弹性力学—第四章—平面问题的极坐标解答

o
c
半面体在边界上受垂直集中力（6）
F a ρ b
o
c
半面体在边界上受垂直集中力（7）
F
注：常数I不能确定，因为它 代表了半面体在铅直方向上的 刚体位移。如果在铅直方向上 有约束，则可以确定I值。
a ρ
o
c
b
半面体在边界上受垂直集中力（8）
F
ρ
B
M点的沉陷： M点相对B点的沉陷：
M s
o
本 节 中 的 解 答 被 称 为 符 拉 芒 （ Alfred-Aimé （1839～1914-1918），法国）解答。
半面体在边界上受集中力（2）
F a ρ 代入极坐标中的相容方程： b
o
c
得到：
半面体在边界上受集中力（3）
代入： a ρ b
o
F c
x
y
应力函数中的常数以及关于坐标的一次项 略去后不影响应力分量的计算。
半面体在边界上受集中力（4）
F a ρ b
o
c
半面体在边界上受集中力（5）
a ρ b
o
F c
圆环或圆筒受均布压力（4）
q2
q1
若只有内压力，则径向正应力为压应力，而环向正应力为拉应力。 另外，若R无穷大，即在无限大薄板中有一圆孔，或在无限大弹性体中 有一孔道，则：
注：远离孔口处应力很小， 可以不计。
压力隧洞（1）
设有圆筒，埋在无限大弹 性体中，受有均布压力q， 圆筒和无限大弹性体的弹 性常数分别为E ， µ和 E’ ， μ’。圆筒内外径分别为r和 R。
F c
当F垂直于直线边界时：
半面体在边界上受垂直集中力（2）
F a ρ b
o
c
将上式中的三角函数用直角坐标表示就可以得到直角坐标 下的该问题的应力分量函数。
半面体在边界上受垂直集中力（3）
F a ρ b
o
c
半面体在边界上受垂直集中力（4）
F a ρ b
o
c
半面体在边界上受垂直集中力（5）
F a ρ b
A
q/2
q/2
q/2
q/2
q/2
圆孔孔口应力集中（14）
— 载荷的组合
q y
x
A
q
注：另外两个应力分量在孔边为零。
圆孔孔口应力集中（15）
— 载荷的组合
q y
x
A
q
注：孔边应力是 均匀应力的三倍
圆孔孔口应力集中（15）
— 载荷的组合
q y
x
A
q
小孔口问题小结（1）
小孔口问题的特点： 1.集中性，孔附近的应力远大于较远处的应力。 2.局部性，孔口附近的应力扰动主要发生在距孔 边1.5倍孔口尺寸的范围内。在此区域外，由于开 孔引起的应力扰动一般小于5%，可以忽略不计。 注：圆孔的应力集中程度较低，有凹尖角的孔口 应力集中程度较高，因此，在设计结构时应尽量 避免有凹尖角的孔口。
小孔口问题小结（2）
如有任意形状的薄板，受有任意面力，而在距边 界较远处有一小圆孔，那么只要有了无孔时的应 力解答，也就可以计算孔边的应力，其过程如下： 1.求出无孔时相应于圆孔中心的应力分量， 2.由平面中一点的应力状态，求得两个主应力的 方向和大小。 3.将两个主应力认为是在两个方向上的均布载荷， 则根据上面的叠加法可求得孔边应力。
— 纯径向位移下的线应变
o
P P’ A
x
A’
B C B’
y
很小，导致P’C与P’B’ 的差别可以忽略，因此：
极坐标中的几何方程（4）
— 纯径向位移下的切应变
o
P P’ A
x
A’
在仅有径向位移的情况下，段 PA没有转动，因此：
B C B’
y
极坐标中的几何方程（5）
— 纯环向位移下的线应变
o
P P’’ B B’’ A’’ A
边界条件：在o点之外的ac面上，没有任何的法向 或者切向的面力，因此，上式中的后两个方程完 全满足边界条件。
半面体在边界上受集中力（6）
a ρ
o
F c
在o点附近切出一部分脱离体 oabc，运用圣维南原理：
b
半面体在边界上受集中力（7）
a ρ
o
F c
b
半面体在边界上受垂直集中力（1）
a ρ b
o
o
b
B
半面体在边界上受分布力（3）
对于均布载荷q：
应力分量的坐标变换式（2）
应力分量在直角坐标系与极坐标系之间的转换需要建立 两者之间的关系。 o x B A y 简化后得到：
应力分量的坐标变换式（3）
应力分量在直角坐标系与极坐标系之间的转换需要建立 两者之间的关系。 o x B A y 由A中环向上的力平衡，得到：
应力分量的坐标变换式（4）
