小学奥数系统讲义完整版
小学三年级奥数精品讲义1-34讲全
小学三年级奥数精品讲义目录第一讲加减法的巧算（一）第二讲加减法的巧算（二）第三讲乘法的巧算第四讲配对求和第五讲找简单的数列规律第六讲图形的排列规律第七讲数图形第八讲分类枚举第九讲填符号组算式第十讲填数游戏第十一讲算式谜（一）第十二讲算式谜（二）第十三讲火柴棒游戏（一）第十四讲火柴棒游戏（二）第十五讲从数量的变化中找规律第十六讲数阵中的规律第十七讲时间与日期第十八讲推理第十九讲循环第二十讲最大和最小第二十一讲最短路线第二十二讲图形的分与合第二十三讲格点与面积第二十四讲一笔画第二十五讲移多补少与求平均数第二十六讲上楼梯与植树第二十七讲简单的倍数问题第二十八讲年龄问题第二十九讲鸡兔同笼问题第三十讲盈亏问题第三十一讲还原问题第三十二讲周长的计算第三十三讲等量代换第三十四讲一题多解第三十五讲总复习第一讲加减法的巧算森林王国的歌舞比赛进行得既紧张又激烈。
选手们为争夺冠军，都在舞台上发挥着自己的最好水平。
台下的工作人员小熊和小白兔正在统计着最后的得分。
由于他们对每个选手分数的及时通报，台下的观众频频为选手取得的好成绩而热烈鼓掌，同时，观众也带着更浓厚的兴趣边看边猜测谁能拿到冠军。
观众的情绪也影响着两位分数统计者。
只见分数一到小白兔手中，就像变魔术般地得出了答案。
等小熊满头大汗地算出来时，小白兔已欣赏了一阵比赛，结果每次小熊算得结果和小白兔是一样的。
小熊不禁问：“白兔弟弟，你这么快就算出了答案，有什么决窍吗？”小白兔说：“比如2号选手是93、95、98、96、88、89、87、91、93、91，去掉最高分98，去掉最低分87，剩下的都接近90为基准数，超过90的表示成90+‘零头数’，不足90的表示成90－‘零头数’。
于是（93+95+96+88+89+91+93+91）÷8=90+（3+5+6―2―1+1+3+1）÷8=90+2=92。
你可以试一试。
”小熊照着小白兔说的去做，果然既快又对。
(完整版)小学奥数经济问题综合讲义五套(全部含答案)
经济问题 1例1. 某商品按定价的八折出售，仍能获得20％的利润，定价时期望的利润是百分之多少？例2. 某商店进了一批笔记本，按 30％的利润定价.当售出这批笔记本的 80％后，为了尽早销完，商店把这批笔记本按定价的一半出售.问销完后商店实际获得的利润是百分之多少？例3. 有一种商品，甲店进货价比乙店进货价便宜 10％.甲店按 20％的利润来定价，乙店按 15％的利润来定价，甲店的定价比乙店的定价便宜 11.2元.问甲店的进货价是多少元？例4.开明出版社出版的某种书，今年每册书的成本比去年增加 10％，但是仍保持原售价，因此每本利润下降了40％，那么今年这种书的成本在售价中所占的百分比是多少？例5.一批商品，按期望获得 50％的利润来定价.结果只销掉 70％的商品.为尽早销掉剩下的商品，商店决定按定价打折销售.这样所获得的全部利润，是原来的期望利润的82％，问：打了多少折扣？例6.某商品按定价出售，每个可以获得45元钱的利润.现在按定价打85折出售8个，所能获得的利润，与按定价每个减价35元出售12个所能获得的利润一样.问这一商品每个定价是多少元？例7.张先生向商店订购某一商品，共订购60件，每件定价100元.张先生对商店经理说：“如果你肯减价，每件商品每减价1元，我就多订购3件.”商店经理算了一下，如果差价 4％，由于张先生多订购，仍可获得原来一样多的总利润.问这种商品的成本是多少？练习11．某商品按每个5元利润卖出11个的钱，与按每个11元的利润卖出10个的钱一样多。
这种商品的成本是多少元？2．商店进了一批钢笔，用零售价10元卖出20支与用零售价11元卖出15支的利润相同。
问这批钢笔的进货价是每支多少钱？3．租用仓库堆放2吨货物，每月租金6000元，这些货来估计要销售2个月，实际降低了价格，结果1个月就销售完了，由于节省了租金，结算下来，反而多赚1000元。
每千克货物降低了多少元？4．某种蜜瓜大量上市，这几天的价格每天都是前一天的80 %。
小学五年级奥数讲义(60页)
第1讲 巧求周长和面积几何是研究现实世界的空间形式与数量关系的一门科学，是日常生活和进一步学习必不可少的基础和工具。
几何问题非常直观、有趣，但是仍然有的同学对解几何问题的基本方法掌握不好。
之前已经学习了长方形和正方形的周长和面积公式，利用公式可以解决一些简单的标准图形的周长和面积问题，对于一些复杂的不规则图形的周长和面积问题，我们可以采用平移、转化、分割、添补、合并等方法，将问题转化为我们熟悉的、简单的图形问题，从而顺利的解决。
本讲掌握长度与面积的概念和基本计算方法。
学会运用平移、标方向等方法处理某些长度计算问题；运用平移、旋转、对称等方法处理某些面积计算问题。
学海导航巧求周长（三年级秋季） 巧求周长与面积（四年级暑假） 等积变换（四年级春季） 巧求周长与面积（本讲） 直线型面积（一）（五年级秋季） 直线型面积（二）（五年级秋季） 直线型面积（三）（五年级寒假）知识要点周长：围成一个图形的所有边长的总和就是这个图形的周长。
长方形周长公式：()()22a b =+⨯=+⨯长方形长方形周长长宽，记作：C 正方形周长公式：44a =⨯=⨯正方形正方形周长边长，记作：C 方法：公式法、平移线段法、标向法面积：物体的表面或围成的平面图形的大小，叫做它们的面积。
长方形面积公式：a b =⨯=⨯长方形长方形面积长宽，记作：S 正方形面积公式：2a a a =⨯=⨯=正方形正方形面积边长边长，记作：S三角形面积公式：1122a h =⨯⨯=⨯⨯三角形三角形面积底高，记作：S平行四边形面积公式：a h =⨯=⨯平行四边形平行四边形面积底高，记作：S梯形面积公式：()()1122a b h =⨯⨯=⨯+⨯梯形梯形面积上底+下底高，记作：S方法：公式法、割补法（将图形平移、对称、旋转）例题详解【例1】 用若干个边长都是2厘米的平行四边形与三角形（如图所示）拼接成一个大的平行四边形，已知大平行四边形的周长是236厘米，那么平行四边形和三角形各有多少个？【例2】如图，这个多边形任意相邻的两条边都互相垂直。
小学四年级奥数讲义
小学四年级奥数讲义需要牢背的基本概念1、加法中的巧算：加法交换律: a+b =b+a 加法结合律：a+b+c=a+（b+c)减法和加、减混合运算中的巧算：（1）一个数连续减去几个数，等于减去这几个数的和.相反,一个数减去几个数的和，等于连续减去这几个数.即a-b—c=a-(b+c) a—(b+c) =a-b-c（2）在加、减混合运算中,如果算式中没有括号，那么计算时可以带着运算符号“搬家”。
如：a—b+c=a+c—b（3)加、减混合运算中去括号(或添括号）时，如果括号前面是“-”号,那么括号里“—”变“+”，“+”变“-”；如果括号前面是“+"号，那么括号里的符号不变。
如a-(b-c）=a-b+c，a+（b—c)=a+b-c如果两个数的和恰好可以凑成整十、整百、整千……的数，那么其中一个数叫做另一个数的“互补数”。
2、乘法中的巧算：乘法交换律：a×b=b×a乘法结合律：(a×b）×c=a×(b×c）乘法分配律：(a+b)×c=a×c+b×c、（a-b）×c=a×c—b×c3、除法中的巧算：（1）除法交换律：a÷b÷c=a÷c÷b（2）根据“被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数,商不变”的规律，进行巧算。
公式：如果a÷b=c 则 (a×n）÷（b×n）=c （a÷n）÷（b÷n)=cn≠0(3）根据“一个数除以两个因数的积等于一个数连续除以这两个因数”的规律,进行巧算.公式:a÷（b×c)= a÷b÷c(4）根据“一个数除以两个因数的商等于一个数除以第一个因数乘以第二个因数"公式：a÷（b÷c）= a÷b×c（5）除法分配律：(a + b)÷c = a÷c + b÷c a÷c + b÷c=(a + b)÷c4、你知道巧算中有几对好朋友吗？请写出来: 2×5=10 4×25=100 8×125=100016×625=10000 3×37=111 7×11×13=1001 37037×3=10101 5、“头同尾合十”：头×（头+1）×100+尾×尾“尾同头合十":（头×头+尾）×100+尾×尾6、平方差公式： a2-b2=（a+b)×(a—b）7、配对求和，也就是等差数列求和。
小学三年级奥数讲义
小学三年级奥数讲义第一讲找规律（一）事物的发展中存在着规律，只有认真观察事物，找到它们发展变化的规律，才能深入地了解和掌握它们，从而找到解决问题的方法和途径。
在数学竞赛中，常常出现按规律填数的题目，找规律的方法是根据已知数的前后（可上下）之间的联系，找出其中的规律，求得相应的数。
例1.请找出下列各组数排列的规律，并根据规律在括号里填上适当的数。
1) 1，5，9，13，(17)，21，25.2) 3，6，12，24，(48)，96，192.3) 1，4，9，16，25，(36)，49，64，81.4) 2，3，5，8，12，17，(23)，30，38.5) 21，4，16，4，11，4，(9)，(4)。
6) 1，6，5，10，9，14，13，(18)，(17)。
例2.根据下表中数的排列规律，在空格里填上适当的数。
