线代矩阵
线性代数知识点梳理
线性代数知识点梳理一、行列式与矩阵第一章《行列式》、第二章《矩阵》是线性代数中的基础章节，有必要熟练掌握。
行列式的核心内容是求行列式，包括具体行列式的计算和抽象行列式的计算，其中具体行列式的计算又有低阶和高阶两种类型;主要方法是应用行列式的性质及按行列展开定理化为上下三角行列式求解。
对于抽象行列式的求值，考点不在求行列式，而在于相关性质，矩阵部分出题很灵活，频繁出现的知识点包括矩阵运算的运算规律、运算性质、矩阵可逆的判定及求逆、矩阵的秩的性质、初等矩阵的性质等。
二、向量与线性方程组向量与线性方程组是整个线性代数部分的核心内容。
相比之下，行列式和矩阵可视作是为了讨论向量和线性方程组部分的问题而做铺垫的基础性章节;后两章特征值、特征向量、二次型的内容则相对独立，可以看作是对核心内容的扩展。
解线性方程组可以看作是出发点和目标。
线性方程组(一般式)还具有两种形式：(1)矩阵形式(2)向量形式。
齐次线性方程组可以直接看出一定有解，因为当变量都为零时等式一定成立;印证了向量部分的一条性质“零向量可由任何向量线性表示”。
齐次线性方程组一定有解又可以分为两种情况：①有唯一零解;同样可以认为秩是为了更好地讨论线性相关和线性无关而引入的。
秩的定义是“极大线性无关组中的向量个数”。
经过“秩→ 线性相关无关→ 线性方程组解的判定”的逻辑链条，就可以判定列向量组线性相关时，齐次线性方程组有非零解，且齐次线性方程组的解向量可以通过r个线性无关的解向量(基础解系)线性表示。
非齐次线性方程组是否有解对应于向量是否可由列向量组线性表示，使等式成立的一组数就是非齐次线性方程组的解。
三、特征值与特征向量相对于前两章来说，本章不是线性代数这门课的理论重点，但却是一个考试重点。
其原因是解决相关题目要用到线代中的大量内容，既有行列式、矩阵又有线性方程组和线性相关，“牵一发而动全身”。
本章知识要点如下：1.特征值和特征向量的定义及计算方法就是记牢一系列公式和性质。
线代第三章矩阵的秩
a11 x1 a x 21 1 am 1 x1
a12 x2 a22 x2 am 2 x2
a1n xn a2 n xn amn xn
b1 b2 bm (1)
a11 a12 a1n a a22 a2 n 为方程组(1)的系数矩阵。 则称矩阵 A 21 am 1 am 2 amn
3 1 2 1 0 0 1 2 0 0 0 1
最后一行有 0 x3
1,
可知方程组无解。
x1 2 x2 3 x3 x2 x3 例3：解线性方程组 x1 3 x2 7 x2 3 x3
1 0 解： ( A, b) 1 0 1 0 0 0 2 1 0 0 3 1 2 4 2 1 3 7 4 1 4 8 3 1 0 3 4 1 3 1 1 0 1 0
a12 x2 a22 x2 am 2 x2 a1 n xn a2 n xn amn xn 0 0 0 (2)
a11 x1 a x 21 1 am 1 x1
称为方程组（1）的导出组， 或称为（1）对应的齐次线性方程组。
举例说明消元法具体步骤：
2 x1 例2：解线性方程组 4 x 1 2 x 1
x2 x2
3 x3
1 4 0
2 x2
5 x3 4 x3
1 2 1 3 1 2 1 3 解： A, b ) 4 2 5 4 0 ( 0 1 2 2 1 4 0 0 0 1 1
线代第五章(3)相似矩阵及对称矩阵的对角化
则
1 此时 Λ = 0 0
0 3 0
0 0 , 2
亦有 P-1AP = Λ .
23
例 2 设
0 0 1 A = 1 1 x , 1 0 0
4
故
|B - λE| = |P-1AP - λP-1EP| = |P-1| |A - λE| |P| = |A - λE| .
证毕
推论 若 n 阶方阵 A 与对角矩阵
Λ = diag(λ1 , λ2 , ··· , λn)
相似，则 λ1 , λ2 , ··· , λn 即是 A 的 n 个特征值. 个特征值. 相似，
第 三 节
主要内容
相似矩阵的概念
相似矩阵
相似矩阵的性质 矩阵对角化的步骤
1
一、相似矩阵的概念
阶方阵, 定义 7 设 A , B 为 n 阶方阵, P 为 n 阶可逆 矩阵, 矩阵, 且 P-1AP = B , 则称矩阵 A 相似于矩阵 B. 对 A 进行运算 P-1AP 称为对 A 进行相似变换，可逆矩阵 P 称 为把 A 变成 B 的相似变换矩阵. 的相似变换矩阵.
