考研(线代)矩阵真题解析ppt
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线性代数课件PPT 第2章.矩阵PPT课件
x1 x2 x3
3x5 1
32xx11
2 x2 3x2
x3 x3
2 x4 4 x4
4x5 5x5
2 3
x1 x2 x3 x4 8x5 2
12
第12页/共158页
2.1 高斯消元法
• 矩阵举例 解：线性方程的增广矩阵为
1 1 1 0 3 1
将
第
1
行
分
别
乘
以
-
2
,
-
3
,
x3 3x4 1
x4 0
4
第4页/共158页
2.1 高斯消元法
• 高斯消元法
x1 x2
3x4 1
x2 2x3 2x4 0
此
方
程
组
和
原
方
程
组
是
同
解
的
，
我
们把
形
如
这
样
的x方3 程3称x4
为
阶1梯
线
性
方
程
组
，
因
此
易
得
x4 0
x1 1
x2 x3
2 1
x4 0
5
第5页/共158页
a2n
称为数域F中的m×n矩阵，通am常1 用大am写2 字母记做aAmn或A m×n，有时也记做
A (aij )mn (i 1, 2, , m; j 1, 2, , n)
8
第8页/共158页
2.1 高斯消元法
• 矩阵的定义 其中aij称为矩阵A的第i行第j列元素，当aij ∈R(实数域)时，A称为实矩阵；当aij ∈C(复
骤规范而又简便。
例1：解线性方程组
线性代数第三章矩阵的初等变换与线性方程组PPT课件
求F，并求一个可逆矩阵 P，使 P A F.
35
三、小结
1 r i r jc i c j;
1.初等行(列)变换 2 r i k c i k ;
3 r i k jc ir k j.c
初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型相同． 2. A 初等变换 B A ~B . 3.矩阵等价具有的性质
F
矩阵 F称为B 矩 的阵 标.准形
22
特点：F的左上角是一阵 个， 单其 位余 矩元 为零 .
mn矩阵 A总可经过初等标 变准 换形 化为
FEr O O Omn
此标准m 形 ,n,由 r三个数唯一确r定 就， 是其 行阶梯形矩阵的 中行 非 . 数 零行
所有与矩阵A 等价的矩阵组成的一个集 合，称为一个等价类，标准F形 是这个等价类 中最简单的矩阵.
1 0 0 1 3 2 r2（2）
0 0
2 0
0 1
3 1
6 1
5 1
r3
（1）
r2
（2）1 A01
101003
13 33
3532.
52
r3 （1）0
0
2 11
2 1
121 21
29
利用初等行变 的换 方求 法逆 ，阵 还可 矩阵 A1B.
A 1 (A B ) (E A 1 B )
即
(A B)
2 3
(B1 )
3x1 6x2 9x3 7x4 9, 4
x1 x2 2x3 x4 4,
2 3
4
3 21
31
2 x2 5 x2
2 x3 5 x3
2 x4 3 x4
0, 6,
3x2 3x3 4x4 3,
线性代数矩阵及其运算ppt课件
篮 球 比 赛 是 根据运 动队在 规定的 比赛时 间里得 分多少 来决定 胜负的 ，因此 ，篮球 比赛的 计时计 分系统 是一种 得分类 型的系 统
4 . 同型矩阵 两矩阵的行列数分别相等称它们是同型矩阵
5. 矩阵 AB 相等 充要条件是:
1）A、B是 同 型 矩 阵
2）ai j bi j(第i，j位 置 上 的 元)素 相 等
证明 （1）、（2）、（3）易证，下证明(4). 设矩阵 A为m×s 阶矩阵，矩阵 B为s×n阶矩阵，那么： ( AB)T与 BTAT 是同型矩阵； 又设 C = A B，因为 CT的第 i 行第 j 列的元素正好是 C 的 cji ，即 cji=aj1b1i+aj2b2i+…+ajsbsi =b1iaj1+b2iaj2+…+bsiajs
篮 球 比 赛 是 根据运 动队在 规定的 比赛时 间里得 分多少 来决定 胜负的 ，因此 ，篮球 比赛的 计时计 分系统 是一种 得分类 型的系 统
负矩阵 : A= ( aij)
减法：Ａ B =Ａ+ ( B)
2.矩阵的数乘
定义2.3 数λ与矩阵Ａ的乘积记为λA或Aλ，并规定：
a11 a12 ... a1n
a1
k
dia(ga1,a2,an)
a2
;
kI
k
an
k
5. 上（下）三角形矩阵
a11 a12 a1n
A
a 22
a
2
n
a
nn
b11
B
b21
b22
bn1
bn2
bnn
篮 球 比 赛 是 根据运 动队在 规定的 比赛时 间里得 分多少 来决定 胜负的 ，因此 ，篮球 比赛的 计时计 分系统 是一种 得分类 型的系 统
线性代数Ⅱ—矩阵.ppt
2
2
4
26
(八) 设四阶方阵 A (,1,2,3), B ( ,1,2,3) 其中1,2,3, , 均为四维列向量，若 A 2, B 1 则 A B 及 A B 的值分别 为[ ]
b3
b1a1 b1a2 b1a3
AB (a1b1 a2b2 a3b3)
BA b2a1 b3a1
b2a2 b3a2
b2a3 b3a3
1 0 0
单位阵
En
0
1
0
或记 In
0 0 1
6
运算律： (1) (AB)C A(BC) (2) A(B C) AB AC (B C)A BA CA (3) (AB) (A)B A(B) (4) EA AE A
22
分块矩阵的乘法
7 2 1 0
0 0
例：A 8 9