1) (2)2 4 7 51 32 0 73 6 1 2 69 1 7 81 4 1 6 5 9例3.下面每个括号里两个数按一定规律组合，在括号里填上适当的数。
9，13)，(17，5)，(14，8)，(11，16)。
例4.根据前面两个圈里三个数的关系，在第三个圈里的（）里填上适当的数。
20 18 2520 16 () 108 ()练与思考1.找出下面各组数排列的规律，并根据规律在括号里填上合适的数。
1.1.4.3.6.5.(2)。
(7).2.1.4.16.64.(256).3.11.3.8.3.5.3.(10)。
(7).4.1.3.8.21.(55).2.8.1.7.5)。
7.1.4.2)。
10.1.1.9).3.8.7)。
(6.9)。
(10.5)。
(12.13).1.3)。
(5.9)。
(7.13)。
(9.19).4.1.5.6)。
(2.4.5)。
(3.6.9).例1.1×8+1=9.12×8+2=98.123×8+3=987.1234×8+4=9876.×8+5=.×8+6=.xxxxxxx×8+7=xxxxxxx。
最新小学五年级奥数全册讲义(1-30讲)(含详解)【值得拥有】
小学五年级奥数全册讲义第1讲数字迷(一)第2讲数字谜(二)第3讲定义新运算(一)第4讲定义新运算(二)第5讲数的整除性(一)第6讲数的整除性(二)第7讲奇偶性（一）第8讲奇偶性（二）第9讲奇偶性（三）第10讲质数与合数第11讲分解质因数第12讲最大公约数与最小公倍数（一）第13讲最大公约数与最小公倍数（二）第14讲余数问题第15讲孙子问题与逐步约束法第16讲巧算24第17讲位置原则第18讲最大最小第19讲图形的分割与拼接第20讲多边形的面积第21讲用等量代换求面积第22 用割补法求面积第23讲列方程解应用题第24讲行程问题（一）第25讲行程问题（二）第26讲行程问题（三）第27讲逻辑问题（一）第28讲逻辑问题（二）第29讲抽屉原理(一)第30讲抽屉原理(二)第1讲数字谜（一）数字谜的内容在三年级和四年级都讲过，同学们已经掌握了不少方法。
例如用猜想、拼凑、排除、枚举等方法解题。
数字谜涉及的知识多，思考性强，所以很能锻炼我们的思维。
这两讲除了复习巩固学过的知识外，还要讲述数字谜的代数解法及小数的除法竖式问题。
例1 把+，-，×，÷四个运算符号，分别填入下面等式的○内，使等式成立（每个运算符号只准使用一次）：（5○13○7）○（17○9）=12。
分析与解：因为运算结果是整数，在四则运算中只有除法运算可能出现分数，所以应首先确定“÷”的位置。
当“÷”在第一个○内时，因为除数是13，要想得到整数，只有第二个括号内是13的倍数，此时只有下面一种填法，不合题意。
（5÷13-7）×（17+9）。
当“÷”在第二或第四个○内时，运算结果不可能是整数。
当“÷”在第三个○内时，可得下面的填法：（5+13×7）÷（17-9）=12。
例2 将1～9这九个数字分别填入下式中的□中，使等式成立：□□□×□□=□□×□□=5568。
小学奥数讲义
速算与巧算(A)1.37+56+63+442.284+1783.89+91+90+92+88+87+93+92+874.4996+3993+2992+1991+985.1800-90-176-10-246.125⨯13⨯4⨯8⨯25⨯5⨯27.1999+999⨯999 8.321⨯654÷987÷654⨯987÷3219.9999⨯2222+3333⨯333410.1-2+3-4+5-6+…+1991-1992+199311.947+(372-447)-572 12.2997⨯729÷(81⨯81)13.(46+56)⨯(172÷4)+14 14.(91⨯48⨯75)÷(25⨯13⨯16)第一章速算与巧算(B)1.987-178-222-3902.325+46-125+543.567+558+562+555+5634.67⨯12+67⨯35+67⨯52+675.2997⨯729÷(81⨯81)6.456⨯2⨯125⨯25⨯5⨯4⨯87.25⨯32⨯1258.(702-213-414)÷39.999⨯99⨯9 10.21÷9+22÷9+23÷9+24÷9 11.1200÷25 12.1989⨯19901990-1990⨯19891989 13.9999⨯1111+3333⨯6667 14.100+99-98+97-96+…+3-2+1第二章巧填空格(A)1. 8+ 3 44 1-52. 9- 998 3+3. 4 2⨯3 54. 6⨯65. 3 1 7⨯0 06. 2⨯ 67 07. 7⨯62 0 33 78.⨯ 2 189 239.57610. 8340 7 11.7 7770 8 7 12.0 8 13.0 8 14.0 第二章 巧填空格(B)1.在下面算式的空格内,各填上一个合适的数字,使算式成立.a b c d2.在下面的算式空格内,各填入一个合适的数字,使算式成立.,各填入一个合适的数字,使算式成立.3.4.在下面算式的空格内,各填入一个合适的数字,使算式成立.5.在下面的算式的空格内,各填入一个合适的数字,使算式成立.6.在下面的算式的空格内,各填入一个合适的数字,使算式成立.7.在下面的算式的空格内,各填入一个合适的数字,使算式成立.28.在下面的算式的空格内,各填入一个合适的数字,使算式成立.9.在下面的算式的空格内,各填入一个合适的数字,使算式成立.10..11.把下面除法算式中缺少的数字补上.12.把下面除法算式中缺少的数字补上.13.在下面的除法算式的空格内,各填一个合适的数字,使算式成立.14.把下面除法算式缺少的数字补上.第三章趣味算式(A) 1.在下面算式适当的地方添上加号,使算式成立.8 8 8 8 8 8 8 8 =10002.在下面算式中适当的地方添上+、-、 ,使算式成立.9 8 7 6 5 4 3 2 1 =19933.在下面算式合适的地方添上+、-、⨯,使算式成立.3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 =19924.在下面算式合适的地方添上+、-、⨯,使算式成立.1 2 3 4 5 6 7 8=15.在下列算式中合适的地方,添上( ),使等式成立.1+2⨯3+4⨯5+6⨯7+8⨯9=303.6.在下面算式中合适的地方,只添两个加号和两个减号,使算式成立.1 2 3 4 5 6 7 8 9=1007.在+、-、⨯、÷、( )中,挑出合适的符号,填入下面的数字之间,使算式成立.9 8 7 6 5 4 3 2 1=10008.在下面算式中合适的地方, 添上+、-、⨯、÷、( )等运算符号,使算式成立.6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6=19939.在下面的式子里加上( )和[ ],使它们成为正确的等式.217-49⨯8+112÷4-2=89.10.在下列算式中合适的地方,添上+、-、⨯、÷、( )等运算符号,使算式成立.2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2=199311.在下列适当的地方添上括号,使等式成立.1+5⨯3-24÷3-2⨯4-1=0.12.分别用5个1,5个2,……5个9组成等于10的算式.13.在下面算式的合适地方添上( )和[ ],使得结果等于已知数.1+2⨯3+4⨯5+6⨯7+8⨯9=139514.在内填入加、减号,使等式成立.第三章趣味算式(B)1.从“+、-、⨯、÷”中,选出合适的符号,填入下面算式中,使结果等于已知数.(1)9 9 9 9 9=10(2)9 9 9 9 9=11(3)9 9 9 9 9=122.在八个8之间填上适当的运算符号使计算结果得88.8 8 8 8 8 8 8 8=883.从“+、-、⨯、÷、( )”中,选出适当的符号,填入下列各算式,使等于已知数.(1)3 3 3 3 3=5(2)3 3 3 3 3=6(3)3 3 3 3 3=74.在下面算式中合适的地方,添上适当的运算符号及括号,使每个算式成立.(1)1 2 3 4 5 6 7=1(2)1 2 3 4 5 6 7 8=15.从“+、-、⨯、÷、( )”中,选出适当的符号,填入下列算式适当的地方,使结果等于已知数.(1)4444444444444444=1991(2)4444444444444444=19976.在下列等式中的合适地方添上“+、-、⨯”使等式成立.1 2 3 4 5 6 7 8 9=19957.在下面的等式中加上括号,使它们成为正确的算式.(1)5+7⨯8+12÷4-2=102(2)5+7⨯8+12÷4-2=25(3)5+7⨯8+12÷4-2=1208.从“+、-、⨯、÷、( )”中,选取适当的符号,添加到下列算式的合适的地方,使结果等于右侧的数.(1)1 9 9 7 1 9 9 7=1(2)1 9 9 7 1 9 9 7=2(3)1 9 9 7 1 9 9 7=3(4)1 9 9 7 1 9 9 7=4(5)1 9 9 7 1 9 9 7=59.在下面算式的适当地方加上括号,使等式成立.1⨯2+3⨯4+5⨯6+7⨯8=32610.在下面算式合适的地方,添上括号,使得结果等于已知数.1+2⨯3+4⨯5+7⨯6+8⨯9=30311.