探究与发现为什么截口曲线是椭圆
为什么截口是椭圆 PPT
请使用准备的材料想办法“创造”出一个椭圆：
第一小组：一条绳子、两个图钉、一只笔； 第二小组：一个装了一定体积的水的密闭透 明的圆锥形玻璃容器； 第三小组：一个从卷纸内部取下来的圆柱形 纸筒、一把小刀； 第四小组：一个小球和一只手电筒。
2 知识与技能
截口曲线 为什么是椭圆
旦德林 （Germinal Pierre Dandelin ， 1794～1847）
PF1 PF2 PF1 PF2 F1F2
角度可以任意吗
阿波罗尼奥斯 （ Apollonius of PergaR
MN
AM AN
AF1 AF2
R tan
2
tan
sin
2
5 小结：
这堂课你有什么收获？
6 作业：
阿波罗尼奥斯（Apollonius of Perga，约公元前262 ～190年）是与欧几里得、阿基米德齐名的古希腊数学家 ，在他的著作《圆锥曲线论》几乎将圆锥曲线的性质网罗 殆尽.从而产生“圆锥曲线”一词，请查阅与此相关的数学 文化资料.
谢谢!
双球证明法
3 思维与表达
预备知识：
过球外任意一点做球的两条切线，则切线长相等
证明：过P做PA, PB与圆相切， 切点为A, B。 由PO PO,OA OB r, OA PA,OB PB， 可得:RtPAO RtPBO, 所以PA PB。 即过球外任意一点做球的两条切线，则切线长相等。
设A为截口曲线上任意一点， 过点A作圆锥的母线， 分别与两个球相切于点C, B， 设两球与截面的切点为E, F。 由预备知识可知，AE AC, AF AB， 于是AE AF AB AC BC（定值）。 即截口曲线上任意一点到两个定点的距离之和为定值。
2022年高中数学新人教版A版精品教案《探究与发现 为什么截口曲线是椭圆》7
为什么截口曲线是椭圆一、教学内容解析：圆锥曲线作为高中数学的一个重要内容，是历年高考的必考点，同时它也是高中数学各骨干知识的交汇点，与函数、平面向量、方程、不等式、三角函数等均有紧密联系。
而?为什么截口曲线是椭圆?虽是课后的探究与思考，但是在历年高考及各种习题中屡次出现考察立体几何与平面几何交汇的题型，其实质考察的就是对圆锥曲线的认识。
我们很多学生只是知道椭圆、双曲线、抛物线这一章节叫做圆锥曲线，却没有从真正意义上去了解为什么它们叫圆锥曲线。
今天这节课就是想通过一系列的探究与实物及动画演示，让学生真正明白圆锥曲线的意义，也为今后的立体几何与平面几何交汇的题型打下根底。
二、教学目标：1了解椭圆的截面定义，理解椭圆是圆锥曲线的一种。
的证明过程，通过猜测类比归纳解决平面与圆锥的截口曲线问题。
3 应用截口曲线的结论解决相关问题,强化对截口曲线结论的理解，培养思维的深刻性、创造性、科学性，提高学生分析、解决问题的能力；通过对问题的不断引申，精心设计，引导学生学习解题的方法及联想、类比、猜测、证明等合情推理方法。
4借助多媒体及实物辅助教学，激发学生学习数学的兴趣。
在课堂教学气氛中，努力培养学生敢想、敢说、敢于探究发现创新的精神。
三、学生学情分析：对于高二的学生，对圆锥曲线的定义已有一定的理解，能解决一些根底的题型。
但是在立体几何与平面几何的交汇题型上相对还是比拟不熟悉，希望通过今天的探究学生能掌握一定的结论，恰当地使用结论，那么这种题型定可以以简驭繁。
四、教学策略分析：由于这局部知识较为抽象，难以理解，如果离开感性认识，学生很容易陷入困境，降低学习激情。