8
定理 4 n 阶方阵 A 相似于对角矩阵 Λ 的充
要条件是 A 有 n 个线性无关的特征向量 个线性无关的特征向量. 证 必要性 设有可逆矩阵 P , 使得 P-1AP = Λ , 其中 Λ =diag (λ 1 , λ 2 , ··· , λn ). 将矩阵 P 按列分块, 按列分块 令 P = ( p1 , p2 , ··· , pn ), 则由 P-1AP = Λ , AP = PΛ , 即
21
此时
线代矩阵求解题技巧
线代矩阵求解题技巧线性代数是数学中的一个重要分支，广泛应用于科学和工程学科中。
矩阵求解是线性代数中的一个基本概念，它是解线性方程组、求特征值和特征向量等问题的重要工具。
下面将介绍一些线性代数矩阵求解的基本技巧。
1. 高斯消元法高斯消元法是求解线性方程组的常用方法之一。
该方法的基本思想是通过矩阵变换将线性方程组化为上三角形方程组或者行最简形式，从而得到方程组的解。
高斯消元法具体步骤如下：（1）将线性方程组写成增广矩阵的形式；（2）选取一个主元（通常选取主对角线上的元素），并通过一个变换将该元素下面的所有元素置零；（3）对主元元素下面的行执行类似的操作，直到所有元素都变为零或者上三角矩阵形式；（4）回代求解未知数。
2. LU分解LU分解是将一个矩阵分解为下三角矩阵L和上三角矩阵U的乘积的方法。
这个方法通常用于解决多次使用相同矩阵求解线性方程组的场景。
LU分解的具体步骤如下：（1）设一个n阶方阵A，将其分解为A=LU；（2）通过高斯消元法将A化为上三角矩阵U；（3）构造下三角矩阵L，使得A=LU成立。
3. 矩阵的逆和伴随矩阵对于一个可逆矩阵A，可以通过求解逆矩阵来求解线性方程组。
设A为n阶可逆方阵，若存在一个n阶矩阵B，满足AB=BA=I，那么B称为A的逆矩阵，记作A^(-1)。
逆矩阵可以通过伴随矩阵来求解。
对于n阶矩阵A，它的伴随矩阵记作adj(A)，它的定义为adj(A)=det(A)·A^(-1)，其中det(A)是A的行列式。
逆矩阵的求解可以通过以下步骤：（1）求解矩阵A的行列式det(A)；（2）求解矩阵A的伴随矩阵adj(A)；（3）求解矩阵A的逆矩阵A^(-1)，即A^(-1)=adj(A)/det(A)。
4. 特征值和特征向量特征值和特征向量在矩阵求解中起着重要作用。
设A 是一个n阶方阵，若存在一个非零向量X，满足AX=kX，其中k为常数，则k为A的一个特征值，X为对应的特征向量。
考研基础复习(线代)矩阵
进行分块矩阵的乘法运算时，注意： 进行分块矩阵的乘法运算时，注意： 左分块矩阵的列的分法 列的分法必须和右分块矩阵 左分块矩阵的 列的分法 必须和右分块矩阵 行的分法一致 一致. 的行的分法一致
一、矩阵的基本内容
——5、分块矩阵及其求逆 、
A1 O O A2 A= L L O O L O L O L L ， O As
O O L As
可逆的充要条件是： A1 , A2 , L , As 都可逆，且: 都可逆， 可逆的充要条件是：
O
A2 1 L
A 1
O
O L O L L ； 1 O As L
一、矩阵的基本内容
——5、分块矩阵及其求逆 、
特别： 为可逆矩阵， 特别：若 A 、 B 为可逆矩阵，则：
对于分块对角阵： 对于分块对角阵：
阶方阵， 其中 Ai 为 ni 阶方阵，有： | A |=| A1 | | A2 | | As | .
一、矩阵的基本内容 ——5、分块矩阵及其求逆 、
A1 O O A2 A= L L O O
A11 O = L O
分块对角阵
L L L O
A O O B
1
A 1 = O
1
O 1 ; B
O A B O
1
O 1 = A
B 1 O ;
A C O B
A 1 = O
A 1 CB 1 1 ； B
一、矩阵的基本内容
——5、分块矩阵及其求逆 、
A O C B
1
A 1 = B 1 CA 1
( A M E ) ~ ( E M A 1 ) （行变换） ； 行变换）
A E ~ 1 E A
； （列变换） 列变换）
线代矩阵知识点总结
线代矩阵知识点总结一、矩阵的定义与基本性质1. 矩阵的定义矩阵是一个二维数组，其中的元素具有特定的排列方式。
一般地，矩阵的元素用小写字母表示，而矩阵本身用大写字母表示。
例如，一个矩阵A可以表示为：A = [a11, a12, ..., a1n][a21, a22, ..., a2n]...[am1, am2, ..., amn]其中，a_ij表示矩阵A的第i行、第j列元素。
2. 矩阵的基本性质（1）相等性：两个矩阵A和B相等，当且仅当它们具有相同的维度，并且对应位置的元素相等。
（2）加法：两个矩阵A和B的加法定义为它们对应位置的元素相加，得到一个新的矩阵C。
即C = A + B。
（3）数量乘法：矩阵A的数量乘法定义为将A的每一个元素乘以一个标量k，得到一个新的矩阵B。
即B = kA。
（4）转置：矩阵A的转置是将A的行和列互换得到的新矩阵，记作A^T。
（5）逆矩阵：对于方阵A，如果存在另一个方阵B，使得AB = BA = I（单位矩阵），则称B是A的逆矩阵，记作A^-1。
二、矩阵的运算与性质1. 矩阵的加法设矩阵A和B是同样维度的矩阵，则它们的加法定义为将对应位置的元素相加得到一个新的矩阵C。
即C = A + B。
性质：（1）交换律：矩阵加法满足交换律，即A + B = B + A。
（2）结合律：矩阵加法满足结合律，即(A + B) + C = A + (B + C)。
（3）零元素：对于任意矩阵A，存在一个全为0的矩阵0，使得A + 0 = 0 + A = A。
2. 矩阵的数量乘法对于矩阵A和标量k，矩阵A的数量乘法定义为将A的每一个元素乘以k，得到一个新的矩阵B。
即B = kA。
性质：（1）分配律：矩阵的数量乘法满足分配律，即k(A + B) = kA + kB。
（2）结合律：矩阵的数量乘法满足结合律，即(k1k2)A = k1(k2A)。
（3）单位元素：对于任意矩阵A，存在一个标量1，使得1A = A。
线代里的行阶梯形矩阵概念
线代里的行阶梯形矩阵概念行阶梯形矩阵是线性代数中一个重要的概念，它是指一个矩阵满足以下几个条件：每一行的非零元素只能出现在该行的最左边或者是比它上面的行的最左边元素更靠右的位置；第二行的起始非零元素在第一行非零元素的右边；第三行的起始非零元素在第二行的非零元素的右边；以此类推。