只添加号或减号于下列算式的合适地方,使结果等于已知数.1 2 3 4 5 6 7 8 9=9012.+、-”符号,使等式成立.(1)1□23□4□56□7□8□9=100(2)1□23□4□5□6□78□9=10013.改动一个符号,使得下列等式成立.(1)1+2+3+4+5+6+7+8+9=100(2)1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+19+20=20014.用4个3和4个7各组成十个分别等于1、2、3…10的算式.第四章图形推理(A)一、填空题1.下图是按照一定规律排列起来的,请按这一规律在“?”处画出适当的图形.2.按照图形的变化规律,在“?”处画出相符的图形.3.在图中找出与众不同的那个图形( ).(1) (2) (3) (4) (5) (6)4.下图看似复杂,实际上只要你找到合适的方法,你就不费吹灰之力就可以解答出来,试试看,好吗?5.请找一找图形的变化规律,在空格处画出恰当的图形.6.图的规律很容易发现,请你在最短的时间内得出答案.7.中选入一幅图填入空格内.？?8.按照下列图形的变化规律,空白处应是什么样的图形.9.按规律填图.如果变成那么应变为10.下面一组图形的阴影变化是有规律的,请根据这个规律把第四幅图的阴影部分画出来.二、解答题11.图中,哪个图形与众不同?(1) (2) (3) (4) (5)??12.有一个立方体,每个面上分别写上数字1、2、3、4、5、6,有3个人从不同的角度观察的结果如下图所示,这个立方体的每一个数字的对面各是什么数字?13.一个正锥体(正四面体)各面分别写着1、2、3、4,把它放在一张雪花格上,如果顺时针方向转一圈,回到原地,各面将是什么数字?14.下面是由几何图形组成的帆船图形,请按照一定的规律,在标序号处画出符合规律的小帆船.第四章 图形推理(B)一、填空1.观察给出图形的变化规律,按照这种规律,在空格中填上应有的图形.2.请观察下图中已有图形的规律,并按这一规律在空白处填出图形.1 2 3 4 5 6 1 34 ① ② ③3.,在空白处填上适当的图形.4.下图的排列规律你发现了吗?请你根据这一规律,把第3幅图填出来.5.下图的变化很多,请你认真仔细地观察,画出第四幅图的答案.6.观察下面这组图形的变化规律,在标号处画出相应的图形.7.下图是由9,但有一个小人没有到位,请你从右面的6个小人中,选一你认为最合适的人选是 号.8.下图是用几何图形组成的小房子,请你根据组成的规律在标号处画出相应的图形.? ①② ③?1 2 3 4 5 69.按规律填图.如果变成那么应变为10.按规律填画图.如果变成那么应变成二、解答题11.在下面图形中找出一个与众不同的.(1) (2) (3) (4) (5)12.依照下面图中所给图形的变化规律,在空格中填图.? ?13.正四面体分别写有1、2、3、4四个数字.现在有三个四面体,请问哪一个和其它两个不同?图(1) 图(2) 图(3)14.“兵”、“马”、“卒”如图所示占“田”字的四个小格,把它们不停的变换位置,第一次上下两排交换,第二次在第一次交换后左右两列交换,第三次再上下两排交换,第四次再左右两列交换……这样交换二十次位置后，“马”在几号小格内?兵 卒 卒 兵车马 马 车第五章 巧求周长(A)一、填空1.下图是一块小麦地,已知条件如图中所示.这块地的周长是 米.2.下图“十”字的横与竖都长6厘米.问“十”间的周长是 厘米.……503.求下图上“凹”形的周长.单位:厘米4.下图是由若干个相等的正方形组成的“土山”两个字,已知每个正方形的边长是3厘米,这两个字的周长分别是 、 厘米.5.下图是由三个相同的长方形纸片组成的一个“5”字,已知长方形长4厘米,宽2厘米,“5”字周长是 厘米.6.下图是一块地,四周都用篱笆围起来,转弯处都是直角.已知西边篱笆长17米,南边篱笆长23米.四周篱笆长 米.7.求下图周长.单位:厘米8.,A 是公园的大门.问:小明从A 门进公园,不重复地沿道路走公园一圈,9.下图是某建设物的设计图,如图所示(单位:米)现根据需要在它周围绕电线一圈,试求需电线多少米?10.用15个边长2厘米的小正方形摆成如下图的形状,求图形周长是多少厘米?23 171 1 1 1 12 33 4 4 360米 A二、解答题11.一个正方形被分成了5个相等的长方形.每个长方形的周长都是40厘米,求正方形的周长是多少厘米?如图所示.12.如图正方形ABCD 的边长为4cm,每边被四等分.求图中所有正方形周长的和.13.把边长分别是5厘米、4厘米、3厘米和2厘米的4个正方形按从大到小的顺序排成一行(如图),排成的图形周长是多少厘米?14.将一张边长为12厘米的正方形纸对折,再将对折后的纸沿它的竖直中线(右图虚纸)剪开,得到三个矩形纸片,其中两个较小的矩形的周长之和是多少厘米?巧求周长(B)一、填空题:1.下图的周长是 厘米.2.右图“凸”字的周长是 厘米.43.下图是一座楼房的平面图,图中用不同字母表示长度不同的各条边.已知b =50米,c =30米,g =10米,这座楼房平面的周长是 米.4.下图是由16个同样大小的正方形组成的,如果这个图形的面积是400平方厘米,那么它的周长是 厘米.5.下图“E ”字周长是 厘米.(单位:厘米)6.下图由5个边长8厘米的小正方形拼成的“T ”字形,它的周长是 厘米.7.,一儿童沿隧道周游一周,他走了多少米?8下图是由10个边长为3厘米的小正方形组成.每个小正方形的顶点恰在另一个正方形的中心,且边相互平行,求这个图形的周长. 单位: 米9.把一块长20厘米,宽12厘米的长方形纸按右下图所示方法一层、二层、三层的摆下去,共要摆十层,摆好后图形周长是 厘米.10.下图是一个零件的平面图,图中每一条最短线段均长5厘米.零件长35厘米,高30厘米,这个零件周长是多少厘米?二、解答题11.下图是一个“干”字形图形.已知两横均由长6厘米,宽1厘米的长方形构成,中间一竖是由长6厘米,宽2厘米的长方形构成,求出“干”字图形的周长是多少厘米?12.在4cm 7cm 的正方形网格(如图)中,所有正方形的周长的和是多少cm ?3013.如下图所示,长方形长4厘米,宽2厘米.现沿其对角线BD 对折得到一几何图形,试求图形阴影部分周长.14.如图,在长方形ABCD 中,EFGH 是正方形.如果AF =10厘米,HC =7厘米,那么长方形ABCD 的周长是 厘米?六、长方形与正方形的面积（A 卷）年级 班 姓名 得分 一、填空1.右图是一幢楼房的平面图形,它的面积是 平方米. (单位:米)2.北京某四合院子正好是个边长10米的正方形,在院子中央修了一条宽2米的“十字形”甬路,如图.这条“十字形”甬路的面积是 平方米?3.右图中有四个正方形,图①的边长是32厘米,图②的边长是图①边长的一半;图③的边长是图②边长的一半;图④的边长是图③边长的一半.(1)图中图①(最大的正方形)的面积是图④(最小的正方形)面积的12 45倍?并说出图④的面积是图①面积的)()(. (2)图中图①的周长是图④的周长的 倍?并说出图④的周长是图①周长的)()(.4.右图中有3个长方形,图①长32厘米,宽16厘米;图②的长、宽分别是图①长、宽的一半;图③的长、宽分别是图②长、宽的一半.(1)图①的面积是图③面积的 倍?并说出图③的面积是图①面积的)()(. (2)图①的周长是图③周长的 倍?并说出图③的周长是图①周长的)()(.5.有大、小两个长方形,对应边的距离均为1厘米,如果两个长方形之间(阴影部分)部分的面积是16平方厘米,且小长方形的长是宽的2倍.求大长方形的面积是小正方形的 倍.6.将边长为24厘米的正方形纸剪成四块同样大小的长方形纸,每块长方形纸的边长是 ,宽是 ;周长是 ;面积是 .7.一个长方形原来的长是12厘米,宽是7厘米.现在把长和宽都减少2厘米,那么面积共减少了 平方厘米?8.长方形花坛四周有一条2米宽的路,这条路的面积是156平方米.该花坛的周长是 米.9.有一个长方形,长与宽各增加8分米,面积增加208平方分米,求原长方形的周长是 分米.10.大正方形中有一个小正方形,两正方形的周长差是8厘米,面积差是20平方厘米.大正方形的边长是 厘米?二、解答题①③②11.把20分米长的线段分成两段,并在每一段上作一正方形(如下图).已知两个正方形的面积差为40平方分米,求每个正方形的面积.12.有一块长方形的玻璃,从长边截去20厘米宽的一块后,剩下的玻璃正好是块正方形,它的周长是160厘米.原来长方形玻璃的周长和面积各是多少?13.有一个机器零件,如图.中间是一个大正方形,边长是6厘米;每边正中向外凸出一个小正方形,边长都是2厘米.(1)这个机器零件的周长是多少? (2)这个机器零件的面积是多少?14.右图中有六个正方形,较小的正方形都由较大的正方形的四边中点连接而成.已知最大的正方形的边长为10cm ,那么最小的正方形的面积等于 2cm .六、长方形与正方形的面积（B 卷）年级 班 姓名 得分 一、填空：1.用四个相同的长方形拼成一个面积为100平方厘米的大正方形(见右图),每个长方形的周长是 厘米.2.将一个正方形划分为9个小长方形,如图,这些小长方形周长的总和是96厘米,这个大正方形的面积是 平方厘米.3.