在教学中，我先通过生活现象引起学生兴趣，再通过复原数学家Dandein发现证明的现场，小组讨论，多媒体展示，实物显示等多种教学手段，有意识地引导学生探究发现。
Dandein双球证明应该证明的先是平面与圆锥的问题，但是在学生认知理解上，平面与圆柱的问题更简单一点，所以这节课先对平面与圆柱的问题进行探究发现，再让学生讨论探究发现平面与圆锥的截口曲线问题，做到了由浅入深。
人教A版高中数学选修1-1《二章 圆锥曲线与方程 2.1 椭圆 探究与发现 为什么截口曲线是椭圆》优质课教案_3
普通高中课程标准实验教科书人教A版选修1-1/选修2-1→探究与发现→为什么截口曲线是椭圆【课标分析】1．了解椭圆的实际背景，感受椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。
2．经历从具体情景中抽象出椭圆模型的过程，掌握椭圆的定义、焦点、焦距等基本概念。
3．通过椭圆的学习，进一步体会数形结合的思想。
4．了解椭圆的简单应用。
【教材分析】本章引言首先从欧式几何角度介绍圆锥曲线产生的过程，这样既可使学生经历概念的形成过程，也有利于学生从整体上认识三种圆锥曲线的内在联系；在学习椭圆过程中，体会椭圆与科研、生产以及日常生活的密切关系，使得学生学习椭圆的兴趣提高；通过“探究与发现”，为有兴趣的学生提供了发展空间，在学习举世闻名的Dandelin双球的同时，渗透数学史与数学文化，并让学生了解可以有不同的研究椭圆的方法。
【学情分析】本课是教材“探究与发现”部分内容，为有兴趣的学生提供了发展空间。
此前学生在学习“椭圆及其标准方程”和“椭圆的简单几何性质”的过程中，体会了椭圆与科研、生产以及日常生活的密切关系，具备了学习本课内容的基本知识。
在平时的学习过程中学生已经具备了一定的对问题的观察、思考、交流、类比、归纳等能力，形成了一定的主动探究、合作交流的习惯、严谨治学的态度、勇于探索的学习品质，分析问题和解决问题的能力。
【教学设计】一、源于生活善于发现教师：同学们，椭圆是一种简朴而优美的曲线，在生活中我们很容易捕捉到它，比如大家小时候应该也研究过路灯下球的投影，（配图）这种图形的边界曲线是椭圆吗？学生：是的.教师：这似乎已成为人们的一种常识，当然，这种投影现象，在物理学的观点下看其实就是球的点光源投影模型（配图）.二、类比联想敢于质疑我们之所以将椭圆称为一种圆锥曲线（教材配图），是因为它可以利用平面截圆锥得到，比如这个借口曲线是椭圆吗？（教师可借助道具演示）学生：是的教师：有疑问吗？学生：没有教师：好的，这个结论当然没有问题，这种曲线确实是椭圆；但事实上，包括刚才球的点光源投影模型，大家其实是通过直观感知得到的结论，而数学是一门严谨的学科，这节课我们的主要任务就是证明这类截口曲线确实就是椭圆.三、理清思路选择方法当然，这是一个极具挑战性的问题. 一个新问题是否能够解决，主要还是依赖于我们现有的认知水平，不过思路必须清晰，我们可以从什么角度入手很重要. 我们这个命题是“××是椭圆”，那么我们如何鉴定椭圆呢？学生：（1）解析法：形如()221,,正数且+=≠x y m n m n m n（2）椭圆定义法：定点F 1，F 2，若动点P 满足12+=PF PF 常数（常数大于12F F ）， 则动点P 的轨迹为椭圆，称定点F 1，F 2为椭圆的焦点.教师：首先，平面解析法为我们提供了一种思路，不过我们这个问题是三维立体结构，这种想法很好，但是按照同学们目前的认知水平，我们只能放手；于是，我们就只有椭圆的定义法这条路了，当然，椭圆方程的获得其实也是源于椭圆定义的.