行阶梯形矩阵的特殊形式使得它们具有较为简洁的表示和计算性质，在矩阵运算和线性方程组求解中有着重要的应用。
首先，我们来看一个简单的例子：\begin{bmatrix}1 &2 &3 \\0 & 4 & 5 \\0 & 0 & 6\end{bmatrix}这是一个3 \times 3的行阶梯形矩阵，它满足每一行的非零元素只能出现在该行的最左边或是比他上面的行的最左边元素更靠右的位置的条件。
行阶梯形矩阵有以下几个重要性质：1. 零行在非零行的上面。
2. 每个行的主元是该行的最左边的非零元素。
3. 主元所在的列的其他元素都是零。
通过这些特性，我们可以利用行变换将任意矩阵化为行阶梯形矩阵。
行变换有三种形式：1. 交换两行：用代换矩阵T_{ij}乘以矩阵A:T_{ij}A = \begin{bmatrix}1 & \cdots & 0 & \cdots & 0 \\\vdots & \ddots & \vdots & & \vdots \\0 & \cdots & 0 & \cdots & 1 \\\vdots & & \vdots & \ddots & \vdots \\0 & \cdots & 1 & \cdots & 0\end{bmatrix}_{ij} \begin{bmatrix}a_{11} & \cdots & a_{1n} \\\vdots & \ddots & \vdots \\a_{i1} & \cdots & a_{in} \\\vdots & & \vdots \\a_{j1} & \cdots & a_{jn} \\\vdots & \ddots & \vdots \\a_{m1} & \cdots & a_{mn}\end{bmatrix}2. 在一行上乘以一个非零常数: 用可逆矩阵D_i(k)乘以矩阵A:D_i(k)A = \begin{bmatrix}1 & \cdots & 0 & \cdots & 0 \\\vdots & \ddots & \vdots & & \vdots \\0 & \cdots & k & \cdots & 0 \\\vdots & & \vdots & \ddots & \vdots \\0 & \cdots & 1 & \cdots & 0\end{bmatrix}_{ik} \begin{bmatrix}a_{11} & \cdots & a_{1n} \\\vdots & \ddots & \vdots \\a_{i1} & \cdots & a_{in} \\\vdots & & \vdots \\a_{m1} & \cdots & a_{mn}\end{bmatrix}3. 把一行的k倍加到另一行上: 用可逆矩阵E_{ij}(k)乘以矩阵A:E_{ij}(k)A = \begin{bmatrix}1 & \cdots & 0 & \cdots & 0 \\\vdots & \ddots & \vdots & & \vdots \\0 & \cdots & 1 & \cdots & -k \\\vdots & & \vdots & \ddots & \vdots \\0 & \cdots & 0 & \cdots & 1\end{bmatrix}_{ij} \begin{bmatrix}a_{11} & \cdots & a_{1n} \\\vdots & \ddots & \vdots \\a_{i1} & \cdots & a_{in} \\\vdots & & \vdots \\a_{j1} & \cdots & a_{jn} \\\vdots & \ddots & \vdots \\a_{m1} & \cdots & a_{mn}\end{bmatrix}可以通过这些行变换将任意矩阵A转化为行阶梯形矩阵R，即RA。
线代第四章之实对称矩阵
目录
• 实对称矩阵基本概念与性质 • 实对称矩阵的相似对角化 • 特征值与特征向量在实对称矩阵中的应用 • 正交变换在实对称矩阵中的应用 • 线性方程组在实对称矩阵中的解法探讨 • 总结回顾与拓展延伸
01
实对称矩阵基本概念与性质
定义及性质
性质：实对称矩阵 具有以下性质
不同特征值对应的 特征向量正交；
拓展延伸：其他类型矩阵简介
反对称矩阵
反对称矩阵是一个方阵，其转置等于它本身的相反数，即$A^T = -A$。反对称矩阵在量 子力学和刚体动力学等领域有着重要应用。
正交矩阵
正交矩阵是一个方阵，其逆等于它本身的转置，即$A^{-1} = A^T$。正交矩阵在保持向 量长度和角度不变的线性变换中扮演着重要角色。
举例说明
例子1
例子2
例子3
矩阵$A=begin{pmatrix} 1 & 2 2 & 1 end{pmatrix}$是一个实对称矩阵 ，因为$A^T=A$。
矩阵$B=begin{pmatrix} 1 & 2 -2 & -1 end{pmatrix}$不是一个实对称 矩阵，因为$B^T neq B$。
应用正交变换求解
03
04
05
首先，通过正交变换将 然后，根据对角矩阵
矩阵$A$化为对角矩阵， $D$的元素即为原实对
即求解$P^{-1}AP = D$， 称矩阵的特征值，求得
其中$D$为对角矩阵， 特征值为$lambda_1 =
$P$为正交矩阵；
1, lambda_2 = 4$；
最后，根据特征值求得 对应的特征向量，并构 造正交矩阵$P = begin{pmatrix} frac{sqrt{2}}{2} & frac{sqrt{2}}{2} frac{sqrt{2}}{2} & frac{sqrt{2}}{2} end{pmatrix}$。
线代-矩阵
13 初等矩阵
由单位矩阵 I 仅经过一次初等变换得到的矩 阵称为初等矩阵．
三种初等变换对应着三种初等矩阵．
（１）交换两行（列）：对调两行（列）， 得初等矩阵 Rij (Cij )．
用m阶初等矩阵
Rij左乘A
(a
ij
) mn
,
相当于
对矩阵A施行第一种初等行变换: 把A的第 i行与
r 第j行对调( ). ij 类 似 地, 用n阶 初 等 矩 阵C ij右 乘 矩 阵A, 相 当
A B A (B).