右图的长方形被分割成5个正方形,已知长方形的面积为120平方厘米,长方形的长是 厘米、宽是 厘米.4.右图中有9个小长方形.按其编号1,2,3,4,5号的面积分别是1平方米、2平方米、3平方米、4平方米、5平方米,那么6号长方形的面积是 平方米.20分米5.要砌一个面积是72平方米的长方形猪圈,当以米为长度单位时,长方形的边长都是自然数,这个猪圈的围墙总长最少是 米.6.右图的长方形被分割成大小不等的6个正方形,已知中央的小正方形的面积为1平方厘米,长方形的面积是 平方厘米.7.右图中5个阴影所示的图形都是正方形,所标的数字是邻近线段的长度.那么阴影所示的5个正方形面积之和是 .8.下图大正方形的面积是128平方厘米,阴影部分的总面积是 平方厘米.9.四个一样的长方形和一个小正方形拼成一个大正方形,大小正方形的面积分别为64平方厘米和9平方厘米.长方形的面积是 平方厘米.10.一个长方形,如果宽不变,长增加8米,面积增加72平方米,如长不变,宽减少4米,面积减少48平方米.求原长方形面积是 .二、解答题11.在一块长60米,宽40米的长方形庭院正中央,设计了“丁字形”甬路.已知甬路宽2米,横甬路到两边的距离相等,竖甬路到两边距离也相等.如图. (1)求“丁字形”甬路的周长是多少米?(2)求“丁字形”甬路的面积是多少平方米?12.用同样大小的长方形纸片摆成下图,已知每张小纸片的宽是12厘米,求阴影部分的面积.28 cm13.有两个完全相同的长方形,如果把它们的长连在一起拼成一个新长方形,周长比原一个长方形增加10厘米;如果宽连一起拼成一个新长方形,周长比原一个长方形增加16厘米.求原每个长方形的面积.14.某工厂的一座新厂房建筑在一块边长是25米的正方形场地上,厂房的横竖都宽5米,如图.(1)求工字形新厂房的周长是多少米?(用最简单的方法解答) (2)工字形新厂房的面积是多少平方米?七、和差问题（A 卷）一、填空题1.明明星期天上街买衣服,花75元钱买了一条裤子和一件上衣,已知上衣比裤子贵15元,明明买上衣花 元.2.小梅与张芳今年的年龄和是39岁,小梅比张芳大3岁,张芳今年 岁.3.买一支自动铅笔与一支钢笔共用10元,已知铅笔比钢笔便宜6元,那么买铅笔、钢笔各花 元.4.学校做扫除,张娟和陈芳一共擦玻璃31块,又知张娟比陈芳少擦9块,张娟、陈芳各擦玻璃 块.5.小兰期末考试时语文和数学平均分是96分,数学比语文多4分,问小兰语文 分,数学 分.6.一个两位数是质数(除1与本身外,不能被其它数整除,这样的数叫质数)由两个数字组成,两个数字之和是8,两个数字之差是2,这个数是 .7.今年弟弟16岁,哥哥20岁,当两人的年龄和是52时,弟弟 岁.8.两个水桶共盛水50千克,如果把第一桶里的水倒出6千克,两个水桶中的水就一样多了.第一桶原盛水 千克.9.甲筐里有苹果30千克,乙筐里有桔子若干千克,如果从乙筐里取出12千克桔子,苹果就比桔子多10千克,乙筐原有桔子 千克.10.甲乙两船共载客623人,若甲船增加34人,乙船减少57人,这时两船乘客同样多,甲船原有乘客 人.二、解答题米11.无线电一厂、二厂共有工人864人,为了照顾工人就近上班,从一厂调入二厂32名工人,这样一厂工人数还比二厂多48人,一厂、二厂原来各有工人多少人?12.一部书有上、中、下三册,上册比中册贵5角,中册比下册贵7角,这样的四部书共值340角,上、中、下册各多少角?13.两筐苹果共重90千克,如果从第一筐中取出6千克放入第二筐后,两筐的重量相等,两筐苹果原来各多少千克?14.王老师买回83个球,其中篮球是足球的2倍,足球比排球多5个,这三种球各买了多少个?七、和差问题（B卷）一、填空题1.两个数的和为36,差为22,则较大的数为 ,较小的数为 .2.A、B、C三个数,A加B等于252,B加C等于197,C加A等于149,则A = ,B = ,C = .3.在一个减法算式里,被减数、减数与差三个数的和是388,减数比差大16,则减数等于 .4.哥哥和弟弟共有图书120本,哥哥的图书本数是弟弟的3倍,哥哥有图书本,弟弟有图书本.5.弟弟有图书30本,哥哥有图书90本,哥哥给弟弟本后,哥哥的图书是弟弟的2倍.6.两筐水果共重124千克,第一筐比第二筐多8千克,两筐水果各重千克和千克.7.某工厂去年与今年的平均产值92万元,今年比去年多10万元.今年的产值万元,去年的产值万元.8.三块布共长220米,第二块布长是第一块的3倍,第三块布长是第二块布的2倍,第一块布长米,第二块布长米,第三块布长米.9.有两层书架,共有书173本.从第一层拿走38本书后,第二层的书是第一层的2倍还多6本.则第二层有本书.10.小明和小强共有画片200张,小明的张数比小强的张数的2倍还多20张.则小强有张画片.二、解答题11.两袋盐的重量相等.甲袋取出24千克,乙袋装入28千克,这时乙袋的重量是甲袋重量的3倍.甲袋原有盐多少千克,乙袋原有盐多少千克.12.甲、乙两筐苹果共75千克,从甲筐取出5千克苹果放入乙筐里,甲筐苹果还比乙筐多7千克.甲、乙两筐原各有苹果多少千克?13.张强用270元买了一件外衣、一顶帽子和一双鞋子.外衣比鞋贵140元,买外衣和鞋比帽子多花210元.张强买这双鞋花多少钱?14.有大、小两个水池,大水池里已有水300立方米,小水池里已有水70立方米.现在往两个水池里注入同样多的水后,大水池水量是小水池水量的3倍.问:每个水池注入了多少立方米的水?八、和倍问题（A卷）一、填空题1.小红和妈妈的年龄加在一起是40岁,妈妈年龄是小红年龄的4倍,小红有岁,妈妈有岁.2.生产队养公鸡、母鸡共404只,其中公鸡是母鸡的3倍,公鸡养了只,母鸡养了只.3.小明买大单和小单线共25本,其中大单线的本数比小单线的本数的2倍多4本,大单线的本数有本,小单线的本数有本.4.师傅和徒弟共生产零件190个,师傅生产的个数比徒弟的3倍少10个;师、徒各生产个?5.A、B两人同时从学校出发相背而行,2小时共行48千米,A的速度是B的2倍,A的速度是每小时千米,B的速度是每小时千米.6.一块长方形木板,长是宽的2倍,周长是54厘米.这个长方形木板的面积是平方厘米.7.甲乙两个冷藏库原来共存肉92吨,从甲库运出28吨后,乙库存肉比甲库的4倍少6吨,甲库原来存肉吨,乙库原来存肉吨.8.两个粮仓共存粮2200千克,由乙仓运出210千克,甲仓存的粮食是乙仓的2倍少380千克,甲仓库原来存粮食千克,乙仓库原来存粮食千克.9.小红有30支铅笔,小兰有45支铅笔,小兰给小红支后,小红的支数是小兰的2倍.10.姐姐有320元钱,弟弟有180元钱,弟弟给姐姐钱后,姐姐的钱比弟弟的钱多3倍?二、解答题11.甲乙粮仓共存粮1038吨,如果把甲仓存的粮食放到乙仓9吨,两仓库的粮食就一样多了,甲粮仓原来存粮食吨,乙粮仓原来存粮食吨.12.两个数相除,商3余10,被除数,除数,商的和是163,被除数是 ,除数是 .13.小红铅笔的支数是小明的2倍,她从中拿出15支捐给了希望工程,正好是小红小明支数的总和的一半,小红原有铅笔多少支?14.三个饲养场共养1600头牛,第二饲养场养牛的头数是第一饲养场的2倍,第三饲养场养的头数是第二饲养场的2倍多60头,三个饲养场各养牛多少头?八、和倍问题（B卷）一、填空题1.甲、乙两个粮仓存粮320吨,后来从甲仓运出40吨,给乙仓运进20吨,这时甲仓存粮是乙仓的2倍,两个粮仓原来各存粮分别为吨和吨.2.某校共有学生560人,其中男生比女生的3倍少40人.则男生人,女生人.3.学校买了4个足球和2个排球,共用去了162元.每个足球比每个排球贵3元,每个足球元,每个排球元.4.南京长江大桥比美国纽约大桥长4570米,纽约大桥比我国武汉长江大桥长530米.已知三座桥长10640米,这些桥长分别是米, 米, 米.5.甲筐有梨400个,乙筐有梨240个,现在从两筐取出数目相等的梨,剩下梨的个数,甲筐恰好是乙筐的5倍,甲筐所剩的梨是个,乙筐所剩下的梨是个.6.甲、乙、丙三数之和是100,甲数除以乙数,丙数除以甲数,商都是5,余数都是1,乙数是 .7.今年哥俩的岁数加起来是55岁,曾经有一年,哥哥的岁数与今年弟弟的岁数相同,那时哥哥的岁数恰好是弟弟的2倍,哥哥今年岁.8.三块布共长220米,第二块布长是第一块的3倍,第三块布长是第二块的2倍,第一块布长米.9.有两层书架,共有书173本.从第一层拿走38本书后,第二层的书是第一层的2倍还多6本,则第二层有本书.10.小明和小强共有画片200张,小明的张数比小强的张数的2倍还多20张,则小强有张画片.二、解答题11.三堆苹果共有130个,第二堆的苹果数是第一堆的3倍,第三堆的苹果数是第二堆的2倍多10个,问三堆苹果各有多少个?12.少先队一、二、三中队共植树200棵,二中队植树的棵数是一中队的2倍多5棵,三中队植树的棵数比一、二中队之和多4棵,三个中队各植树多少棵?13.甲、乙、丙三人,甲的年龄是乙的2倍还大3岁,乙的年龄是丙的2倍小2岁,三个人的年龄之和是109岁,分别求出三人的年龄.14.甲、乙、丙、丁四个人一共做了370个零件,如果把甲做的个数加2,乙做的个数减3,丙做的个数乘2,丁做的个数除以2,四个人做的零件个数正好相等,问四个人各做多少个零件?九、差倍问题（A卷）一、填空题1.小明、小红两人集邮,小明的邮票比小红多15张,小明的张数是小红的4倍,小明集邮张,小红集邮张.2.