四、明确方向 类比推理所以，我们接下来有3个任务：①寻找定点F 1，F 2， ②证明：12+=PF PF 常数， ③验证：常数大于12F F教师：我们的首要任务是“寻找定点F 1，F 2”，这个一个从无到有的问题，如何思考？五、合理猜想 探究思路事实上，我们很多灵感都源于生活，大家对比一下“球的点光源投影模型”和“某类平面截圆锥问题”. （配图）学生（欣喜）：哦，没错，是一致的.球的点光源投影模型中，平面与球的切点在椭圆轴线上，感觉像是我们需要寻找的点.教师：事实上这个点很有意思，随着点光源的移动它不会改变，符合定点特征，具有一般性.学生（兴奋）：是的.教师：虽然我们目前还无法判断，这个点是不是我们需要寻找的目标，但至少我们有一个努力的方向了. 于是，我们通过在椭圆所在平面上方引入一个球得到一个定点，那么另外还需要一个顶点，如何寻找呢？学生：在椭圆所在平面下方引入一个球.教师：很好，当然，相对而言下方的球就要大一点了. 其实大家可以将这个过程通过“光线可逆”的角度来理解.六、数形结合 严谨论证教师：因为光线与上下两个球相切，并且切点的轨迹是所在平面相互平行的两个小圆，所以不妨设两条切点轨迹之间的台体母线长为L （定值），为了更加直观，我们可以将图形作一些旋转并且将局部放大一点. 设切点为F 1，F 2，任意光线AB 与截口曲线交于点P ，P A ，PF 2是球外一点向球引的两条射线，故2=PA PF ；同理，1=PB PF ，所以12+=PF PF AB ，且12<AB F F七、名家简介 体验文化这种方法非常巧妙，但其实灵感源于生活，同学们要有意识地去发现生活中的数学. 当然，这种方法最早是由比利时数学家G ．P ．Dandelin（丹德林）提出，所以这种双球结构我们称为“丹德林双球”.八、举一反三 即境试航例题：如图3，用一个与圆柱的母线斜交的平面截圆柱，得到一条截口曲线，你能仿照上述方法，证明截口曲线也是椭圆吗？教师：这种模型我们在生活中也能轻易捕捉到，比如我们用圆柱形水杯喝水时某一类水平面；圆锥与圆柱虽然是两类不同的几何体，但是从运动变化的角度看，将圆柱上地面退化成一个点，就可以实现两者的转化，刚才这类圆锥截口曲线的证明，我们是通过引入一小一大两个球来实现的，那么现在这个问题呢？学生（兴奋）：把上面的球放大教师：大家试试看！学生：在截面上下均放置一个半径与圆柱底面半径相同的球，设切点为F 1，F 2，任意母线AB 与截口曲线交于点P ，P A ，PF 2是球外一点向球引的两条射线，故2=PA PF ；同理，1=PB PF ，所以12+=PF PF AB ，且12<AB F F .图3九、归纳小结个性学习一种思想（数形结合）：数缺形时少直观，形少数时难入微；一种意识：数学源于生活，生命力的体现；一种体验：Dandelin双球，美妙之处，远不止于此.可以解决任意平面截圆锥所得截口曲线问题（拓展材料）.。
探究与发现为什么截口曲线是椭圆
A （图四）
B
KMA × KMB =负常数
？可还是不明白椭圆为什么被叫做圆锥曲线?
一、复习旧知,创设背景：
我们知道椭圆是生活中常见的图形，是 圆锥曲线中重要的一种。下面我们做这样一 个游戏。 游戏规则：请同学们任选一组工具以最快的 速度得到一个椭圆形. 工具1：一根胡萝卜和一把小刀. 工具2：一个装有颜料水的圆柱形矿泉水瓶. 工具3：一只手电筒.
