辅助角公式(高一必修四新授课)
(完整版)必修4之《辅助角公式》
高一数学期末复习————必修4之《辅助角公式》一.知识点回顾对于形如y=asinx+bcosx 的三角式,可变形如下: y=asinx+bcosx =++++a b x aa b x b a b 222222(sin cos )··。
记a a b 22+=cos θ,ba b 22+=sinθ,则cos cos sin ))y x x x θθθ+=+由此我们得到结论:asinx+bcosx=a b x 22++sin()θ,(*cos ,θ=sin θ=来确定。
通常称式子(*)为辅助角公式,它可以将多个三角式的函数问题,最终化为y=Asin(ϕ+ωx )+k 的形式。
二.训练1.化下列代数式为一个角的三角函数(1)1sin 2αα+; (2cos αα+;(3)sin cos αα- (4)sin()cos()6363ππαα-+-.(5)5sin 12cos αα+ (6)sin cos a x b x +2.函数y =2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3-x -cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6+x (x ∈R)的最小值等于 ( )A .-3B .-2C .-1D .- 53.若函数()(1)cos f x x x =,02x π≤<,则()f x 的最大值为 ( )A .1B .2C 1D 24.(2009安徽卷理)已知函数()cos (0)f x x x ωωω=+>,()y f x =的图像与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π,则()f x 的单调递增区间是( )A.5[,],1212k k k Z ππππ-+∈ B.511[,],1212k k k Z ππππ++∈C.[,],36k k k Z ππππ-+∈ D.2[,],63k k k Z ππππ++∈5. 如果函数y=sin2x+acos2x 的图象关于直线x=-π8对称,那么a= ( )(A )2 (B )-2 (C )1 (D )-1 6.函数y =cos x +cos ⎝⎛⎭⎪⎫x +π3的最大值是________.7.已知向量(cos(),1)3a x π=+r ,1(cos(),)32b x π=+-r , (sin(),0)3c x π=+r ,求函数()h x =2a b b c ⋅-⋅+r r r r 的最大值及相应的x 的值. (本题中可以选用的公式有21cos 21cos ,sin cos sin 222a αααα+==)。
高中数学必修四-二倍角公式及辅助角公式
二倍角公式及辅助角公式知识集结知识元辅助角公式的简单应用知识讲解辅助角公式一、辅助角公式及其应用函数可化为其中,,,此公式称为辅助角公式,通过辅助角公式可以将函数化为标准型的形式,从而解决许多相关问题,比如值域、最值、对称性、单调区间和周期等.二、公式汇编1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式(1);(2);(3);(4);(5);(6).2、正弦、余弦和正切的二倍角公式(1);(2);(3).3、辅助角公式.例题精讲辅助角公式的简单应用例1.函数图象的一个对称中心为()A.B.C.(0,0)D.例2.已知函数的图象关于直线对称,若f(x1)f(x2)=-4,则|x1-x2|的最小值为()A.B.C.4D.例3.函数f(x)=sin2x+cos2x的对称中心坐标为()A.(+,0)(k∈Z)B.(+,0)(k∈Z)C.(+kπ,0)(k∈Z)D.(+kπ,0)(k∈Z)利用二倍角公式求非特殊角的三角函数值知识讲解二倍角的正弦、余弦和正切公式二倍角公式及其推导1、正弦二倍角公式推导∵,由角的任意性可将上式中的用替换:,化简得:,此公式称为正弦的二倍角公式,记作.2、余弦二倍角公式的推导∵,由角的任意性可将上式中的用替换:,又∵,,∴,此公式称为余弦的二倍角公式,记作.3、正切二倍角公式的推导∵,由角的任意性可将上式中的用替换:,此公式称为正切的二倍角公式,记作.