妈妈的年龄比小刚大24岁,今年妈妈的年龄正好是小刚年龄的3倍,今年妈妈岁,小刚岁.3.学农基地种的花生是白薯的16倍,现在已经知道种的花生比白薯多105棵,种花生棵,白薯棵.4.小利的科技书比故事书少16本,故事书是科技书的3倍,小利有科技书本,故事书本.5.甲、乙两个数,如果甲数加上50,就等于乙数,如果乙数加上350就等于甲数的3倍,问甲 ,乙 .6.小明、小丽做题,如果小明再做4道就和小丽做的一样多,如果小丽再做6道就是小明的3倍,小明做道题,小丽做道题.7.仓库存有面粉和大米,已知面粉比大米多4500千克,面粉的斤数比大米的3倍多700千克,大米千克,面粉千克.8.两筐重量相等的苹果,从甲筐取出7千克,乙筐加上19千克,这时乙筐的重量是甲筐重量的3倍,原来两筐各有苹果千克、千克.9.AB两人所存的钱数相等,A要买一件商品,向B借了120元,这时A的钱数正好是B的4倍,A有元,B有元.10.某班原有男生比女生多10人,如果女生转走5人,那么男生人数正好是女生人数的2倍,原有男生人.二、解答题3倍,原有男工多少人?12.某校有排球的个数比足球多50个,如果再买40个排球,排球的个数就是足球的3倍,足球、排球各有多少个?13.小明和小丽数学作业本上的红花,小丽比小明多7朵,如果小明少得2朵,小丽再得3朵,小丽的红花数就是小明的3倍,小明小丽各得多少朵?14.甲有36本课外书,乙有24本课外书,两人捐出同样多的本数后,甲剩下的数是乙剩下本数的3倍,两人各捐出多少本书?九、差倍问题（B卷）一、填空题1.小丽和小荣集邮,小丽邮票的张数是小荣的5倍,如果小丽把自己的邮票给小荣100张,她俩邮票的张数正好相等.小丽和小荣各有张、张.2.启东水泥厂有甲、乙两仓库,各有水泥若干袋,甲仓库存水泥的袋数是乙仓库的3倍,后来从甲仓库运出450袋,从乙仓库运出50袋.这时仓库剩余的袋数相等,甲仓库原有水泥袋,乙仓库原有袋.3.两筐桃的个数相等.如果第一筐卖出150个,第二筐卖出194个,那么剩下的桃第一筐是第二筐的3倍,第一筐有个,第二筐有个.4.甲、乙两人存款若干元,甲存款是乙存款的3倍,如果甲取出240元,乙取出40元,甲、乙存款数正好相等.问甲原有存款元,乙原有存款元.5.小勇和小英各有钱若干元,若小勇给小英24元,二人钱数相等.如果小英给小勇27元,则小勇的钱数就是小英钱数的2倍.问小勇原有元,小英原有元.6.如果甲数加上152等于乙数,如果乙数加上480等于甲数的3倍,问原来甲数 ,乙数 .7.有两根同样长的铅笔,第一根用去14厘米,第二根用去2厘米后,第二根的长度是第一根的3倍,问原有铅笔各厘米.8.两块同样长的布,第一块用去31米,第二块用去19米,结果所余米数,第二块是第一块的4倍,两块布原来各长米.9.哥哥的图书数比弟弟多60本,哥哥的图书本数是弟弟的3倍,则哥哥有图书本,弟弟有图书本.10.父亲现年50岁,女儿现年14岁, 年前,父亲的年龄是女儿年龄的5倍.二、解答题11.甲仓所存面粉是乙仓的3倍,从甲仓运走8500千克,从乙仓运走500千克后,两仓所剩。
北师版小学数学四年级上册奥数讲义(全)【学生版】
BS版小学数学（奥数）讲义数学四年级上册姓名：2020年秋季班~四年级奥数~目录第1讲和倍、差倍问题 (2)第2讲和差问题 (9)第3讲行程问题 (16)第4讲追及问题 (22)第5讲植树问题 (29)第6讲周期问题 (37)第7讲假设法解题 (43)第8讲还原问题 (49)第9讲盈亏问题 (57)第10讲年龄问题 (64)第11讲复合应用题（一） (69)第12讲复合应用题（二） (75)1~四年级奥数~2第1讲和倍、差倍问题【知识要点】1. 和倍问题【含义】已知两个数的和及两数的倍数关系，要求这两个数各是多少，这类应用题叫做和倍问题。
【数量关系】总和÷（几倍＋1）＝较小的数总和－较小的数＝较大的数或较小的数×几倍＝较大的数【解题思路】简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。
2. 差倍问题【含义】已知两个数的差及两数的倍数关系，要求这两个数各是多少，这类应用题叫做差倍问题。
【数量关系】两数的差÷（几倍－1）＝较小的数较小的数＋两数的差＝较大的数或较小的数×几倍＝较大的数【解题思路】简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。
【例题1】果园里有杏树和桃树共248棵，桃树的棵数是杏树的3倍，求杏树、桃树各多少棵？~四年级奥数~练习1：1. 用锡和铝制成的合金是720千克，其中铝的重量是锡的5倍。
铝和锡各用了多少千克？【例题2】甲站原有车52辆，乙站原有车32辆，若每天从甲站开往乙站28辆，从乙站开往甲站24辆，几天后乙站车辆数是甲站的2倍？练习2：1．一块长方形黑板的周长是96分米，长是宽的3倍。
这块黑板的长和宽各是多少分米？3~四年级奥数~4 【例题3】甲乙丙三数之和是170，乙比甲的2倍少4，丙比甲的3倍多6，求三数各是多少？练习3：1．果园里有梨树、桃树和苹果树共1200棵，其中梨树的棵数是苹果树的3倍，桃树的棵数是苹果树的4倍。
求梨树、桃树和苹果树各有多少棵？【例题4】果园里桃树的棵数是杏树的3倍，且桃树比杏树多124棵。
小学三年级奥数讲义
第一讲乘除法数字谜（一）专题简析：解决算式谜题，关键是找准突破口，推理时应注意以下几点：1.认真分析算式中所包含的数量关系，找出隐蔽条件，选择有特征的部分作出局部判断；2.利用列举和筛选相结合的方法，逐步排除不合理的数字；3.试验时，应借助估值的方法，以缩小所求数字的取值范围，达到快速而准确的目的；4.算式谜解出后，要验算一遍。
例1.在下面的方框中填上合适的数字。
分析：由积的末尾是0，可推出第二个因数的个位是5；由第二个因数的个位是5，并结合第一个因数与5相乘的积的情况考虑，可推出第一人个因数的百位是3；由第一个因数为376与积为31□□0，可推出第二个因数的十数上是8。
题中别的数字就容易填了。
练习一第二讲乘除法数字谜（二）例1.下面算式中的a、b、c、d这四个字母各代表什么数字？分析：因为四位数abcd乘9的积是四位数，可知a是1；d和9相乘的积的个位是1，可知d只能是9；因为第二个因数9与第一个因数百位上的数b相乘的积不能进位，所以b只能是0（1已经用过）；再由b＝0，可推知c＝8。
练习二第三讲图形的个数例1.下面图形中有多少个正方形？分析：图中的正方形的个数可以分类数，如由一个小正方形组成的有6×3＝18个，2×2的正方形有5×2＝10个，3×3的正方形有4×1＝4个。
因此图中共有18＋10＋4＝32个正方形。
例2.下图中共有多少个三角形？分析：为了保证不漏数又不重复，我们可以分类来数三角形，然后再把数出的各类三角形的个数相加。
（1）图中共有6个小三角形；（2）由两个小三角形组合的三角形有3个；（3）由三个小三角形组合的三角形有4个；（4）由六个小三角形组合的三角形有1个。
所以共有6＋3＋4＋1＝14个三角形。
练习三1.下图中共有多少个正方形？2.下图中共有多少个正方形？3.下图中共有多少个正方形，多少个三角形？4.下面图中共有多少个三角形？第四讲找出数字的排列规律（一）找规律是我们在生活、学习、工作中经常使用的一种思想方法，在解数学题时人们也常常使用它，下面我们利用找规律的方法来解一些简单的数列问题。
小学三年级奥数讲义全集
--小学三年级奥数讲义全集专题一数图形专题简析：先确定起始点或起始边，数出图形的数量,再依次以后一个点（或边)数出图形的数量。
最后求出它们的和。
例１、数出下面图中有多少条线段?思路：以A点为左端点的线段有:AB、AＣ、AＤ共3条;以Ｂ点为左端点的线段有：BC、BＤ共2条；以C点为左端点的线段有:CD共１条。
所以图中共有线段３+2＋１=6条。
试一试1:数出下图中有( )条线段。
例2、数出下图中有几个角？思路:以AＯ为一边的角有：∠ＡOB、∠AOC、∠AOＤ三个;以BO为一边的角有：∠BOC、∠BOD 两个；以CO为一边的角有：∠CＯD一个。
所以图中共有3+２＋1=6个角。
试一试2：数出下图中有（)个角。
例３数出下面图中共有多少个三角形。
思路:数三角形的个数与数线段、数角的方法相同:以AB为边的三角形有：△ABC、△ABD、△AB Ｅ三个；以AC为边的三角形有：△ACD、△ACE 二个;以AＤ为边的三角形有:△ＡDＥ一个。
所以图中共有三角形3+2＋1＝6个。
试一试３:数出下面图中共有( ）个三角形。
专题二：找规律专题简析：按照一定次序排列起来的一列数,叫做数列。
寻找数列的排列规律,除了从相邻两数的和、差考虑，有时还要从积、商考虑。
例1 在括号内填上合适的数。
（1）：3、６、9、12、（)、（）（２）:1、2、4、7、1１、( )、（ )(3)： 2，6，18,５4，( ),（ )思路:第(１)小题:前一个数加上３就等于后一个数,相邻两个数的差都是3。
所以（）里分别填15和18;(２）第（2)小题：相邻两个数的差依次是1,2,3,4……这样下一个数应为11增加5，所以应填１6;再下一个数应比1６大6,填22。
（3)第(3）小题:后一个数是前一个数的3倍，所以（）里应分别填1６２和４86。
试一试１:先找规律再填数。