怎 样的位置关系? MP =MF1与MQ=MF2是否成立？为什么？
P
F1
M
F2
Q
点M在两球外， MP 和MF1与小球相切 MQ和MF2与大球相切
MP =MF1与MQ=MF2 成立
MF1+MF2=MP+MQ =PQ（定值）
四、归纳总结丹迪林（Dandelin）双球模型证明思路
（3）巩固理解空间中点线面的位置关系。
一、复习旧知,创设背景：
问题1: 我们知道椭圆是生活中常见的
图形，是圆锥曲线中重要的一种。那么通过 前面的学习，大家想一想生成椭圆的方法有 哪些？
（1）平面内到两个定点的距离等于定长（大于两 定点间的距离）的点的轨迹是椭圆(如图1)
M
F1
F2
(图1)
|MF1|+|MF2|=定长（大于F1F2）
为什么截口曲线是椭圆
教材版本：人教A版选修2-1 授课教师： 马 万 学 校：同心县回民中学
研究课题：为什么截口曲线是椭圆？
目标要求:
(1）了解椭圆的一些生成法。了解椭圆、双 曲线、抛物线与圆锥的关系，知道椭圆是平面截 圆锥得到的一种截口曲线。
(2) 了解丹迪林（Dandelin）双球证明“截 口曲线是椭圆”的证明思路。
探究二：如图两个球分别与圆锥的侧面相切且与截面分别切
人教版高中数学选修1-1《2.1椭圆探究与发现：为什么截口曲线是椭圆》
球的 切线
E
P
M
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数学人教A版选修1-1 第二章2.1探究与发现
为什么截口曲线是椭圆
情景体验 3
1 2
4
建立数学模型
建立数学模型
建立数学模型
M
P
N
球的切线
自主探究
用一个与圆柱的母线斜交的平面截圆柱， 得到一条截口曲线.证明截口曲线是椭圆.
自主探究
M
P
N
应用
例1、如图AB是 平面的斜线段，A为斜足，若P点在平面内 运动，使得ABP的面积为定值，则动点P的轨迹（） A.圆 B.椭圆 C.一条直线 D.两条平行直线
B A P
例2.一个半径为2的球放在桌面上，一束平行光线与桌 面成30，球在桌面上的投影是什么形状？离心率多少？A1 NhomakorabeaA2
A1
A2
A1 F1
∟ A2
小结
这节课你学到了什么？
小结
这节课你学到了什么？
小结
这节课你学到了什么？
如图是过锥体与椭圆长轴A1 A2的截面，球与长轴A1 A2的切点 是椭圆的焦点F，AA1 A1 A2 .设光线AA1与球相切于点E，AA2 与球相切于点D，且A1 F 等于内切圆的半径也即球的半径，即 A1 E A1F 2, AE AD 6 2 4 1 1 设FA2 x,由三角形面积公式得： （AA1 +A1 A2 +AA2） r AA1 A1 A2 2 2 1 1 (2 x 6 4 x) 2 6 (2 x) 2 2 x 6 A1 A2 8,即2a 8. a 4 c 2 1 A1 F a c 2, c 2, e a 4 2
人教A版高中数学选修1-1《二章 圆锥曲线与方程 2.1 椭圆 探究与发现 为什么截口曲线是椭圆》赛课课件_0
A 直线 B 抛物线 C 椭圆
D 双曲线的 一支
（四）活用迁移
【例1】：用一个与圆柱的母线斜交的平面截圆柱，得 到一条截口曲线，你能仿照探究中的方法，证明截口 曲线也是椭圆吗？
分析：Q PK1 PF1, PK2 PF2, PF1 PF2 PK1 PK2 K1K（2 定值）
在空间中，取直线AD为轴，直线AB与AD相交于A点，其夹角
为 ,围绕AD旋转得到以A为顶点，以AB为母线的圆锥面，任取
平面 ,若它与轴所成的角为 , 则：
（1） ，平面 与圆锥的交线为椭圆； （2） ，平面 与圆锥的交线为抛物线； （3） ，平面与圆锥的交线为双曲线；
（一）引入课题
【问题1】：我们知道，用一个垂直于圆锥的轴的平面截 圆锥，截口曲线（截面与圆锥侧面的交线）是一个圆.如 果改变平面与圆锥轴线的夹角，会得到什么图形？
【问题2】：为什么截口曲线是椭圆呢？有什么方法可以 证明曲线是椭圆？
（二）介绍模型 历史上，许多人从纯几何角度出发 对这个问题进行过研究， 其中数学家丹迪林（Dandelin）的方法非常巧妙，他是怎么做呢？ 在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面、 截面相切.