圆孔孔口应力集中（1）
本节研究小孔口问题，即孔口尺寸远小于弹性体尺寸，并 且孔边距弹性体边界也较远。
x
y 孔口附近的应力远大于无孔时的应力，也远大于距孔口较 远处的应力，这种现象叫孔口应力集中。
圆孔孔口应力集中（2）
— 四边受拉力
以坐标原点为圆心，以远大于圆孔半径r 的长度R作一个大圆，如虚线所示。则直 q 角坐标问题转化为极坐标问题。 在虚线上的任意一点的直角坐标应力分 量为： 由极坐标与直角坐标应力分量的转换公式： y q
简化相容方程：
轴对称应力状态下的应力（2）
轴对称问题的拉普拉斯算子可以写成：
代入相容方程：
得到：
轴对称应力状态下的应力（3）
积分四次 得到应力 函数：
轴对称应力状态下的应力（4）
轴对称问题的应力分量函数：
轴对称应力状态下的位移（1）
由物理方程可由应力分量得到应变分量：
轴对称应力状态下的位移（2）
半面体在边界上受集中力（1）
设有半面体受集中力，如右 图所示。其中F为单位厚度 上所受的力，量纲为MT2。
F a ρ b
o
c
用半逆解法求解：由于应力分量是 , ,ρ,F 的函数，而应力分量的量纲为L-1MT-2， F的量纲为MT-2 ，角度的量纲为一，因此各应力 分量只能取 FNρ-1的形式，其中N为量纲一的量。 又因为应力函数中 ρ 的幂次比应力分量高两阶， 因此假定：
q y q
A
x
q
外边界上的边界条件
内边界上的边界条件
圆孔孔口应力集中（6）
— 左右两边受拉力，上下两边受压力
q
q y q
A
x
q
不能将边界条件代入上式，因为上式仅适用于轴 对称应力状态下的应力分量，而本问题不是轴对 称应力状态（如径向正应力是环向坐标的函数）。
圆孔孔口应力集中（7）
— 左右两边受拉力，上下两边受压力
由几何方程可由应变分量得到位移分量：
轴对称应力状态下的位移（3）
轴对称应力状态下的位移（4）
将以上得到的环向径向位移代入切应变的几何方程：
得到：
轴对称应力状态下的位移（4）
分离变量以便求得未知函数的形式：
轴对称应力状态下的位移（5）
轴对称应力状态下的位移（6）
代入
得到
轴对称问题小结
以上是轴对称应力状态下，应力分量和位移分量的一般表 达式，适用任何轴对称应力问题。其中，待定系数将由应 力边界条件，位移边界条件和位移单值条件确定。若位移 边界条件也是轴对称的，则位移也是轴对称的。
1. 应力与体力的正负号规定相同。 2. 切应力互等。
极坐标中的平衡方程（1）
o x
y
极坐标中的平衡方程（2）
o x
y
极坐标中的几何方程（1）
— 假定只有径向位移
o
P P’ A A’ B
x
C
y
B’
极坐标中的几何方程（2）
— 假定只有环向位移
o
P P’’ B B’’ A’’ A
x
y
极坐标中的几何方程（3）
q
q y q
A
x
q
圆孔孔口应力集中（8）
— 左右两边受拉力，上下两边受压力
代入相容方程 q y q
A
q
x
q
圆孔孔口应力集中（9）
— 左右两边受拉力，上下两边受压力
q
q y q
A
x
q
圆孔孔口应力集中（10）
— 左右两边受拉力，上下两边受压力
q
q y 代入 q
A
x
q
圆孔孔口应力集中（11）
— 左右两边受拉力，上下两边受压力
应力分量在直角坐标系与极坐标系之间的转换需要建立 两者之间的关系。 o x B A y 由B中环向上的力平衡，得到：
应力分量的坐标变换式（5）
整理结果如下：
轴对称应力状态下的应力（1）
所谓轴对称，是指物体的形状或某物理量是绕一轴对称 的，凡通过对称轴的任何面都是对称面。因此，轴对称 应力状态下的应力分量只与径向坐标有关而与环向坐标 无关，而应力函数只是径向坐标的函数，即：
对于平面应变问题：
换为 换为
极坐标中的应力函数与相容方程（1）
为了简化推导，可以将直角坐标的公式直接变换到极坐 标中来，为此，我们需要如下关系式：
极坐标中的应力函数与相容方程（2）
建立直角坐标中的应力函数与极坐标中应力函数的关系：
极坐标中的应力函数与相容方程（3）
证明以上应力分量满足平衡方程。
Flamant
半面体在边界上受分布力（1）
半面体在边界上受分布力作用时 的应力和沉陷是由上节中半面体 在边界上受集中力作用时的应力 和沉陷的叠加而得到的。 y A x a