二倍角公式的注意事项:1、在公式、和中,当时,就可以得到公式、和.在公式和中,角没有限制,在公式中,只有当时,公式才成立.2、二倍角公式不仅可用于的2倍情况,还可以运用于诸如将作为的2倍,将作为的二倍等.例如:.3、在一般情况下,,如.当且仅当时,才成立.同样,一般情况下,,.例题精讲利用二倍角公式求非特殊角的三角函数值例1.若sin66°=m,则cos12°=()A.B.C.D.例2.(sin15°+cos15°)2的值为()A.B.C.D.例3.已知,则=()A.B.1C.2D.利用二倍角公式进行化简知识讲解1.二倍角的三角函数【二倍角的三角函数】二倍角的正弦其实属于正弦函数和差化积里面的一个特例,即α=β的一种特例,其公式为:sin2α=2sinα•cosα;其可拓展为1+sin2α=(sinα+cosα)2.二倍角的余弦其实属于余弦函数和差化积里面的一个特例,即α=β的一种特例,其公式为:cos2α=cos2α﹣sin2α=2cos2α﹣1=1﹣2sin2α.二倍角的正切其实属于正切函数和差化积里面的一个特例,即α=β的一种特例,其公式为:tan2α=.对于这个公式要求是能够正确的运用其求值化简即可.例题精讲利用二倍角公式进行化简例1.若,α是第二象限的角,则的值为()A.B.2C.4D.-4例2.cos15°∙cos75°=()A.B.C.D.例3.已知tan A=2,则=()A.B.C.3D.5利用二倍角公式进行给值求值运算知识讲解1.二倍角的三角函数【二倍角的三角函数】二倍角的正弦其实属于正弦函数和差化积里面的一个特例,即α=β的一种特例,其公式为:sin2α=2sinα•cosα;其可拓展为1+sin2α=(sinα+cosα)2.二倍角的余弦其实属于余弦函数和差化积里面的一个特例,即α=β的一种特例,其公式为:cos2α=cos2α﹣sin2α=2cos2α﹣1=1﹣2sin2α.二倍角的正切其实属于正切函数和差化积里面的一个特例,即α=β的一种特例,其公式为:tan2α=.对于这个公式要求是能够正确的运用其求值化简即可.例题精讲利用二倍角公式进行给值求值运算例1.若4cosα+1=0(0<α<π),则sin2α=()A.B.C.D.例2.已知,则tan2θ=()A.B.C.D.例3.在△ABC中,若,则sin2A的值为()A.B.C.D.利用半角公式求值知识讲解一、半角公式及其推导1、正弦半角公式由二倍角公式得.2、余弦半角公式由二倍角公式得.3、正切半角公式由正弦半角公式和余弦半角公式得,∴,∴.综上:.半角公式说明:1、和中的角是任意角,中的角要求.要注意半角是相对的,不能认为才是半角,比如是的半角,是的半角等.2、半角公式的结构特点:上述半角公式中由于含有根式,因此也成为半角公式无理式.其特点是用表示、和.可以将半角公式看作倍角公式的变形.3、正负号的选取:它取决于、和的正负,而不是取决于的正负,取正负号的关键是判断出角终边所在的象限,从而确定、和的符号,当角的范围不明确时,需要在根号前保留正负号.例题精讲利用半角公式求值例1.已知cosα=,α∈(),则cos等于()A.B.-C.D.-例2.如果|cosθ|=,<θ<4π,那么cos的值等于()A.B.-C.D.-例3.已知α是第二象限角,且3sinα+4cosα=0,则tan=()A.2B.C.-2D.-降幂升角公式的简单应用知识讲解降幂升角公式及其推导1、升角公式由得.2、降幂升角公式由得;由得.例题精讲降幂升角公式的简单应用例1.已知tan A=2,则=()A.B.C.3D.5例2.cos475°-sin475°的值为()A.-B.C.-D.例3.已知tanα=3,则=()A.2B.-2C.3D.-3三角函数关系式的综合应用知识讲解利用三角函数关系处理综合性问题。
函数辅助角公式
函数辅助角公式好的,以下是为您生成的文章:函数中的辅助角公式,那可是解决很多数学难题的一把“神奇钥匙”!咱先来说说这辅助角公式到底是啥。
辅助角公式是 asinx + bcosx =√(a² + b²)sin(x + φ) ,其中φ 由tanφ = b/a 确定。
听起来有点复杂是不?别担心,咱们通过一些实际的例子就能搞明白。