（四）活用迁移
【练习】： （2008•浙江）如图，AB是平面a的斜线段 ，A为斜足，若点P在平面a内运动，使得△ABP的面积 为定值，则动点P的轨迹是（ ）
A．圆 B．椭圆 C．一条直线 D．两条平行直线
（五）课堂小结
1、课堂小结： 本节课你学到了什么？
2、课后思考： 截口曲线还可以是双曲线，抛物线，同学们能否利用 Dandelin双球证明呢？
人教版高中数学选修1-1
为什么截口曲线是椭圆
（一）引入课题
探究与发现为什么截口曲线是椭圆
P
的距离之和为常数。
由椭圆定义可知，截口曲线是椭圆。
N
小试牛刀
1.∠AOB= 30，AO绕着BO旋转一周，AO形成的曲面是什么图形？
小试牛刀
2.直线AB在平面α，点P在平面α内，若点P到AB的距离为1，则点P的 轨迹是什么图形?
B
A
3.若点P到AB的距离为1，则点P的轨迹是什么图形?
应用拓展
如图，用平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆
问题1：证明截口曲线是椭圆我们有何 方法？ 问题2：如何找到椭圆两个定点位置，如何 说明椭圆上的点到两个定点距离之和是定长 呢？
探究新知
1.双球与截面有两个切点 2.球可以与圆锥以及截面 同时相切 3.发现了一个新圆台，圆台的 母线长相等 4.过球外一点作球的切线，所 有切线长相等
切线长定理：PA=PB （平面几何）过圆外一点引圆的两条切线， 切线长相等。
（立体几何）过球外一点，引球的两条切 线，切线长相等。
M P
N
自主探究，举一反三
由切线长定理可知
PE PM, PN PF
M
PE PF PM PN
PE PF MN(定值）
截口曲线上任意一点P到两定点E、F
B
A.圆 C.一条直线
B.椭圆 D.两条平行直线
AP
ห้องสมุดไป่ตู้纳小结
用一个平面去截圆锥，得到的截口曲线是什么？
4.如图，斜线AB与平面α所成的角为 60 ，B为斜足，平面α上的动点
P满足∠PAB=30,则点P的轨迹是（ ）
A.直线
B. 抛物线
C.椭圆
D.双曲线的一支
应用拓展
5、如图，AB是平面 的斜线段， A为斜足，若点 P 在 平面 内运动，使得 ABP的面积为定值，则动点 P
为什么截口曲线是椭圆
为什么截口曲线是椭圆
椭圆的定义：
与两个顶点F1，F2的连线的距离和为定值（常数）的点的轨迹叫做椭圆。
用一个平面斜截圆锥，得到的截口曲线是椭圆，那么为什么截口曲线是椭圆呢？
历史上，许多人从纯几何角度出发对这个问题进行过研究，其中Germinal Dandelin 的方法非常巧妙。
在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切：与截面分别相切于点E，F；与圆锥的侧面相切的无数的点组成圆o1,o2。
在截口曲线上任取一点A，过点A作圆锥的一条母线，必与圆o1,o2相交于点C，B。
由圆和球的几何性质：
1，圆o外一点p作圆的任意两条外切线，交点为A，B，则pA=pB。
2，球外一点p作球面的任意两条外切线，交点为A，B，则pA=pB。
可以知道：
AE=AC; AF=AB; AE+ AF =AC+AB=BC;
当圆锥一定，截面一定，两个球也一定，那么线段BC的距离一定，在圆台中。
这样截口曲线上任意一点A到两个定点E，F的距离和是常数，
由椭圆的定义知，截口曲线是椭圆。
人教版高中数学选修《探究与发现：为什么截口曲线是椭圆》
B
ABP
的面积为定值，则
A
P
【问题3】 当平行光源变为 “点光源” ，
如图所示照射球体时，
球体在桌面上留下的影子轮廓 是什么形状？ 你能证明吗？
【例题• 变式1】如图，AB是平面α的斜线段， A为斜足，AB与平面α 所成角为60°，点P 在平面α 内运动，满足 ABP=30 ，则 动点P的轨迹是（ A.圆 C.一条直线 ） B.椭圆 D.两条平行直线 A P B
为什么截口曲线是椭圆
探究与发现
上午9点到下午3点，太阳光(视为平行光源)照射放置在 光滑桌面上的球体，请问球体在桌面上的影子轮廓是什么 形状？
【问题1】 在什么情况下，