5 数乘矩阵
数与矩阵A的乘积记作A 或 A ,规定为
运算规律
A A ( aij).
()A (A);
( )A A A;
( A B) A B. 其中，均为常数.
6 矩阵相乘、转置
设A (aij)ms , B (bij)sn ,规定A与B的乘积
O
;
O
As
O
As
1
As
A2
A1 1
A11
As1
A21
11 初等变换的定义
交换两行（列）
r c 对调矩阵的两行(列),记作 ( ); ij ij
数乘变换
以数 0乘某一行(列)中的所有元素,记作
一、主要内容 二、典型例题
主 要 内容
1、矩阵的定义
2、常见的几类矩阵 3、同维矩阵、相等矩阵 4、矩阵相加 5、数乘矩阵 6、矩阵相乘、转置
7、方阵的运算 8、一些特殊的矩阵 9、逆矩阵 10、分块矩阵 11、初等变换的定义 12、等价矩阵 13、初等矩阵 14、矩阵的标准形分解
考研数学线代5矩阵的对角化
a1b1 a2b2 an bn ，再由前面特征值
的性质： 1 2 n a11 a22 ann 从而可得：
T
a1b1 a2b2 an bn 是 A 的特征值，重数是 1，而 0 特征值其重数
0 特征值对应的特 a1b1 a2b2 an bn 对应的特征向量是 k；
2 3 2 0，注意 0， 2 3 2 0 1或 2 。
例2 设
A是n阶矩阵（A是实对称矩阵）P是n阶可逆矩阵，已知n维列向量是A 的属于
特征值 的特征向量，则矩阵 P 1 AP 属于特征值 的特征向量是：
T
（1） P 1 ； （3） P ；
矩阵的对角化
一 、矩阵的特征值和特征向量 1 定义： A 是一个 n 捷矩阵， 是一个非零列向量，若存在一个数 0 ，使得：
A 0
则称 0 是 A 的特征值， 称为属于 0 的特征向量。 2 相关的概念 （1）特征矩阵： E A; （2）特征多项式： f ( )
E A ; E A 的根，也就是特征值；
1 2 n a11 a22 ann tr ( A)
1 2 n A
4 A 可逆的充分必要条件是 A 的特征值均不为 0；
，n 是 A 的特征值，则 E kA 的特征值为 k1， - k2 , - kn ， 5 若 1，2， E kA k1 k2 kn ；
， n 与 1， 2， ， n 的对应关系； 注意：上述中 P 的列向量 P的列向量 1， 2，
由此可以得到：
4 相似变换矩阵 P 不是唯一的，对角矩阵的形式不是唯一的。
线代第五讲线性代数
4 030rr34 2Brr344
r1 r2 r2 r3
1 0 1 0 4
0 0
1 0
1 0
0 1
3 3
B
5
0 0 0 0 0
矩阵 B4 和 B5 都称为行阶梯形矩阵. 特点：
（1）、可划出 一条阶梯线，线 的下方全为零；
（2）、每个 台阶 只有一行，
1 0 1 0 4
0 0
1 0
1 0
同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是 把“r”换成“c”)．
定义2 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为 初等变换．
初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型 相同．
ri rj ri k ri krj
逆变换 逆变换 逆变换
ri rj;
ri
(1) k
或
ri
k;
ri (k)rj 或 ri krj .
§2.4 矩阵的初等变换
一、矩阵的初等变换
定义1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换:
1 对调两行（对调i, j两行,记作ri rj）； 2 以数 k 0 乘以某一行的所有元素;
（第 i 行乘 k,记作 ri k）
3 把某一行所有元素的k 倍加到另一行
对应的元素上去（第 j 行的 k 倍加到第 i 行上 记作ri krj）.
5
2 2 1 9 2 3
r3 42r1
r4
603r1
B2
13 23 1 4 4 3
r3 5r2 r4 3r2
0 0
1 0
1 0
1 2
Hale Waihona Puke 0 6B30 0 0 1 3
1 rBr343 2rr34000
11 10 00 00
考研线代 矩阵的特征(工科类)
评注： 根据
a ，若λ=2是二重根，则
ii i
另一特征值是
a
ii
(2 2) 10 4 6 ；
1 (10 2) 4 2
若λ=2不是二重根，则重根是 亦可求a。
，
(3).