（1）2，４，6,8,10,（），（）；（2）1，2，5，10，17，（ ),( );（3)1,5，25,12５，( ），( ）;例２先找出规律,再在括号里填上合适的数。
小学奥数讲义精选教学PPT课件
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五、秒回的人应该很温柔吧，因为一直 在等喜 欢的人 ，也舍 不得让 喜欢的 人等。
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六、多想和你有一个长久的未来，陪你 走完这 一生。 让所有 人祝福 我们， 彼此温 暖，互 不辜负 。
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七、最让人羡慕的，不是被很多人追， 而是遇 见一个 不管怎 样，都 不会放 弃你的 人；纵 然知道 活不会 这么轻 易，但 我希望 你在我 的未来 里，余 生都是 你。
虽然每天按时上下班，和同事做着相 似的工 作，但 只有潮 水退去 的时候 ，才能 知道谁 在裸泳 。
不过五年时间，行业环境影响下，公 司面临 改革， 需要裁 员，高 学历出 身的她 赫然在 列。
彼时才发现，面临初出茅庐的年轻人 ，自己 的体力 和脑力 都已经 拼不过 ，几年 来累积 下来的 阅历和 经验没 有转化 成核心 竞争力 。
七、立体平面展开（二）
七、做立体模型（一）
七、做立体模型（一）
七、做立体模型（一）
七、做立体模型（二）
一、找规律巧填空
找规律填一填。 串珠子，想一想方格里应串上：
(1)( )个黑珠； (2)( )个白珠。
解答：
【详解】：白珠和黑珠的排列规律是： 1个黑珠1个白珠，1个黑珠2个白珠，1个 黑珠3个白珠，……(黑珠始终是1个，白珠 是以1、2、3、4……的规律递增)。所以方 格里应该接着是5个白珠，1个黑珠，6个 白珠，一共1个黑珠，11个白珠。
毕业八年的她被迫重返人才市场，但 彼时的 她与毕 业时相 比毫无 长进， 面试屡 屡碰壁 。
李尚龙曾说：环境影响下，公司面临 改革， 需要裁 员，高 学历出 身的她 赫然在 列。环 境影响 下，公 司面临 改革， 需要裁 员，高 学历出 身的她 赫然在 列。
小学三年级奥数教程讲义
小学三年级奥数教程讲义Newly compiled on November 23, 2020小学三年级奥数教程学校：________________________班次:__________________________姓名：_________________________目录◆第一讲加减法的巧算（一）◆第二讲加减法的巧算（二）◆第三讲乘法的巧算◆第四讲配对求和◆第五讲找简单的数列规律◆第六讲图形的排列规律◆第七讲数图形◆第八讲分类枚举◆第九讲填符号组算式◆第十讲填数游戏◆第十一讲算式谜（一）◆第十二讲算式谜（二）◆第十三讲火柴棒游戏（一）◆第十四讲火柴棒游戏（二）◆第十五讲从数量的变化中找规律◆第十六讲数阵中的规律◆第十七讲时间与日期◆第十八讲推理◆第十九讲循环◆第二十讲最大和最小◆第二十一讲最短路线◆第二十二讲图形的分与合◆第二十三讲格点与面积◆第二十四讲一笔画◆第二十五讲移多补少与求平均数◆第二十六讲上楼梯与植树◆第二十七讲简单的倍数问题◆第二十八讲年龄问题◆第二十九讲鸡兔同笼问题◆第三十讲盈亏问题◆第三十一讲还原问题◆第三十二讲周长的计算◆第三十三讲等量代换◆第三十四讲一题多解◆第三十五讲总复习第一讲加减法的巧算森林王国的歌舞比赛进行得既紧张又激烈。
选手们为争夺冠军，都在舞台上发挥着自己的最好水平。
台下的工作人员小熊和小白兔正在统计着最后的得分。
由于他们对每个选手分数的及时通报，台下的观众频频为选手取得的好成绩而热烈鼓掌，同时，观众也带着更浓厚的兴趣边看边猜测谁能拿到冠军。
观众的情绪也影响着两位分数统计者。
只见分数一到小白兔手中，就像变魔术般地得出了答案。
等小熊满头大汗地算出来时，小白兔已欣赏了一阵比赛，结果每次小熊算得结果和小白兔是一样的。
小熊不禁问：“白兔弟弟，你这么快就算出了答案，有什么决窍吗”小白兔说：“比如2号选手是93、95、98、96、88、89、87、91、93、91，去掉最高分98，去掉最低分87，剩下的都接近90为基准数，超过90的表示成90+‘零头数’，不足90的表示成90－‘零头数’。
(完整word版)三年级奥数讲义定义新运算
定新运算一、知重点定新运算是指运用某种特别符号来表示特定的意，进而解答某些算式的一种运算。
解答定新运算，关是要正确地理解新定的算式含，而后格依照新定的算程序，将数代入，化常的四运算算式行算。
定新运算是一种人的、性的运算形式，它使用的是一些特别的运算符号，如： * 、△、⊙等，是与四运算中的“＋、－、×、÷”不一样的。
新定的算式中有括号的，要先算括号里面的。
但它在没有化前，是不合适于各样运算定律的。
二、精精【例 1】假 a*b=(a+b)+(a-b) ，求 13*5 和 13* （ 5*4 ）。
【思路航】的新运算被定：a*b 等于 a 和 b 两数之和加上两数之差。
里的“ * ”就代表一种新运算。
在定新运算中同定了要13*5=（13+5）+（ 13-5 ） =18+8=26先算小括号里的。
所以，在13*（ 5*4 ）5*4=（5+4） +（5-4 ） =10中，就要先算小括号里的（5*4 ）。
13* （ 5*4 ）=13*10=（ 13+10）+（13-10 ）=26 1：1.将新运算“ *”定： a*b=(a+b) × (a-b). 。
求 27*9 。
2.a*b=a2+2b ，那么求 10*6 和 5* （ 2*8 ）。
3. a*b=3a － b× 1/2 ，求（ 25*12 ） * （ 10*5 ）。
3△(4 △ 6)【例 2】 p、q 是两个数，定： p△q=4× q-(p+q) ÷ 2。
求3△ (4 △ 6) 。
＝3△【 4× 6－（ 4+6）÷ 2】＝3△19【思路航】依据定先算 4△6。
在里“△”是新的运算符号。
＝4×19－（ 3+19）÷ 2＝76－11＝652：1． p、 q 是两个数，定p△ q＝ 4× q－（ p+q）÷ 2，求 5△（ 6△ 4）。
2． p、 q 是两个数，定p△ q＝ p2+（ p－ q）× 2。
小学奥数系统讲义完整版
小学奥数系统讲义完整版1. 前言奥数是指“奥林匹克数学竞赛”，它是指数学界最高水平的比赛之一。
然而，奥数并不仅仅局限于比赛，而是涵盖了许多数学知识和技能。
在小学阶段，适当的奥数训练不仅可以提高孩子们的数学水平，还能培养出他们的逻辑思维和创造力，帮助他们更好的学习和生活。
本小学奥数系统讲义完整版，旨在帮助学生系统全面的掌握小学阶段的奥数知识，以及一些常见的解题技巧和方法，帮助学生更好地应对奥数比赛和学习。
2. 小学奥数知识点2.1 算术2.1.1 四则运算小学阶段的四则运算主要包括加、减、乘、除四种运算，而且因为小学生的基础能力较弱，所以运算题目也较为简单。
当然，针对高年级的小学生，有些加减乘除的题目也会比较复杂。
2.1.2 分数分数也是小学奥数的重点内容，它是由分子和分母组成的，是数学中比较常用的一个概念。
小学生在学习分数时，首先要对分数的概念有一个清晰的认识，而后通过练习掌握分数的加减乘除运算。
2.2 几何2.2.1 基础几何小学阶段的基础几何主要包括平面和立体两个部分，其中平面几何比较基础，主要包括坐标轴、点线面等知识点。
而立体几何则需要学生视角的调整，更直观的感受立体空间。
2.2.2 求图问题求图问题是小学奥数中的难点之一，这一部分内容较为综合，需要学生在掌握基础几何知识的同时，还需要掌握正确的思路和方法。
2.3 逻辑逻辑是小学奥数中的另一个重要部分，它主要包括四种逻辑运算：与、或、非、异或。
掌握逻辑运算是解决奥数问题的关键之一，而且这也是培养学生逻辑思维的有效方法之一。
3. 常见的奥数解题技巧3.1 试错法试错法是小学奥数解题的常见技巧之一，它主要是通过不断的试验和对结果的分析，从而找出问题的正确答案。
这种方法虽然有一定的风险，但是却是求解奥数问题中的常用方法之一。
3.2 推理法推理法是奥数解题中的另一种常用技巧，它主要通过已知条件进行推导，从而得出问题的答案。
这种方法需要学生具备良好的逻辑思维和分析能力，但它也是学生在奥数考试中得高分的重要方式之一。
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第一讲 观察法在解答数学题时，第一步是观察。
观察是基础，是发现问题、解决问题的首要步骤。
小学数学教材，特别重视培养观察力，把培养观察力作为开发与培养学生智力的第一步。
观察法，是通过观察题目中数字的变化规律及位置特点，条件与结论之间的关系，题目的结构特点及图形的特征，从而发现题目中的数量关系，把题目解答出来的一种解题方法。
*例1（适于一年级程度）此题是九年义务教育六年制小学教科书数学第二册，第11页中的一道思考题。
书中除图1-1的图形外没有文字说明。
这道题旨在引导儿童观察、思考，初步培养他们的观察能力。