阳光照射下的球体，
在桌面上留下的影子轮廓，是圆？ 你能证明吗？ 圆的定义： 在同一平面内，到定点 的距离等于定长的点的 集合.
Q
P
F
曲线C
【问题2】
当阳光不垂直于桌面照射时，
球体在桌面上留下的影子轮廓 又是什么形状？
椭圆的定义： 平面内与两个定点E、F 的距离之和等于常数(大 于|EF|)的点的轨迹.
P
F
曲线C
【例题】如图，AB是平面 的斜线段， A为斜足，若点P在平面 内运动， 使得 动点P的轨迹是（ ） A.圆 B.椭圆 C.一条直线 D.两条平行直线
30°
【例题• 变式2】如图，AB是平面α的斜线段， A为斜足，AB与平面α 所成角为θ，若点P在 平面α 内运动，满足ABP =30 ，若动点P的 轨迹为一个椭圆，则角θ 的取值范围是______. 角θ在其他范围内时， 动点P的轨迹又是什么？ A P B
30°
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椭圆练习
1．设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中点，|OM |＝3，则P 点到椭圆左焦点的距离为( )
A ．4
B ．3
C ．2
D ．5
2．已知椭圆的方程为2x 2＋3y 2＝m (m >0)，则此椭圆的离心率为( )
A ．13
B ．33
C ．22
D ．12
3．已知A (－1,0)，B 是圆F ：x 2－2x ＋y 2－11＝0(F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于P ，则动点P 的轨迹方程为( )
A ．x 212＋y 2
11＝1
B ．x 236－y 235＝1
C ．x 23－y 2
2＝1 D ．x 23＋y 2
2＝1
4．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 2
3
＝1的中心和左焦点，若P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为( )
A ．2
B ．3
C ．6
D ．8
5．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1，F 2，离心率为33，过F 2
的直线l 交C 于A ，B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( ) A ．x 23＋y 22＝1 B ．x 23
＋y 2＝1 C ．x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 2
4＝1
6．已知椭圆的方程是x 2a 2＋y 2
25＝1(a >5)，它的两个焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|＝8，弦AB (椭圆上任意两点的线段)过点F 1，则△ABF 2的周长为__________．
7．如图，∠OFB ＝π6，△ABF 的面积为2－3，则以OA 为长半轴，OB 为短半
轴，F 为一个焦点的椭圆方程为__________．
8．已知圆E ：x 2
＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝94经过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点F 1，F 2，与椭圆在第一象限的交点为A ，且F 1，E ，A 三点共线，则该椭圆的方程为________．
9．过椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的左顶点A 且斜率为k 的直线交椭圆C 于另一个
点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F 2，若13<k <12，则椭圆的离心率
的取值范围是__________．。