就拿我之前教过的一个学生小明来说吧。
有一次课堂上,我给他们出了一道题:已知函数f(x) = 2sinx + 2√3cosx ,求其最大值。
小明一开始那是抓耳挠腮,完全没头绪。
我就引导他,咱们不是学了辅助角公式嘛,你试试看。
他试着把 a = 2 ,b = 2√3 代入辅助角公式,先算出√(2² + (2√3)²) = 4 ,然后再算tanφ = 2√3 / 2 = √3 ,得出φ = π/3 。
于是f(x) = 4sin(x + π/3) ,最大值就是 4 。
当他算出答案的那一刻,脸上那惊喜的表情,我到现在都还记得。
这辅助角公式在解决三角函数的化简、求值、求最值等问题时,那可真是大显身手。
比如说,对于形如 y = asinx + bcosx 的函数,通过辅助角公式就能将其化为一个单一的三角函数,从而方便我们研究它的性质。
再比如,在物理中,振动、波动的问题也经常会用到辅助角公式。
就像简谐运动的位移-时间方程,很多时候都需要用辅助角公式来进行化简和分析。
那怎么才能熟练掌握辅助角公式呢?多做题那是必不可少的。
但也不是盲目地做,得先理解透彻公式的原理和推导过程。
比如说,你得明白为啥要提出√(a² + b²) 这个系数,为啥φ 要用tanφ = b/a 来确定。
还有啊,平时得多观察式子的特点,一看到 asinx + bcosx 这种形式,就得马上想到辅助角公式。
就像条件反射一样,形成这种思维习惯。
总之,辅助角公式虽然看起来有点复杂,但只要用心去学,多练习,它就能成为我们解决数学和物理问题的得力助手。
3.2辅助角公式 课件-人教版高中数学必修四
(Ⅱ)求 f (x) 的最大值和最小值。
20
3、已知函数f(x)=2cosx(sinx+cosx). (1)求f( 5) 的值.
4
(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增
区间.
4、已知函数f(x)= sin x cos x cos 2 x-1.
22
2
(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递减区
a2
b2
a sin x a2 b2
b a2
b2
cos x
a2 b2 sin x cos cos x sin
a2 b2 sin(x ) 其中 cos a ,sin
a2 b2
b .
a2 b2
辅助角公式
a sin x b cos x a2 b2 sin(x )
1.利用公式展开
sin( ) 2 sin 2 cos
4
2
2
2.将下面式子化为只含正弦的形式:
2 sin 2 cos sin( )
2
2
4
试一试:
将下面式子化为只含正弦的形式:
(1) 3 sin 1 cos
2
2
(2)sin 3 cos
(3)sin cos
a sin x b cos x
(2).1 sin 2x 3sin2 x 2
针对练习
1、求下列三角函数的最值及最小正周期
12sin x 2 3 cos x; 2 1 sin x 1 cos x; 3 6 cos 2x 2 sin 2x
2
2
2、 已知函数 f (x) sin2 x 2sin x cos x 3cos2 x
另外,由
辅助角公式
公式在必修4的教材中并没有出现专门的一节进行讲解,是因为公式的本质其实就是两角和的正弦公式的逆应用。
在三角函数中,有一种常见而重要的题型,即化a sin θ+b cos θ为一个角的一个三角函数的形式,进而求原函数的周期、值域、单调区间等.为了帮助学生记忆和掌握这种题型的解答方法,总结出公式22sin cos sin()a b a b θθθφ+=++或22sin cos cos()a b a b θθθφ+=+-,让学生在大量的训练和考试中加以记忆和活用.教师引导:P(a,b)总有一个角φ的终边经过点P ,设OP=r=22a b +由三角函数定义可知: 辅助角公式•推导对于一般形式ααcos sin b a +(a 、b 不全为零),如何将表达式化简为只含有正弦的三角比形式? 其中辅助角φ由2222cos sin a a b b a b φφ=+=+ 确定,即辅助角φ(通常02φπ≤≤)的终边经过点P (,)a b------------------我们称上述公式为辅助角公式,其中角φ为辅助角。