o
b
B
M 取距离o点 的微小长度 做研究， y 其微小集中力 在M点引起的应力为： x
半面体在边界上受分布力（2）
y A x M a y x
q
无限大弹性体可看成是内 径为R而外径为无限大的圆 筒。
压力隧洞（2）
轴对称问题环向位移的一般解答： 圆筒 无限大弹性体
圆筒
无限大弹Βιβλιοθήκη Baidu体
压力隧洞（3）
由应力边界条件得：
1. 圆筒内壁： 2. 无限大弹性体离 圆筒无限远处： 3. 接触面：
压力隧洞（4）
由位移边界条件得： 4. 接触面： 平面应力状态下轴对称问题的径向位移解答：
左右两边受拉力，上下两边受压力， 离边界较远处有圆孔的应力分量函 q 数：
y q
A
q
x
q
圆孔孔口应力集中（12）
— 载荷的组合
q2 左右两边受一种拉力，上下两 边受另一种拉力的薄板，可认 为是以下两种载荷的组合。
q1 q2 (q1+q2)/2
q1
(q1+q2)/2 (q1-q2)/2 (q1+q2)/2
圆环或圆筒受均布压力（1）
q2
q1
边界条件：
圆环或圆筒受均布压力（2）
q2
q1 两个方程三个未知数，不能求解A，B， C。因此，需引入位移单值条件：
该项必须为零，否则在环上同一点有两 个不同的位移，故B=0
圆环或圆筒受均布压力（3）
q2
q1 因此，得到圆筒受均匀压力的拉梅 （ G.Lame,1795—1870 ，法国）解答：
极坐标中的应力函数与相容方程（4）
将环向正应力与径向正应力相加：
代入直角坐标中的相容方程：
得到极坐标中的相容方程：
注：当不计体力时，在 极坐标中按应力求解平 面问题需要满足相容方 程，应力边界条件以及 位移单值条件。
应力分量的坐标变换式（1）
应力分量在直角坐标系与极坐标系之间的转换需要建立 两者之间的关系。 o x B A y 设A中斜边上的面积为ds,则由A中径向上的力平衡，得到：
A
q
x
q
在虚线圆上：
圆孔孔口应力集中（3）
— 四边受拉力
q q x y q
A
q
q
0
-q
圆孔孔口应力集中（4）
— 四边受拉力
q
0
-q
R远大于r,则r/R=0 矩形薄板在离开边界较远处有圆孔，在四边受均布拉 力的引力分量函数：
圆孔孔口应力集中（5）
— 左右两边受拉力，上下两边受压力
q
由极坐标与直角坐标应力分量的转 换公式：
弹 性 力 学 及 有 限 元
第四章 平面问题的极坐标解答
胡 衡
武汉大学土木建筑工程学院
二零零八年五月 二零零八年五月
极坐标中的应力分量
由径向线和圆弧线围成的 圆形，扇形等弹性体，适 合用极坐标求解。 与直角坐标的区别： 1. 坐标的量纲不同。 2. 坐标的方向不同。 与直角坐标的相同处： y o x
平面应变状态下轴对称问题的径向位移解答：
0
压力隧洞（5）
径向位移解答：
4. 接触面：
n
压力隧洞（6）
应力分量的最终解答：
小结：该问题是最简单的接触问题，属于完全接触问题。在接触面上， 两弹性体的正应力与切应力相等，法向与切向位移也相等。 光滑接触属于非完全接触，在接触面上，两弹性体的正应力与法向位移 相等，而切向位移不相等。此外，还有摩擦滑移接触，在法向上，正应 力及位移相等，在切向上，则达到极限滑移状态而产生移动，此时两弹 性体的切应力都等于极限摩擦力。
x
很小，导致P’’A’’与PA 的差别可以忽略，因此：
D D’
y
极坐标中的几何方程（6）
— 纯环向位移下的切应变
o
P P’’ B B’’ A’’ A
x
D D’
y
极坐标中的几何方程（7）
将纯环向与纯径向位移的结果相加得极坐标 中的几何方程：
极坐标中的物理方程
极坐标中的物理方程与直角坐标中的物理方程形式 一样，只需将直角坐标 x 和 y 换成 和 即可，如 平面应力问题的物理方程为：
(q1-q2)/2 (q1-q2)/2
A
(q1+q2)/2
（q1-q2）/2
圆孔孔口应力集中（12）
— 载荷的组合
左右两边受拉力，上下两边不 受拉力的薄板，可认为是以下 两种载荷的组合。
q
q
q/2 q/2
q/2
q/2
q/2
A
q/2
q/2
q/2
圆孔孔口应力集中（13）
— 载荷的组合
q/2 q/2 q/2