6 5
1 0
1 0
B 0
0
1 1
4 3
0
0
1
2
分块对角矩阵
求 AB
A1
A
A2
其中A1, A2,, Ak
均为方阵，有 A A1 A2 Ak
Ak
A11
当 A1, A2,, Ak
均可逆，则A可逆，且
A1
A21
(B) 若 A BC 则AT BTCT
(C) 若 A BC 则 A B C (D) 若A B C 则 A B C
(四) 设方阵 A 满足 A2 A 7E 0 ，则 (A 3E)1 [ ]
(A) A 3E (B) A 2E (C) A 7E
(D) A E
25
(五)
设
Th：设A为n阶方阵，则A可逆的充要条件为 A 0
考研数学(三)考试大纲解析(线性代数 第2章 矩 阵)【圣才出品】
a．元素以对角线为对称轴对应相等，即 aij a ji ； b．若 A 为对称矩阵，则 A 的转置 AT A ；
c．对称矩阵的特征值为实数；
d．必存在正交矩阵，将对称矩阵化为对角矩阵，且对角矩阵的对角线元素即为特征值．
（7）反对称矩阵
①表达式
0
a a 12
12
0
a a 1n
2n
a1n a 2n
λa1n λa 2n
λamn
5 / 15
（2）运算规律 设 A、B 为 m×n 矩阵，λ、μ 为数， ①（λμ)A＝λ(μA)； ②(λ＋μ)A＝λA＋μA； ③λ(A＋B)＝λA＋λB．
三、矩阵的乘法
1．定义
设 A= aij 是一个 m×s 矩阵， B bij 是一个 s×n 矩阵，则规定矩阵 A 与矩阵 B 的乘积
③设矩阵 A= aij ，记： A= aij ，－A 称为矩阵 A 的负矩阵，显然有 A＋(－A)＝0，
由此规定矩阵的减法为：A－B＝A＋(－B)．
2．数与矩阵相乘
（1）定义
数 λ 与矩阵 A 的乘积记作 λA 或 Aλ，规定为
λA
Aλ
λa11 λa 21
λam1
λa12 λa 22
λa m 2
λ1
0
0
λ2
0
0
0 0
λn
②性质
a．对角矩阵为方阵；
b．对角矩阵的秩等于主对角线上非零元素的个数．
（5）三角矩阵
①表达式
a a
a A
11
0
12 22
0 0
a1n a 2n
ann
0
a 11
a a B
21
c．对称矩阵的特征值为实数；
d．必存在正交矩阵，将对称矩阵化为对角矩阵，且对角矩阵的对角线元素即为特征值．
（7）反对称矩阵
①表达式
0
a a 12
12
0
a a 1n
2n
a1n a 2n
λa1n λa 2n
λamn
5 / 15
（2）运算规律 设 A、B 为 m×n 矩阵，λ、μ 为数， ①（λμ)A＝λ(μA)； ②(λ＋μ)A＝λA＋μA； ③λ(A＋B)＝λA＋λB．
三、矩阵的乘法
1．定义
设 A= aij 是一个 m×s 矩阵， B bij 是一个 s×n 矩阵，则规定矩阵 A 与矩阵 B 的乘积
③设矩阵 A= aij ，记： A= aij ，－A 称为矩阵 A 的负矩阵，显然有 A＋(－A)＝0，
由此规定矩阵的减法为：A－B＝A＋(－B)．
2．数与矩阵相乘
（1）定义
数 λ 与矩阵 A 的乘积记作 λA 或 Aλ，规定为
λA
Aλ
λa11 λa 21
λam1
λa12 λa 22
λa m 2
λ1
0
0
λ2
0
0
0 0
λn
②性质
a．对角矩阵为方阵；
b．对角矩阵的秩等于主对角线上非零元素的个数．
（5）三角矩阵
①表达式
a a
a A
11
0
12 22
0 0
a1n a 2n
ann
0
a 11
a a B
21
线性代数矩阵及其运算 ppt课件
1 2 2 .5 8 3 1 3 0 .5 89
1 2 4 .5 9 3 6 3 .5
83
22
三、 矩阵的乘法
定义1.5 (P5)
设矩阵A=(aij)ml的列数与矩阵B=(bij)ln的行数相等, 则由元素
C
2
8
4
求AB、BA和BC
解 AB 816 1362
BA
0 0
0 0
BC
0 0
0 0
AB≠BA , BA=BC
(1) AB与BA都有意义，且同型，但AB与BA不相等 (2) 两个非零矩阵相乘可能是零矩阵 (3) BA=BC,但A≠C,可见，矩阵乘法不满足消去率
那么就称矩阵A与矩阵B相等，记作A=B
16
判断下列各组矩阵是否相等
(1)
8
(3)2
5 2 0
s9in61
2 2 2.5 0.5
9 0 8
(2)
0 0
0 0
0 0
00
0 0
1 0 0
(3)
0
0
1 0
0 1
(1 )
am1x1am2x 2 amn xn bm
m个方程 ，
n个未知数
a11 a12
a
21
a 22
a m 1 a m 2
a1n
a2n
a m n
a11 a12
a21
a22
线性代数第二章矩阵及其运算2-3PPT课件
例如，设实数k=2，矩阵A=[1 2; 3 4]，则kA=[2 4; 6 8]。
CHAPTER 02
矩阵的乘法
矩阵乘法的定义
01
矩阵乘法是将两个矩阵对应位置的元素相乘，得到一个新的矩 阵。
02
矩阵乘法的结果是一个矩阵，其行数等于左矩阵的行数，列数
等于右矩阵的列数。
矩阵乘法的操作顺序是先进行行操作，再进行列操作。
CHAPTER 05
矩阵的秩
秩的定义
秩的定义
矩阵的秩是其行向量组或列向量 组的一个极大线性无关组中向量 的个数。
秩的Байду номын сангаас质
矩阵的秩是唯一的，且其值满足 特定的性质，如对于任何矩阵A， r(A)≤min(m,n)，其中m和n分别 为矩阵A的行数和列数。
秩的计算方法
