考研(线代)矩阵真题解析ppt
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——题型I：求逆矩阵及解矩阵方程
例2.1
3 0 0
（1）设 A 1 4 0 ，则 ( A 2E )1
；
0
0
3
1 1 1
（2）已知三阶矩阵 A 的逆矩阵为 A1 1 2 1 ，
1
1
3
则 A 的伴随矩阵 A* 的逆矩阵为：
.
-
1
二、典型题型分析及举例
——题型I：求逆矩阵及解矩阵方程
（1）常数 a 0 ;
1 （2） A1 的每行元素之和都等于 a .
-
19
（1）求 A1 ， ( A 2E)1 ；
（2）问 A 4E 是否可逆？
-
3
二、典型题型分析及举例
——题型I：求逆矩阵及解矩阵方程
例2.4 5 2 0 0
设
A
2 0 0
1 0 0
0 1 1
0 2 1
，求
A1 .
-
4
二、典型题型分析及举例
例2.5 ——题型I：求逆矩阵及解矩阵方程
1 0 0 0
-
17
二、典型题型分析及举例
——题型III：有关矩阵的证明题
例2.15
设 A 是 n 阶可逆方阵,且 A2 | A | E , 求证: A 的伴随矩阵 A* A .
-
18
二、典型题型分析及举例
——题型III：有关矩阵的证明题 例2.16 设 A 可逆方阵，且 A 的每行元素之和均等于
常数 a ，求证:
求矩阵 X .
-
6
二、典型题型分析及举例
题型 II： 求矩阵的高次幂 Am 、 求矩阵的秩及与初等矩阵相关的命题
-
7
二、典型题型分析及举例
——题型II：求方阵的高次幂、矩阵的秩等
例2.7 已知矩阵 A PQ ，
1
其中 P 2 ， Q 2, 1, 2，
1
求矩阵 A, A2 , A100 .
A1 B1 可逆，且： ( A1 B 1 )1 A( A B)1 B B( A B)1 A ；
.
-
16
二、典型题型分析及举例
例2.14 ——题型III：有关矩阵的证明题
设 A 是 n 阶方阵， r( A) 1，
a1
求证：
A
a2 an
b1
,
b2 ,
,
bn ，
且 A2 kA.
0 0 0 1
A， A1 P1 P2 ； B， P1 A1 P2 ； C， P1 P2 A1 ； D， P2 A1 P1 ；
-
12
二、典型题型分析及举例
——题型II：求方阵的高次幂、矩阵的秩等
例2.11
a1b1 a1b2 a1bn
设
A
a 2 b1 a n b1
a 2 b2 a n b2
例2.2
0 a1 0 ... 0
0 0 a2 ... 0
已知：
A
...
...
... ...
...
，
0 0 0 ... an1
a
n
0
0 ...
0
ai 0 ， i 1,2, , n ，求 A1 .
-
2
二、典型题型分析及举例
例2.3 ——题型I：求逆矩阵及解矩阵方程
已知矩阵 A 满足关系式： A2 2A 3E 0 ，
b
为常数，记分块矩阵
P
E
T A
*
|
O A
|
，
Q
A
T
b
，
其中 A*为 A 的伴随矩阵， E 为 n 阶单位阵.
（1）计算并化简 PQ ；
（2）求证：矩阵 Q 可逆的充分必要条件是 T A1 b .
-
15
二、典型题型分析及举例
例2.13
——题型III：有关矩阵的证明题
设 n 阶矩阵 A, B, A B 均可逆，证明：
设 A 0 1 0 ，求 An .
0
0
1
-
10
——题型II：求方阵的高次幂、矩阵的秩等 例2.10
0 0 1
a11 a12 a13
（1）已知 P 0 1 0 ， A a21 a22 a23 ，
1
0
0
a31 a32 a33
且： P m AP n A ，则正整数 m, n 为（ ）.
a 2 bn a n bn
，
其中 ai 0 ， bi 0 ，（ i 1,2, , n ），
则矩阵 A 的秩 r( A)
.
-
13
二ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ典型题型分析及举例
题型III：有关矩阵的证明题
-
14
例2.12 ——题型III：有关矩阵的证明题
设 A 为 n 阶非奇异矩阵， 为 n 维（列）向量，
设矩阵
A
的伴随矩阵
A*
0 1 0
1 0 3
0 1 0
0 80
，
且： ABA1 BA1 3E ，
其中 E 为四阶单位阵，求矩阵 B .
-
5
二、典型题型分析及举例
——题型I：求逆矩阵及解矩阵方程
例2.6
1 0 1
设矩阵 A 0 2 0 ，矩阵 X 满足：
1
0
1
AX E A2 X ，
-
8
二、典型题型分析及举例
——题型II：求方阵的高次幂、矩阵的秩等
例2.8
1 0 0
已知 AP PB，其中： B 0 0 0 ，
0
0
1
1 0 0
P 2 1 0 ， 求 A 及 A5 .
2 1 1
-
9
二、典型题型分析及举例
——题型II：求方阵的高次幂、矩阵的秩等
例2.9
1 0 1
a 23 a 33 a43
a 24 a 34 a44
可逆,
B
a24
a 34 a44
a 23 a 33 a43
a 22 a 32 a42
a21
a a
31 41
0 0 0 1
1 0 0 0
0
P1
0
1 0
0 1
0 0
，
P2
0 0
0 1
1 0
0 0
，则
B
1
等于（
）.
1 0 0 0
A， m 5, n 4 ；
B， m 5, n 5 ；
C， m 4, n 5 ；
D， m 4, n 4 .