这时儿童已经学过20以内的加减法，基于他们已有的知识，能够判断本题的意思是：在右边大正方形内的小方格中填入数字后，使大正方形中的每一横行，每一竖列，以及两条对角线上三个数字的和，都等于左边小正方形中的数字18。
实质上，这是一种幻方，或者说是一种方阵。
解：现在通过观察、思考，看小方格中应填入什么数字。
从横中行10+6+□=18会想到，18-10-6=2，在横中行右面的小方格中应填入2（图1-2）。
从竖右列7+2+□=18（图1-2）会想到，18-7-2=9，在竖右列下面的小方格中应填入9（图1-3）。
从正方形对角线上的9+6+□=18（图1-3）会想到，18-9-6=3，在大正方形左上角的小方格中应填入3（图1-4）。
从正方形对角线上的7+6+□=18（图1-3）会想到，18-7-6=5，在大正方形左下角的小方格中应填入5（图1-4）。
从横上行3+□+7=18（图1-4）会想到，18-3-7=8，在横上行中间的小方格中应填入8（图1-5）。
又从横下行5+□+9=18（图1-4）会想到，18-5-9=4，在横下行中间的小方格中应填入4（图1-5）。
图1-5是填完数字后的幻方。
例2 看每一行的前三个数，想一想接下去应该填什么数。
（适于二年级程度）6、16、26、____、____、____、____。
9、18、27、____、____、____、____。
(完整版)小学数学奥数基础教程(六年级)目30讲全
小学奥数基础教程(六年级)第1讲比较分数的大小第2讲巧求分数第3讲分数运算的技巧第4讲循环小数与分数第5讲工程问题(一)第6讲工程问题(二)第7讲巧用单位“1”第8讲比和比例第9讲百分数第10讲商业中的数学第11讲圆与扇形第12讲圆柱与圆锥第13讲立体图形(一)第14讲立体图形(二)第15讲棋盘的覆盖第16讲找规律第17讲操作问题第18讲取整计算第19讲近似值与估算第20讲数值代入法第21讲枚举法第22讲列表法第23讲图解法第24讲时钟问题第25讲时间问题第26讲牛吃草问题第27讲运筹学初步（一）第28讲运筹学初步（二）第29讲运筹学初步（三）第30讲趣题巧解第一讲比较分数的大小同学们从一开始接触数学，就有比较数的大小问题。
比较整数、小数的大小的方法比较简单，而比较分数的大小就不那么简单了，因此也就产生了多种多样的方法。
对于两个不同的分数，有分母相同，分子相同以及分子、分母都不相同三种情况，其中前两种情况判别大小的方法是：分母相同的两个分数，分子大的那个分数比较大；分子相同的两个分数，分母大的那个分数比较小。
第三种情况，即分子、分母都不同的两个分数，通常是采用通分的方法，使它们的分母相同，化为第一种情况，再比较大小。
由于要比较的分数千差万别，所以通分的方法不一定是最简捷的。
下面我们介绍另外几种方法。
1.“通分子”。
当两个已知分数的分母的最小公倍数比较大，而分子的最小公倍数比较小时，可以把它们化成同分子的分数，再比较大小，这种方法比通分的方法简便。
如果我们把课本里的通分称为“通分母”，那么这里讲的方法可以称为“通分子”。
2.化为小数。
这种方法对任意的分数都适用，因此也叫万能方法。
但在比较大小时是否简便，就要看具体情况了。
3.先约分，后比较。
有时已知分数不是最简分数，可以先约分。
4.根据倒数比较大小。
5.若两个真分数的分母与分子的差相等、则分母（子）大的分数较大；若两个假分数的分子与分母的差相等，则分母（子）小的分数较大。
小学奥数系统讲义完整版
小学奥数系统复习讲义(完整版)小学奥数大约80个知识点，可分成5大类，数论和行程是重点也是难点第一部分计算能力万丈高楼平地起，计算能力任何时候都是学好数学的根基，必须高度重视! 基本公式1 .运算顺序第一级：括号：()T T{ }第二级：X+：同一级别可以交换运算次序第三级：+ —: 同一级别可以交换运算次序2. 去括号①a+(b+ c)=a + b + c a+ (b —c)=a + b— c②a—(b+ c)=a — b — c a— (b —c)=a—b+ c③a>(b疋)=a花比a>(b -c)=a以弋④a—b >0)=a —a—b 弋)=a —xc3 .分配律/结合律乘法：a (b + c) = a b+ a>ca>b+ a>c = a (b + c)除法：(a+ b) —= a —+ b—ca—:+ b—c = (a + b)—4 .两个必须掌握的性质两个数的和一定，则两数越相近，积越大5 .几个计算公式__ 2 2 2完全平方和(差)公式：( a±b) = a ±ab+b2 2平方差公式： a -b = (a+b)(a-b)求和公式一：1+2+3+ ....... +n =两个数的积一定，则两数越分散，和越大求和公式二:1 +1 22 +3 2+……n =3 3 3 3求和公式三：1 +2 +3 +……n = __________________________6. 速算巧算基本方法凑整法、改变运算次序法、连续数求和、基准法、分组法、拆分法7. 等差数列，等比数列，【拆分与裂项】，【换元法】，【错位相消法】，【构造法】等较难的计算方法。
拆分裂项公式：等差数列公式：简单等比公式：例题分析1. 393+404+397+398+405+401+400+399+391+4022. 比较下面A,B 两数的大小：A=2009X 2009，B=2008X 20103. 99讣9创x 99 —99 4 199—99结果末尾有多少个零？訐胆，.p “站-1 ?4. 100 + 99+ 98 —97 —96 —95+ ……+ 10+ 9 + 8—7 —6—5+ 4 + 3+ 2 —1巩固练习5. 376 + 385 + 391 + 380 + 377 + 389 + 383 + 374 + 366 + 3786. 1 —50+2 —50+3 —50+50 - 50 2010二二呦10第二部分基础知识基础知识点列表7. 9999999 >2009 7777 >333 出1118. 99*.**.+ 9 乂gg.*・*.*9 + -99*—..* 9 =99Ti9. 比较下面A,B两数的大小:归一问题A =987654321 >23456789;B =987654322 >2345678810. 1996 + 1994 —1992 —1990 + 1988 + 1986 —1984 —1982 + 1980 + 1978—1976 —1974 + 1972 + 1970…… + 4 + 2【含义】在解题时，先求岀一份是多少（即单一量），然后以单一量为标准，求岀所要求的数量。
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第一讲观察法————————————————姚老师数学乐园广安岳池姚文国在解答数学题时，第一步是观察。
观察是基础，是发现问题、解决问题的首要步骤。
小学数学教材，特别重视培养观察力，把培养观察力作为开发与培养学生智力的第一步。
观察法，是通过观察题目中数字的变化规律及位置特点，条件与结论之间的关系，题目的结构特点及图形的特征，从而发现题目中的数量关系，把题目解答出来的一种解题方法。
观察要有次序，要看得仔细、看得真切，在观察中要动脑，要想出道理、找出规律。
*例1（适于一年级程度）此题是九年义务教育六年制小学教科书数学第二册，第11页中的一道思考题。
书中除图1-1的图形外没有文字说明。
这道题旨在引导儿童观察、思考，初步培养他们的观察能力。
这时儿童已经学过20以内的加减法，基于他们已有的知识，能够判断本题的意思是：在右边大正方形内的小方格中填入数字后，使大正方形中的每一横行，每一竖列，以及两条对角线上三个数字的和，都等于左边小正方形中的数字18。
实质上，这是一种幻方，或者说是一种方阵。
解：现在通过观察、思考，看小方格中应填入什么数字。
从横中行10+6+□=18会想到，18-10-6=2，在横中行右面的小方格中应填入2（图1-2）。
从竖右列7+2+□=18（图1-2）会想到，18-7-2=9，在竖右列下面的小方格中应填入9（图1-3）。
从正方形对角线上的9+6+□=18（图1-3）会想到，18-9-6=3，在大正方形左上角的小方格中应填入3（图1-4）。
从正方形对角线上的7+6+□=18（图1-3）会想到，18-7-6=5，在大正方形左下角的小方格中应填入5（图1-4）。
从横上行3+□+7=18（图1-4）会想到，18-3-7=8，在横上行中间的小方格中应填入8（图1-5）。
又从横下行5+□+9=18（图1-4）会想到，18-5-9=4，在横下行中间的小方格中应填入4（图1-5）。
图1-5是填完数字后的幻方。
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小学奥数知识点分类小学奥数大约 80 个知识点，可分成 5 大类，数论和行程是重点也是难点。
求和公式二：12+22+32+……n 2 = 求和公式三：13+23+33+……n 3 =6． 速算巧算基本方法 凑整法、改变运算次序法、连续数求和、基准法、分组法、拆分法 7． 等差数列，等比数列，【拆分与裂项】，【换元法】，【错位相消法】，【构造法】等较难的计算方法。