可以通过多种方法计算矩阵的秩， 如高斯消元法、行变换法、初等 行变换法等。
线性代数第二章矩阵及 其运算2-3ppt课件
CONTENTS 目录
• 矩阵的加法与数乘 • 矩阵的乘法 • 逆矩阵与伴随矩阵 • 矩阵的行列式 • 矩阵的秩 • 矩阵的应用
CHAPTER 01
矩阵的加法与数乘
矩阵的加法
矩阵加法定义
两个矩阵A和B的和记作A+B，定义 为满足以下条件的矩阵C，即C的元 素Cij=Aij+Bij（i，j=1，2，…，n）。
03
矩阵乘法的性质
1 2
结合律
$(AB)C=A(BC)$，即矩阵乘法满足结合律。
分配律
$A(B+C)=AB+AC$，即矩阵乘法满足分配律。
3
单位元
存在一个单位矩阵，使得任意矩阵与单位矩阵相 乘都等于原矩阵。
CHAPTER 02
矩阵的乘法
矩阵乘法的定义
01
矩阵乘法是将两个矩阵对应位置的元素相乘，得到一个新的矩 阵。
02
矩阵乘法的结果是一个矩阵，其行数等于左矩阵的行数，列数
等于右矩阵的列数。
矩阵乘法的操作顺序是先进行行操作，再进行列操作。
CHAPTER 05
矩阵的秩
秩的定义
秩的定义
矩阵的秩是其行向量组或列向量 组的一个极大线性无关组中向量 的个数。
秩的Байду номын сангаас质
矩阵的秩是唯一的，且其值满足 特定的性质，如对于任何矩阵A， r(A)≤min(m,n)，其中m和n分别 为矩阵A的行数和列数。
秩的计算方法
可以通过多种方法计算矩阵的秩， 如高斯消元法、行变换法、初等 行变换法等。
线性代数第二章矩阵及 其运算2-3ppt课件
CONTENTS 目录
• 矩阵的加法与数乘 • 矩阵的乘法 • 逆矩阵与伴随矩阵 • 矩阵的行列式 • 矩阵的秩 • 矩阵的应用
CHAPTER 01
矩阵的加法与数乘
矩阵的加法
矩阵加法定义
两个矩阵A和B的和记作A+B，定义 为满足以下条件的矩阵C，即C的元 素Cij=Aij+Bij（i，j=1，2，…，n）。
03
矩阵乘法的性质
1 2
结合律
$(AB)C=A(BC)$，即矩阵乘法满足结合律。
分配律
$A(B+C)=AB+AC$，即矩阵乘法满足分配律。
3
单位元
存在一个单位矩阵，使得任意矩阵与单位矩阵相 乘都等于原矩阵。
线性代数第2章矩阵PPT课件
线性代数第2章矩阵ppt 课件
目录 CONTENT
• 矩阵的定义与性质 • 矩阵的逆与行列式 • 矩阵的秩与线性方程组 • 矩阵的特征值与特征向量 • 矩阵的对角化与相似变换
01
矩阵的定义与性质
矩阵的基本概念
矩阵是一个由数字组 成的矩形阵列，行数 和列数可以不同。
矩阵的维度是指行数 和列数的数量。
矩阵的元素通常用方 括号括起来，并用逗 号分隔。
矩阵的运算规则
01
02
03
加法
两个矩阵的加法是将对应 位置的元素相加。
数乘
一个数乘以一个矩阵是将 该数乘以矩阵的每个元素。
乘法
两个矩阵的乘法只有在第 一个矩阵的列数等于第二 个矩阵的行数时才能进行。
特殊类型的矩阵
对角矩阵
对角线上的元素非零，其他元素为零的矩阵。
行列式的递推公式法
递推公式法是一种常用的计算行列式 的方法，它通过递推关系式将n阶行 列式转化为低阶行列式进行计算。这 种方法在计算较大行列式时非常有效。
03
矩阵的秩与线性方程组
矩阵的秩
矩阵的秩定义
矩阵的秩是其行向量组或列向量 组的一个极大线性无关组中向量 的个数。
矩阵的秩的性质
矩阵的秩是唯一的，且满足行秩 等于列秩。矩阵的秩等于其任何 子矩阵的秩。
02
特征值和特征向量与矩阵的乘法 运算有关，即如果Ax=λx，那么 (kA)x=(kλ)x，其中k是任意常数。
03
特征值和特征向量与矩阵的转置 运算有关，即如果Ax=λx，那么 A^Tx=(λ^T)x。
特征值与特征向量的计算方法
定义法
根据特征值和特征向量的定义， 通过解方程组Ax=λx来计算特
征值和特征向量。
目录 CONTENT
• 矩阵的定义与性质 • 矩阵的逆与行列式 • 矩阵的秩与线性方程组 • 矩阵的特征值与特征向量 • 矩阵的对角化与相似变换
01
矩阵的定义与性质
矩阵的基本概念
矩阵是一个由数字组 成的矩形阵列，行数 和列数可以不同。
矩阵的维度是指行数 和列数的数量。
矩阵的元素通常用方 括号括起来，并用逗 号分隔。
矩阵的运算规则
01
02
03
加法
两个矩阵的加法是将对应 位置的元素相加。
数乘
一个数乘以一个矩阵是将 该数乘以矩阵的每个元素。
乘法
两个矩阵的乘法只有在第 一个矩阵的列数等于第二 个矩阵的行数时才能进行。
特殊类型的矩阵
对角矩阵
对角线上的元素非零，其他元素为零的矩阵。
行列式的递推公式法
递推公式法是一种常用的计算行列式 的方法，它通过递推关系式将n阶行 列式转化为低阶行列式进行计算。这 种方法在计算较大行列式时非常有效。
03
矩阵的秩与线性方程组
矩阵的秩
矩阵的秩定义
矩阵的秩是其行向量组或列向量 组的一个极大线性无关组中向量 的个数。
矩阵的秩的性质
矩阵的秩是唯一的，且满足行秩 等于列秩。矩阵的秩等于其任何 子矩阵的秩。
02
特征值和特征向量与矩阵的乘法 运算有关，即如果Ax=λx，那么 (kA)x=(kλ)x，其中k是任意常数。
03
特征值和特征向量与矩阵的转置 运算有关，即如果Ax=λx，那么 A^Tx=(λ^T)x。
特征值与特征向量的计算方法
定义法
根据特征值和特征向量的定义， 通过解方程组Ax=λx来计算特
征值和特征向量。
考研(线代)矩阵真题解析
设 A 0 1 0 ，求 An .
