人教版2022-2023学年第一学期九年级数学第三次月考测试题(附答案)

2022-2023学年第一学期九年级数学第三次月考测试题（附答案）
一、选择题（共40分）
1．下列各曲线是在平面直角坐标系xOy中根据不同的方程绘制而成的，其中是中心对称图形的是（）
A．B．
C．D．
2．点P（2，﹣5）关于原点的对称点的坐标是（）
A．（﹣2，﹣5）B．（2，5）C．（﹣2，5）D．（﹣5，2）3．已知⊙O的半径为3，点M在⊙O上，则OM的长可能是（）
A．2B．3C．4D．5
4．如图所示，在⊙O中＝，∠A＝30°，则∠B＝（）
A．150°B．75°C．60°D．15°
5．平面上一点P与⊙O的点的距离的最小值是2，最大值是8，则⊙O的直径是（）A．6或10B．3或5C．6D．5
6．如图，已知线段OA交⊙O于点B，且OB＝AB，点P是⊙O上的一个动点，那么∠OAP 的最大值是（）
A．90°B．60°C．45°D．30°
7．如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转31°后得到的图形，若点D恰好落在AB 上，且∠AOC的度数为100°，则∠DOB的度数是（）
A．34°B．36°C．38°D．40°
8．下列说法：
①弧长相等的弧是等弧；②三点确定一个圆；③相等的圆心角所对的弧相等；④垂直于
半径的直线是圆的切线；⑤三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等．其中不正确的有（）个．
A．1B．2C．3D．4
9．某数学兴趣小组研究二次函数y＝x2+bx+c的图象时，得出如下四个结论：甲：图象与x轴的一个交点为（1，0）；
乙：图象与x轴的一个交点为（3，0）；
丙：图象与x轴的交点在原点两侧；
丁：图象的对称轴为过点（1，0），且平行于y轴的直线；
若这四个结论中只有一个是不正确的，则该结论是（）
A．甲B．乙C．丙D．丁
10．如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，C为的三等分点（更靠近A点），点P是⊙O上个动点，取弦AP的中点D，则线段CD的最大值为（）
A．2B．C．D．
二、填空题（共24分）
11．已知关于x的方程x2﹣3x﹣m＝0的一个根是1，则m＝．
12．如图，若∠BOD＝140°，则∠BCD＝．
13．在半径为10cm的⊙O中，圆心O到弦AB的距离为6cm，则弦AB的长是cm．14．如图，⊙O上三点A，B，C，半径OC＝1，∠ABC＝30°，⊙O的切线P A交OC延长线于点P，则PC的长为．
15．在等边△ABC中，AB＝5，点D是AB上的定点，点P是BC上的动点，DP绕点D逆时针旋转60°恰好落在AC上，已知BD＝2，则此时DP＝．
16．如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，连接AE，将矩形沿AE翻折，使点B落在CD 边F处，连接AF，在AF上取点O，以O为圆心，OF长为半径作⊙O与AD相切于点P，若AB＝6，BC＝3，则下列结论：①F是CD的中点：②⊙O的半径是2；③AE＝CE，其中正确的是．（写序号）
三、解答题（共86分）
17．解方程：x2﹣2x﹣5＝0．
18．小晗家客厅装有一种三位单极开关，分别控制着A（楼梯）、B（客厅）、C（走廊）三盏灯，在正常情况下，小晗按下任意一个开关均可打开对应的一盏电灯，因刚搬进新房不久，不熟悉情况．
（1）若小晗任意按下一个开关，正好楼梯灯亮的概率是；
（2）若任意按下一个开关后，再按下另两个开关中的一个，则正好客厅灯和走廊灯同时亮的概率是多少？请用树状图或列表法加以说明．
19．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0有两个不相等的实数根，且n+2m＝4，求n 的取值范围．
20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BD平分∠ABC．求作⊙O，使得点O在边AB 上，且⊙O经过B、D两点；并证明AC与⊙O相切．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