1 1 (97,1,6分)已知 1
2 1 2 A 5 a 3 是矩阵 1 b 2
第三，要会用特征值、特征向量的定义 建立方程组来求解参数，应当有转换的思想
(如第2题)。
第四，特征值、特征向量有许多重要的
性质，例如 A i ， aii i ，若能灵
活运用这些公式，将给我们的计算及判断带来 方便，参看第一章第2题。
二、相似矩阵与相似对角化
4.(99,3分)设A、B为n阶矩阵，且A与B
第五章 矩阵的特征值与特征向量
特征值是线性代数的重要内容之一。也是
考研的重点之一，题多分值大，近几年尤是。
题目涉及特征值、特征向量的概念、性 质及计算(既有定义法、又有特征多项式、基 础解系法)；矩阵相似的概念、性质及相似对
角化的有关问题；实对称矩阵特征值与特征
向量的性质以及用正交矩阵相似对角化等。
有n个线性无关的特征向量充分必要条件是： 若λi是矩阵A的ni重特征值，则λi有ni个线性
无关的特征向量。亦即r(λiE-A)=n-ni。
1 2 3 A 1 4 3 的特征方 (2). (04,3,9分)设矩阵 1 a 5
程有一个二重根，求a的值，并讨论A是否可 相似对角化。
应当会用相似的性质建立方程组求矩阵 的参数，会用相似对角化的理论，通过秩来 求参数，用特征值、特征向量的定义建立方
线性代数之矩阵学习总结
线性代数之矩阵学习总结提到考研数学，很多同学都能想到高数和概率。
其实线性代数也是数学一，数学二和数学三中的考查重点，而且往往是难点。
同学们在线代的时候觉得有难度，大致上有两个方面的原因：1.大家在学习了高数后，难免在学习线代时后劲缺乏。
2.线代知识体系错综复杂，联系比较多，大家往往搞不清联系。
那么，对大家说说一些难理解和常考的概念。
本文主要内容是关于线性代数中的矩阵学习问题。
大家分三个步骤来学习。
矩阵这一章在线性代数中处于核心地位。
它是前后联系的纽带。
详细来说，矩阵包括定义，性质，常见矩阵运算，常见矩阵类型，矩阵秩，分块矩阵等问题。
可以说，内容多，联系多，各个知识点的理解就至关重要了。
在有前面的知识做铺垫后，大家就要开始学习矩阵了。
首先是矩阵定义，它是一个数表。
这个与行列式有明显的区别。
然后看运算，常见的运算是求逆，转置，伴随，幂等运算。
要注意它们的综合性。
还有一个重点就是常见矩阵类型。
大家特别要注意实对称矩阵，正交矩阵，正定矩阵以及秩为1的矩阵。
最后就是矩阵秩。
这是一个核心和重点。
可以毫不夸张的说，矩阵的秩是整个线性代数的核心。
那么同学们就要清楚，秩的定义，有关秩的很多结论。
针对结论，我给的建议是大家最好能知道他们是怎么来的。
最好是自己动手算一遍。
我还补充说一点就是分块矩阵。
要注意矩阵分块的原那么，分块矩阵的初等变换与简单矩阵初等变换的区别和联系。
在前面有了知识体系和掌握了知识原理后，剩下的就是多做题对知识进展理解了。
有句古话：光说不练假把式。
所以对知识的熟练掌握还是要通过做题来实现。
同时，我也反对题海战术，做题不是盲目的做题，不是只做不练。
做题应该是有选择的做题，做一个题就应该了解一个方法，掌握一个原理。
所以，大家可以参考历年真题来进展练习。
每做一个题，大家就该考虑下它是怎么考察我们所学的知识点的。
如果做错了，大家还要多进展反思。
找到做错的原因，并且逐步改正。
这样才能长久的提高。
总之，希望大家在学习线性代数的矩阵的时候把握这三个原那么，在此根底上，勤思考，多练习，那么大家一定可以学习好，祝大家考研成功!。
线代教案第5章 矩阵的相似对角化
x1λ1 p1 + x2λ2 p2 + ⋅ ⋅ ⋅ + λ x p k+1 k+1 k+1 = 0
（2）
λk+1 × (1) 式有： x1λk+1 p1 + x2λk+1 p2 + ⋅ ⋅ ⋅ + λ x p k+1 k+1 k+1 = 0
（3）
（2）-（3）： x1 (λ1 − λk+1 ) p1 + x2 (λ2 − λk+1 ) p2 + ⋅ ⋅ ⋅ + xk (λk − λk+1 ) pk = 0
a11 − λ 方程 A − λE = a21
a12 a22 − λ
a1n a2n = 0 是关于 λ 的一元 n 次方程，称
an1
an2
为 A 的特征方程。
ann − λ
f (λ) = A − λE 是关于 λ 的一个 n 次多项式，称为 A 的特征多项式。
这样一来，特征值 λ 就是特征方程的根，也是特多项式的零点。若求出 A 的
因 p1, p2 ,⋅ ⋅ ⋅ pk 线性无关，
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
所以 x1 (λ1 − λk+1 ) = x2 (λ2 − λk+1 ) = ⋅ ⋅ ⋅ = xk (λk − λk+1 ) = 0
x1 = x2 = ⋅ ⋅ ⋅ = xk = 0 ，进一步，由（1）有 xk+1 = 0
故 p1, p2 ,⋅ ⋅ ⋅ pk , pk+1 线性无关。另一证法：见教材。
ϕ( A) = 0 ⇔ ϕ(λ) = 0
（7）设 λ1, λ2 , , λn是n 阶方阵 A = (aij ) 的全部特征值，则
线代矩阵行列式优秀习题
1
0
2
0 1 0 0