0
0
1
——题型II：求方阵的高次幂、矩阵的秩等 例2.10
0 0 1
a11 a12 a13
（1）已知 P 0 1 0 ， A a21 a22 a23 ，
1
0
0
a31 a32 a33
且： P m AP n A ，则正整数 m, n 为（ ）.
设矩阵
A
的伴随矩阵
A*
0 1 0
1 0 3
0 1 0
0 80
，
且： ABA1 BA1 3E ，
其中 E 为四阶单位阵，求矩阵 B .
二、典型题型分析及举例
——题型I：求逆矩阵及解矩阵方程
例2.6
1 0 1
设矩阵 A 0 2 0 ，矩阵 X 满足：
1
0
1
AX E A2 X ，
求证: A 的伴随矩阵 A* A .
二、典型题型分析及举例
——题型III：有关矩阵的证明题 例2.16 设 A 可逆方阵，且 A 的每行元素之和均等于
常数 a ，求证:
（1）常数 a 0 ;
1 （2） A1 的每行元素之和都等于 a .
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求矩阵 X .
二、典型题型分析及举例
题型 II： 求矩阵的高次幂 Am 、 求矩阵的秩及与初等矩阵相关的命题
二、典型题型分析及举例
——题型II：求方阵的高次幂、矩阵的秩等
例2.7 已知矩阵 A PQ ，
1
其中 P 2 ， Q 2, 1, 2，
1
求矩阵 A, A2 , A100 .
例2.2
0 a1 0 ... 0
0
0
1
——题型II：求方阵的高次幂、矩阵的秩等 例2.10
0 0 1
a11 a12 a13
（1）已知 P 0 1 0 ， A a21 a22 a23 ，
1
0
0
a31 a32 a33
且： P m AP n A ，则正整数 m, n 为（ ）.
设矩阵
A
的伴随矩阵
A*
0 1 0
1 0 3
0 1 0
0 80
，
且： ABA1 BA1 3E ，
其中 E 为四阶单位阵，求矩阵 B .
二、典型题型分析及举例
——题型I：求逆矩阵及解矩阵方程
例2.6
1 0 1
设矩阵 A 0 2 0 ，矩阵 X 满足：
1
0
1
AX E A2 X ，
求证: A 的伴随矩阵 A* A .
二、典型题型分析及举例
——题型III：有关矩阵的证明题 例2.16 设 A 可逆方阵，且 A 的每行元素之和均等于
常数 a ，求证:
（1）常数 a 0 ;
1 （2） A1 的每行元素之和都等于 a .
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求矩阵 X .
二、典型题型分析及举例
题型 II： 求矩阵的高次幂 Am 、 求矩阵的秩及与初等矩阵相关的命题
二、典型题型分析及举例
——题型II：求方阵的高次幂、矩阵的秩等
例2.7 已知矩阵 A PQ ，
1
其中 P 2 ， Q 2, 1, 2，
1
求矩阵 A, A2 , A100 .
例2.2
0 a1 0 ... 0
线性代数-线性方程组与矩阵PPT课件
k 1
k 1
k 1
s
aik bk1
c1
j
s
aikbk 2
c2
j
s
aikbkp
c
pj
p
s
aikbktctj .
k1
k1
k1
t1 k 1
ps
同理可以验证矩阵 Ams (BspC pn ) 中 (i, j) 元素也是 aikbktctj ，所以矩阵乘法的结合律成立. t1 k 1
aij bij
.
mn
2. 矩阵的数乘
第1章 线性方程组与矩阵 12
定义4 用一个数 k 乘矩阵 A (aij )mn 的所有元素得到的矩阵 kaij mn 称为矩阵的数乘，记为 kA 或者 Ak ，
即
kA Ak kaij mn .
矩阵的数乘运算满足如下的运算规律： 设 k,l 是任意两个数， A, B 是任意两个 m n 矩阵，
21 21 0 2
21 21 01
2 0 21 0 1
4 4
3 0
2
2
.
三、矩阵的乘法
例3
求矩阵
A
1 2
1 2
与
B
2 6
1 3
的乘积
AB
及
BA
.
解
AB
1 2
1 2
2
6
1 3
8 16
4 8
；
BA
2 6
1 1
3
2
1 2
0 0
0 0
.
第1章 线性方程组与矩阵 16
3
A Omn Omn A A .
1. 矩阵的加法
第1章 线性方程组与矩阵 11
线性代数第一章、矩阵PPT课件
矩阵的秩的计算方法
可以通过初等行变换或初等列变换将矩阵转化为行阶梯形或列阶梯形，然后数非零行的个数即为矩阵的秩。
矩阵的秩的定义
矩阵的秩是其行向量组或列向量组的一个极大线性无关组中向量的个数。
矩阵的秩
通过初等行变换将增广矩阵化为行阶梯形，然后回代求解。
高斯消元法
克拉默法则
迭代法
适用于线性方程组系数行列式不为0的情况，通过解方程组求出方程的解。
n阶方阵A的行列式记为det(A)，是一个n阶的方阵，其值是一个实数。
行列式与转置矩阵的行列式相等，即det(A^T) = det(A)；行列式的乘法性质，即det(kA) = k^n * det(A)；行列式的初等变换性质，即行列式在初等变换下保持不变。
行列式的定义与性质
行列式的性质
行列式的定义
线性代数第一章、矩阵ppt课件
目录
CONTENTS
矩阵的定义与性质 矩阵的逆与行列式 矩阵的秩与线性方程组 矩阵的特征值与特征向量 矩阵的分解与正交矩阵 矩阵在实际问题中的应用
01
矩阵的定义与性质
CHAPTER
矩阵的定义与性质
about the subject matter here refers to the subject matter here.