21．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°，P是BC边上一点，将△ABP绕点A逆时针旋转50°，点P旋转后的对应点为P′．
（1）画出旋转后的三角形；
（2）连接PP′，若∠BAP＝20°，求∠PP′C的度数；
22．某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价35元，原计划以每桶55元的价格销售，为更好地助力疫情防控，现决定降价销售．已知这种消毒液销售量y（桶）与每桶降价x（元）（0＜x＜20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示：
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）在这次助力疫情防控活动中，该药店仅获利1760元．这种消毒液每桶实际售价多少元？
23．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，过点A作AD平分∠CAB，交⊙O于点D，过点D作DE∥BC交AC的延长线于点E．
（1）依据题意，补全图形；
（2）判断直线DE与⊙O的位置关系并证明；
（3）若AB＝10，BC＝8，求CE的长．
24．如图，△ABC内接于⊙O，弦BD⊥AC，垂足为E，点D、点F关于AC对称，连结AF 并延长交⊙O于点G．
（1）连结OB，求证：∠ABD＝∠OBC；
（2）求证：点F、点G关于BC对称．
25．已知抛物线y＝x2+bx+c的顶点为P，与y轴交于点A，与直线OP交于点B．（1）若点P的横坐标为1，点B的坐标为（3，6）．
①求抛物线的解析式；
②若当m≤x≤3时，y＝x2+bx+c的最小值为2，最大值为6，求m的取值范围；
（2）若点P在第一象限，且P A＝PO，过点P作PD⊥x轴于D，将抛物线y＝x2+bx+c 平移，平移后的抛物线经过点A、D，与x轴的另一个交点为C，试探究四边形OABC的形状，并说明理由．
参考答案
一、选择题（共40分）
1．解：选项A、B、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形，
选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形，
故选：C．
2．解：因为点P（2，﹣5）关于原点的对称点的坐标特点：横纵坐标互为相反数，所以对称点的坐标是（﹣2，5），
故选：C．
3．解：∵点M在⊙O上，⊙O的半径为3，
∴OM＝3，
故选：B．
4．解：∵＝，
∴AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠A＝30°，
∴∠B＝∠C＝×（180°﹣30°）＝75°．
故选：B．
5．解：当点P在圆内时，因为点P与⊙O的点的距离的最小值是2，最大值是8，所以圆的直径为10，
当点P在圆外时，因为点P与⊙O的点的距离的最小值是2，最大值是8，所以圆的直径为6．
故选：A．
6．解：当AP与⊙O相切时，∠OAP有最大值，连接OP，如图，
则OP⊥AP，
∵OB＝AB，
∴OA＝2OP，
∴∠P AO＝30°．
故选：D．
7．解：由题意得，∠AOD＝31°，∠BOC＝31°，又∠AOC＝100°，
∴∠DOB＝100°﹣31°﹣31°＝38°．
故选：C．
8．解：①弧长相等的弧是等弧，故该说法不正确；
②不在同一直线的三点可以确定一个圆，故该说法不正确；
③在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故该说法不正确；
④经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，故该说法不正确；
⑤三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点的距离相等，故该
说法正确．
故选：D．
9．解：若甲、乙成立，
（1+3）÷2＝1，
∴图象的对称轴为过点（1，0），且平行于y轴的直线，图象与x轴的交点在原点右侧，故丁结论正确；
图象与x轴的交点在原点右侧，故丙结论不正确，符合题意．