其中φ的大小可以由sin φ、cos φ的符P号确定φ的象限,再由tanφ的值求出.或和P(a,b)所在的象限来确定. 由tanφ=ba教师指导题目4将下列各式化为一个角的正弦形式教师总结,批阅。
学案一、知识回顾:两角和与差的正余弦公式:二、新课探究:1、利用和差角公式计算下列各式的值:练习:2、求证:cos2sin()6πααα=+3、将sin cosa xb x+化为一个角的正弦形式。
P(a,b)总有一个角φ的终边经过点P,设由三角函数定义可知:b=a=辅助角公式•推导对于一般形式ααcossin ba+(a、b不全为零),如何将表达式化简为只含有正弦的三角比形式?其中辅助角φ由cos__________sin___________φφ==确定,即辅助角φ(通常02φπ≤≤)的终边经过点P (,)a b------------------我们称上述公式为辅助角公式,其中角φ为辅助角。
高中数学必修4辅助角公式
高中数学必修4辅助角公式
学习高中数学必修4要学会对辅助角的公式进行归纳整理,高中数学必修4辅助角公式有哪些呢?下面是店铺为大家整理的高中数学必修4辅助角公式,希望对大家有所帮助!
高中数学必修4辅助角公式1.两角和差公式 (写的都要记) sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB
sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA ?
cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB
cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB
tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)
tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)
高中数学必修4辅助角公式2.用以上公式可推出下列二倍角公式tan2A=2tanA/[1-(tanA)^2]
cos2a=(cosa)^2-(sina)^2=2(cosa)^2 -1=1-2(sina)^2
(上面这个余弦的很重要)
sin2A=2sinA*cosA
高中数学必修4辅助角公式3.半角的只需记住这个
tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA)
高中数学必修4辅助角公式4.用二倍角中的余弦可推出降幂公式(sinA)^2=(1-cos2A)/2
(cosA)^2=(1+cos2A)/2
高中数学必修4辅助角公式5.用以上降幂公式可推出以下常用的化简公式
1-cosA=sin^(A/2)*2
1-sinA=cos^(A/2)*2。
北师大版高中数学必修四辅助角公式
S=ABBC
=(cosα- 3sinα)sinα 3
学应用数学应用
=sinαcosα- 3sin2α 3
=1sin2α- 3(1-cos2α)
2
6
=1sin2α+ 3cos2α- 3
2
6
6
=1( 3sin2α+1cos2α)- 3
32
2
6
= 1 sin(2α+π)- 3
3
从三角函数的定义出发进行推导
探(2)究由一得所 :出数的以 学函实数验, 关系直,观求所 感S的知求 最大值函 。 数 的 周 期 为 2 π , 最 大 值 为 2 , 最 小 值 为 - 2 。
求函数
的周期,最大值和最小值.
探究二:实例探究 引发思考
整体思想 数形结合 转化思想
从三角函数的定义出发进行推导
cosa a
r a2 b2
a2b2sin(x) (其中,tan b) a
辅助角公式
asixn bco x sa2b2sinx()
(其中tan= b)
a
因为上述公式引入了辅助角 ,所以把 上述公式叫做辅助角公式
学应用数学应用
例1:试将以下各式化为 Asin(x),(A0,) 的形式
⑴ 3sin1cos ⑵ 2sin 6cos
(1)求函数的最大值及取得最大值时x的值的集合.