相似法
如果存在可逆矩阵P，使得P^(-1)AP=B，则矩阵A的特征值和特征向量可以通过矩阵B的特征值和特征向量来求解。
特征值与特征向量的计算方法
如果矩阵A的所有特征值都是实数且没有重复，则矩阵A可以对角化。
判断矩阵是否可对角化
求解线性方程组
判断矩阵是否相似
优化问题
通过将线性方程组Ax=b转化为特征值问题，可以求解线性方程组。
可以通过初等行变换或初等列变换将矩阵转化为行阶梯形或列阶梯形，然后数非零行的个数即为矩阵的秩。
矩阵的秩的定义
矩阵的秩是其行向量组或列向量组的一个极大线性无关组中向量的个数。
矩阵的秩
通过初等行变换将增广矩阵化为行阶梯形，然后回代求解。
高斯消元法
克拉默法则
迭代法
适用于线性方程组系数行列式不为0的情况，通过解方程组求出方程的解。
n阶方阵A的行列式记为det(A)，是一个n阶的方阵，其值是一个实数。
行列式与转置矩阵的行列式相等，即det(A^T) = det(A)；行列式的乘法性质，即det(kA) = k^n * det(A)；行列式的初等变换性质，即行列式在初等变换下保持不变。
行列式的定义与性质
行列式的性质
行列式的定义
线性代数第一章、矩阵ppt课件
目录
CONTENTS
矩阵的定义与性质 矩阵的逆与行列式 矩阵的秩与线性方程组 矩阵的特征值与特征向量 矩阵的分解与正交矩阵 矩阵在实际问题中的应用
01
矩阵的定义与性质
CHAPTER
矩阵的定义与性质
about the subject matter here refers to the subject matter here.
相似法
如果存在可逆矩阵P，使得P^(-1)AP=B，则矩阵A的特征值和特征向量可以通过矩阵B的特征值和特征向量来求解。
特征值与特征向量的计算方法
如果矩阵A的所有特征值都是实数且没有重复，则矩阵A可以对角化。
判断矩阵是否可对角化
求解线性方程组
判断矩阵是否相似
优化问题
通过将线性方程组Ax=b转化为特征值问题，可以求解线性方程组。
线性代数 矩阵 PPT课件
元素是复数的矩阵称为复矩阵.
例如 a ij i j , i , j 1 , 2 , 3 . 则
0 1 2 A 1 0 1
2 1 0
例如
13 6 2 2 2 2
1 9
0 6
3 4
5 3
是一个
24实矩阵,
2 i 2 2
是一个
1
33复矩阵,
2 4
是一个 31矩阵,
2359
《线性代数》知个识知识 篇点 五内在联: 系图
线性方程组 求解为核心
行列式
矩阵 一 一 对 应
矩阵运算
一 为主线 一 对
应
线性方程组 一 一 对 应 向量组
特征问题与二次型
核心
aa1211xx11aa1222xx22bb12
a11x1 a12x2
a21x1
a22 x2
am1x1 am2x2
a n
思考题
一维 1矩 是阵 否 等 1？于数
思考题解答
是的！
1 0 0 0
矩阵B
0
1
0
0
是对角阵。 答:错.
0 0 1 0
矩阵棣属关系: 单位阵 数量阵 对角阵 三角阵
（4）既是上三角又是 矩下 阵三 的角 方阵，即
形如
1 0
0 2
O
0 0
的方阵,
称为对角矩阵
(或对角阵）.
0 O0 n
记作 A d[ i1 ,a 2 , g ,n ].
(5) 数(纯)量矩阵（标量矩阵）
a 0 0 0
称对角线元相等的对角 矩阵
0
a
0
0
为数量矩阵或标量阵。
线性代数矩阵PPT课件
线性代数
•课程的重要性 ➢工科基础 ➢考研基础 •课程要求
➢综合考评
❖期末成绩 ❖平时成绩
➢课时分配
❖授课学时 36
❖习题课 1*4=4
•如何学好
➢做好预习复习
➢按时完成作业 A B C ➢多看多练多想
教材与参考书目
•教材 ➢线性代数 科学出版社，2007.2
作者：陈建龙，周建华，韩瑞珠，周后型
•参考书目
➢工程数学—线性代数，第4版，同济大学 应用数学系，2003，高教出版社 ➢线性代数附册—学习辅导与习题选解，第 4版，同济大学应用数学系，2003，高教出 版社
线性代数
一、核心工具 解线性方程组
线性方程组 考虑
Ax b 再学
方程间 方程对应一个向量
的关系
再学
向量间 向量组构成矩阵 矩阵的性 方阵
3. 单位矩阵
A
1
= (ij)
E
n
1
=
(ij)
1
引入Kronecker记号 ij =
1, i = j 0, i j
4. 三角矩阵
上三角矩阵：方阵的主对角线下的元素全为0
a11 a12 … a1n 0 a22 … a2n … ………
0 0 … ann
a11 … a1n-1 a1n a21 … a2n-1 0 …………
若A有零行(元素全为零的行), 则零行位于最下方; 非零行的非零首元 (自左至右第一个不为零的元, 称为主元) 的列标随行标的递增而递增.
称A中非零行的行数为A的阶梯数, 记为 r(A).
