计算材料学之蒙特卡洛方法论述
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计算材料学之蒙特卡洛方法
一、计算材料学要紧内容
计算材料学涉及材料的各个方面,如不同层次的结构、各种性能等等,因此,有专门多相应的计算方法。在进行材料计算时,首先要依照所要计算的对象、条件、要求等因素选择适当的方法。要想做好选择,必须了解材料计算方法的分类。目前,要紧有两种分类方法:一是按理论模型和方法分类,二是按材料计算的特征空间尺寸(Characteristic space scale)分类。材料的性能在专门大程度上取决于材料的微结构,材料的用途不同,决定其性能的微结构尺度会有专门大的差不。例如,对结构材料来讲,阻碍其力学性能的结构尺度在微米以上,而关于电、光、磁等功能材料来讲可能要小到纳米,甚至是电子结构。因此,计算材料学的研究对象的特征空间尺度从埃到米。时刻是计算材料学的另一个重要的参量。关于不同的研究对象或计算方法,材料计算的时刻尺度可从10-15秒(如分子动力学方法等)到年(如关
下面要紧介绍蒙特卡罗方法:
蒙特卡罗方法:
一、方法的简介
蒙特·卡罗方法(Monte Carlo method),也称统计模拟方法,是二十世纪四十年代中期由于科学技术的进展和电子计算机的发明,而被提出的一种以概率统计理论为指导的一类特不重要的数值计算方法。是指使用随机数(或更常见的伪随机数)来解决专门多计算问题的方法。与它对应的是确定性算法这种方法作为一种独立的方法被提出来,并首先在核武器的试验与研制中得到了应用。蒙特卡罗方法是一种计算方法,但与一般数值计算方法有专门大区不。它是以概率统计理论为基础的一种方法。由于蒙特卡罗方法能够比较逼真地描述事物的特点及物理实验过程,解决一些数值方法难以解决的问题,因而该方法的应用领域日趋广泛。蒙特·卡罗方法在金融工程学,宏观经济学,计算物理学(如粒子输运计算、量子热力学计算、空气动力学计算)等领域应用广泛。
二、方法的思想
当所求解问题是某种随机事件出现的概率,或者是某个随机变量的期望值时,通过某种“实验”的方法,以这种事件出现的频率可能这一随机事件的概率,或者得到那个随机变量的某些数字特征,并将其作为问题的解。
三、方法的工作过程
蒙特卡罗方法的解题过程能够归结为三个要紧步骤:构造或描述概率过程;实现从已知概率分布抽样;建立各种可能量。
蒙特卡罗方法解题过程的三个要紧步骤:
(1)构造或描述概率过程
关于本身就具有随机性质的问题,如粒子输运问题,要紧是正确描述和模拟那个概率过程,关于本来不是随机性质的确定性问题,比如计算定积分,就必须事先构造一个人为的概率过程,它的某些参量正好是所要求问题的解。即要将不具有随机性质的问题转化为随机性质的问题。
(2)实现从已知概率分布抽样
构造了概率模型以后,由于各种概率模型都能够看作是由各种各样的概率分布构成的,因此产生已知概率分布的随机变量(或随机向量),就成为实现蒙特卡罗方法模拟实验的
差不多手段,这也是蒙特卡罗方法被称为随机抽样的缘故。最简单、最差不多、最重要的一个概率分布是(0,1)上的均匀分布(或称矩形分布)。随机数确实是具有这种均匀分布的随机变量。随机数序列确实是具有这种分布的总体的一个简单子样,也确实是一个具有这种分布的相互独立的随机变数序列。产生随机数的问题,确实是从那个分布的抽样问题。在计算机上,能够用物理方法产生随机数,但价格昂贵,不能重复,使用不便。另一种方法是用数学递推公式产生。如此产生的序列,与真正的随机数序列不同,因此称为伪随机数,或伪随机数序列。只是,通过多种统计检验表明,它与真正的随机数,或随机数序列具有相近的性质,因此可把它作为真正的随机数来使用。由已知分布随机抽样有各种方法,与从(0,1)上均匀分布抽样不同,这些方法差不多上借助于随机序列来实现的,也确实是讲,差不多上以产生随机数为前提的。由此可见,随机数是我们实现蒙特卡罗模拟的差不多工具。
(3)建立各种可能量
一般讲来,构造了概率模型并能从中抽样后,即实现模拟实验后,我们就要确定一个随机变量,作为所要求的问题的解,我们称它为无偏可能。建立各种可能量,相当于对模拟实验的结果进行考察和登记,从中得到问题的解。
四、减小方差的各种技巧
显然,当给定置信度α后,误差ε由σ和N决定。要减小ε,或者是增大N,或者是减小方差σ2。在σ固定的情况下,要把精度提高一个数量级,试验次数N需增加两个数量级。因此,单纯增大N不是一个有效的方法。
另一方面,如能减小可能的均方差σ,比如降低一半,那误差就减小一半,这相当于N增大四倍的效果。因此降低方差的各种技巧,引起了人们的普遍注意。后面课程将会介绍一些降低方差的技巧。
五、方法的优势
1、能够比较逼
真地描述具有随机性质的事物的特点及物理实验过程
从那个意义上讲,蒙特卡罗方法能够部分代替物理实验,甚至能够得到物理实验难以得到的结果。用蒙特卡罗方法解决实际问题,能够直接从实际问题本身动身,而不从方程或数学表达式动身。它有直观、形象的特点。
1、受几何条件限制小