的k倍加到另一行 (列)
r i ( )(ci ( ));
对应的元素上去 , 记作 r ij ( k )(cij ( k )).
三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是 同一类型的初等变换．