1 2 . 2
1
0
0 1
2
0
3 2 A A A 0 0
0 0
3
2
2
2
0
3 2 3 3
1 2 0 2 0
矩阵行列式习题课
一、主要概念：
1．矩阵的定义
2．特殊的矩阵（对角阵；上、下三角阵； 对称阵与反对称阵；矩阵多项式） 3．逆矩阵、伴随矩阵的定义 4．分块矩阵的定义 5．矩阵的初等变换、初等矩阵 6．矩阵等价的定义、等价标准形
7．矩阵秩的定义
二、主要性质
1．矩阵的运算性质（特别注意：矩阵乘法不满足 交换律；消去律） 2．逆矩阵的性质 3．矩阵秩的性质。
1 3 4 2 1 3 0 2 1 0 0 2
解： A( I C 1 B )T C T A[C ( I C 1 B )]T
A(C B ) A(C B ) I
T
T T
所以有
A (C T B T ) 1 1 2 3 4 0 0 0 1 0 0 2 1 0 3 2 1
例9
设n阶方阵
a 1 A 1 1 1 1 1 a 1 1 1 a 1 1 1 a
求r(A)
解：由于n阶矩阵A的行列式 A (a 1) n1 (a n 1) 所以（1） 当a 1且a 1 n时， 0， A
线性方程组的解的定理 1、非齐次线性方程组 定理1 设非齐次线性方程组为AX=b
其中A为m n矩阵，B A b 为m ( n 1) 矩阵, 称为增广矩阵 则 ，
线代学习指导 第二章 矩阵
（1）若矩阵 A 中有某个 s 阶子式不为 0，则 r A s ；
（2）若矩阵 A 中所有 t 阶子式全为 0，则 r A t ；
（3）若 A 为 m n 矩阵，则 0 r A minm, n ；
（4） r A r AT ；
（5） r A 1 A 可以写成一个列矩阵与一个行矩阵的乘积；
3.伴随矩阵法求逆： A1 1 A* . A
4.可逆矩阵的性质:
设 A, B 均为 n 阶可逆矩阵, k 为非零常数,则
A1 1 A ；
AB 1 B1A1 ；
AT
1
A1 T ； kA 1 1 A1 ； A1 A 1
k
A*
1
A.
A
五、矩阵的初等变换
1.初等变换 矩阵的以下三种变换，称为矩阵的初等变换： （1） 交换矩阵的两行（列）； （2） 用数 k 0 乘矩阵的某一行（列）； （3） 某一行（列）的 l 倍加到另一行（列）.
A非奇异(或非退化),即 A 0 A 的等价标准形为 E A可以表示为有限个初等矩阵的乘积
r A n
注:在后面几章中还有一些关于 n 阶矩阵 A 可逆的充要条件,列举如下: n 阶矩阵 A 可逆 A 的列(行)向量组线性无关(第三章)
齐次线性方程组 AX 0 仅有零解(第四章)
A的特征值均不为零(第五章) AT A 为正定矩阵(第六章)
块矩阵 A 与 B 作乘法 AB 时，要求 A 的列的分块方式与 B 的行的分块方式相同，并且乘积矩 阵的行的分块方式与 A 相同，列的分块方式与 B 相同.另外，分块矩阵 A 的转置，不仅要将 A 的各行的子块依次转为各列的子块，而且其中的每一个子块也要转置.
3.几种特殊分块矩阵的逆：设 A, B 分别为 s 阶和 r 阶可逆矩阵，则
线代2矩阵
第二讲：矩阵第一部分：矩阵的概念与运算 矩阵的概念定义1 由n m ⨯个数或代数式()n j m i a ij ,,2,1;,,2,1 ==构成的一个m 行n 列的矩形列表⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛mn m m n n a a aa a a a a a212222111211或⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡mn m m n n a a a a a a a a a212222111211称为一个m 行n 列的矩阵。
其中ij a 称为矩阵的第i 行j 列的元素()n j m i ,,2,1;,,2,1 ==。
当矩阵n m A ⨯的行列数相等时，即n m =时称其为n 阶方（矩）阵A 或简称为方阵A ；一阶方阵也常作为一个数对待。
对于n 阶方阵()nn ija A ⨯=，由它的元素按原有排列形式构成的行列式称为方阵A 的行列式，记为A 或A det 。
注1：有时为了突出矩阵的行列规模，也对大写字母右边添加下标，如n m ⨯的矩阵A 可以表为n m A ⨯；要同时表明矩阵的规模和元素时也采用形式()nm ija ⨯标记。
注2：若矩阵的所有元素为零，则称其为零矩阵，记为n m ⨯0，不引起混淆时:可简记为0。
定义2 如果两个矩阵()nm ija A ⨯=，()ts ijb B ⨯=具有相同的行数、列数，即t n s m ==,，且对应位置上的元素相等ij ij b a =，那么称矩阵A 与矩阵B 相等，记为B A =。
矩阵的运算1.矩阵的线性运算——加法与数乘矩阵定义3（加法） 两个n m ⨯矩阵()ij a A =，()ij b B =对应位置上的元素相加得到的n m ⨯矩阵()n m ij ij b a ⨯+，称为A 与B 的和，记为()n m ij ij b a B A ⨯+=+。