(2)由得出的函数关系,求S的最大值。 探究一:数学实验 直观感知 整体思想 数形结合 转化思想 波的叠加从数学来看就是三角函数的叠加问题
=2(1sinx+ 3cosx)
2
辅助角公式
辅助角公式Revised on November 25, 2020推导对于f(x)=asinx+bcosx(a>0)型函数,我们可以如此变形,设点(a,b)为某一角φ(-π/2<φ<π/2)终边上的点,则,因此就是所求辅助角公式。
又因为,且-π/2<φ<π/2,所以,于是上述公式还可以写成该公式也可以用余弦来表示(针对b>0的情况),设点(b,a)为某一角θ(-π/2<θ<π/2)终边上的点,则,因此同理,,上式化成若正弦和余弦的系数都是负数,不妨写成f(x)=-asinx-bcosx,则再根据得记忆很多人在利用辅助角公式时,经常忘记反正切到底是b/a还是a/b,导致做题出错。
其实有一个很方便的记忆技巧,就是不管用正弦还是余弦来表示asinx+bcosx,的位置永远是你用来表示函数名称的系数。
例如用正弦来表示asinx+bcosx,则反正切就是b/a(即正弦的系数a在分母)。
如果用余弦来表示,那反正切就要变成a/b(余弦的系数b在分母)。
疑问为什么在推导辅助角公式的时候要令辅助角的取值范围为(-π/2,π/2)其实是在分类讨论a>0或b>0的时候,已经把辅助角的终边限定在一、四象限内了,此时辅助角的范围是(2kπ-π/2,2kπ+π/2)(k是整数)。
而根据三角函数的周期性可知加上2kπ后函数值不变,况且在(-π/2,π/2)内辅助角可以利用反正切表示,使得公式更加简洁明了。
提出者,原名李心兰,字竟芳,号秋纫,别号壬叔。
出身于读书世家,其先祖可上溯至南宋末年汴梁(今)人李伯翼。
生于1811年 1月22日,逝世于1882年12月9日,人,是中国近代着名的数学家、天文学家、力学家和,创立了二次的幂级数展开式。
[1](就是现在的)他研究各种,和对数函数的幂级数展开式,这是李善兰也是19 世纪中国数学界最重大的成就。
[1]在19世纪把西方近代知识翻译为中文的传播工作中﹐李善兰作出了重大贡献。
必修四第三章辅助角公式
作业:
必修四教材 第137页 第13题 (1) (2) (3) (4)
a2 b2
a2 b2
(其中 tan = b ) 一般地,0
a
2
说明:
利用辅助角公式可以将形如 asin x bcosx 的
式子 ,转化为一个角的一种三角函数形式。便于后面 求三角函数的最小正周期、最大(小)值、单调区间 等。
课堂练习: 化简:(1) 2sin 2 cos (2) 2sinx - 6 cos x
( 2 sin cos cos sin )
3
3
2sin
3
思考:2 b cos x 如何化简呢
辅助角公式
asin x bcos x a2 b2 sin(x )
其中 cos a ,sin b .
探究:
1.公式的逆用
sin cos
12 4
cos sin
12 4
sin(
12
)
4
sin
3
3 2
sincos cos sin
4
4
sin( )
4
2.将下面式子化为只含正弦的形式:
2 sin 2 cos
2
2
sin( )
(3)sin 2x cos2x
延伸拓展:
化简: 2 3 sin x cos x 2 cos2 x 1
解:原式 3 sin 2x cos 2x
( 2 3 sin 2x 1 cos 2x)
2
2
( 2 sin2x cos cos2x sin )
6
必修4之《辅助角公式》
高一数学期末复习————必修4之《辅助角公式》一.知识点回顾对于形如y=asinx+bcosx 的三角式,可变形如下: y=asinx+bcosx =++++a b x a a bx b a b222222(sin cos )··。
记a a b22+=cosθ,b a b 22+=sin θ,则cos cos sin ))y x x x θθθ=+=+由此我们得到结论:asinx+bcosx=a b x 22++sin()θ,(*)其中θcos ,θ=sin θ=来确定。
通常称式子(*)为辅助角公式,它可以将多个三角式的函数问题,最终化为y=Asin(ϕ+ωx )+k 的形式。