-
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——题型II：求方阵的高次幂、矩阵的秩等
例2.10
a11 a12 a13 a14
a14 a13 a12 a11
（2）设
A
a 21 a 31 a41
a 22 a 32 a42
例2.1
3 0 0
（1）设 A 1 4 0 ，则 ( A 2E )1
；
0
0
3
1 1 1
（2）已知三阶矩阵 A 的逆矩阵为 A1 1 2 1 ，
1
1
3
则 A 的伴随矩阵 A* 的逆矩阵为：
.
-
1
二、典型题型分析及举例
——题型I：求逆矩阵及解矩阵方程
（1）常数 a 0 ;
1 （2） A1 的每行元素之和都等于 a .
-
19
（1）求 A1 ， ( A 2E)1 ；
（2）问 A 4E 是否可逆？
-
3
二、典型题型分析及举例
——题型I：求逆矩阵及解矩阵方程
例2.4 5 2 0 0
设
A
2 0 0
1 0 0
0 1 1
0 2 1
，求
A1 .
-
4
二、典型题型分析及举例
例2.5 ——题型I：求逆矩阵及解矩阵方程
1 0 0 0
-
17
二、典型题型分析及举例
——题型III：有关矩阵的证明题
例2.15
设 A 是 n 阶可逆方阵,且 A2 | A | E , 求证: A 的伴随矩阵 A* A .
-
18
二、典型题型分析及举例
——题型III：有关矩阵的证明题 例2.16 设 A 可逆方阵，且 A 的每行元素之和均等于
常数 a ，求证:
求矩阵 X .
-
6
二、典型题型分析及举例
题型 II： 求矩阵的高次幂 Am 、 求矩阵的秩及与初等矩阵相关的命题
-
7
二、典型题型分析及举例
——题型II：求方阵的高次幂、矩阵的秩等
例2.7 已知矩阵 A PQ ，
1
其中 P 2 ， Q 2, 1, 2，
1
求矩阵 A, A2 , A100 .
A1 B1 可逆，且： ( A1 B 1 )1 A( A B)1 B B( A B)1 A ；
.
-
16
二、典型题型分析及举例
例2.14 ——题型III：有关矩阵的证明题
设 A 是 n 阶方阵， r( A) 1，
a1
求证：
A
a2 an
b1
,
b2 ,
,
bn ，
且 A2 kA.
0 0 0 1
A， A1 P1 P2 ； B， P1 A1 P2 ； C， P1 P2 A1 ； D， P2 A1 P1 ；
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12
二、典型题型分析及举例
——题型II：求方阵的高次幂、矩阵的秩等
例2.11
a1b1 a1b2 a1bn
设
A
a 2 b1 a n b1
a 2 b2 a n b2
例2.2
0 a1 0 ... 0
0 0 a2 ... 0
已知：
A
...
...
... ...
...
，
0 0 0 ... an1
a
n
0
0 ...
0
ai 0 ， i 1,2, , n ，求 A1 .
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二、典型题型分析及举例
例2.3 ——题型I：求逆矩阵及解矩阵方程
已知矩阵 A 满足关系式： A2 2A 3E 0 ，
b
为常数，记分块矩阵
P
E
T A
*
|
O A
|
，
Q
A
T
b
，
其中 A*为 A 的伴随矩阵， E 为 n 阶单位阵.
（1）计算并化简 PQ ；
（2）求证：矩阵 Q 可逆的充分必要条件是 T A1 b .
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15
二、典型题型分析及举例
例2.13
——题型III：有关矩阵的证明题
设 n 阶矩阵 A, B, A B 均可逆，证明：
设 A 0 1 0 ，求 An .
0
0
1
-
10
——题型II：求方阵的高次幂、矩阵的秩等 例2.10
0 0 1
a11 a12 a13
（1）已知 P 0 1 0 ， A a21 a22 a23 ，
1
0
0
a31 a32 a33
且： P m AP n A ，则正整数 m, n 为（ ）.
a 2 bn a n bn
，
其中 ai 0 ， bi 0 ，（ i 1,2, , n ），
则矩阵 A 的秩 r( A)
.
-
13
二ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ典型题型分析及举例
题型III：有关矩阵的证明题
-
14
例2.12 ——题型III：有关矩阵的证明题
设 A 为 n 阶非奇异矩阵， 为 n 维（列）向量，
设矩阵
A
的伴随矩阵
A*
0 1 0
1 0 3
0 1 0
0 80
，
且： ABA1 BA1 3E ，
其中 E 为四阶单位阵，求矩阵 B .
-
5
二、典型题型分析及举例
——题型I：求逆矩阵及解矩阵方程
例2.6
1 0 1
设矩阵 A 0 2 0 ，矩阵 X 满足：
1
0
1
AX E A2 X ，
-
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二、典型题型分析及举例
——题型II：求方阵的高次幂、矩阵的秩等
例2.8
1 0 0
已知 AP PB，其中： B 0 0 0 ，
0
0
1
1 0 0
P 2 1 0 ， 求 A 及 A5 .
2 1 1
-
9
二、典型题型分析及举例
——题型II：求方阵的高次幂、矩阵的秩等
例2.9
1 0 1
a 23 a 33 a43
a 24 a 34 a44
可逆,
B
a24
a 34 a44
a 23 a 33 a43
a 22 a 32 a42
a21
a a
31 41
0 0 0 1
1 0 0 0
0
P1
0
1 0
0 1
0 0
，
P2
0 0
0 1
1 0
0 0
，则
B
1
等于（
）.
1 0 0 0
A， m 5, n 4 ；
B， m 5, n 5 ；
C， m 4, n 5 ；
D， m 4, n 4 .
-
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——题型II：求方阵的高次幂、矩阵的秩等
例2.10
a11 a12 a13 a14
a14 a13 a12 a11
（2）设
A
a 21 a 31 a41
a 22 a 32 a42