定义4（数乘） 以数k 乘以矩阵A 的每个元素所得的矩阵，称为数k 与矩阵A 的乘积，若()n m ija A ⨯=，则是()()n m ij n m ijka a k kA ⨯⨯==。
线代矩阵公式大全
线代矩阵公式大全线性代数是数学的一个重要分支，主要研究向量、向量空间（也叫线性空间）、线性变换和矩阵等概念。
矩阵是线性代数中最基本的工具之一，它在解决实际问题中具有广泛的应用。
以下是一些常用的矩阵公式：1. 矩阵的加法和减法：设A和B是两个n阶矩阵，则它们的和C=A+B是一个n 阶矩阵，其元素c_ij=a_ij+b_ij；它们的差D=A-B是一个n阶矩阵，其元素d_ij=a_ij-b_ij。
2. 矩阵的乘法：设A和B是两个n阶矩阵，则它们的积C=AB是一个m×n 阶矩阵，其元素c_ij=Σa_ik*b_kj，其中k从1到n。
注意，矩阵乘法不满足交换律，即AB≠BA。
3. 矩阵的转置：设A是一个n阶矩阵，则它的转置AT是一个n阶矩阵，其元素t_ij=a_ji。
4. 单位矩阵：一个n阶单位矩阵I是一个n阶方阵，其对角线上的元素为1，其余元素为0。
用数学符号表示为：I = diag(1, 0, ..., 0)5. 零矩阵：一个n阶零矩阵O是一个n阶方阵，其所有元素都为0。
用数学符号表示为：O = 06. 矩阵的行列式：设A是一个n阶方阵，则它的行列式det(A)是一个标量。
行列式的计算方法有多种，如拉普拉斯展开法、高斯消元法等。
7. 矩阵的逆：设A是一个n阶方阵，如果存在一个n阶方阵B使得AB= BA=I，则称B是A的逆矩阵，记作A^-1。
注意，并非所有矩阵都有逆矩阵。
8. 秩：设A是一个n阶方阵，它的秩r（A）是一个非负整数，表示A的列向量组的最大线性无关组中的向量个数。
9. 特征值和特征向量：设A是一个n阶方阵，λ是一个标量，v是一个n维向量，如果存在一个非零向量v使得Av=λv，则称λ是A的一个特征值，v是对应的一个特征向量。
10. 矩阵的范数：设A是一个n阶方阵，它的范数||A||是一个非负实数，表示A的大小。
常用的范数有Frobenius范数、谱范数、无穷范数等。
11. 矩阵的迹：设A是一个n阶方阵，它的迹tr(A)是一个标量，表示A的主对角线上元素的和。
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a1 a2 只有一列的矩阵 A 叫做列矩阵; am 只有一行的矩阵 A (a 1 a 2 a n )叫做 行矩阵.
元素都是零的矩阵称为零矩阵, 记作O .
主对角线以下的元素全为零的方阵称为上三 角矩阵． 主对角线以上的元素全为零的方阵称为下三 角矩阵．
设A为n阶方阵,如果 A2 A, 则称A为幂等矩阵.
对合矩阵
设A为n阶方阵,如果 A2 I , 则称A为对合矩阵.
正交矩阵
设A为n阶方阵,如果 AT A A AT I , 则称A为 正交矩阵.
9
逆矩阵
AB BA I
定义 设A为n阶方阵, 如果存在矩阵B , 使
则称矩阵A是可逆的(或非奇异的、非退化的 、满 秩的), 且矩阵B称为A的逆矩阵.
其中k是正整数.
A A A
k l
kl
, ( A ) Akl ,
k
k l
其中k , l为正整数.
一般地
( AB) Ak B k .
8
一些特殊的矩阵
对称矩阵
设A为n阶方阵,如果 AT A, 则称A为对称矩阵.
反对称矩阵
设A为n阶方阵,如果 AT A, 则称A为反对称 矩阵.
幂等矩阵
( ) ( ) ( )
T T T
T
62002 T 6
2002
2002个
A
解毕.
例3 设A是n阶 对 称 阵 , B是 n 阶 反 对 称 阵 ,则 下 列 矩 阵 中 为反对称阵的是 ( A) AB BA; C) ( AB ) 2 ; ). B) D)
A2003 ( T ) ( T ) ( T ) ( T ) ( T ) 2003个 1 T ， 又 [1, 1, 1] 2 6, 结合矩阵乘法的结合律 3
则有
A
2003
T T T T T ( ) ( ( ( ) ( ) ) ) 2003个
7、方阵的运算
8、一些特殊的矩阵
9、逆矩阵 10、分块矩阵
11、初等变换的定义
12、等价矩阵 13、初等矩阵 14、矩阵的标准形分解
１
矩阵的定义
由m n个数 a ij ( i 1,2, m; j 1,2, n)排成的
m 行n列数表 a11 a12 a1n a 21 a 22 a 2 n A amn a m1 am 2 叫做m 行n列矩阵, 简称m n矩阵.
14
矩阵的标准形分解
对任何矩阵，总可经过有限次初等变换，而 得到矩阵的标准形，其特点是：左上角是一个单 位矩阵，其余元素都为0． 例如
1 0 0 0
4 1 1 0 3 0 0 1 3 0 0 0 0
0 1 0
~ c
c c
c 34 c14(1) c 24(1)
此标准形由m , n, r 三个数完全确定 , 其中 r 是个与 m , n有关的数.
注意
标准形N有四种变形：
Ir (1) I r , O ; ( 2) ; ( 3) I r ; (4) I 0 O O
典
型
例
题
一、矩阵的运算
二、逆矩阵的运算及证明
三、求逆矩阵的初等变换法
( A B ) A B .
其中， 均为常数.