1 1 2 0 4 0 1 3 2 2 0 0 0 2 3 00 0 0 0
r(A)=3
11 0 0 4 0 1 0 2 2 0 0 0 2 3 00 0 0 4
•课程的重要性 ➢工科基础 ➢考研基础 •课程要求
➢综合考评
❖期末成绩 ❖平时成绩
➢课时分配
❖授课学时 36
❖习题课 1*4=4
•如何学好
➢做好预习复习
➢按时完成作业 A B C ➢多看多练多想
教材与参考书目
•教材 ➢线性代数 科学出版社，2007.2
作者：陈建龙，周建华，韩瑞珠，周后型
•参考书目
➢工程数学—线性代数，第4版，同济大学 应用数学系，2003，高教出版社 ➢线性代数附册—学习辅导与习题选解，第 4版，同济大学应用数学系，2003，高教出 版社
线性代数
一、核心工具 解线性方程组
线性方程组 考虑
Ax b 再学
方程间 方程对应一个向量
的关系
再学
向量间 向量组构成矩阵 矩阵的性 方阵
3. 单位矩阵
A
1
= (ij)
E
n
1
=
(ij)
1
引入Kronecker记号 ij =
1, i = j 0, i j
4. 三角矩阵
上三角矩阵：方阵的主对角线下的元素全为0
a11 a12 … a1n 0 a22 … a2n … ………
0 0 … ann
a11 … a1n-1 a1n a21 … a2n-1 0 …………
若A有零行(元素全为零的行), 则零行位于最下方; 非零行的非零首元 (自左至右第一个不为零的元, 称为主元) 的列标随行标的递增而递增.
称A中非零行的行数为A的阶梯数, 记为 r(A).
1 1 2 0 4 0 1 3 2 2 0 0 0 2 3 00 0 0 0
r(A)=3
11 0 0 4 0 1 0 2 2 0 0 0 2 3 00 0 0 4
线性代数第2章 矩阵PPT课件
行矩阵(Row Matrix):
只有一行的矩阵 A a 1 ,a 2 , ,a n ,
称为行矩阵(或行向量).
列矩阵(Column Matrix):
a 1
只有一列的矩阵
B
a2
,
称为列矩阵(或列向量).
a n
暨大珠院
方阵(Square Matrix):
n 行数与列数都等于 的矩阵，称为 n阶方阵.也可记作 An .
排成m的 行n列的数表，
称为 m行n列矩. 阵 简m 称 n矩.阵
a11
记作A
a21
a12 a22
a1n a2n
暨大珠院
am1 am2 amn
简记为
Aa ijm n
或 Amn
实矩阵: 元素是实数;复矩阵:元素是复数.
规定:
Aa a 11
例如： 1 0 3 5 是一个 24
9 6 4 3
1
En
1
1 nn
暨大珠院
数量矩阵(Scalar Matrix):
方阵，主对角元素全为非零常数k，
其余元素全为零的矩阵。
k
kEn
k
k nn
暨大珠院
二. 矩阵的基本运算 1. 矩阵相等.
同型矩阵： 两个矩阵的行数相等、列数也相等
矩阵相等: 设 矩 阵 A m n 与 B m n 是 同 型
33 62 81 6 8 9
暨大珠院
负矩阵：称- A 为矩阵 Aaij 的负矩阵。
a11
A
a 21
a12
a 22
a1n
a 2n
aij
am1
am1
am
n
减法: A B A ( B )
1.3——矩阵线性代数课件PPT
A,C可逆，A C 2 0可逆，但A1 C 1 ( A C )1 0 1
故 ( A B)1 A1 B1
例 设方阵A满足方程A2 A 2E 0,证明: A, A 2E都可逆,并求它们的逆矩阵.
证明 由A2 A 2E 0,
A1
得AA E 2E A A E E
则称A为可逆矩阵, A1为A 的逆阵.
1、可逆矩阵的概念和性质
定义 对于n阶矩阵A，如果有一个n阶矩阵B, 使得
AB BA E
则称矩阵A是可逆的, 并把矩阵B称为A的逆矩阵.
A的逆矩阵记作 A1, 即 A1 B
注 可逆矩阵也称为非退化阵或非奇异阵.
注 方阵才有可逆矩阵.
例
设
1
A
1
1 1 2
1
,
B
1
2
1 2
1
2
解 因为 AB BA E, 则B是A的一个逆矩阵.
定理 (唯一性) 若A是可逆矩阵, 则其逆矩阵是唯一的. 证 设B和C 都是A的逆矩阵, 则有
AB BA E, AC CA E 可得 B EB (CA)B C( AB) CE C
所以A的逆矩阵是唯一的, 即 B C A1
逆矩阵的求法一：待定系数法（第2章讲解）
a1
注 对角矩阵 A
a2
,其中
a1a2
an nn
对角矩阵A可逆, 且其逆矩阵
an 0
1 a1
A1
1 a2
1
an
nn
单位阵E可逆, 且其逆矩阵为其自身: E 1 E
逆矩阵的运算性质
1 若A可逆,则A1亦可逆,且 A1 1 A.
2 若A可逆,数 0,则A可逆,且 A1 1 A1.
线性代数03矩阵及其运算PPT课件
3）
1 1
00 11
10
1 1
0 0
1 2
00 11
0 1
1 1
0 0
➢若 AB BA, 则称矩阵 A乘积、可交B换.
26
第26页/共59页
例题
例5
求矩阵
A
1 2
0 1
3 0
21 与
4
B
1 2 1
1 1 0 3
0
3
1 4
的乘积 AB.
A B 4 3 解 析： 是 矩阵， 是 矩阵， 的列数等
7
第7页/共59页
n 例4 个变量
x与1 , m 个x变2 ,量之间, 的xn关系式
y1 , y2 ,, ym
称为从变量
y1 a11 x1 a12 x2 a1n xn ,
y2 a21 x1 a22 x2 a2n xn ,
(1)
ym am1 x1 am2 x2 amn xn ,
13
第13页/共59页
❖西尔维斯特（Sylvester, 1814-1897），他是犹太 人，故他在取得剑桥大学数学荣誉会考第二名的优 异成绩时，仍被禁止在剑桥大学任教。从1841年起 他接受过一些较低的教授职位，也担任过书记官和 律师。经过一些年的努力，他终于成为霍布金斯大 学的教授，并于1884年70岁时重返英格兰成为牛津 大学的教授。他开创了美国纯数学研究，并创办了 《美国数学杂志》。在长达50多年的时间内，他是 行列式和矩阵论始终不渝的作者之一。
元(的i,矩j阵) 可简记作
或
.