二.训练1.化下列代数式为一个角的三角函数 (1)1sin 22αα+; (2cos αα+; (3)sin cos αα- (4)sin()cos()6363ππαα-+-. (5)5sin 12cos αα+ (6)sin cos a x b x +2.函数y =2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3-x -cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6+x (x ∈R)的最小值等于 ( )A .-3B .-2C .-1D .- 5 3.若函数()(1)cos f x x x =,02x π≤<,则()f x 的最大值为( )A .1B .2 C1 D2 4.(2009安徽卷理)已知函数()cos (0)f x x x ωωω+>,()y f x =的图像与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π,则()f x 的单调递增区间是( )A.5[,],1212k k k Z ππππ-+∈ B.511[,],1212k k k Z ππππ++∈C.[,],36k k k Z ππππ-+∈D.2[,],63k k k Z ππππ++∈5. 如果函数y=sin2x+acos2x 的图象关于直线x=-π8对称,那么a=( )(A )2 (B )-2 (C )1 (D )-16.函数y =cos x +cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π3的最大值是________.7.已知向量(cos(),1)3ax π=+,1(cos(),)32b x π=+-,(sin(),0)3c x π=+,求函数()h x =2a b b c ⋅-⋅+的最大值及相应的x 的值.(本题中可以选用的公式有21cos 21cos ,sin cos sin 222a αααα+==)仅供个人用于学习、研究;不得用于商业用途。
三角函数 辅助角公式
三角函数辅助角公式三角函数是数学中的一类重要函数,它们与三角形的角度和边长之间存在密切的关系。
辅助角公式是在三角函数中常用的一组公式,可以帮助我们简化计算和推导过程。
本文将以辅助角公式为主题,介绍其定义、性质和应用。
一、辅助角的定义辅助角是指与给定角度的终边相同的角度,但终边位于不同的象限。
例如,对于一个角度为θ的角,它的辅助角可以表示为θ+2kπ或θ+(2k+1)π,其中k为整数。
在三角函数中,我们通常关注的是角度的正弦、余弦和正切值,它们与辅助角之间有着重要的关系。
二、辅助角公式的性质1. 余弦的辅助角公式:cos(θ+π)=-cosθ,cos(θ+2π)=cosθ余弦的辅助角公式告诉我们,将一个角度加上π或2π后,余弦值的符号会改变,但绝对值保持不变。
2. 正弦的辅助角公式:sin(θ+π)=-sinθ,sin(θ+2π)=sinθ正弦的辅助角公式与余弦类似,加上π或2π后,正弦值的符号会改变,绝对值保持不变。
3. 正切的辅助角公式:tan(θ+π)=tanθ,tan(θ+2π)=tanθ正切的辅助角公式告诉我们,加上π或2π后,正切值保持不变。
三、辅助角公式的应用辅助角公式在解决三角函数的计算和证明中起着重要的作用。
下面以几个具体例子来说明其应用。
1. 证明正弦的周期性根据正弦的辅助角公式sin(θ+2π)=sinθ,我们可以证明正弦函数是周期性的。
即正弦值在每增加2π的整数倍时,其值会重复。
2. 计算角度的正弦、余弦和正切值对于给定的角度θ,我们可以使用辅助角公式将角度转化为辅助角,然后利用已知的三角函数值计算出θ的正弦、余弦和正切值。
3. 简化三角函数表达式在计算复杂的三角函数表达式时,辅助角公式可以帮助我们简化计算过程。
通过将角度转化为辅助角,我们可以利用已知的三角函数值来替代未知的三角函数值,从而简化计算。
四、总结辅助角公式是三角函数中的重要工具,它们可以帮助我们简化计算和推导过程。
常用的辅助角公式6个
常用的辅助角公式6个
1、正弦定理:a/sinA=b/sinB=c/sinC,它指出在任一三角形中,每条边长除以它对应的内角的正弦值,所得结果相等。
2、余弦定理:a^2=b^2+c^2-2bc·cosA,它表明在任一三角形中,每条边的平方和减去它们的两倍乘以夹角的余弦值,所得结果相等。
3、勾股定理:a^2+b^2=c^2,它指的是在直角三角形中,两条直角边的平方和等于斜边的平方。
4、比例定理:a/b=c/d,它指出在三角形内,四边按照比例分割,前两边之比等于后两边之比。
5、正多边形内角和定理:多边形内角和=(n-2)·180°,其中n表示多边形的边数。
6、垂直平分线定理:三角形的内角一定可以被其对应的垂直平分线切分为两个相等的角。