6
矩阵相乘、转置
设A (a ij )ms , B (bij )sn , 规定A与B的乘积
是一个m n矩阵C (c ij )mn , 其中 c ij a i 1 b1 j a i 2 b2 j a is b sj a ik bkj
1 1 1 2003 已知矩阵 A 2 2 2 , 试求 A . 例２ 3 3 3 1 1 解：由于A 2 1, 1, 1 T , 其中 2， 3 3
T 1, 1, 1, 于是，有
k 1 s
( i 1,2,, m; j 1,2, n), 记作 C AB.
注意： 这叫 A左乘 B !
运算规律
( AB )C A( BC );
( AB ) (A)B A(B),
A( B C ) AB AC , ( B C ) A BA CA;
1
推广 若同阶方阵A1 , A2 , An都可逆, 那么( A1 A2 An )
也可逆, 且 ( A1 A2 An ) An A2 A1
1 1 1 1
10
分块矩阵
矩阵的分块，主要目的在于简化运算及便于 论证． 分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则 相类似．
需要特别注意的是：
交换两行（列）
数乘变换
以数 0乘某一行(列)中的所有元素, 记作
数乘及加法变换 把某一行(列)所有元素的k倍加到另一行 (列)
r i ( )(ci ( ));
对应的元素上去 , 记作 r ij ( k )(cij ( k )).
三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是 同一类型的初等变换．
主对角线以外 ,其 余 元 素 全 为 零 , 则 称A为 对角矩阵 .
主对角线上的元素都是1, 其余元素都是零的 n阶方阵,叫做n阶单位阵, 简记作 I .
３
同维矩阵和相等矩阵
两个矩阵的行数相等、列数也相等时，就称 它们是同维矩阵．
如果A (a ij )与B (bij )是同维矩阵, 并且它 们的对应元素相等 ,即 a ij bij ( i 1,2,, m; j 1,2,, n).
那么就称矩阵A与矩阵B相等, 记作 A B .
4
矩阵相加
设A (a ij )mn , B (bij )mn 为两个同维矩阵 ,
矩阵加法定义为A B (a ij bij )mn , A B称为 A与B的和. 交换律 A B B A 结合律 ( A B ) C A ( B C )
(1)
其中m n个数叫做矩阵 A的元素, a ij 叫做矩 阵A的第i行第j列元素. 元素是实数的矩阵叫做 实矩阵. 元素是复数的矩阵叫做 复矩阵.
(1)式可简记为 A (a ij ) m n 或A (a ij ), m n矩阵A也记作 Am n .
２
常பைடு நூலகம்的几类矩阵
对(1)式,当m n时, A称为n阶方阵.
运算规律
( A ) A; ( A B ) AT B T ; (A) AT ;
T T
T T
( AB ) B T AT .
其中为常数.
T
7
方阵的运算
设A是n阶方阵, 定义
2 1 1 k 1 k 1 A , , , A A A A A A A, 1
n 阶方阵的幂
初
等
变
换 逆
变
换
r ij (cij )
r ij (cij )
r i ( ) (ci ( ))
1 1
r i ( ) (ci ( ))
rij (k ) (cij (k ))
r
ij
( k ) (cij ( k ))
12
矩阵的等价
如果矩阵A经有限次初等变换变成 矩阵B , 就
称矩阵A与B等价, 记作A ~ B .
反身性
对称性
A ~ A;
若A ~ B, 则B ~ A; 若A ~ B, B ~ C , 则A ~ C .
传递性
13
初等矩阵
由单位矩阵 I 仅经过一次初等变换得到的矩 阵称为初等矩阵． 三种初等变换对应着三种初等矩阵．
（１）交换两行（列）：对调两行（列）， 得初等矩阵 Rij (C ij ) ．
用m阶初等矩阵 Rij 左乘A (a ij )mn , 相当于 对矩阵A施行第一种初等行变换: 把A的第 i行与 第j行对调( r ij ).
(其中为数);
I m Amn Amn Amn I n .
一般地， AB BA, 若AB BA, 则称 A与B 是可交换的. 一般地, AB O不能推出A O或B O,
即消去律不成立.
矩阵转置
把矩阵A的行换成同序数的列得 到一个新矩 阵,叫做A的转置矩阵, 记作 AT . 这个动作叫做转置 运算.
《线性代数》知识篇四 个知 识点内在联系图:
矩 阵
一
一 一 对 应
行列式
一
对 应
线性方程组 一 一 对 应 向量组
求解公式“克拉 默法则”引出
特征问题
矩阵
第一章
矩
阵
一、主要内容
二、典型例题
主
要
内 容
1、矩阵的定义
2、常见的几类矩阵
3、同维矩阵、相等矩阵
4、矩阵相加 5、数乘矩阵 6、矩阵相乘、转置
以 C i ( ) 右乘矩阵 A, 相当于以数 （非零） 乘A的第 i列 (ci ( ));
（３）数乘及加法变换：以数 k 乘某行（列） 加到另一行（列）上去，得初等矩阵Rij ( k ) (C ij ( k )) ．
以 Rij ( k )左乘矩阵A, 相当于把A的第 i行乘 以k加到第 j行上 ( r ij ( k )); 以 C ij ( k )右乘矩阵A, 相当于把A的第 i列乘 以k加到第 j列上 (cij ( k ));
类似地, 用n阶初等矩阵C ij 右乘矩阵A, 相当 于对矩阵A施行第一种初等列变换: 把A的第 i 列与第j列对调(c ij ).
（２）数乘变换：以数 （非零）乘某行（ C i ( )) 列），得初等矩阵 Ri ( ) (．