(aij ) (aij )mn
m n 矩阵 A也记作
Amn .
注意
（1）矩阵的记号是在数表外加上括弧，与行列式的记号（在数表外加上双竖线） 是不同的，这是两个不同的概念，注意区别.
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（1）求 A1 ， ( A 2E)1 ；
（2）问 A 4E 是否可逆？
-
3
二、典型题型分析及举例
——题型I：求逆矩阵及解矩阵方程
例2.4 5 2 0 0
设
A
2 0 0
1 0 0
0 1 1
0 2 1
，求
A1 .
-
4
二、典型题型分析及举例
例2.5 ——题型I：求逆矩阵及解矩阵方程
1 0 0 0
a 2 bn a n bn
，
其中 ai 0 ， bi 0 ，（ i 1,2, , n ），
则矩阵 A 的秩 r( A)
.
-
13
二、典型题型分析及举例
题型III：有关矩阵的证明题
-
14
例2.12 ——题型III：有关矩阵的证明题
设 A 为 n 阶非奇异矩阵， 为 n 维（列）向量，
-
8
二、典型题型分析及举例
——题型II：求方阵的高次幂、矩阵的秩等
例2.8
1 0 0
已知 AP PB，其中： B 0 0 0 ，
0
0
1
1 0 0
P 2 1 0 ， 求 A 及 A5 .
2 1 1
-
9
二、典型题型分析及举例
——题型II：求方阵的高次幂、矩阵的秩等
例2.9
1 0 1
（1）常数 a 0 ;
1 （2） A1 的每行元素之和都等于 a .
-
19
设矩阵
A
的伴随矩阵
A*
0 1 0
1 0 3
0 1 0
0 80
，
且： ABA1 BA1 3E ，
其中 E 为四阶单位阵，求矩阵 B .
-
5
二、典型题型分析及举例
——题型I：求逆矩阵及解矩阵方程
例2.6
1 0 1
设矩阵 A 0 2 0 ，矩阵 X 满足：
1
0
1
AX E A2 X ，
求矩阵 X .
-
6
二、典型题型分析及举例
题型 II： 求矩阵的高次幂 Am 、 求矩阵的秩及与初等矩阵相关的命题
-
7
二、典型题型分析及举例
——题型II：求方阵的高次幂、矩阵的秩等
例2.7 已知矩阵 A PQ ，
1
其中 P 2 ， Q 2, 1, 2，
1
求矩阵 A, A2 , A100 .
-
17
二、典型题型分析及举例
——题型III：有关矩阵的证明题
例2.15
设 A 是 n 阶可逆方阵,且 A2 | A | E , 求证: A 的伴随矩阵 A* A .
-
18
二、典型题型分析及举例
——题型III：有关矩阵的证明题 例2.16 设 A 可逆方阵，且 A 的每行元素之和均等于
常数 a ，求证:
——题型I：求逆矩阵及解矩阵方程
例2.1
3 0 0
（1）设 A 1 4 0 ，则 ( A 2E )1
；
0
0
3
1 1 1
（2）已知三阶矩阵 A 的逆矩阵为 A1 1 2 1 ，
1
1
3
则 A 的伴随矩阵 A* 的逆矩阵为：
.
-
1
二、典型题型分析及举例
——题型I：求逆矩阵及解矩阵方程
设 A 0 1 0 ，求 An .
0
0
1
-
10
——题型II：求方阵的高次幂、矩阵的秩等 例2.10
0 0 1
a11 a12 a13
（1）已知 P 0 1 0 ， A a21 a22 a23 ，
1
0
0
a31 a32 a33
且： P m AP n A ，则正整数 m, n 为（ ）.
例2.2
0 a1 0 ... 0
0 0 a2 ... 0
已知：
A
...
...
... ...
...
，
0 0 0 ... an1
a
n
0
0 ...
0
ai 0 ， i 1,2, , n ，求 A1 .
-
2
二、典型题型分析及举例
例2.3 ——题型I：求逆矩阵及解矩阵方程
已知矩阵 A 满足关系式： A2 2A 3E 0 ，
a 23 a 33 a43
a 24 a 34 a44
可逆,
B
a24
a 34 a44
a 23 a 33 a43
a 22 a 32 a42
a21
a a
31 41
0 0 0 1
1 0 0 0
0
P1
0
1 0
0 1
Байду номын сангаас
0 0
，
P2
0 0
0 1
1 0
0 0
，则
B
1
等于（
）.
1 0 0 0
A1 B1 可逆，且： ( A1 B 1 )1 A( A B)1 B B( A B)1 A ；
.
-
16
二、典型题型分析及举例
例2.14 ——题型III：有关矩阵的证明题
设 A 是 n 阶方阵， r( A) 1，
a1
求证：
A
a2 an
b1
,
b2 ,
,
bn ，
且 A2 kA.
A， m 5, n 4 ；
B， m 5, n 5 ；
C， m 4, n 5 ；
D， m 4, n 4 .
-
11
——题型II：求方阵的高次幂、矩阵的秩等
例2.10
a11 a12 a13 a14
a14 a13 a12 a11
（2）设
A
a 21 a 31 a41
a 22 a 32 a42
b
为常数，记分块矩阵
P
E
T A
*
|
O A
|
，
Q
A
T
b
，
其中 A*为 A 的伴随矩阵， E 为 n 阶单位阵.
（1）计算并化简 PQ ；
（2）求证：矩阵 Q 可逆的充分必要条件是 T A1 b .
