弹性力学中的平面问题

?
目标：建立应力分量之间的关系
设物体在外力作用下在点（x，y）产生的应力分量为：
x(x,y)、y(x,y)、xy(x,y),体积力为fx、fy
y
y
y
dy
y
yx
yx
y
dy
x (x dx, y)
x (x,
y)
x
x
dx
2 x
x2
dx2
x
x
x
dx
x
xy Q
c dy
dx
yx y
xy
xy
z 0
yZ
x
注：将三维问题简化成平面应变问题应符合的条件：
1、 x y Z
2、外力平行于xy平面且沿z轴均匀分布 3、约束条件沿z向分布
?
三、平面应变与平面应力的异同点
相同点
平面应力 平面应变
zx zy 0 xz yz 0
不同点
z 0 z 0 z 0 z 0
举例
§3.4 平面问题的平衡微分方程
t
注：将三维问题简化成平面应力问题应符合的条件：
1、x y Z
2、外力平行于xy平面且沿z轴均匀分布
3、约束条件沿z向分布
二、第二种平面问题：平面应变问题
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若Z轴位移W=0，只在x、y方向有位移，且在 各截面上相同x、y坐标点出的位移相同（外
力也与Z轴无关）
zx zy 0 xz yz 0
设任意点P的位移为：
u ( x, v( x,
y) y)
点A的位移为：uv((xx,,
y x
y yx
xy
o x
?
以均匀的单向拉伸为例。设P为轴向拉力，F0为横截面积，则法向 与拉伸轴成角的平面上的全应力大小为：
S
P
F0 cos
P cos
F0
0 cos
该面的正应力 和平行于该面的剪应力 分别为
S cos 0 cos2
S sin 0 sin cos
复杂受力情况下，显然不能仅由一个面的受力情况来推 知其它面上的受力情况，因此我们引进点的应力状态的 概念。
p o
A’
B’ B
y x
注：应变的下标表示相关线段的方向；应变无量纲。
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四：位移 物体上各点位置的移动。 用在三个坐标轴上的投影（分量）表示（u、v、w）
?
§3.2 弹性力学中的基本假设
在力学研究的问题中，通常已知物体的形状和所受的外 力，而应力分量、形变分量和位移分量则是需要求解的未知 数。
从三个方面分析建立已知量和未知数、未知数和未知数 之间的关系：
x
dx
x
x
x
dx
o
x
力平衡
?
1、力矩平衡：Mc=0
( xy
xy
x
dx) dy
dx 2
L xy
dy
dx 2
L
y
x
(
yx
yx
y
dy) dx
dy 2
L
yx
dx
dy 2
L
0
xy
Q
o
xy
1 2
xy
x
dx
yx
1 2
yx
y
dy
y
y
y来自百度文库
dy
yx
yx
y
dy
c dy
dx
xy
xy
问题：举例说明什么是均匀的各向异性体、非均匀的各向同性体、非均匀的各向 异性体
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§3.3 弹性力学中的平面问题
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一、第一种平面问题：平面应力问题
( z )z t 0 2
( zy )z t 0 2
( zx )z t 0 2
y y
z 0 zx zy 0 xz yz 0
o
x
Z
Q
F
V p
体力的量纲是[力][长度]-3
o
y
x
?
2、面力： 是分布在物体表面上的力。如流体力、接触力
面力可以是集中力也可以是分布力。
若是分布力，则
z
T lim P dP A0 A dA
矢量T在坐标轴x、y、z上的分量称为点P 上的面力分量，以沿坐标轴方向为正。
P T
A p
面力的量纲是[力][长度]-2
dx
xy
xy
x
dx
x
x x
dx
yx y
o
x
平衡方程
?
平面问题的静力平衡方程：
x
x
yx
y
fx
0
xy
x
y
y
fy
0
注：未知数三个：x 、y 、xy=yx
?
§3.5 平面问题的几何方程
目标：建立形变分量与位移分量之间的关系
物体内任意一点P，沿x和y轴方向取微小长度PA=dx、PB=dy，变形后点P、A、 B移动到P’、A’、B’，
三：形变
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形变（变形）是指形状的改变。
物体的变形可以归结为长度的改变和角度的改变
单位长度线段的伸缩，称为线应变（正
应变），用表示（ x 、y、 z） 。
y
PB' PB PB
z A
各线段之间的直角的改变（弧度表示），
称为剪应变。用表示（ xy 、 yz、 zx）
yz
2
x
剪应变以角度变小时为负，变大时为正。
o
y
x
?
二：应力 在外力作用下，物体内各个质点将会产生相互作用，叫做内力。
设物体内过某点的微平面 (面积为
A）上作用有微力（大小为 P），
z
则该点该面上的全应力大小为
S lim P dP A0 A dA
应力的量纲是[力][长度]-2
o x
P
p
A
y
应力分量
z 全应力可分解为垂直于其作用面的正
应力 和平行于该面的剪应力 。
S
o x 若微平面的法线平行于某坐标轴，例如
Z轴，正应力表示为Z则可将剪应力 沿另两坐标轴分解， 得：zx、zy
?
P
p
A
y
?
应力正负规定
如果截面上的法线方向是沿坐标轴的正方向，则该截面 称为一个正面，截面上的应力以沿坐标轴正方向为正。
如果截面上的法线方向是沿坐 标轴的负方向，则该截面称为 一个负面，截面上的应力以沿 坐标轴负方向为正。
x
dx
x
x x
dx
yx y
x
xy yx
平衡方程
?
2、x轴力平衡：Fx=0
( x (xxyxdx)ydyxydLy) dxxdLyLyx dx L fxdxdy L 0
x
x
yx
y
fx
0
3、y轴力平衡：Fy=0
y
y
xy
x
fy
0
x
y
xy
Q
y
y y
dy
yx
yx
y
dy
c dy
§3.1 弹性力学中的几个基本概念
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弹性力学中的基本概念：外力、应力、形变和位移
一：外力 作用在物体的外力可以分为两类：体积力和表面力， 简称为体力和面力
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1、体力： 是分布在物体体积内的力。如重力、磁力、惯性力等
Q dQ
F lim V 0 V dV
z
矢量F在坐标轴x、y、z上的投影称为点P 上的体力分量，以沿坐标轴方向为正。
1、静力学方面： 应力、体力和面力 2、几何学方面： 形变、位移和边界位移 3、物理学方面： 应力和形变
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基本假设
弹性力学中的基本假设： 1、连续性假设： 物体是连续的 2、均匀性假设： 物体由同一材料组成 3、各向同性假设： 物体各个方向的性能相同 4、物体是完全弹性的 （符合上述4个条件的称为理想弹性体） 5、位移和形变是微小的。