必修4辅助角公式
02 辅助角公式的推导过程
利用三角函数的和差化积公式推导
总结词
通过三角函数的和差化积公式,我们可以将复杂的三角函数式转化为单一的三角函数形式,从而简化计算。
详细描述
利用三角函数的和差化积公式,我们可以将两个或多个三角函数的和差形式转化为单一的三角函数形式。例如, 利用正弦和差化积公式,我们可以将表达式$sin(x+alpha)-sin(x)$转化为 $2cos(x+frac{alpha}{2})sin(frac{alpha}{2})$,从而简化计算。
算精度来减小。
近似误差
由于辅助角公式是利用近似值进 行计算的,因此存在近似误差。 这种误差的大小取决于公式的近
似程度和角度的范围。
范围限制误差
由于辅助角公式适用于特定范围 内的角度,因此当角度超出这个 范围时,公式可能不准确,导致
误差。
辅助角公式的适用范围与局限性
适用范围
辅助角公式适用于解决一些特定类型 的三角函数问题,如求三角函数的值、 化简三角函数表达式等。
利用三角函数的倍角公式推导
总结词
通过三角函数的倍角公式,我们可以将一个角的三角函数转化为两个角相等的三 角函数形式,从而简化计算。
详细描述
利用三角函数的倍角公式,我们可以将一个角的三角函数转化为两个角相等的三角 函数形式。例如,利用正弦的倍角公式,我们可以将表达式$sin(2x)$转化为 $2sin(x)cos(x)$,从而简化计算。
03 辅助角公式的应用实例
三角函数图像的变换
辅助角公式在三角函数图像变换中的应用,可以将正弦、余 弦、正切函数等三角函数图像进行平移、伸缩、翻转等变换 ,从而得到新的三角函数图像。
例如,利用辅助角公式可以将正弦函数图像向右平移,得到 余弦函数图像;也可以将正弦函数图像进行伸缩变换,得到 周期不同的三角函数图像。
第35课时 辅助角公式asinα+bcosα
第35课时 辅助角公式sin cos )a b αααϕ+=+一.考纲要求二.知识梳理形如ααcos sin b a +的化简:其中022≠+b a ,)cos (sin cos sin 222222ba b ba ab a b a ++++=+ααααcos cos sin )αϕαϕ=+)αϕ=+其中cos ϕ= ,sin ϕ= . 三.自主研习 1.函数34sin cos 55y x x =+的最大值为 .(必修四P113第14题) 2.求值:sin 50(13tan10)+= .(必修四P121例4) 3.化简:222sin ()sin ()sin 66ππααα-++-= . (必修四P121例3)4.已知存在R α∈,使2sin 42m m αα=++,则实数m 的取值范围是 .(必修四P131 第16题改编)5.已知22sin 2sin cos 3cos y x x x x =+-,则函数的最大值是 .(必修四P132第6题改编)6.已知2sin()4y x x π=++的振幅是 . (必修四P124链接)四.合作探究例1.已知()sin())f x x x θθ=++为偶函数,求θ的值.变式:若()()()sin 22f x x x θθ=+-为奇函数,求θ的值.例2.已知 x x x f 2sin 22sin 3)(-=,(1)求)(x f 的最小正周期和单调递减区间;(2)若⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈3,6ππx ,求)(x f 的最大值及取得最大值时对应的x 的取值.变式:已知向量(sin ,1)m x =-,向量1(3cos ,)2n x =,函数()()f x m n =+·m . (1)求()f x 的最小正周期T ; (2)若方程()0f x t -=在[,]42x ππ∈上有解,求实数t 的取值范围.例3. 将一块圆心角为120°,半径为20 cm 的扇形铁片截成一块矩形,如图,有2种裁法:让矩形一边在扇形的一半径OA 上或让矩形一边与弦AB 平行,请问哪种裁法能得到最大面积的矩形,并求出这个最大值.A ABBMMO O 甲乙五.体验成功已知函数22()sin 2sin cos 3cos 1f x x x x x =-++.(1)证明:当)815,817(ππ--∈x 时,过)(x f 图象上的任两点的直线的斜率恒为负数; (2)设有不相等的实数1x ,),0(2π∈x ,且12()()2f x f x ==,求1x +2x 的值.第35课时 辅助角公式sin cos )a b αααϕ+=+同步训练题一.填空题:1.