故选：C．
10．解：如图，连接OD，OC，
∵AD＝DP，
∴OD⊥P A，
∴∠ADO＝90°，
∴点D的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，AC，当点D在CK的延长线上时，CD的值最大，
∵C为的三等分点，
∴∠AOC＝60°，
∴△AOC是等边三角形，
∴CK⊥OA，
在Rt△OCK中，∵∠COA＝60°，OC＝2，OK＝1，
∴CK＝＝，
∵DK＝OA＝1，
∴CD＝+1，
∴CD的最大值为+1，
故选：D．
二、填空题（共24分）
11．解：把x＝1代入方程可得：1﹣3﹣m＝0，
解得m＝﹣2．
故答案为：﹣2．
12．解：由圆周角定理得，∠A＝∠BOD＝70°，∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠BCD＝180°﹣∠A＝110°，
故答案为：110°．
13．解：连接OB．
在Rt△ODB中，OD＝6cm，OB＝10cm．
由勾股定理得
BD＝＝＝8．
∴AB＝2BD＝2×8＝16cm．
14．解：连接OA，
∵AP是⊙O的切线，
∴OA⊥AP，
∵∠ABC＝30°，
∴∠AOP＝2∠ABC＝60°，
∴∠APO＝30°，
∵OA＝OC＝1，
∴OP＝2OA＝2，
∴PC＝OP﹣OC＝1．
故答案为：1．
15．解：如图，连接PP'，过点D作DE⊥BC，
∵DP绕点D逆时针旋转60°，
∴DP＝DP'，∠PDP'＝60°，
∴△DP'P是等边三角形，
∴DP＝PP'，∠DPP'＝60°，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠A＝∠B＝∠C＝60°，
∵∠BPP'＝∠C+∠PP'C＝∠BPD+∠DPP'，
∴∠PP'C＝∠BPD，且DP＝PP'，∠B＝∠C，
∴△BDP≌△CPP'（AAS）
∴BD＝CP＝2，
∴BP＝3，
∵∠B＝60°，BD＝2，DE⊥BC，
∴BE＝1，DE＝BE＝，
∴PE＝2，
∴DP＝＝＝，
故答案为．
16．解：①∵AF是AB翻折而来，
∴AF＝AB＝6，
∵矩形ABCD，则，
∴，∴DF＝CF，
∴F是CD中点；故①正确；
②如图，连接OP，
∵⊙O与AD相切于点P，
∴OP⊥AD，
∵AD⊥DC，
∴OP∥CD，
∴△APO∽△ADF，
∴，
设OP＝OF＝x，则，
解得：x＝2，故②正确；
③∵Rt△ADF中，AF＝6，DF＝3，
∴，
∴∠DAF＝30°，∠AFD＝60°，
∴∠EAF＝∠EAB＝30°，
∴AE＝2EF；
∵∠AFE＝∠B＝90°，
∴∠EFC＝90°﹣∠AFD＝30°，
∴EF＝2EC，
∴AE＝4CE，故③错误；
故答案为：①②．
三、解答题（共86分）
17．解：x2﹣2x＝5，
x2﹣2x+1＝6，
（x﹣1）2＝6，
x﹣1＝±，
所以x1＝1+，x2＝1﹣．
18．解：（1）∵小晗家客厅里装有一种三位单极开关，分别控制着A（楼梯）、B（客厅）、C（走廊）三盏电灯，
∴小晗任意按下一个开关，正好楼梯灯亮的概率是：；
（2）画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，正好客厅灯和走廊灯同时亮的有2种情况，
∴正好客厅灯和走廊灯同时亮的概率是：＝．
19．解：根据题意得Δ＝（﹣2）2﹣4×（﹣m）＞0，
解得m＞﹣1．
∵n+2m＝4，
∴m＝＞﹣1，
解得n＜6，
即n的取值范围为n＜6．
20．解：如图，⊙O为所作．
证明：连接OD，如图，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠ABD，
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB，
∴∠CBD＝∠ODB，
∴OD∥BC，
∴∠ODA＝∠ACB，
又∠ACB＝90°，
∴∠ODA＝90°，
即OD⊥AC，
∵点D是半径OD的外端点，
∴AC与⊙O相切．
21．解：（1）旋转后的三角形ACP'如图所示：
（2）由旋转可得，∠P AP'＝∠BAC＝50°，AP＝AP'，△ABP≌△ACP'，
∴∠APP'＝∠AP'P＝65°，∠AP'C＝∠APB，