拆分裂项公式：等差数列公式：第一部分 计算能力万丈高楼平地起，计算能力任何时候都是学好数学的根基，必须高度重视！ 基本公式 1． 运算顺序第一级：括号：（ ）→[ ]→ { } 第二级：×÷: 同一级别可以交换运算次序 第三级：＋－： 同一级别可以交换运算次序 2． 去括号① a＋(b＋c)=a＋b＋c a＋(b－c)=a＋b－c② a－(b＋c)=a－b－c a－(b－c)=a－b＋c③a×(b×c)=a×b×c a×(b÷c)=a×b÷c④a÷(b×c)=a÷b÷c a÷(b÷c)=a÷b×c 3．分配律/结合律乘法: a×(b＋c) = a×b＋a×c a×b＋a×c= a×(b＋c)除法：(a＋b) ÷c= a÷c＋b÷ c a÷c＋b÷ c= (a＋b) ÷c4．两个必须掌握的性质两个数的和一定，则两数越相近，积越大两个数的积一定，则两数越分散，和越大5．几个计算公式完全平方和（差）公式：（a±b）2 =a2±2ab+b2 平方差公式：a2-b2 =(a+b)(a-b) 求和公式一:1+2+3+……+n=简单等比公式：例题分析1. 393+404+397+398+405+401+400+399+391+4022. 比较下面A,B 两数的大小：A=2009×2009，B=2008×20103. 结果末尾有多少个零4. 100 ＋99＋98－97－96－95＋……＋10＋9＋8－7－6－5＋4＋3＋2－1巩固练习5. 376＋385＋391＋380＋377＋389＋383＋374＋366＋3786. 1÷50+2÷50+3÷50+……50÷502010÷20107. 9999999×20097777×3333÷1111 8.9. 比较下面A,B 两数的大小：A＝1×9；B＝2×810. 1996＋1994－1992－1990＋1988＋1986－1984－1982＋1980＋1978－1976－1974＋1972＋1970……＋4＋2第二部分基础知识基础知识点列表序知识点名序号知识点名序号知识点名1归一归总9鸡兔问题17加法乘法原2和差问题10方阵问题18排列与组3和倍问题11抽屉问题19商品利润4差倍问题12容斥问题20存款利息5植树问题13逻辑问题21浓度问题6年龄问题14数字谜22工程问题7盈亏问题15等差数列23正反比例8周期问题16一笔画24牛吃草问A 归一问题【含义】在解题时，先求出一份是多少（即单一量），然后以单一量为标准，求出所要求的数量。
这类应用题叫做归一问题。
【数量关系】总量÷份数＝1 份数量1 份数量×所占份数＝所求几份的数量另一总量÷（总量÷份数）＝所求份数【解题思路】先求出单一量，以单一量为标准，求出所要求的数量。
【例题】买 5 支铅笔要元钱，买同样的铅笔 16 支，需要多少钱解：（1）买 1 支铅笔多少钱÷5＝（元）（2）买 16 支铅笔需要多少钱×16＝（元）列成综合算式：÷5×16＝×16＝（元）答：需要元。
11. 3 台拖拉机3 天耕地90 公顷，5 台拖拉机6 天耕地多少公顷12. 5 辆汽车 4 次可以运送 100 吨钢材，如果用同样的7 辆汽车运送105吨钢材，需要运几次A 归总问题【含义】解题时，常常先找出“总数量”，然后再根据其它条件算出所求的问题，叫归总问题。
所谓“总数量”是指货物的总价、几小时（几天）的总工作量、几公亩地上的总产量、几小时行的总路程等。
【数量关系】 1 份数量×份数＝总量总量÷1份数量＝份数总量÷另一份数＝另一每份数量【解题思路】先求出总数量，再根据题意得出所求的数量。
【例题】服装厂原来做一套衣服用布米，改进裁剪方法后，每套衣服用布米。
原来做791 套衣服的布，现在可以做多少套解：（1）这批布总共有多少米×791＝（米）（2）现在可以做多少套÷＝904（套）列成综合算式×791÷＝904（套）答：现在可以做904 套。
13. 小华每天读 24 页书，12 天读完了《红岩》一书。
小明每天读36 页书，几天可以读完《红岩》14. 食堂运来一批蔬菜，原计划每天吃 50 千克，30 天慢慢消费完这批蔬菜。
后来根据大家的意见，每天比原计划多吃10 千克，这批蔬菜可以吃多少天A 和差问题【含义】已知两个数量的和与差，求两个数量各是多少，这类应用题叫和差问题。
【数量关系】大数＝（和＋差）÷ 2小数＝（和－差）÷ 2【解题思路】简单的题目可以直接套用公式；复杂的题目变通后再用公式。
【例题】甲乙两班共学生 98 人，甲班比乙班多 6 人，求两班各有多少人解：甲班人数＝（98＋6）÷2＝52（人）乙班人数＝（98－6）÷2＝46（人）答：甲班有52 人，乙班有46 人。
15. 长方形的长和宽之和为 18 厘米，长比宽多 2 厘米，求长方形的面积16. 有甲乙丙三袋化肥，甲乙两袋共重 32 千克，乙丙两袋共重30 千克，甲丙两袋共重 22 千克，求三袋化肥各重多少千克。
17. 甲乙两车原来共装苹果 97 筐，从甲车取下 14 筐放到乙车上，结果甲车比乙车还多3 筐，两车原来各装苹果多少筐A 和倍问题【含义】已知两个数的和及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），要求这两个数各是多少，这类应用题叫做和倍问题。
【数量关系】总和÷（几倍＋1）＝较小的数总和－较小的数＝较大的数较小的数×几倍＝较大的数【解题思路】简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。
【例题】果园里有杏树和桃树共 248 棵，桃树的棵数是杏树的3 倍，求杏树、桃树各多少棵解：（1）杏树有多少棵248÷（3＋1）＝62（棵）（2）桃树有多少棵62×3＝186（棵）答：杏树有62 棵，桃树有186 棵。
18. 东西两个仓库共存粮 480 吨，东库存粮数是西库存粮数的倍，求两库各存粮多少吨19. 甲站原有车 52 辆，乙站原有车 32 辆，若每天从甲站开往乙站28 辆，从乙站开往甲站 24 辆，几天后乙站车辆数是甲站的2 倍20. 甲乙丙三数之和是 170，乙比甲的 2 倍少 4，丙比甲的3 倍多6，求三数各是多少A 差倍问题【含义】已知两个数的差及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），要求这两个数各是多少，这类应用题叫做差倍问题。
【数量关系】两个数的差÷（几倍－1）＝较小的数较小的数×几倍＝较大的数【解题思路】简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。
【例题】果园里桃树的棵数是杏树的 3 倍，而且桃树比杏树多124 棵。
求杏树、桃树各多少棵解：（1）杏树有多少棵124÷（3－1）＝62（棵）（2）桃树有多少棵62×3＝186（棵）答：果园里杏树是62 棵，桃树是186 棵。
21. 爸爸比儿子大 27 岁，今年，爸爸的年龄是儿子年龄的4 倍，求父子二人今年各是多少岁22. 商场改革经营管理办法后，本月盈利比上月盈利的2 倍还多12 万元，又知本月盈利比上月盈利多 30 万元，这两个月盈利各是多少万元23. 粮库有 94 吨小麦和138 吨玉米，如果每天运出小麦和玉米各是10 吨，多少天后，玉米是小麦的12 倍A 植树问题基本类型及公式：①在直线上或者不封闭的曲线上植树，两端都植树。
基本公式：棵树=段数＋1；棵距（段长）×段数=总长②在直线上或者不封闭的曲线上植树，两端都不植树。
基本公式：棵树=段数－1；棵距（段长）×段数=总长③在封闭曲线上植树：基本公式：棵树=段数；棵距（段长）×段数=总长关键问题：确定所属类型，从而确定棵数与段数的关系。
【例题】一条河堤 136 米，每隔 2 米栽一棵垂柳，头尾都栽，共栽多少棵垂柳解：136÷2＋1＝68＋1＝69（棵）答：一共要栽69 棵垂柳。
24. 一个圆形池塘周长为400 米，在岸边每隔4 米栽一棵白杨树，一共能栽多少棵白杨树25. 甲乙丙三人锯同样粗细的钢条，分别领取米，2米，米长的钢条，要求都按米规格锯开，劳动结束后，甲乙丙分别锯了 24 段，25 段，27 段，谁锯钢条的速度最快26. 某一淡水湖的周长 1350 米,在湖边每隔 9 米种柳树一株,在两株柳树中间种植2 株夹枝桃,可栽柳树多少株可栽夹枝桃多少株两株夹枝桃之间相距多少米27. 一座大桥长 500 米，给桥两边的电杆上安装路灯，若每隔50 米有一个电杆，每个电杆上安装 2 盏路灯，一共可以安装多少盏路灯A 年龄问题【含义】这类问题是根据题目的内容而得名，它的主要特点是两人的年龄差不变，但是，两人年龄之间的倍数关系随着年龄的增长在发生变化。
【数量关系】年龄问题往往与和差、和倍、差倍问题有着密切联系，尤其与差倍问题的解题思路是一致的，要紧紧抓住“年龄差不变”这个特点。
【解题思路】可以利用“差倍问题”的解题思路和方法。
【例题】爸爸今年 35 岁，亮亮今年 5 岁，今年爸爸的年龄是亮亮的几倍明年呢解35÷5＝7（倍）（35+1）÷（5+1）＝6（倍）答：今年爸爸的年龄是亮亮的 7 倍，明年爸爸的年龄是亮亮的6 倍。
28. 母亲今年 37 岁，女儿 7 岁，几年后母亲年龄是女儿的4 倍29. 3 年前父子的年龄和是 49 岁，今年父亲的年龄是儿子年龄的4 倍，父子今年各多少岁30. 甲对乙说：“当我的岁数曾经是你现在的岁数时，你才4 岁”。
乙对甲说：“当我的岁数将来是你现在的岁数时，你将 61 岁”。