函数x x y cos 3sin +=的最小正周期等于 . 2.sin 2cos 2y x x =-的单调减区间为 .3.sin1212ππ= .4.已知函数()cos f x x x ωω=+(0ω>),()y f x =的图像与直线2y =的两个相邻交点间的距离等于π,则ω= .5.函数x x x x x f 44cos cos sin 32sin )(-+=的最小值为 .6.函数2sin cos sin 2y x x x =+++的最大值是 .7.设sin14cos14a ︒︒=+,sin16cos16b ︒︒=+,c =,,a b c 的大小关系是 . 8.函数()cos()cos()26f x x x ππ=+⋅+的最小值为 . 二.解答题: 9.已知231cos sin +=+θθ,)4,0(πθ∈, (1)求θ的值;(2)求函数x x x f cos )sin()(+-=θ在],0[π∈x 上的单调递增区间.10.已知函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈-⎪⎭⎫⎝⎛+=2,4,2cos 34sin 2)(2πππx x x x f . (1)求函数)(x f 的最大值和最小值.(2)若不等式2)(<-m x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,4ππx 上恒成立,求实数m 的取值范围.(1)若()f x 的最小正周期为π,求()f x 的单调减区间;(2)若函数()f x 的图象的一条对称轴为3x π=,求ω的值.12.如图,某污水处理厂要在一个矩形污水处理池(ABCD )的池底水平铺设污水净化管道(,Rt FHE H ∆为直角顶点)来处理污水,管道越长,污水净化效果越好.设计要求管道的接口H 是AB 的中点,E ,F 分别落在线段BC ,AD上,已知AB =20米,AD =,记BHE θ∠=.(1) 试将污水净化管道的长度L 表示为θ的函数,并写出定义域; (2)问:当θ取何值时,污水净化效果最好?并求出此时管道的长度.AEF。
必修4 辅助角公式
(2)正切的和差角公式
tan( ) tan tan 1 tan tan
tan( ) tan tan 1 tan tan
1、已知 的值是
tan(
)
2,tan(
5
4
)
1 4
,那么
tan( )
4
解: ( ) ( )
作业:
课本 第137页 第13题 (1) (2) (3) (4)
化 asin x b cos x 为一个角的三角函数形式
asin x bcos x
a2
b2
a
sin x
a2 b2
a
令
cos sin
a2 b2 b
a2 b2
b
cos x
a2 b2
a2 b2 sin x cos cos xsin
4
4
42
2
2.将下面式子化为只含正弦的形式:
2 sin 2 cos sin cos cos sin sin( )
2
2
4
4
4
试一试:
将下面式子化为只含正弦的形式:
(1) 3 sin 1 cos
2
2
(2) sin 3 cos
(3)sin cos
函数,转化为一个角的一种三角函数形式。便于后面 求三角函数的最小正周期、最大(小)值、单调区间 等。
典型例题
已知:函数y 3sin 2x 3 3 cos 2x 1
(1)求此函数的值域和周期; (2)求此函数的单调递增区间; (3)求此函数图象的对称轴; (4)求此函数图象的对称中心;
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两角和与差的正弦、余弦、正切公式的化归
-辅助角公式
教学目标:
知识与技能:熟练利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式化归以及辅助角公式的应用。
过程与方法:讲练结合法
情感、态度及价值观:会用联系变化的观点看待事物,增强解决问题的能力。
教学重点:熟练掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式和辅助角公式的应用。
教学难点:在应用辅助角公式进行化归求值的过程中,涉及两角和与差的正弦、余弦、正切公式的使用。
教学过程:
一、讲解新知:
课本6、化简
解:原式
解:原式
解:原式
知识点讲解:
辅助角公式:
有原式
或原式
其中,叫辅助角。
或
二、当堂训练:
课本6、化简
课本13、化简
答案:课本6、化简原式
课本13、化简原式原式
原式原式
三、课堂小结
四、课后作业。