∵∠BAC＝50°，AB＝AC，
∴∠B＝65°，
又∵∠BAP＝20°，
∴∠APB＝95°＝∠AP'C，
∴∠PP'C＝∠AP'C﹣∠AP'P＝95°﹣65°＝30°．
22．解：（1）设y与x之间的函数关系式为：y＝kx+b，
将点（1，110）、（3，130）代入一次函数关系式得：，解得：，
故函数的关系式为：y＝10x+100（0＜x＜20）；
（2）由题意得：（10x+100）×（55﹣x﹣35）＝1760，
整理，得x2﹣10x﹣24＝0．
解得x1＝12，x2＝﹣2（舍去）．
所以55﹣x＝43．
答：这种消毒液每桶实际售价43元．
23．解：（1）如图1即为补全的图形．
（2）直线DE是⊙O的切线．
理由如下：
证明：如图2，连接OD，交BC于F．∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD．
∴．
∴OD⊥BC于F．
∵DE∥BC，
∴OD⊥DE于D．
∴直线DE是⊙O的切线．
（3）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°．
∵AB＝10，BC＝8，
∴AC＝6．
∵∠BFO＝∠ACB＝90°，
∴OD∥AC．
∵O是AB中点，
∴OF＝＝3．
∵OD＝＝5，
∴DF＝2．
∵DE∥BC，OD∥AC，
∴四边形CFDE是平行四边形．
∵∠ODE＝90°，
∴平行四边形CFDE是矩形．
∴CE＝DF＝2．
答：CE的长为2．
24．证明：（1）连接OC，
∵BD⊥AC，
∴∠AEB＝90°，
∴∠EAB+∠ABE＝90°，
∵，
∴∠BOC＝2∠BAC，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∵∠OBC+∠OCB+∠BOC＝180°，
∴2∠OBC+2∠BAC＝180°，
∴∠OBC+∠BAC＝90°，
∴∠OBC＝∠ABE，
即∠OBC＝∠ABD，
（2）连接BG，AD，GC，AG交BC于点H，
∵点D，F关于AC对称，
∴EF＝ED，
∵BD⊥AC，
∴∠AEF＝∠AED＝90°，
又∵AE＝AE，
∴△AEF≌△AED（SAS），
∴∠EAF＝∠EAD，∠AFE＝∠ADE，即∠GAC＝∠DAC，
∵，
∴∠DAC＝∠DBC，
∵，
∴∠GAC＝∠GBC，
∴∠DBC＝∠GBC，
∵
∴∠ADB＝∠BGA，
∵∠AFD＝∠BFG，
∴∠BFG＝∠AGB，
∴△BHF≌△BHG（AAS），
∴FH＝GH，∠BHF＝∠BHG＝90°，
∴点F，点G关于BC对称．
25．解：（1）①∵抛物线y＝x2+bx+c的顶点P的横坐标为1，∴﹣＝1，
解得：b＝﹣2．
∴y＝x2﹣2x+c，
∵抛物线y＝x2﹣2x+c经过点B（3，6），
∴6＝32﹣2×3+c，
解得：c＝3．
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x+3；
②由y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2知，P（1，2）．
∴点（3，6）关于对称轴x＝1的对称点B′的坐标为（﹣1，6），如图1，∵当m≤x≤3时，y＝x2+bx+c的最小值为2，最大值为6，
∴﹣1≤m≤1；
（2）如图2，由P A＝PO，OA＝c，可得PD＝．
∵抛物线y＝x2+bx+c的顶点坐标为P（﹣，），
∴＝．
∴b2＝2c．
∴抛物线y＝x2+bx+b2，A（0，b2），P（﹣b，b2），D（﹣b，0）．可得直线OP的解析式为y＝﹣bx．
∵点B是抛物线y＝x2+bx+b2与直线y＝﹣bx的图象的交点，
令﹣bx＝x2+bx+b2．
解得x1＝﹣b，x2＝﹣．
可得点B的坐标为（﹣b，b2）．
由平移后的抛物线经过点A，可设平移后的抛物线解析式为y＝x2+mx+b2．将点D（﹣b，0）的坐标代入y＝x2+mx+b2，得m＝b．
则平移后的抛物线解析式为y＝x2+bx+b2．
令y＝0，即x2+bx+b2＝0．
解得x1＝﹣b，x2＝﹣b．
依题意，点C的坐标为（﹣b，0）．
则BC＝b2．
则BC＝OA．
又∵BC∥OA，
∴四边形OABC是平行四边形．
∵∠AOC＝90°，
∴四边形OABC是矩形．。