-
15
二、典型题型分析及举例
例2.13
——题型III：有关矩阵的证明题
设 n 阶矩阵 A, B, A B 均可逆，证明：
0 0 0 1
A， A1 P1 P2 ； B， P1 A1 P2 ； C， P1 P2 A1 ； D， P2 A1 P1 ；
-
12
二、典型题型分析及举例
——题型II：求方阵的高次幂、矩阵的秩等
例2.11
a1b1 a1b2 a1bn
设
A
a 2 b1 a n b1
a 2 b2 a n b2
（2）问 A 4E 是否可逆？
-
3
二、典型题型分析及举例
——题型I：求逆矩阵及解矩阵方程
例2.4 5 2 0 0
设
A
2 0 0
1 0 0
0 1 1
0 2 1
，求
A1 .
-
4
二、典型题型分析及举例
例2.5 ——题型I：求逆矩阵及解矩阵方程
1 0 0 0
a 2 bn a n bn
，
其中 ai 0 ， bi 0 ，（ i 1,2, , n ），
则矩阵 A 的秩 r( A)
.
-
13
二、典型题型分析及举例
题型III：有关矩阵的证明题
-
14
例2.12 ——题型III：有关矩阵的证明题
设 A 为 n 阶非奇异矩阵， 为 n 维（列）向量，
-
8
二、典型题型分析及举例
——题型II：求方阵的高次幂、矩阵的秩等
例2.8
1 0 0
已知 AP PB，其中： B 0 0 0 ，
0
0
1
1 0 0
P 2 1 0 ， 求 A 及 A5 .
2 1 1
-
9
二、典型题型分析及举例
——题型II：求方阵的高次幂、矩阵的秩等
例2.9
1 0 1
（1）常数 a 0 ;
1 （2） A1 的每行元素之和都等于 a .
-
19
设矩阵
A
的伴随矩阵
A*
0 1 0
1 0 3
0 1 0
0 80
，
且： ABA1 BA1 3E ，
其中 E 为四阶单位阵，求矩阵 B .
-
5
二、典型题型分析及举例
——题型I：求逆矩阵及解矩阵方程
例2.6
1 0 1
设矩阵 A 0 2 0 ，矩阵 X 满足：
1
0
1
AX E A2 X ，
求矩阵 X .
-
6
二、典型题型分析及举例
题型 II： 求矩阵的高次幂 Am 、 求矩阵的秩及与初等矩阵相关的命题
-
7
二、典型题型分析及举例
——题型II：求方阵的高次幂、矩阵的秩等
例2.7 已知矩阵 A PQ ，
1
其中 P 2 ， Q 2, 1, 2，
1
求矩阵 A, A2 , A100 .
-
17
二、典型题型分析及举例
——题型III：有关矩阵的证明题
例2.15
设 A 是 n 阶可逆方阵,且 A2 | A | E , 求证: A 的伴随矩阵 A* A .
-
18
二、典型题型分析及举例
——题型III：有关矩阵的证明题 例2.16 设 A 可逆方阵，且 A 的每行元素之和均等于
常数 a ，求证:
——题型I：求逆矩阵及解矩阵方程
例2.1
3 0 0
（1）设 A 1 4 0 ，则 ( A 2E )1
；
0
0
3
1 1 1
（2）已知三阶矩阵 A 的逆矩阵为 A1 1 2 1 ，
1
1
3
则 A 的伴随矩阵 A* 的逆矩阵为：
.
-
1
二、典型题型分析及举例
——题型I：求逆矩阵及解矩阵方程
设 A 0 1 0 ，求 An .
0
0
1
-
10
——题型II：求方阵的高次幂、矩阵的秩等 例2.10
0 0 1
a11 a12 a13
（1）已知 P 0 1 0 ， A a21 a22 a23 ，
1
0
0
a31 a32 a33
且： P m AP n A ，则正整数 m, n 为（ ）.
例2.2
0 a1 0 ... 0
0 0 a2 ... 0
已知：
A
...
...
... ...
...
，
0 0 0 ... an1
a
n
0
0 ...
0
ai 0 ， i 1,2, , n ，求 A1 .
-
2
二、典型题型分析及举例
例2.3 ——题型I：求逆矩阵及解矩阵方程
已知矩阵 A 满足关系式： A2 2A 3E 0 ，
a 23 a 33 a43
a 24 a 34 a44
可逆,
B
a24
a 34 a44
a 23 a 33 a43
a 22 a 32 a42
a21
a a
31 41
0 0 0 1
1 0 0 0
0
P1
0
1 0
0 1
Байду номын сангаас
0 0
，
P2
0 0
0 1
1 0
0 0
，则
B
1
等于（
）.
1 0 0 0
A1 B1 可逆，且： ( A1 B 1 )1 A( A B)1 B B( A B)1 A ；
.
-
16
二、典型题型分析及举例
例2.14 ——题型III：有关矩阵的证明题
设 A 是 n 阶方阵， r( A) 1，
a1
求证：
A
a2 an
b1
,
b2 ,
,
bn ，
且 A2 kA.
A， m 5, n 4 ；
B， m 5, n 5 ；
C， m 4, n 5 ；
D， m 4, n 4 .
-
11
——题型II：求方阵的高次幂、矩阵的秩等
例2.10
a11 a12 a13 a14
a14 a13 a12 a11
（2）设
A
a 21 a 31 a41
a 22 a 32 a42
b
为常数，记分块矩阵
P
E
T A
*
|
O A
|
，
Q
A
T
b
，
其中 A*为 A 的伴随矩阵， E 为 n 阶单位阵.
（1）计算并化简 PQ ；
（2）求证：矩阵 Q 可逆的充分必要条件是 T A1 b .
-
15
二、典型题型分析及举例
例2.13
——题型III：有关矩阵的证明题
设 n 阶矩阵 A, B, A B 均可逆，证明：
0 0 0 1
A， A1 P1 P2 ； B， P1 A1 P2 ； C， P1 P2 A1 ； D， P2 A1 P1 ；
-
12
二、典型题型分析及举例
——题型II：求方阵的高次幂、矩阵的秩等
例2.11
a1b1 a1b2 a1bn
设
A
a 2 b1 a n b1
a 2 b2 a n b2